新八年级数学讲义第1讲三角形-满分班(学生版+解析)

这是一份新八年级数学讲义第1讲三角形-满分班(学生版+解析)，共18页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。

1 与三角形相关的线段
1.三角形三边的关系：
定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.
要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
2.三角形按“边”分类：

3.三角形的重要线段：
（1）三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.
（2）三角形的中线
三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线，
要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.
（3）三角形的角平分线
三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.
【例题精选】
例1(2023春•宜兴市期中）小晶有两根长度为5cm、8cm的木条，她想钉一个三角形的木框，现在有长度分别为2cm、3cm、8cm、15cm的木条供她选择，那她第三根应选择（ ）
A．2cmB．3cmC．8cmD．15cm
例2 (2023春•宜兴市期中）在如图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【随堂练习】
1．(2023•崇川区校级一模）若三角形的三边长分别为3，4，x，则x的值可能是（ ）
A．1B．6C．7D．10
2．(2023春•南岗区校级期中）图中能表示△ABC的BC边上的高的是（ ）
A．B．
C．D．
2 与三角形有关的角
1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
推论：1.直角三角形的两个锐角互余
2.有两个角互余的三角形是直角三角形
2.三角形外角性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.
【例题精选】
例1(2023•兴化市一模）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1＝________．
例2(2023秋•越秀区期末）如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝69°，求∠DAC的度数．
【随堂练习】
1．(2023秋•文山市期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A＝44°，∠1＝57°，则∠2＝_________．
3 多边形
多边形的内角和及外角和公式
1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．
要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；
(2)内角和定理的应用：
①已知多边形的边数，求其内角和；
②已知多边形内角和，求其边数.
2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
要点诠释：(1)外角和公式的应用：
①已知外角度数，求正多边形边数；
②已知正多边形边数，求外角度数.
(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：
①n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.
三角形的内角和与外角和
【例题精选】
例1(2023•潮南区模拟）如果一个多边形的每一个内角都等于135°，那么这个多边形是________边形．
例2(2023秋•昭阳区期末）已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是3：1，这个多边形的边数是（ ）
A．8B．9C．10D．12
【随堂练习】
1．(2023•北京模拟）若一个正多边形的一个内角是150°，则它的边数是（ ）
A．6B．10C．12D．16
2．(2023秋•九龙坡区期末）已知多边形的每一个外角都是72°，则该多边形的内角和是（ ）
A．700°B．720°C．540°D．1080°
3．(2023•安溪县一模）一个n边形的内角和为540°，则n的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
综合练习
一．选择题
1．三角形的高线、中线、角平分线都是（ ）
A．直线B．线段
C．射线D．以上情况都有
2．四边形剪去一个角后，内角和将（ ）
A．减少180°B．不变
C．增加180°D．以上都有可能
3．下列说法：①满足a+b＞c的a、b、c三条线段一定能组成三角形；②三角形的三条高交于三角形内一点；③三角形的外角大于它的任何一个内角，其中错误的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
4．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．80°B．90°C．100°D．110°
5．若某三角形两边的长分别是3和5，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．2B．7C．8D．1
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC和∠BAC的平分线交于一点O，∠ABO＝30°，则∠AOB的度数是（ ）
A．100°B．125°C．135°D．130°
7．下列各组数不可能是一个三角形的边长的是（ ）
A．7，8，9B．5，6，7C．3，4，5D．1，2，3
二．解答题
8．小明想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整．
在△ABC边BC上任取一点E，作DE∥AC交AB于点D，作EF∥AB交AC于点F．
∵DE∥AC，AB∥EF，
∴∠1＝ ，∠3＝ （ ）
∵AB∥EF，
∴∠4＝ （ ）
∵DE∥AC，
∴∠4＝ （ ）
∴∠2＝ ．（ ）
∵∠1+∠2+∠3＝180°，
∴∠A+∠B+∠C＝ ．
第1讲 三角形
1 与三角形相关的线段
1.三角形三边的关系：
定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.
要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
2.三角形按“边”分类：

3.三角形的重要线段：
（1）三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.
（2）三角形的中线
三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线，
要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.
（3）三角形的角平分线
三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.
