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所属成套资源：第二十一章一元一次方程复习课件
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数学九年级上册21.1 一元二次方程复习ppt课件
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这是一份数学九年级上册21.1 一元二次方程复习ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了1x26，直接开平方得，2移项得，x2900，x±30，移项得，系数化为1得，∴x-1±2，方程的两根为，解方程等内容，欢迎下载使用。
下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ）
整理x2-3x+2=0
A. B. 3x2-5xy+y2=0C.（x-1）（x-2）=0 D. ax2+bx+c=0
一.一元二次方程的识别
方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后再进行判断．三个条件：①方程两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2. 必须同时满足，缺一不可．
a为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)ax2-x=2x2
(2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0.
解：(1)将方程转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；(2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.
二.利用一元二次方程的定义求字母的值
方法总结：根据未知数最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值．
方程(2a-4)x2－2bx+a=0. （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
解：（1）当 2a-4≠0，即a ≠2 时是一元二次方程.
（2）当a=2 且 b ≠0 时是一元一次方程.
将方程 3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10 整理，得 3x2-8x-10=0 其中二次项系数是3，一次项系数是-8，常数项是-10.
二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的.
三.一元二次方程一般形式的有关概念
将下列方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数、常数项：（1）5x2-1=4x; (2)4 x2=81
解：(1)把5x2-1=4x化为一般形式5x2-4x-1=0 ，二次项系数为5，一次项系数为-4，常数项为-1.
(2)把4 x2 =81化为一般形式4x2-81=0 ，二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为-81．
（3）4x(x+2)=25 (4)(3x-2)(x+1)=8x-3
解：(3)把4x(x+2)=25 化为一般形式4x2+8x-25=0 ，二次项系数为4，一次项系数为8，常数项为-25．
(4)把(3x-2)(x+1)=8x-3化为一般形式3x2-7x+1=0 ，二次项系数为3，一次项系数为-7，常数项为1．
已知关于x的一元二次方程 (m-1)x2＋3x-5m＋4=0有一个根为2，求m.
分析: 一个根为2，即x=2,只需把x=2代入原方程.
解：依题意把x＝2代入原方程，得 4（m-1）+6-5m+4=0, 整理，得 -m+6=0, 解得 m=6.
四.利用一元二次方程的解确定字母的值
方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目中，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题.
已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.
解：依题意把x=3代入原方程，得
32+3a+a=0
9+4a=0，
即 .
已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1, 求a+b+c的值.
解：依题意把x=1代入原方程，得 a×12+b×1+c=0, 即 a+b+c=0.
若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
解：a+b+c=0可转化为 a×12+b×1+c=0
因此，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1.
若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
解：a-b+c=0可转化为 a×（-1）2+b×（-1）+c=0
因此，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是-1.
4a+2b +c=0可转化为 a×22+b×2+c=0
因此，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是2.
利用直接开平方法解下列方程:
∴x1=30, x2=－30.
四.利用直接开平方解形如x2=p方程
解下列方程（分析:把方程化为 x2=p 的形式）
解下列方程：（1）（x＋1）2= 2 ；
解析：本题中只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.
解：（1）∵x+1是2的平方根，
五.利用直接开平方法解形如(mx+n)2=p方程
解析：本题先将-4移到方程的右边，再同第1小题一样地解.
（2）（x－1）2－4 = 0；
即x1=3，x2=-1.
解：（2）移项，得（x-1）2=4.
∵x-1是4的平方根，
(3) 12（3－2x）2－3 = 0.
解析：本题先将－3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可.
解：（3）移项，得12（3-2x）2=3，
两边都除以12，得（3-2x）²=0.25.
∵3-2x是0.25的平方根，
∴3-2x=±0.5.
即3-2x=0.5,3-2x=-0.5
六.解需要利用完全平方公式转化的一元二次方程
解：方程的左边是完全平方形式，这个方程可以化为：（x+3）2=2.进行降次得：
解方程 x2+6x+9=2.
x1= , x2= .
一元二次方程x2﹣9=0的解是 ．
解析: ∵x2﹣9=0，∴x2=9， 解得：x1=3，x2=﹣3． 故答案为：x1=3，x2=﹣3．
下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正.
