新八年级数学讲义第2讲全等三角形-提高班(学生版+解析)

这是一份新八年级数学讲义第2讲全等三角形-提高班(学生版+解析)，共28页。学案主要包含了全等形，全等三角形，对应顶点，对应边，对应角，全等三角形的性质等内容，欢迎下载使用。


1 全等三角形
一、全等形
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.
要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.
二、全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
三、对应顶点，对应边，对应角
1. 对应顶点，对应边，对应角定义
两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.
要点诠释：
在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.
2. 找对应边、对应角的方法
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
（3）有公共边的，公共边是对应边；
（4）有公共角的，公共角是对应角；
（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；
（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.
四、全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等；
全等三角形的对应角相等.
要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.
【例题精选】
例1 (2023秋•柯桥区期末）△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12，若AC＝3，EF＝4，AB＝________．
例2 (2023秋•江津区期末）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为_________．
【随堂练习】
1.(2023秋•包河区期末）如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，∠EAC＝40°，则∠B的度数为________．
2．(2023秋•东台市期末）△ABC≌△DEF，下列结论中不正确的是（ ）
A．AB＝DEB．BE＝CFC．BC＝EFD．AC＝DE
3．(2023秋•北仑区期末）如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝40°，
则∠AED的度数是（ ）
A．70°B．68°C．65°D．60°
2全等三角形的判定与性质
全等三角形的判定方法有SAS,ASA, AAS ,SSS
【例题精选】
例1(2023•云南模拟）点C是AE的中点，∠A＝∠ECD，AB＝CD，求证：△ABC≌△CDE．
例2(2023秋•蜀山区期末）已知，如图，AC、BD相交于点E，EA＝ED，EB＝EC．
求证：△ABC≌△DCB．
【随堂练习】
1．(2023秋•岑溪市期末）如图，线段AD与BC相交于点O，连接AB、CD，且OB＝OC，要使△AOB≌△DOC，应添加一个条件，不能证明△MOB≌△COD的是（ ）
A．∠A＝∠DB．AO＝DOC．∠B＝∠CD．AB＝CD
2．(2023秋•谢家集区期末）如图，已知AB＝DE，∠1＝∠2．若要得到△ABC≌△DEF，则下列条件中不符合要求的是（ ）
A．∠A＝∠DB．∠C＝∠FC．AC＝DFD．CE＝FB
3．(2023秋•白云区期末）如图，点C是以AB的中点，AD＝BE，CD＝CE，则图中全等三角形共有（ ）
A．2对B．3对C．4对D．5对
4．(2023春•毕节市期中）如图，已知AC＝AD，∠ACB＝∠ADB＝90°，则全等三角形共有（ ）
A．1对B．2对C．3对D．4对
3直角三角形全等
除了前面所学的全等条件外，直角三角形还有一种判定是HL 即两个直角三角形中，有一组斜边和直角边对应相等，则这两个直角三角形也全等。
【例题精选】
例1(2023秋•诸城市期末）如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是（ ）
A．AB＝DCB．∠A＝∠DC．∠B＝∠CD．AE＝BF
例2(2023秋•九龙坡区校级期中）下列说法正确的是（ ）
A．顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等
B．两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．周长相等的两个三角形全等
D．斜边对应相等的两个直角三角形全等
【随堂练习】
1．(2023秋•青龙县期末）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件___________．
2．(2023秋•肇庆期末）如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC＝BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是___________．
4全等三角形的应用
会利用三角形全等的判定与性质来解决实际问题
【例题精选】
例1(2023秋•海淀区期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘
外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在
一条直线上．若想知道两点A，B的距离，只需要测量出线段________即可．
例2(2023秋•昌平区期末）如图，某人将一块三角形玻璃打碎成两块，带________块（填序号）能到玻璃店配一块完全一样的玻璃，用到的数学道理是_________．
【随堂练习】
1．(2023秋•邢台期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的到刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线OC由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
2．(2023秋•东湖区期末）如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，可以证明△EDC≌△ABC，得到ED＝AB，因此测得ED的长就是AB的长（如图），判定△EDC≌△ABC的理由是（ ）
A．SASB．ASAC．SSSD．HL
综合练习
一．选择题（共3小题）
1．如图，用直尺和圆规作射线OC，使它平分∠AOB，则△ODC≌△OEC的理由是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．HL
2．如图，AB＝DB，∠ABD＝∠CBE，①BE＝BC，②∠D＝∠A，③∠B＝∠E，④AC＝DE，能使△ABC≌△DBE的条件有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
3．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，∠CAD＝25°，则∠ABE的度数为（ ）
A．30°B．15°C．25°D．20°
二．填空题
4．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝ ．
三．解答题（共3小题）
5．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2．求证：∠EDC＝∠C．
6．已知锐角△ABC，∠ABC＝45°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，交AD于F．
（1）求证：△BDF≌△ADC；
（2）若BD＝4，DC＝3，求线段BE的长度．
7．问题情境：小明和小丽共同探究一道数学题：如图①，在△ABC中，点D是边BC的中点，∠BAD＝65°，∠DAC＝50°，AD＝2，求AC的长为多少．
探索发现；
小明的思路是：延长AD至点E，使DE＝AD，构造全等三角形．
小丽的思路是：过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造全等三角形．
选择小明、小丽其中一人的方法解决问题情境中的问题．
类比应用：如图②，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点O是BD的中点，AB⊥AC．若∠CAD＝45°，∠ADC＝67.5°，AO＝2，则BC的长为 ．
第2讲 全等三角形
1 全等三角形
一、全等形
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.