【例题精选】
例1(2023春•宜兴市期中）小晶有两根长度为5cm、8cm的木条，她想钉一个三角形的木框，现在有长度分别为2cm、3cm、8cm、15cm的木条供她选择，那她第三根应选择（ ）
A．2cmB．3cmC．8cmD．15cm
分析：设第三根木条的长度为xcm，再由三角形的三边关系即可得出结论．
【解答】解：设第三根木条的长度为xcm，
则8﹣5＜x＜8+5，即3＜x＜13．
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
例2 (2023春•宜兴市期中）在如图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是（ ）
A．B．
C．D．
分析：根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可．
【解答】解：根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线垂足为D，
纵观各图形，A、B、D都不符合高线的定义，
C符合高线的定义．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．熟练掌握概念是解题的关键，三角形的高线初学者出错率较高，需正确区分，严格按照定义作图．
【随堂练习】
1．(2023•崇川区校级一模）若三角形的三边长分别为3，4，x，则x的值可能是（ ）
A．1B．6C．7D．10
【解答】解：∵4﹣3＝1，4+3＝7，
∴1＜x＜7，
∴x的值可能是6．
故选：B．
2．(2023春•南岗区校级期中）图中能表示△ABC的BC边上的高的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：图中能表示△ABC的BC边上的高的是AG．
故选：D．
2 与三角形有关的角
1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
推论：1.直角三角形的两个锐角互余
2.有两个角互余的三角形是直角三角形
2.三角形外角性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.
【例题精选】
例1(2023•兴化市一模）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1＝________．
分析：由三角形的内角和为180°即可得出∠2+∠3+45°＝180°结合∠2＝30°即可求出∠3的度数，再由∠1和∠3为对顶角即可得出∠1的度数．
【解答】解：给图中角标上序号，如图所示．
∵∠2+∠3+45°＝180°，∠2＝30°，
∴∠3＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
∴∠1＝∠3＝105°．
故答案为：105°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是利用三角形的内角和为180°求出∠3的度数．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据三角形的内角和以及另外两角的度数求出第三个角的度数是关键．
例2(2023秋•越秀区期末）如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝69°，求∠DAC的度数．
分析：先根据三角形外角性质，得出∠3＝∠4＝∠1+∠2＝2∠1，再根据三角形内角和定理，得出∠DAC+∠3+∠4＝180°，最后根据∠DAC+4∠1＝180°，以及∠BAC＝∠1+∠DAC＝69°，求得∠DAC的度数即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
而∠3＝∠1+∠2，
∴∠3＝∠4＝∠1+∠2＝2∠1，
在△ADC中，∠DAC+∠3+∠4＝180°，
∴∠DAC+4∠1＝180°，
∵∠BAC＝∠1+∠DAC＝69°，
∴∠1+180°﹣4∠1＝69°，
解得∠1＝37°，
∴∠DAC＝69°﹣37°＝32°．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形外角性质的综合应用，解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
【随堂练习】
1．(2023秋•文山市期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A＝44°，∠1＝57°，则∠2＝_________．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠B＝∠1＝57°，
由三角形的外角性质得，∠2＝∠A+∠B＝44°+57°＝101°．
故答案为：101°．
3 多边形
多边形的内角和及外角和公式
1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．
要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；
(2)内角和定理的应用：
①已知多边形的边数，求其内角和；
②已知多边形内角和，求其边数.
2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
要点诠释：(1)外角和公式的应用：
①已知外角度数，求正多边形边数；
②已知正多边形边数，求外角度数.
(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：
①n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.