解方程 .
解方程：
x2－8x+42=－1+42 ,
七.解二次项系数是1的一元二次方程
解方程x2+8x-4=0
解：移项，得 x2+8x＝4 配方，得 x2+8x+4²=4+4²， 整理，得 (x+4)2=20， 由此可得 x+4= ， x1＝ ， x2＝ .
八.解二次项系数不是1的一元二次方程
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根．
x2+2x+12= +12
即 x+1=± .
x1= ， x2= .
x1= ， x2=
∴ x取任何实数，上式都不成立，即原方程无实数根．
∵ 对任何实数x都有 ( x+1 )2 ≥ 0,
配方，得 x2+2x+1=-2+1.
解：去括号，得 x2+4x=8x+12 移项，得 配方，得
由此可得 x-2=±4
x1=6 , x2=-2
x2-4x+2²=12+2²
试用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－4k＋5 的值必定大于零.
解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1
因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.
所以k2－4k＋5的值必定大于零.
九.利用配方法确定多项式或字母的值（或取值范围）
方法点拨：证明代数式的值恒为正数,需要利用配方法将代数式化成几个非负数的和,利用非负数的性质说明代数式的值恒为正数.
若a,b,c为△ABC的三边长，且 试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得
根据非负数的性质得
根据勾股定理的逆定理可知，△ABC为直角三角形.
方程2x2 - 3m - x +m2 +2=0有一个根为x = 0，则m的值为（ ） A. 1 B.1 C.1或2 D.1或-2应用配方法求最大值或最小值.(1)求 2x2 - 4x+5的最小值 (2) -3x2 + 12x -16的最大值.
解：原式 = 2(x - 1)2 +3 因为 2(x - 1)2 ≥0，所以 2(x - 1)2 +3 ≥3因此当x =1时，原式有最小值3.
解：原式= -3(x - 2)2 - 4 因为 (x - 2)2 ≥0，即-3(x - 2)2 ≤0，所以 -3(x - 2)2 -4≤-4因此当x =2时，原式有最大值-4.
4x2-8x-4=0.
解：移项，得4x2-8x=4，
配方，得 x2-2x+1=1+1,
（x-1）2=2,
利用配方法证明：不论x取何值，代数式－x2－x－1的值总是负数，并求出它的最大值.
若 ，求(xy)z 的值.
由非负数的性质可知
已知a,b,c为△ABC的三边长，且 试判断△ABC的形状.
由代数式的性质可知
所以，△ABC为等边三角形.
不解方程，判断下列方程根的情况：
解：a＝﹣1，b＝ ，c＝﹣6, △= b2-4ac =24－4×（﹣1）×（-6）=0. 该方程有两个相等的实数根.
解： 移项，得 x2+4x-2=0, a＝1，b＝4 ，c＝﹣2, △= b2-4ac =16-4×1×（-2）=24＞0.该方程有两个不相等的实数根.
十.利用判别式识别一元二次方程的根的情况
（2）x2+4x=2;
（3）4x2+1=-3x;
解：移项，得4x2+3x+1=0，a＝4，b＝3 ，c＝1,∵ △= b2-4ac =9-4×4×1=-7＜0.∴该方程没有实数根.
解：a＝1，b＝-2m ，c＝4（m-1）,∵ △= b2-4ac =（-2m）²-4×1×4（m-1） =4m2-16（m-1） =4m2-16m+16 =（2m-4）2≥0.∴该方程有两个实数根.
（4）x²-2mx+4（m-1）=0.
m为何值时，关于x的一元二次方程 2x2-（4m+1）x+2m2-1=0：（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？
解：a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1, b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9.
十一.利用判别式求字母的值或取值范围
解方程x2﹣2x﹣1=0．
解：a=1，b=﹣2，c=﹣1， △=b2﹣4ac=4+4=8＞0，所以方程有两个不相等的实数根，
解：（1）因式分解，得
x－2＝0 或 x＋1=0,
x1=2，x2=－1.
(2)移项、合并同类项，得
因式分解，得 ( 2x＋1)( 2x－1 )=0.