要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.
二、全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
三、对应顶点，对应边，对应角
1. 对应顶点，对应边，对应角定义
两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.
要点诠释：
在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.
2. 找对应边、对应角的方法
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
（3）有公共边的，公共边是对应边；
（4）有公共角的，公共角是对应角；
（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；
（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.
四、全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等；
全等三角形的对应角相等.
要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.
【例题精选】
例1 (2023秋•柯桥区期末）△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12，若AC＝3，EF＝4，AB＝________．
分析：根据全等三角形的性质求出BC，根据三角形的周长公式计算．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF＝4，
由题意得，AB+BC+AC＝12，
∴AB＝12﹣3﹣4＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
例2 (2023秋•江津区期末）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为_________．
分析：根据全等三角形的性质得到DB＝AC＝7，结合图形计算即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DCB，
∴DB＝AC＝7，
∴DE＝BD﹣BE＝7﹣5＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
【随堂练习】
1.(2023秋•包河区期末）如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，∠EAC＝40°，则∠B的度数为________．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠EAC，
∵∠EAC＝40°，
∴∠BAD＝40°，
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝70°，
故答案为：70°．
2．(2023秋•东台市期末）△ABC≌△DEF，下列结论中不正确的是（ ）
A．AB＝DEB．BE＝CFC．BC＝EFD．AC＝DE
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，
∴BE＝CF，
故A，B，C正确，
故选：D．
3．(2023秋•北仑区期末）如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝40°，
则∠AED的度数是（ ）
A．70°B．68°C．65°D．60°
【解答】解：∵△ABC≌△AED，
∴∠AED＝∠B，AE＝AB，∠BAC＝∠EAD，
∴∠1＝∠BAE＝40°，
∴△ABE中，∠B＝＝70°，
∴∠AED＝70°，
故选：A．
2全等三角形的判定与性质
全等三角形的判定方法有SAS,ASA, AAS ,SSS
【例题精选】
例1(2023•云南模拟）点C是AE的中点，∠A＝∠ECD，AB＝CD，求证：△ABC≌△CDE．
分析：根据中点的定义和全等三角形的判定解答即可．
【解答】证明：∵点C是AE的中点，
∴AC＝CE，
在△ACB与△CED中
，
∴△ABC≌△CDE（SAS）．
【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定方法解答．
例2(2023秋•蜀山区期末）已知，如图，AC、BD相交于点E，EA＝ED，EB＝EC．
求证：△ABC≌△DCB．
分析：先利用“SAS”证明△AEB≌△DEC得到∠BAE＝∠CDE，AB＝CD，再证明AC＝BD，然后利用“SAS”证明△ABC≌△DCB．
【解答】证明：在△AEB和△DEC中
，
∴△AEB≌△DEC（SAS），
∴∠BAE＝∠CDE，AB＝CD，
∵EA＝ED，EB＝EC，
∴AC＝BD，
在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌△DCB（SAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
【随堂练习】
1．(2023秋•岑溪市期末）如图，线段AD与BC相交于点O，连接AB、CD，且OB＝OC，要使△AOB≌△DOC，应添加一个条件，不能证明△MOB≌△COD的是（ ）
A．∠A＝∠DB．AO＝DOC．∠B＝∠CD．AB＝CD
【解答】解：A、若∠A＝∠D，且∠AOB＝∠DOC，OB＝OC，由“AAS”可证△MOB≌△COD，故选项A不符合题意；
B、若AO＝DO，且∠AOB＝∠DOC，OB＝OC，由“SAS”可证△MOB≌△COD，故选项B不符合题意；
C、若∠B＝∠C，且∠AOB＝∠DOC，OB＝OC，由“ASA”可证△MOB≌△COD，故选项C不符合题意；
D、若AB＝CD，且∠AOB＝∠DOC，OB＝OC，不能证明△MOB≌△COD，故选项D符合题意；
故选：D．
2．(2023秋•谢家集区期末）如图，已知AB＝DE，∠1＝∠2．若要得到△ABC≌△DEF，则下列条件中不符合要求的是（ ）
A．∠A＝∠DB．∠C＝∠FC．AC＝DFD．CE＝FB
【解答】解：A、添加∠A＝∠D，根据ASA可以判定△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意．
B、添加∠C＝∠F，根据AAS可以判定△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意．
C、添加AC＝DF，根据SSA不可以判定△ABC≌△DEF，故本选项符合题意．
