七年级数学暑期精品讲义第10讲.几何初步--点、线--提高班(学生版+解析)

这是一份七年级数学暑期精品讲义第10讲.几何初步--点、线--提高班(学生版+解析)，共26页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。


1图形的认识
图形分类
几何图形：长方体、圆柱、球、长（正）方形、圆、线段、点等，以及小学学习过的三角形、四边形等，都是从形形色色的物体外形中得出的，它们都是几何图形．
立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形．棱柱、棱锥也是常见的立体图形．如下图中的这些生活中常见的物体都是立体图形．

平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们都是平面图形．如下面这些图形：
立体图形与平面图形的联系：
立体图形中某些部分是平面图形，例如长方体的侧面是长方形；
对于一些立体图形，常把它们转化为平面图形来研究和处理．从不同方向来看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形；
有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以张开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．
【例题精选】
例1(2023秋•金牛区期末）下列几何体中，是圆锥的为（ ）
A．B．
C．D．
例2(2023秋•房山区期末）下列几何体中，是圆锥的为（ ）
A．B．
C．D．
【随堂练习】
1．(2023秋•沙河市期末）下列几何体中，面的个数最少的是（ ）
A．B．
C．D．
2点、线、面、体
体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，简称体．
面：包围着体的是面，面有平面和曲面两种．
线：面与面相交的地方形成线．
点：线与线相交的地方是点．
点、线、面、体的关系：点动成线，线动成面，面动成体．
【例题精选】
例1 (2023秋•海港区期末）如图，将直角三角形绕其斜边旋转一周，得到的几何体为（ ）
A．B．C．D．
例2(2023秋•中山区期末）三角形ABC绕BC旋转一周得到的几何体为（ ）
A．B．C．D．
【随堂练习】
1．(2023秋•张店区期末）把一枚硬币在桌面上竖直快速旋转后所形成的几何体是（ ）
A．圆柱B．圆锥C．球D．正方体
2．(2023秋•洛宁县期末）圆柱是由长方形绕着它的一边所在直线旋转一周所得到的，那么下列四个选项绕直线旋转一周可以得到如图立体图形的是（ ）
A．B．C．D．
3直线、射线、线段
直线、射线、线段的概念
在直线的基础上定义射线、线段：
直线上的一点和这点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点．
直线上两点和中间的部分叫线段，这两个点叫线段的端点．
在线段的基础上定义直线、射线：
把线段向一方无限延伸所形成的图形叫射线．
把线段向两方无限延伸所形成的图形是直线．
直线
点的表示方法：我们经常用一个大写的英文字母表示点：，，，， ．
关于直线的基本事实：
经过两点有一条直线，并且只有一条直线，也称为“两点确定一条直线”．
直线的表示方法：
用一个小写字母来表示，如下图表示为直线．
注意：在直线的表示前面必须加上“直线”二字．
用一条直线上的两点来表示这条直线，如下图表示为直线．
注意：是两个大写字母，不分先后顺序，因此也可以写作直线．
点与直线的关系：
一个点在一条直线上，也可以说这条直线经过这个点．
一个点在一条直线外，也可以说直线不经过这个点．
相交：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点
射线
射线的表示方法：
用一个小写字母来表示，如下图表示为射线．
注意：在射线的表示前面必须加上“射线”二字．
用射线的端点和射线上的一点来表示，如下图表示为射线．
注意：第一个大写字母表示射线的端点，第二个大写字母表示射线上的点，因此两个字母分先后顺序，不能写作射线．
线段
线段的表示方法：
用一个小写字母来表示：如下图表示为线段．
注意：在线段的表示前面必须加上“线段”二字．
用线段上的两点来表示这个线段，如下图表示为线段．
注意：是两个大写字母，不分先后顺序，因此也可以写作线段．
线段长短的比较
测量法：用刻度尺分别测量出线段的长度，通过长度来比较线段的长短；
作图法：把其中一条线段移到另一条上作比较．
尺规作图：用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图．
