初中数学人教版九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程优秀综合训练题

这是一份初中数学人教版九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程优秀综合训练题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程( )
A. 180(1−x)2=461B. 180(1+x)2=461
C. 368(1−x)2=442D. 368(1+x)2=442
2.如图，若将左图正方形剪成四块．恰能拼成右图的矩形，设a=2，则这个正方形的面积为( )
A. 14+6 5B. 3+ 52C. 5+12D. 1+ 2
3.有1人患了流感后，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x人，则根据题意可列方程( )
A. (1+x)2=144B. (1+x2)=144C. (1−x)2=144D. (1−x2)=144
4.某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91，设每个枝干长出x个小分支，则x满足的方程为( )
A. x+x2=91B. 1+x2=91
C. 1+x+x2=91D. 1+x(x−1)=91
5.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支于和小分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是( )
A. 8B. 7C. 6D. 5
6.如图，点阵M的层数用n表示，点数总和用S表示，当S=66时，n的值为( )
A. 10B. 11C. 12D. 13
7.如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=6 cm，BC=3 cm，点P以1 cm/s的速度从点A开始沿边AB向点B移动，点Q以2 cm/s的速度从点B开始沿边BC向点C移动，且点P，Q分别从点A，B同时出发．若有一点到达目的地，则另一点同时停止运动．要使P，Q两点之间的距离等于4 2 cm，则需要经过( )
A. 25 sB. 2 sC. 65 sD. 25 s或2 s
8.某校准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路(如图所示)，四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度为( )
A. 1米B. 54米C. 2米D. 65米
9.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动(移动方向如图所示)，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为9cm2时，则点P运动的时间是( )
A. 3sB. 3s或5sC. 4sD. 5s
10.随着“二胎政策”出生的孩子越来越大，纷纷到了入学年龄，某校2022年学生数比2021年增长了8.5%，2023年新学期开学统计，该校学生数又比2022年增长了9.6%，设2022、2023这两年该校学生数平均增长率为x，则x满足的方程是( )
A. 2x=8.5%+9.6%B. 2(1+x)=(1+8.5%)(1+9.6%)
C. (1+x)2=(1+8.5%)(1+9.6%)D. 2(1+x)2=(1+8.5%+9.6%)
11.如图，若设从2019年到2021年我国海上风电新增装机容量的平均增长率为x，根据这个统计图可知，x应满足( )
A. x=14.5%+54.5%+452.3%3B. 14.5%(1+x)2=452.3%
C. 1.98(1+x)2=16.9D. 1.73(1+x)2=3.06
12.用一条长40 cm的绳子围成一个面积为75 cm2的矩形，设该矩形一边长为x cm，则下列符合题意的方程是( )
A. x(40−x)=75B. x(40−x)2=75
C. x(402−x)=75D. x2⋅(402−x)=75
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，若设个位数字为x，列出方程为 ．
14.如图，有一块边长为6的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒．当筝形较长边为 时，该纸盒侧面积为9 32．
15.由于成本上涨，某商品经过两次连续涨价，每件售价由原来的50元涨到了72元．设平均每次涨价的百分率为x，则由题意可列方程为， ．
16.如图，将面积为25的正方形ABCD的边AD的长度增加a，变为面积为22的矩形AEGF.若正方形ABCD和矩形AEGF的周长相等，则a的值是 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额;
(2)去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等.求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
18.(本小题8分)
服装店经销某种品牌的童装，进价为50元/件，原来售价为110元/件，每天可以出售40件，经市场调查发现每降价1元，一天可以多售出2件．
(1)若想每天出售50件，应降价多少元？
(2)如果每天的利润要比原来多600元，并使库存尽快地减少，问每件应降价多少元？
19.(本小题8分)
某商店将进价为8元的商品按每件10元出售，每天可出售200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高1元，那么每天的销售量就减少20件，将每件商品提价多少元时，才能使每天的利润为640元？
20.(本小题8分)
如图，利用一面墙(墙的长度为20米)，用34米长的篱笆围成两个鸡场．中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1米宽的门，若两个鸡场总面积为96平方米，求AB的长．
21.(本小题8分)
为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，某市开展“希望杯”足球比赛，赛制为单循环形式(每两队之间赛一场).现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？
22.(本小题8分)
有两张长12cm，宽10cm的矩形纸板，分别按照图1与图2两种方式裁去若干小正方形和小矩形，剩余部分(阴影部分)恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一个．
(1)做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是 (填“图1”或“图2”)；
(2)已知图1中裁去的小正方形边长为1.5cm，求做成的纸盒的底面积；
(3)已知按图2裁剪方式做成纸盒的底面积为24cm2，，则剪去的小正方形的边长为多少cm？
23.(本小题8分)
近年来，武汉市委组织部借助网红直播基地，积极探索党建引领乡村振兴的新模式．某电商对种植成本为20元/千克的“阳光玫瑰”葡萄进行直播销售，如果按每千克40元销售，每天可卖出200千克．通过市场调查发现，如果“阳光玫瑰”葡萄售价每千克降低1元，日销售量将增加20千克．
(1)若每千克售价为36元，每天可卖出 千克；
(2)若日利润保持不变，每千克“阳光玫瑰”葡萄售价可降低多少元？
(3)小明的线下水果店也销售同款葡萄，标价为每千克50元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过(2)中的售价，则该商品至少需打几折销售？
24.(本小题8分)
为了宣传垃圾分类，小王写了一封倡议书，用微博转发的方式传播，他设计了如下的转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共有111个人参与了本次活动．