2x＋1=0或2x－1=0,
(x－2)(x＋1)=0.
x1= ， x2= - .
解下列方程：（1）x(x-2)+x-2=0 （2）5x2-2x- =x2-2x+
十二.因式分解法解一元二次方程
x ( x+1 ) = 0.
于是得 x = 0 或 x + 1 =0，
x1=0 , x2=－1.
（2）x2- 2 x=0
于是得 x=0 或 x-2 =0
x2－2x+1 = 0.
( x－1 )( x－1 ) = 0.
于是得 x － 1 = 0 或 x － 1 = 0，
( 2x + 11 )( 2x－ 11 ) = 0.
于是得 2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0，
x1=-5.5 ， x2=5.5 .
6x2 － x －2 = 0.
( 3x － 2 )( 2x + 1 ) = 0.
有 3x － 2 = 0 或 2x + 1 = 0，
( x －4 ) 2 － ( 5 － 2x )2=0.
( x － 4 － 5 + 2x )( x － 4 + 5 －2x ) = 0.
( 3x － 9 )( 1 － x ) = 0.
有 3x － 9 = 0 或 1 － x = 0，
x1 = 3 , x2 = 1.
x1= ， x2=-
利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）x2 + 7x + 6 = 0;
解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6. Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.
十三.一元二次方程的根与系数的关系的应用
（2）2x2 - 3x - 2 = 0.
解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2. Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0, ∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = , x1 x2 = -1 .
不解方程，求方程两根的和与两根的积： ①x2+3x-1=0 ② 2x2-4x+1=0
已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
解：设方程的两个根分别是x1,x2，其中x1=2 . 所以：x1 · x2=2x2= 即：x2= 由于x1+x2=2+ = 得：k=－7.答：方程的另一个根是 ，k=－7.
十四.利用根与系数的关系求字母的值或取值范围
已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值.
设方程的另一个根为x1.
把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0.
解这方程，得 k= - 2.
由根与系数关系，得x1● 2＝3k,
即 2 x1 ＝－6.
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2.
不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.
解：根据根与系数的关系可知：
十五.利用根与系数的关系求两根的平方和、倒数和
设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，且x12 +x22 =4，求k的值.
解：由方程有两个实数根，得Δ= 4（k - 1）2 - 4k2 ≥ 0 即 -8k + 4 ≥ 0. ∴ 由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2. ∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4. 由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4, 解得 k1= 0 , k2 = 4 . 经检验， k2 = 4 不合题意，舍去.
十六.根与系数关系的综合题目
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1.
∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2
由根与系数的关系得x1+x2= , x1x2 =
解得k1=9,k2= -3.
当k=9或-3时，由于Δ ＞0，∴k的值为9或-3.
∴（ ）2-4× =1.
当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1.
已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
解：将x = 1代入方程中： 3 -19 + m = 0. 解得 m = 16, 设另一个根为x1,则： 1 × x1 = ∴x1 =
已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4；（1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值.
解：(1)根据根与系数的关系得(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=解得：k=-7；
（2）因为k=-7,所以 则：
设x1,x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值. (1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2)
解: 根据根与系数的关系得：（1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1=（2）
某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?
解:设每个支干长出x个小分支,
则 1+x+x2=91.
即 x2+x-90=0.
x1=9,x2=－10(不合题意,舍去)
答:每个支干长出9个小分支.
十七.列一元二次方程解传播问题
电脑勒索病毒的传播非常快，如果开始有6台电脑被感染，经过两轮感染后共有2400台电脑被感染. 每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑.
答：每轮感染中平均一台电脑会感染19台电脑.
依题意得 6+6x+6x (1+x) =2400.
6 (1+x)² =2400
一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共多少人？
设这个小组共x人，根据题意列方程，得
x(x-1)=72.
化简，得 x2-x-72=0.
解方程，得 x1=9， x2=-8（舍去）.
十八.列一元二次方程解相互类问题
生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，求全组有多少名同学？
解：全组有x名同学，根据题意，得
x（x-1）=182.
解得 x1=14，x2=-13（不合题意，舍去）.