中点：把线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点．
，
三等分点：把线段分成三条相等的线段的两个点叫做这条线段的三等分点．
，
关于线段的基本事实：
两点的所有连线中，线段最短，简称“两点之间，线段最短”．
两点的距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．
直线、射线、线段的主要区别：
【例题精选】
例1(2023秋•呼和浩特期末）点A，B，C在同一直线上，已知AB＝3cm，BC＝1cm，则线段AC的长是（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．2cm或4cm
例2(2023秋•潍坊期末）下列数学语言，不正确的是（ ）
A．画直线MN，在直线MN上任取一点P
B．以点M为端点画射线MA
C．直线a，b相交于点m
D．延长线段MN到点P，使NP＝MN
【随堂练习】
1．(2023秋•新乡期末）同一直线上有A、B、C三点，已知线段AB＝5cm，线段AC＝4cm，则线段BC的长度为（ ）
A．9cmB．1cmC．9cm或1cmD．无法确定
2．(2023秋•盘龙区期末）如图，点C是AB的中点，点D是BC的中点，现给出下列等式：①CD＝AC﹣DB，②CD＝AB，③CD＝AD﹣BC，④BD＝2AD﹣AB．其中正确的等式编号是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③④D．②③
综合应用
一．选择题（共5小题）
1．已知线段AB＝5cm，线段AC＝4cm，则线段BC的长度为（ ）
A．9cmB．1cmC．9cm或1cmD．无法确定
2．如图，C是线段AB上的点，D是线段AC的中点，E是线段BC的中点，若DE＝10，则AB的长为（ ）
A．10B．20C．30D．40
3．已知线段AB＝12cm．C是AB的中点．在线段AB上有一点D，且CD＝2cm．则AD的长是（ ）
A．8cmB．8cm或2cmC．8cm或4cmD．2cm或4cm
4．如图，点C是AB的中点，点D是BC的中点，现给出下列等式：①CD＝AC﹣DB，②CD＝AB，③CD＝AD﹣BC，④BD＝2AD﹣AB．其中正确的等式编号是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③④D．②③
5．直线a上有5个不同的点A、B、C、D、E，则该直线上共有（ ）条线段．
A．8B．9C．12D．10
二．解答题（共3小题）
6．如图，线段AB＝8，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点．
（1）求线段AD的长；
（2）若在线段AB上有一点E，CE＝BC，求AE的长．
7．已知线段AB＝16，在直线AB上截取线段BC＝10，点P、Q分別是AB、AC的中点．
（1）线段PQ的长度为 ；
（2）若AB＝m，BC＝n，其它条件不变，求线段PQ的长度；
（3）分析（1）（2）的结论，你从中发现了什么规律？
8．如图，直线1上有A，B两点，AB＝12cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB．
（1）OA＝ cm，OB＝ cm；
（2）若点C是线段AB上一点（点C不与点AB重合），且满足AC＝CO+CB，求CO的长；
（3）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s．设运动时间为t（s），当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．求当t为何值时，2OP﹣OQ＝4（cm）；
正方体
长方体
三棱柱
三棱锥
四棱锥
圆柱
圆锥
球
类型
端点
表示方法
是否可度量
是否可延长
直线
个
直线
直线或直线
否
无
射线
个
射线
射线，是端点
否
有反向延长线
线段
个
线段
线段或线段
是
有延长线及反向延长线
第10讲 几何图形初步
1图形的认识
图形分类
几何图形：长方体、圆柱、球、长（正）方形、圆、线段、点等，以及小学学习过的三角形、四边形等，都是从形形色色的物体外形中得出的，它们都是几何图形．
立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形．棱柱、棱锥也是常见的立体图形．如下图中的这些生活中常见的物体都是立体图形．

平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们都是平面图形．如下面这些图形：
立体图形与平面图形的联系：
立体图形中某些部分是平面图形，例如长方体的侧面是长方形；