(1) x的值是多少？
(2)再经过几轮转发后，参与人数会超过10000人？
25.(本小题8分)
某商场销售一种进价为20元/台的台灯，经调查发现，该台灯每天的销售量w(台)，销售单价x(元)满足w=−2x+80，设销售这种台灯每天的利润为y(元)．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)在保证销售量尽可能大的前提下，该商场每天还想获得150元的利润，应将销售单价定位为多少元？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180(1+x)2=461，
故选：B．
本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的利润将达到461万只”，即可得出方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题为增长率问题，一般形式为a(1+x)2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
2.【答案】A
【解析】解：由题意，得(b+2)2=b(2b+2)，
解得b=2±2 52=1± 5，
∵b>0，
∴b=1+ 5，正方形的面积=(b+2)2=14+6 5.故选A．
3.【答案】A
【解析】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x人，
∴第一轮有x人被传染，第二轮有x(1+x)人被传染．
根据题意得：1+x+x(1+x)=144，
∴(1+x)2=144.
故选A.
由每轮传染中平均一个人传染了x人，可得出第一轮有x人被传染，第二轮有x(1+x)人被传染，结合“有1人患了流感后，经过两轮传染后共有144人患了流感”，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据主干、枝干和小分支的总数是91，列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
根据每个枝干长出x个小分支，则主干上长出了x个枝干，根据主干、枝干和小分支的总数是91，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】
解：设每个枝干长出x个小分支，则主干上长出了x个枝干，x个枝干上总共长了x2个小分支，
根据题意得：x2+x+1=91．
故选C．
5.【答案】B
【解析】略
6.【答案】B
【解析】略
7.【答案】A
【解析】略
8.【答案】B
【解析】设小路的宽度为x米，则小正方形的边长为4x米，小路的横向总长度为(30+4x)米，纵向总长度为(24+4x)米，依题意得(30+4x+24+4x)x=80，整理得4x2+27x−40=0，解得x1=−8(舍去)，x2=54．
9.【答案】A
【解析】解：设动点P，Q运动t秒后，能使四边形APQC的面积为9cm2，
则BP为(8−t)cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
12×6×8−12×(8−t)×2t=9，
解得t1=3，t2=5(当t=5时，BQ=10，不合题意，舍去)．
∴动点P，Q运动3秒时，能使四边形APQC的面积为9cm2．
故选：A．
设出动点P，Q运动t秒，能使四边形APQC的面积为9cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．
10.【答案】C
【解析】解：设该校2020年学生数为1，则该校2021年学生数为(1+8.5%)，2022年学生数为(1+8.5%)(1+9.6%)，
根据题意得：(1+x)2=(1+8.5%)(1+9.6%)．
设该校2020年学生数为1，则该校2021年学生数为(1+8.5%)，2022年学生数为(1+8.5%)(1+9.6%)，利用该校2022年学生数=该校2020年学生数×(1+2021、2022这两年该校学生数平均增长率)2，可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：依题意得：1.98(1+x)2=16.9．
故选：C．
利用2021年我国海上风电新增装机容量=2019年我国海上风电新增装机容量×(1+平均增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要掌握长方形的面积=长×宽．根据长方形的周长可以用x表示另一边长，然后根据面积公式即可列出方程．
【解答】
解：设该矩形一边长为x cm，
∵长方形的周长为40cm，
∴宽为(402−x)cm，
得x(402−x)=75．
故选：C．
13.【答案】x(x+1)=72
【解析】【分析】设个位数字为x，则十位数字为 x+1 ，再由个位数字与十位数字的乘积等于72列出方程即可．
【详解】解：设个位数字为x，则十位数字为 x+1 ，
由题意得 x(x+1)=72 ，
故答案为： x(x+1)=72 ．
14.【答案】32
【解析】解：∵三角形为等边三角形，截取的三个筝形面积相等，折叠后是一个三棱柱．设筝形较短边为x，筝形较长边为 3x，纸盒侧面积=3x(6−2 3x)=−6 3x2+18x=9 32，4x2−4 3x+3=0，(2x− 3)2=0，x= 32，
∴筝形较长边为 3x=32时，该纸盒侧面积为9 32．
15.【答案】50(1+x)2=72
【解析】【分析】可先表示出第一次涨价后的价格，然后可得第二次涨价后的价格，根据两次连续涨价，每件售价由原来的50元涨到了72元列方程即可．
【详解】解：设平均每次涨价的百分率为x，
则第一次涨价后的价格为 50(1+x) ，第二次涨价后的价格为 50(1+x)2 ，
∴可列方程为 50(1+x)2=72 ，
故答案为： 50(1+x)2=72 ．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为 a(1±x)2=b ．
16.【答案】 3
【解析】本题考查了矩形、正方形的性质，一元二次方程的应用．根据正方形的面积可得正方形ABCD的边长为5，再根据正方形ABCD和矩形AEGF的周长相等，可得AE=5−a，再由矩形的面积建立方程求解即可得出答案．
解：∵正方形ABCD的面积为25，
∴正方形ABCD的边长为5，
由题意，得DF=a,AF=5+a，
∵正方形ABCD和矩形AEGF的周长相等，
∴2AE+AF=5×4，
∴AE=5−a，
∵矩形AEGF的面积为22，
∴AE⋅AF=22，即5−a5+a=22，
解得：a1= 3,a2=− 3，
∵a>0，
∴a= 3，
故答案为： 3．
17.【答案】解：(1)由题知，450+450×12%=504(万元)．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
(2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，
依题意得350(1+x)2=504，
解得x1=0.2=20%，x2=−2.2(不合题意，舍去)，
答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．
【解析】本题考查一元二次方程的应用．
(1)根据该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额=前六天的总营业额+第七天的营业额，即可求出结论；
(2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，根据该商店去年7月份及9月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
18.【答案】【小题1】
解：设降价x元．由题意，得50=40+2x，
解得x=5．
答：应降价5元；
【小题2】
设降价x元．由题意，得(110−x−50)(40+2x)=(110−50)×40+600，
即x2−40x+300=0，(x−10)(x−30)=0，
∴x1=10，x2=30．
∵要尽快减少库存，∴x=30．
答：每件应降价30元．