答：全组有14名同学.
某校初三各班进行篮球比赛（单循环制），每两班之间共比赛了6场，求初三有几个班？
解：初三有x个班，根据题意列方程，得
化简，得 x2-x-12=0 .
解方程，得 x1=4， x2=-3（舍去）.
某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）
解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为 x.根据题意，得 .
答：每次降价的百分率为29.3%.
十九.列一元二次方程解答增长率问题
某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒.求平均每次降价的百分率？
解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意得：
36（1- x ）2=25.
答：平均每次约降价16.7%.
有一张长6尺，宽3尺的长方形桌子，现用一块长方形台布铺在桌面上，如果台布的面积是桌面面积的2倍，且四周垂下的长度相同，试求这块台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）
解：设四周垂下的宽度为x尺时，则台布的长为（2x+6）尺，宽为（2x+3）尺，依题意得：（6+2x）（3+2x）=2×6×3. 整理方程得：2x²+9x-9=0. 解得：x1≈0.84，x2≈-5.3（不合题意，舍去）. 因此：台布的长为：2×0.84+6≈7.7（尺）. 台布的宽为：2×0.84+3≈4.7（尺）. 即这块台布的长约为7.7尺，宽约为4.7尺.
二十.利用一元二次方程解答一般面积问题
如右图是长方形鸡场的平面示意图.一边靠墙，另三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35m.（1）若所围的面积为150m²，试求此长方形鸡场的长和宽；
二十一.靠墙问题的解答
（2）如果墙长为18m，则（1）中长方形鸡场的长和宽分别是多少？
解：当墙长为18m时，显然BC=20m时，所围成的鸡场会在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去，此时所围成的长方形鸡场的长与宽值能是15m和10m.
（3）能围成面积为160m²的长方形鸡场吗？说说你的理由.
解：设道路的宽为x米，依题意得
如图，在一块宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求道路的宽为多少？
20×32-32x-20x+x2=540.
二十二.修路问题的图形面积
解：设道路的宽为 x 米.
(32-x)(20-x)=540.
整理，得x2-52x+100=0.解方程，得（x-50)(x-2）=0.
即 x1=2,x2=50.
当x=50时，32-x=-18,不合题意，舍去.
下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ）
整理x2-3x+2=0
A. B. 3x2-5xy+y2=0C.（x-1）（x-2）=0 D. ax2+bx+c=0
一.一元二次方程的识别
方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后再进行判断．三个条件：①方程两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2. 必须同时满足，缺一不可．
a为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)ax2-x=2x2
(2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0.
解：(1)将方程转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；(2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.
二.利用一元二次方程的定义求字母的值
方法总结：根据未知数最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值．
方程(2a-4)x2－2bx+a=0. （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
解：（1）当 2a-4≠0，即a ≠2 时是一元二次方程.
（2）当a=2 且 b ≠0 时是一元一次方程.
将方程 3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10 整理，得 3x2-8x-10=0 其中二次项系数是3，一次项系数是-8，常数项是-10.
二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的.
三.一元二次方程一般形式的有关概念
将下列方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数、常数项：（1）5x2-1=4x; (2)4 x2=81
解：(1)把5x2-1=4x化为一般形式5x2-4x-1=0 ，二次项系数为5，一次项系数为-4，常数项为-1.
(2)把4 x2 =81化为一般形式4x2-81=0 ，二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为-81．
（3）4x(x+2)=25 (4)(3x-2)(x+1)=8x-3
解：(3)把4x(x+2)=25 化为一般形式4x2+8x-25=0 ，二次项系数为4，一次项系数为8，常数项为-25．
(4)把(3x-2)(x+1)=8x-3化为一般形式3x2-7x+1=0 ，二次项系数为3，一次项系数为-7，常数项为1．
已知关于x的一元二次方程 (m-1)x2＋3x-5m＋4=0有一个根为2，求m.
分析: 一个根为2，即x=2,只需把x=2代入原方程.
解：依题意把x＝2代入原方程，得 4（m-1）+6-5m+4=0, 整理，得 -m+6=0, 解得 m=6.