对于一些立体图形，常把它们转化为平面图形来研究和处理．从不同方向来看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形；
有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以张开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．
【例题精选】
例1(2023秋•金牛区期末）下列几何体中，是圆锥的为（ ）
A．B．
C．D．
分析：根据圆锥的定义解答．
【解答】解：观察可知，C选项图形是圆锥．
故选：C．
【点评】本题考查了认识立体图形，熟悉常见的立体图形是解题的关键．
例2(2023秋•房山区期末）下列几何体中，是圆锥的为（ ）
A．B．
C．D．
分析：依据圆锥的特征进行判断即可，圆锥有2个面，一个曲面和一个平面．
【解答】解：A．属于圆柱，不合题意；
B．属于圆锥，符合题意；
C．属于长方体（四棱柱），不合题意；
D．属于四棱锥，不合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了立体图形，解决问题的关键是掌握圆锥的特征．
【随堂练习】
1．(2023秋•沙河市期末）下列几何体中，面的个数最少的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：三棱柱有5个面；长方体有6个面；圆锥有一个曲面和一个底面共2个面；圆柱有一个侧面和两个底面共3个面，
面的个数最少的是圆锥，
故选：C．
2点、线、面、体
体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，简称体．
面：包围着体的是面，面有平面和曲面两种．
线：面与面相交的地方形成线．
点：线与线相交的地方是点．
点、线、面、体的关系：点动成线，线动成面，面动成体．
【例题精选】
例1 (2023秋•海港区期末）如图，将直角三角形绕其斜边旋转一周，得到的几何体为（ ）
A．B．C．D．
分析：根据面动成体的原理：一个直角三角形绕它的最长边旋转一周，得到的是两个有公共底面且相连的圆锥．
【解答】解：将直角三角形绕斜边所在直线旋转一周得到的几何体为：
故选：D．
【点评】本题主要考查了面动成体，解决本题的关键是掌握各种面动成体的体的特征．
例2(2023秋•中山区期末）三角形ABC绕BC旋转一周得到的几何体为（ ）
A．B．C．D．
分析：由图形旋转的特点即可求解．
【解答】解：由图形的旋转性质，可知△ABC旋转后的图形为C，
故选：C．
【点评】本题考查图形的旋转；掌握图形旋转的特点是解题的关键．
【随堂练习】
1．(2023秋•张店区期末）把一枚硬币在桌面上竖直快速旋转后所形成的几何体是（ ）
A．圆柱B．圆锥C．球D．正方体
【解答】解：把一枚硬币在桌面上竖直快速旋转后所形成的几何体是球，
故选：C．
2．(2023秋•洛宁县期末）圆柱是由长方形绕着它的一边所在直线旋转一周所得到的，那么下列四个选项绕直线旋转一周可以得到如图立体图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由长方形绕着它的一边所在直线旋转一周可得到圆柱体，如图立体图形是两个圆柱的组合体，
则需要两个一边对齐的长方形，绕对齐边所在直线旋转一周即可得到，
故选：A．
3直线、射线、线段
直线、射线、线段的概念
在直线的基础上定义射线、线段：
直线上的一点和这点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点．
直线上两点和中间的部分叫线段，这两个点叫线段的端点．
在线段的基础上定义直线、射线：
把线段向一方无限延伸所形成的图形叫射线．
把线段向两方无限延伸所形成的图形是直线．
直线
点的表示方法：我们经常用一个大写的英文字母表示点：，，，， ．
关于直线的基本事实：
经过两点有一条直线，并且只有一条直线，也称为“两点确定一条直线”．
直线的表示方法：
用一个小写字母来表示，如下图表示为直线．
注意：在直线的表示前面必须加上“直线”二字．
用一条直线上的两点来表示这条直线，如下图表示为直线．
注意：是两个大写字母，不分先后顺序，因此也可以写作直线．
点与直线的关系：
一个点在一条直线上，也可以说这条直线经过这个点．
一个点在一条直线外，也可以说直线不经过这个点．
相交：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点
射线
射线的表示方法：
用一个小写字母来表示，如下图表示为射线．
注意：在射线的表示前面必须加上“射线”二字．
用射线的端点和射线上的一点来表示，如下图表示为射线．
注意：第一个大写字母表示射线的端点，第二个大写字母表示射线上的点，因此两个字母分先后顺序，不能写作射线．