三角形的内角和与外角和
【例题精选】
例1(2023•潮南区模拟）如果一个多边形的每一个内角都等于135°，那么这个多边形是________边形．
分析：先求出每一个外角的度数，再用360°除即可求出边数．
【解答】解：∵多边形的每一个内角都等于135°，
∴多边形的每一个外角都等于180°﹣135°＝45°，
∴边数n＝360°÷45°＝8．
故答案是：8．
【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键．
例2(2023秋•昭阳区期末）已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是3：1，这个多边形的边数是（ ）
A．8B．9C．10D．12
分析：设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，根据多边形的相邻的内角与外角互补可的方程x+3x＝180，解可得外角的度数，再用外角和除以外角度数即可得到边数．
【解答】解：设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，
由题意得：x+3x＝180，
解得x＝45，
这个多边形的边数：360°÷45°＝8，
故选：A．
【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握多边形的相邻的内角与外角互补．
【随堂练习】
1．(2023•北京模拟）若一个正多边形的一个内角是150°，则它的边数是（ ）
A．6B．10C．12D．16
【解答】解：外角是：180°﹣150°＝30°，
360°÷30°＝12．
则这个正多边形是正十二边形．
故选：C．
2．(2023秋•九龙坡区期末）已知多边形的每一个外角都是72°，则该多边形的内角和是（ ）
A．700°B．720°C．540°D．1080°
【解答】解：∵多边形的每一个外角都是72°，
∴多边形的边数为：＝5，
∴该多边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°．故选C．
3．(2023•安溪县一模）一个n边形的内角和为540°，则n的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【解答】解：根据题意，得
（n﹣2）•180°＝540°，
解得：n＝5．
故选：B．
综合练习
一．选择题
1．三角形的高线、中线、角平分线都是（ ）
A．直线B．线段
C．射线D．以上情况都有
【解答】解：三角形的高线、角平分线和中线都是线段，
故选：B．
2．四边形剪去一个角后，内角和将（ ）
A．减少180°B．不变
C．增加180°D．以上都有可能
【解答】解：如下图所示：
观察图形可知，四边形剪掉一个角后，剩下的图形可能是五边形，也可能是四边形，还可能是三角形．
则剩下的纸片图形是三角形或四边形或五边形．
内角和是：180°或360°或540°．
故选：D．
3．下列说法：①满足a+b＞c的a、b、c三条线段一定能组成三角形；②三角形的三条高交于三角形内一点；③三角形的外角大于它的任何一个内角，其中错误的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解答】解：（1）满足a+b＞c且a＜c，b＜c的a、b、c三条线段一定能组成三角形，故错误；
（2）只有锐角三角形的三条高交于三角形内一点，故错误；
（3）三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角，故错误；
故选：D．
4．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．80°B．90°C．100°D．110°
【解答】解：∵∠A＝65°，∠B＝75°，
∴∠C＝180°﹣65°﹣75°＝40°，
由折叠的性质可知，∠C′＝∠C＝40°，
∴∠3＝∠1+∠C′＝60°，
∴∠2＝∠C+∠3＝100°，
故选：C．
5．若某三角形两边的长分别是3和5，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．2B．7C．8D．1
【解答】解：设三角形的第三边为m．
由题意：5﹣3＜m＜5+3，
即2＜m＜8，
故选：B．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC和∠BAC的平分线交于一点O，∠ABO＝30°，则∠AOB的度数是（ ）
A．100°B．125°C．135°D．130°
【解答】解：∵BO平分∠ABC，∠ABO＝30°，
∴∠ABC＝60°，
又∵∠C＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∵AO平分∠BAC，
∴∠BAO＝∠BAC＝15°，
∴△AOB中，∠AOB＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝135°，
故选：C．
7．下列各组数不可能是一个三角形的边长的是（ ）
A．7，8，9B．5，6，7C．3，4，5D．1，2，3
【解答】解：A、7+8＞9，能构成三角形；
B、5+6＞7，能构成三角形；
C、3+4＞5，能构成三角形；
D、1+2＝3，不能构成三角形．
故选：D．
二．解答题
8．小明想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整．
在△ABC边BC上任取一点E，作DE∥AC交AB于点D，作EF∥AB交AC于点F．
∵DE∥AC，AB∥EF，
∴∠1＝ ∠C ，∠3＝ ∠B （ ∠A ）
∵AB∥EF，
∴∠4＝ ∠A （ 两直线平行同位角相等 ）
∵DE∥AC，
∴∠4＝ ∠2 （ 两直线平行内错角相等 ）
∴∠2＝ ∠A ．（ 等量代换 ）
∵∠1+∠2+∠3＝180°，
∴∠A+∠B+∠C＝ 180 ．
【解答】解：在△ABC边BC上任取一点E，作DE∥AC交AB于点D，作EF∥AB交AC于点F．
∵DE∥AC，AB∥EF，
∴∠1＝∠C，∠3＝∠B
∵AB∥EF，
∴∠4＝∠A（两直线平行内错角相等）
∵DE∥AC，
∴∠4＝∠2（两直线平行内错角相等 ）
∴∠2＝∠A（等量代换）．
∵∠1+∠2+∠3＝180°，
∴∠A+∠B+∠C＝180°．
故答案为：∠C，∠B，∠A，∠2，两直线平行内错角相等，两直线平行，∠2，两直线平行内错角相等∠A，等量代换，180°．