D、添加CE＝FB可以得到BC＝EF，根据SAS可以判定△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．(2023秋•白云区期末）如图，点C是以AB的中点，AD＝BE，CD＝CE，则图中全等三角形共有（ ）
A．2对B．3对C．4对D．5对
【解答】解：∵点C是以AB的中点，
∴AC＝BC，
∵AD＝BE，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SSS），
∴∠D＝∠E，∠A＝∠B，∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACG＝∠BCH，
∴△ACG≌△BCH（ASA），
∴CG＝CH，
∴EG＝DH，△ECH≌△DCG（ASA），
∵∠EFG＝∠DFH，
∴△EFG≌△DFH（AAS）；
∴图中全等三角形共有4对，
故选：C．
4．(2023春•毕节市期中）如图，已知AC＝AD，∠ACB＝∠ADB＝90°，则全等三角形共有（ ）
A．1对B．2对C．3对D．4对
【解答】解：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝AB，AC＝AD，
∴Rt△ACB≌Rt△ADB（HL），
∴BC＝BD，∠CAB＝∠DAB，∠ABC＝∠ABD，
∵AC＝AD，∠CAE＝∠DAE，
∴△ACE≌△ADE（SAS），
∵BC＝BD，∠CBE＝∠DBE，BE＝BE，
∴△BCE≌△BDE（SAS）．
故选：C．
3直角三角形全等
除了前面所学的全等条件外，直角三角形还有一种判定是HL 即两个直角三角形中，有一组斜边和直角边对应相等，则这两个直角三角形也全等。
【例题精选】
例1(2023秋•诸城市期末）如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是（ ）
A．AB＝DCB．∠A＝∠DC．∠B＝∠CD．AE＝BF
分析：根据垂直定义求出∠CFD＝∠AEB＝90°，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
【解答】解：条件是AB＝CD，
理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD＝∠AEB＝90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．
例2(2023秋•九龙坡区校级期中）下列说法正确的是（ ）
A．顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等
B．两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．周长相等的两个三角形全等
D．斜边对应相等的两个直角三角形全等
分析：根据全等三角形的判定定理进行解答．
【解答】解：A、根据全等三角形的判定定理SAS可以判定两个等腰三角形全等，故本选项符合题意．
B、该角是两边的夹角时方可推知这两个三角形全等，负责不能推知全等，故本选项不符合题意．
C、周长相等的两个三角形的大小和形状不一定相同，不能判断全等，故本选项不符合题意．
D、斜边对应相等的两个直角三角形的两直角边不一定对应相等，不能判断全等，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【随堂练习】
1．(2023秋•青龙县期末）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件___________．
【解答】解：还需添加条件AB＝AC，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
故答案为：AB＝AC．
【点评】此题主要考查了直角三角形全等的判定，关键是正确理解：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
2．(2023秋•肇庆期末）如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC＝BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是___________．
【解答】解：AC＝DE，
理由是：∵AB⊥DC，
∴∠ABC＝∠DBE＝90°，
在Rt△ABC和Rt△DBE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DBE（HL）．
故答案为：AC＝DE．
4全等三角形的应用
会利用三角形全等的判定与性质来解决实际问题
【例题精选】
例1(2023秋•海淀区期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘
外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在
一条直线上．若想知道两点A，B的距离，只需要测量出线段________即可．
分析：根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
【解答】解：利用CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，即两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法，可以证明△ABC≌△EDC，
故想知道两点A，B的距离，只需要测量出线段DE即可．
故答案为：DE．
【点评】此题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时注意选择．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
例2(2023秋•昌平区期末）如图，某人将一块三角形玻璃打碎成两块，带________块（填序号）能到玻璃店配一块完全一样的玻璃，用到的数学道理是_________．
分析：已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
【解答】解：第①块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块不能配一块与原来完全一样的；
第②块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带②去．
故答案为：②，ASA．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．