四.利用一元二次方程的解确定字母的值
方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目中，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题.
已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.
解：依题意把x=3代入原方程，得
32+3a+a=0
9+4a=0，
即 .
已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1, 求a+b+c的值.
解：依题意把x=1代入原方程，得 a×12+b×1+c=0, 即 a+b+c=0.
若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
解：a+b+c=0可转化为 a×12+b×1+c=0
因此，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1.
若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
解：a-b+c=0可转化为 a×（-1）2+b×（-1）+c=0
因此，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是-1.
4a+2b +c=0可转化为 a×22+b×2+c=0
因此，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是2.
利用直接开平方法解下列方程:
∴x1=30, x2=－30.
四.利用直接开平方解形如x2=p方程
解下列方程（分析:把方程化为 x2=p 的形式）
解下列方程：（1）（x＋1）2= 2 ；
解析：本题中只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.
解：（1）∵x+1是2的平方根，
五.利用直接开平方法解形如(mx+n)2=p方程
解析：本题先将-4移到方程的右边，再同第1小题一样地解.
（2）（x－1）2－4 = 0；
即x1=3，x2=-1.
解：（2）移项，得（x-1）2=4.
∵x-1是4的平方根，
(3) 12（3－2x）2－3 = 0.
解析：本题先将－3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可.
解：（3）移项，得12（3-2x）2=3，
两边都除以12，得（3-2x）²=0.25.
∵3-2x是0.25的平方根，
∴3-2x=±0.5.
即3-2x=0.5,3-2x=-0.5
六.解需要利用完全平方公式转化的一元二次方程
解：方程的左边是完全平方形式，这个方程可以化为：（x+3）2=2.进行降次得：
解方程 x2+6x+9=2.
x1= , x2= .
一元二次方程x2﹣9=0的解是 ．
解析: ∵x2﹣9=0，∴x2=9， 解得：x1=3，x2=﹣3． 故答案为：x1=3，x2=﹣3．
下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正.
解方程 .
解方程：
x2－8x+42=－1+42 ,
七.解二次项系数是1的一元二次方程
解方程x2+8x-4=0
解：移项，得 x2+8x＝4 配方，得 x2+8x+4²=4+4²， 整理，得 (x+4)2=20， 由此可得 x+4= ， x1＝ ， x2＝ .
八.解二次项系数不是1的一元二次方程
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根．
x2+2x+12= +12
即 x+1=± .
x1= ， x2= .
x1= ， x2=
∴ x取任何实数，上式都不成立，即原方程无实数根．
∵ 对任何实数x都有 ( x+1 )2 ≥ 0,
配方，得 x2+2x+1=-2+1.
解：去括号，得 x2+4x=8x+12 移项，得 配方，得
由此可得 x-2=±4
x1=6 , x2=-2
x2-4x+2²=12+2²
试用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－4k＋5 的值必定大于零.
解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1
因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.
所以k2－4k＋5的值必定大于零.
九.利用配方法确定多项式或字母的值（或取值范围）
方法点拨：证明代数式的值恒为正数,需要利用配方法将代数式化成几个非负数的和,利用非负数的性质说明代数式的值恒为正数.
若a,b,c为△ABC的三边长，且 试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得
根据非负数的性质得
根据勾股定理的逆定理可知，△ABC为直角三角形.
方程2x2 - 3m - x +m2 +2=0有一个根为x = 0，则m的值为（ ） A. 1 B.1 C.1或2 D.1或-2应用配方法求最大值或最小值.(1)求 2x2 - 4x+5的最小值 (2) -3x2 + 12x -16的最大值.
解：原式 = 2(x - 1)2 +3 因为 2(x - 1)2 ≥0，所以 2(x - 1)2 +3 ≥3因此当x =1时，原式有最小值3.
解：原式= -3(x - 2)2 - 4 因为 (x - 2)2 ≥0，即-3(x - 2)2 ≤0，所以 -3(x - 2)2 -4≤-4因此当x =2时，原式有最大值-4.
4x2-8x-4=0.