线段
线段的表示方法：
用一个小写字母来表示：如下图表示为线段．
注意：在线段的表示前面必须加上“线段”二字．
用线段上的两点来表示这个线段，如下图表示为线段．
注意：是两个大写字母，不分先后顺序，因此也可以写作线段．
线段长短的比较
测量法：用刻度尺分别测量出线段的长度，通过长度来比较线段的长短；
作图法：把其中一条线段移到另一条上作比较．
尺规作图：用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图．
中点：把线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点．
，
三等分点：把线段分成三条相等的线段的两个点叫做这条线段的三等分点．
，
关于线段的基本事实：
两点的所有连线中，线段最短，简称“两点之间，线段最短”．
两点的距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．
直线、射线、线段的主要区别：
【例题精选】
例1(2023秋•呼和浩特期末）点A，B，C在同一直线上，已知AB＝3cm，BC＝1cm，则线段AC的长是（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．2cm或4cm
分析：本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，再根据题意画出的图形进行解答．
【解答】解：本题有两种情形：
（1）当点C在线段AB上时，如图，AC＝AB﹣BC，
又∵AB＝3cm，BC＝1cm，
∴AC＝3﹣1＝2cm；
（2）当点C在线段AB的延长线上时，如图，AC＝AB+BC，
又∵AB＝3cm，BC＝1cm，
∴AC＝3+1＝4cm．
故线段AC＝2cm或4cm．
故选：D．
【点评】考查了两点间的距离，在未画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
例2(2023秋•潍坊期末）下列数学语言，不正确的是（ ）
A．画直线MN，在直线MN上任取一点P
B．以点M为端点画射线MA
C．直线a，b相交于点m
D．延长线段MN到点P，使NP＝MN
分析：根据直线，射线，线段的定义即可得到结论．
【解答】解：A、画直线MN，在直线MN上任取一点P，正确；
B、以点M为端点画射线MA，正确；
C、直线a，b相交于点M，点应该用大写的英文字母表示，故错误；
D、延长线段MN到点P，使NP＝MN，正确；
故选：C．
【点评】本题考查了直线，射线，线段，熟记定义是解题的关键．
【随堂练习】
1．(2023秋•新乡期末）同一直线上有A、B、C三点，已知线段AB＝5cm，线段AC＝4cm，则线段BC的长度为（ ）
A．9cmB．1cmC．9cm或1cmD．无法确定
【解答】解：当点C在线段AB上时，则AB﹣AC＝BC，所以BC＝5cm﹣4cm＝1cm；
当点C在线段BA的延长线上时，则AC﹣BC＝AB，所以BC＝5cm+4cm＝9cm．
故选：C．
2．(2023秋•盘龙区期末）如图，点C是AB的中点，点D是BC的中点，现给出下列等式：①CD＝AC﹣DB，②CD＝AB，③CD＝AD﹣BC，④BD＝2AD﹣AB．其中正确的等式编号是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③④D．②③
【解答】解：①点C是AB的中点，AC＝CB．
②点C是AB的中点，∴，又∵点D是BC的中点，∴CD＝．故②正确；
③点C是AB的中点，AC＝CB．
CD＝AD﹣AC＝AD﹣BC，故③正确；
④2AD﹣AB＝2AC+2CD﹣AB＝2CD＝BC，故④错误．
故正确的有①②③．
故选：B．
综合应用
一．选择题（共5小题）
1．已知线段AB＝5cm，线段AC＝4cm，则线段BC的长度为（ ）
A．9cmB．1cmC．9cm或1cmD．无法确定
【解答】解：当点C在线段AB上时，则AB﹣AC＝BC，所以BC＝5cm﹣4cm＝1cm；
当点C在线段BA的延长线上时，则AC﹣BC＝AB，所以BC＝5cm+4cm＝9cm．
故选：C．
2．如图，C是线段AB上的点，D是线段AC的中点，E是线段BC的中点，若DE＝10，则AB的长为（ ）
A．10B．20C．30D．40
【解答】解：∵D是线段AC的中点，E是线段BC的中点，∴AD＝CD＝，BE＝CE＝，
∴DE＝CD+DE＝AB＝10，故AB＝20．
故选：B．
3．已知线段AB＝12cm．C是AB的中点．在线段AB上有一点D，且CD＝2cm．则AD的长是（ ）
A．8cmB．8cm或2cmC．8cm或4cmD．2cm或4cm
【解答】解：∵AB＝12cm．C是AB的中点，
∴AC＝＝6cm，