【随堂练习】
1．(2023秋•邢台期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的到刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线OC由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【解答】解：∵在△ONC和△OMC中，
∴△MOC≌△NOC（SSS），
∴∠BOC＝∠AOC，
故选：A．
2．(2023秋•东湖区期末）如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，可以证明△EDC≌△ABC，得到ED＝AB，因此测得ED的长就是AB的长（如图），判定△EDC≌△ABC的理由是（ ）
A．SASB．ASAC．SSSD．HL
【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：B．
综合练习
一．选择题（共3小题）
1．如图，用直尺和圆规作射线OC，使它平分∠AOB，则△ODC≌△OEC的理由是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．HL
【解答】解：由作图可知，OE＝OD，DC＝EC，
在△ODC与△OEC中
，
∴△ODC≌△OEC（SSS），
故选：A．
2．如图，AB＝DB，∠ABD＝∠CBE，①BE＝BC，②∠D＝∠A，③∠B＝∠E，④AC＝DE，能使△ABC≌△DBE的条件有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：∵AB＝DB，∠ABD＝∠CBE，
∴∠ABC＝∠DBE，
∵BE＝BC，利用SAS可得△ABC≌△DBE；
∵∠D＝∠A，利用ASA可得△ABC≌△DBE；
∵∠B＝∠E，利用AAS可得△ABC≌△DBE；
故选：C．
3．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，∠CAD＝25°，则∠ABE的度数为（ ）
A．30°B．15°C．25°D．20°
【解答】解：证明：∵AD⊥BC，
∴∠BDF＝∠ADC，
又∵∠BFD＝∠AFE，
∴∠CAD＝∠FBD，
在△BDF和△ACD中
，
∴△BDF≌△ACD （AAS）
∴∠DBF＝∠CAD＝25°，
∵DB＝DA，∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝45°，
∴∠ABE＝∠ABD﹣∠DBF＝20°
故选：D．
二．填空题（共1小题）
4．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝ 35 °．
【解答】解：作MN⊥AD于N，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴AB∥CD，
∴∠DAB＝180°﹣∠ADC＝70°，
∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，
∴MN＝MC，
∵M是BC的中点，
∴MC＝MB，
∴MN＝MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，
∴∠MAB＝∠DAB＝35°，
故答案为：35
三．解答题（共3小题）
5．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2．求证：∠EDC＝∠C．
【解答】证明：∵∠ADE＝∠1+∠DCE＝∠2+∠BDE，且∠1＝∠2，
∴∠DCE＝∠BDE，且∠A＝∠B，AE＝BE，
∴△BDE≌△ACE（AAS）
∴DE＝EC
∴∠EDC＝∠C
6．已知锐角△ABC，∠ABC＝45°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，交AD于F．
（1）求证：△BDF≌△ADC；
（2）若BD＝4，DC＝3，求线段BE的长度．
【解答】证明：（1）∵AD⊥BC，∠ABC＝45°
∴∠ABC＝∠BAD＝45°，
∴AD＝BD，
∵DA⊥BC，BE⊥AC
∴∠C+∠DAC＝90°，∠C+∠CBE＝90°
∴∠CBE＝∠DAC，且AD＝BD，∠ADC＝∠ADB＝90°
∴△BDF≌△ADC（ASA）
（2）∵△BDF≌△ADC
∴AD＝BD＝4，CD＝DF＝3，BF＝AC
∴BF＝＝5
∴AC＝5，
∵S△ABC＝×BC×AD＝×AC×BE
∴7×4＝5×BE
∴BE＝
7．问题情境：小明和小丽共同探究一道数学题：如图①，在△ABC中，点D是边BC的中点，∠BAD＝65°，∠DAC＝50°，AD＝2，求AC的长为多少．
探索发现；
小明的思路是：延长AD至点E，使DE＝AD，构造全等三角形．
小丽的思路是：过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造全等三角形．
选择小明、小丽其中一人的方法解决问题情境中的问题．
类比应用：如图②，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点O是BD的中点，AB⊥AC．若∠CAD＝45°，∠ADC＝67.5°，AO＝2，则BC的长为 ．
【解答】解：探索发现：
小明的方法：如图1，延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE．
在△ABD和△ECD中
∴△ABD≌△ECD（SAS）．
∴∠CED＝∠BAD＝65°．
在△ACE中，∠ACE＝180°﹣50°﹣65°＝65°，
∴∠ACE＝∠AEC，∴AC＝AE＝2AD＝4．
小丽的方法：如图1，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，连接CE，
∴△ABD≌△ECD（ASA）．
∴AD＝ED＝2，即AE＝4．
∵CE∥AB，
∴∠CED＝∠BAD＝65°．
在△ACE中，∠ACE＝180°﹣50°﹣65°＝65°，
∴∠ACE＝∠AEC，∴AC＝AE＝2AD＝4．
类比应用：
如图2，过D点作DF∥BA交AC于F点，则DF⊥AC．
在△ABO和△FDO中，
∴△ABO≌△FDO（AAS）．
∴AO＝FO，AF＝4．AB＝DF．
在等腰Rt△ADF中，DF＝AF＝4，则AB＝4．
利用勾股定理可得AD＝4．
在△ADC中，∠ACD＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴AC＝AD＝4．
在Rt△ABC中，利用勾股定理得BC2＝AB2+AC2，
BC＝＝4．
故答案为．