解：移项，得4x2-8x=4，
配方，得 x2-2x+1=1+1,
（x-1）2=2,
利用配方法证明：不论x取何值，代数式－x2－x－1的值总是负数，并求出它的最大值.
若 ，求(xy)z 的值.
由非负数的性质可知
已知a,b,c为△ABC的三边长，且 试判断△ABC的形状.
由代数式的性质可知
所以，△ABC为等边三角形.
不解方程，判断下列方程根的情况：
解：a＝﹣1，b＝ ，c＝﹣6, △= b2-4ac =24－4×（﹣1）×（-6）=0. 该方程有两个相等的实数根.
解： 移项，得 x2+4x-2=0, a＝1，b＝4 ，c＝﹣2, △= b2-4ac =16-4×1×（-2）=24＞0.该方程有两个不相等的实数根.
十.利用判别式识别一元二次方程的根的情况
（2）x2+4x=2;
（3）4x2+1=-3x;
解：移项，得4x2+3x+1=0，a＝4，b＝3 ，c＝1,∵ △= b2-4ac =9-4×4×1=-7＜0.∴该方程没有实数根.
解：a＝1，b＝-2m ，c＝4（m-1）,∵ △= b2-4ac =（-2m）²-4×1×4（m-1） =4m2-16（m-1） =4m2-16m+16 =（2m-4）2≥0.∴该方程有两个实数根.
（4）x²-2mx+4（m-1）=0.
m为何值时，关于x的一元二次方程 2x2-（4m+1）x+2m2-1=0：（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？
解：a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1, b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9.
十一.利用判别式求字母的值或取值范围
解方程x2﹣2x﹣1=0．
解：a=1，b=﹣2，c=﹣1， △=b2﹣4ac=4+4=8＞0，所以方程有两个不相等的实数根，
解：（1）因式分解，得
x－2＝0 或 x＋1=0,
x1=2，x2=－1.
(2)移项、合并同类项，得
因式分解，得 ( 2x＋1)( 2x－1 )=0.
2x＋1=0或2x－1=0,
(x－2)(x＋1)=0.
x1= ， x2= - .
解下列方程：（1）x(x-2)+x-2=0 （2）5x2-2x- =x2-2x+
十二.因式分解法解一元二次方程
x ( x+1 ) = 0.
于是得 x = 0 或 x + 1 =0，
x1=0 , x2=－1.
（2）x2- 2 x=0
于是得 x=0 或 x-2 =0
x2－2x+1 = 0.
( x－1 )( x－1 ) = 0.
于是得 x － 1 = 0 或 x － 1 = 0，
( 2x + 11 )( 2x－ 11 ) = 0.
于是得 2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0，
x1=-5.5 ， x2=5.5 .
6x2 － x －2 = 0.
( 3x － 2 )( 2x + 1 ) = 0.
有 3x － 2 = 0 或 2x + 1 = 0，
( x －4 ) 2 － ( 5 － 2x )2=0.
( x － 4 － 5 + 2x )( x － 4 + 5 －2x ) = 0.
( 3x － 9 )( 1 － x ) = 0.
有 3x － 9 = 0 或 1 － x = 0，
x1 = 3 , x2 = 1.
x1= ， x2=-
利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）x2 + 7x + 6 = 0;
解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6. Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.
十三.一元二次方程的根与系数的关系的应用
（2）2x2 - 3x - 2 = 0.
解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2. Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0, ∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = , x1 x2 = -1 .
不解方程，求方程两根的和与两根的积： ①x2+3x-1=0 ② 2x2-4x+1=0
已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
解：设方程的两个根分别是x1,x2，其中x1=2 . 所以：x1 · x2=2x2= 即：x2= 由于x1+x2=2+ = 得：k=－7.答：方程的另一个根是 ，k=－7.
十四.利用根与系数的关系求字母的值或取值范围
已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值.
设方程的另一个根为x1.
把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0.
解这方程，得 k= - 2.
由根与系数关系，得x1● 2＝3k,
即 2 x1 ＝－6.
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2.
不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.
解：根据根与系数的关系可知：
十五.利用根与系数的关系求两根的平方和、倒数和
设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，且x12 +x22 =4，求k的值.