当点D在AC之间时，AD＝AC﹣CD＝6﹣2＝4cm；
当点D在BC之间时，AD＝AC+CD＝6+2＝8cm．
故AD的长为8cm或4cm．
故选：C．
4．如图，点C是AB的中点，点D是BC的中点，现给出下列等式：①CD＝AC﹣DB，②CD＝AB，③CD＝AD﹣BC，④BD＝2AD﹣AB．其中正确的等式编号是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③④D．②③
【解答】解：①点C是AB的中点，AC＝CB．
CD＝CB﹣BD＝AC﹣DB，故①正确；
②2AD﹣AB＝2×AB﹣AB＝AB﹣AB＝BC＝．故②正确；
③点C是AB的中点，AC＝CB．
CD＝AD﹣AC＝AD﹣BC，故③正确；
④2AD﹣AB＝2AC+2CD﹣AB＝2CD＝BC，故④错误．
故正确的有①②③．
故选：B．
5．直线a上有5个不同的点A、B、C、D、E，则该直线上共有（ ）条线段．
A．8B．9C．12D．10
【解答】解：根据题意画图：
由图可知有AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE，
共10条．
故选：D．
二．解答题（共3小题）
6．如图，线段AB＝8，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点．
（1）求线段AD的长；
（2）若在线段AB上有一点E，CE＝BC，求AE的长．
【解答】解：（1）∵AB＝8，C是AB的中点，
∴AC＝BC＝4，
∵D是BC的中点，
∴CD＝BC＝2，
∴AD＝AC+CD＝6；
（2）∵BC＝4，CE＝BC，
∴CE＝×4＝1，
当E在C的左边时，AE＝AC﹣CE＝4﹣1＝3；
当E在C的右边时，AE＝AC+CE＝4+1＝5．
∴AE的长为3或5．
7．已知线段AB＝16，在直线AB上截取线段BC＝10，点P、Q分別是AB、AC的中点．
（1）线段PQ的长度为 5cm ；
（2）若AB＝m，BC＝n，其它条件不变，求线段PQ的长度；
（3）分析（1）（2）的结论，你从中发现了什么规律？
【解答】解：（1）当点C在线段AB之间时，AB＝16，BC＝10，故AC＝16﹣10＝6cm，
∵P、Q分别是AB、AC的中点，
∴＝8cm，AQ＝＝3cm，
∴PQ＝AP﹣AQ＝8﹣3＝5cm；
当点C在线段AB的延长线上时，AB＝16，BC＝10，故AC＝AB+BC＝16+10＝26cm，
∵P、Q分别是AB、AC的中点，
∴＝8cm，AQ＝＝13cm，
∴PQ＝AQ﹣AP＝13﹣8＝5cm；
故答案为：5cm；
（2）当点C在线段AB之间时，AB＝m，BC＝n，故AC＝m﹣n，
∵P、Q分别是AB、AC的中点，
∴＝，AQ＝＝，
∴PQ＝AP﹣AQ═；
当点C在线段AB的延长线上时，AB＝m，BC＝n，故AC＝AB+BC＝m+n，
∵P、Q分别是AB、AC的中点，
∴＝，AQ＝＝，
∴PQ＝AQ﹣AP＝；
（3）规律：PQ的长度总是等于BC的一半．
8．如图，直线1上有A，B两点，AB＝12cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB．
（1）OA＝ 8 cm，OB＝ 4 cm；
（2）若点C是线段AB上一点（点C不与点AB重合），且满足AC＝CO+CB，求CO的长；
（3）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s．设运动时间为t（s），当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．求当t为何值时，2OP﹣OQ＝4（cm）；
【解答】解：（1）∵AB＝12cm，OA＝2OB，
∴OA+OB＝3OB＝AB＝12cm，解得OB＝4cm，
OA＝2OB＝8cm．
故答案为：8，4；
（2）设C点所表示的实数为x，
分两种情况：①点C在线段OA上时，则x＜0，
∵AC＝CO+CB，
∴8+x＝﹣x+4﹣x，
3x＝﹣4，
x＝；
②点C在线段OB上时，则x＞0，
∵AC＝CO+CB，
∴8+x＝4，
x＝﹣4（不符合题意，舍）．
故CO的长是；
（3）当0≤t＜4时，依题意有
2（8﹣2t）﹣（4+t）＝4，
解得t＝1.6；
当4≤t＜6时，依题意有
2（2t﹣8）﹣（4+t）＝4，
解得t＝8（不合题意舍去）；
当t≥6时，依题意有
2（2t﹣8）﹣（4+t）＝4，
解得t＝8．
故当t为1.6s或8s时，2OP﹣OQ＝4．
正方体
长方体
三棱柱
三棱锥
四棱锥
圆柱
圆锥
球
类型
端点
表示方法
是否可度量
是否可延长
直线
个
直线
直线或直线
否
无
射线
个
射线
射线，是端点
否
有反向延长线
线段
个
线段
线段或线段
是
有延长线及反向延长线