【解析】1. 见答案
2. 见答案
19.【答案】设售价为x元，(x−8)(200−x−101×20)=640，
整理得：(x−8)(400−20x)=640，
∴x2−28x+192=0，∴x1=12，x2=16．
故将每件售价定为12或16元时，才能使每天利润为640元．原价为10元，
∴12−10=2(元)，16−10=6(元)，
答：应将商品的售价提高2元或6元．

【解析】见答案
20.【答案】解：设AB的长为x米，则边BC的长为(34−3x+2)米，由题意，得
(34−3x+2)x=96，解得x1=4，x2=8，
∵当x=4时，34−3x+2=24>20，
∴x1=4舍去，
∴当x=8时，34−3x+2=12<20，
∴x2=8符合题意．
答：AB的长为8米．

【解析】见答案
21.【答案】解：设应邀请x个球队参赛，依题意，得12x(x−1)=21，解得x1=−6(舍去)，x2=7．
答：应邀请7个球队参赛．

【解析】见答案
22.【答案】【小题1】
图2
【小题2】
图1中裁去的小正方形边长为1.5cm，做成的纸盒的底面积=(12−3)(10−3)=63(cm2)；
【小题3】
设剪去的小正方形的边长为xcm，则有(12−2x)×(10−2x)=24×2，解得x=2或x=9(舍去)，∴小正方形的边长为2cm．

【解析】1.
解：做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是图2；
2. 见答案
3. 见答案
23.【答案】【小题1】
280
【小题2】
设每千克“阳光玫瑰”葡萄售价降低x元，
则每千克的销售利润为(40−x−20)元，
日销售量为(200+20x)千克，
根据题意，得(40−x−20)(200+20x)=(40−20)×200，整理得x2−10x=0，
解得x1=0(不符合题意，舍去)，x2=10．
答：若日利润保持不变，每千克“阳光玫瑰”葡萄售价可降低10元；
【小题3】
设该商品需要打y折销售，根据题意，得50×y10≤40−10，解得y≤6，
∴y的最大值为6．
答：该商品至少需打六折销售．

【解析】1.
解：若每千克售价为36元，每天可卖出(40−36)×20+200=280千克；
2. 见答案
3. 见答案
24.【答案】【小题1】
解：∵第一轮转发了x个人，第二轮转发了x2个人，
∴1+x+x2=111，
解得x1=10，x2=−11(舍)，
∴x的值为10；
【小题2】
∵103=1000，104=10000，
1+102+103<10000，
∴第四轮转发后参与人数会超过10000人，
∴再经过两轮转发后，参与人数会超过10000人．

【解析】1. 见答案
2. 见答案
25.【答案】【小题1】
解：y=−2x2+120x−1600；
【小题2】
−2x2+120x−1600=150，解得x1=35，x2=25，要保证销售量尽可能大，x尽量小，
∴应将销售单价定位为25元．

【解析】1. 见答案
2. 见答案