解：由方程有两个实数根，得Δ= 4（k - 1）2 - 4k2 ≥ 0 即 -8k + 4 ≥ 0. ∴ 由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2. ∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4. 由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4, 解得 k1= 0 , k2 = 4 . 经检验， k2 = 4 不合题意，舍去.
十六.根与系数关系的综合题目
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1.
∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2
由根与系数的关系得x1+x2= , x1x2 =
解得k1=9,k2= -3.
当k=9或-3时，由于Δ ＞0，∴k的值为9或-3.
∴（ ）2-4× =1.
当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1.
已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
解：将x = 1代入方程中： 3 -19 + m = 0. 解得 m = 16, 设另一个根为x1,则： 1 × x1 = ∴x1 =
已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4；（1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值.
解：(1)根据根与系数的关系得(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=解得：k=-7；
（2）因为k=-7,所以 则：
设x1,x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值. (1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2)
解: 根据根与系数的关系得：（1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1=（2）
某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?
解:设每个支干长出x个小分支,
则 1+x+x2=91.
即 x2+x-90=0.
x1=9,x2=－10(不合题意,舍去)
答:每个支干长出9个小分支.
十七.列一元二次方程解传播问题
电脑勒索病毒的传播非常快，如果开始有6台电脑被感染，经过两轮感染后共有2400台电脑被感染. 每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑.
答：每轮感染中平均一台电脑会感染19台电脑.
依题意得 6+6x+6x (1+x) =2400.
6 (1+x)² =2400
一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共多少人？
设这个小组共x人，根据题意列方程，得
x(x-1)=72.
化简，得 x2-x-72=0.
解方程，得 x1=9， x2=-8（舍去）.
十八.列一元二次方程解相互类问题
生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，求全组有多少名同学？
解：全组有x名同学，根据题意，得
x（x-1）=182.
解得 x1=14，x2=-13（不合题意，舍去）.
答：全组有14名同学.
某校初三各班进行篮球比赛（单循环制），每两班之间共比赛了6场，求初三有几个班？
解：初三有x个班，根据题意列方程，得
化简，得 x2-x-12=0 .
解方程，得 x1=4， x2=-3（舍去）.
某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）
解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为 x.根据题意，得 .
答：每次降价的百分率为29.3%.
十九.列一元二次方程解答增长率问题
某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒.求平均每次降价的百分率？
解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意得：
36（1- x ）2=25.
答：平均每次约降价16.7%.
有一张长6尺，宽3尺的长方形桌子，现用一块长方形台布铺在桌面上，如果台布的面积是桌面面积的2倍，且四周垂下的长度相同，试求这块台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）
解：设四周垂下的宽度为x尺时，则台布的长为（2x+6）尺，宽为（2x+3）尺，依题意得：（6+2x）（3+2x）=2×6×3. 整理方程得：2x²+9x-9=0. 解得：x1≈0.84，x2≈-5.3（不合题意，舍去）. 因此：台布的长为：2×0.84+6≈7.7（尺）. 台布的宽为：2×0.84+3≈4.7（尺）. 即这块台布的长约为7.7尺，宽约为4.7尺.
二十.利用一元二次方程解答一般面积问题
如右图是长方形鸡场的平面示意图.一边靠墙，另三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35m.（1）若所围的面积为150m²，试求此长方形鸡场的长和宽；
二十一.靠墙问题的解答
（2）如果墙长为18m，则（1）中长方形鸡场的长和宽分别是多少？
解：当墙长为18m时，显然BC=20m时，所围成的鸡场会在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去，此时所围成的长方形鸡场的长与宽值能是15m和10m.
（3）能围成面积为160m²的长方形鸡场吗？说说你的理由.
解：设道路的宽为x米，依题意得
如图，在一块宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540m2,求道路的宽为多少？
20×32-32x-20x+x2=540.
二十二.修路问题的图形面积
解：设道路的宽为 x 米.
(32-x)(20-x)=540.
整理，得x2-52x+100=0.解方程，得（x-50)(x-2）=0.
即 x1=2,x2=50.
当x=50时，32-x=-18,不合题意，舍去.
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