七年级数学暑期精品讲义第2讲.有理数的加减-提高班(学生版+解析)

这是一份七年级数学暑期精品讲义第2讲.有理数的加减-提高班(学生版+解析)，共16页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。


1有理数的加法
知识概述
1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．
2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；
（3）一个数同0相加，仍得这个数．
3.运算律：
【例题精选】
例1(2023秋•义安区期末）若x的相反数为4，|y|＝3，则x+y的值为（ ）
A．﹣1B．7C．7或﹣3D．﹣7或﹣1
例2(2023秋•广陵区校级期中）已知|x|＝1，y2＝4，且x＞y，则x+y值为（ ）
A．±3B．±5C．+1或+3D．﹣1或﹣3
【随堂练习】
1．(2023秋•襄州区期中）已知a是最大的负整数，b是绝对值最小的整数，c是最小的正整数，则|a+b+c|等于（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
2．(2023秋•渝北区期末）已知|x|＝8，|y|＝3，|x+y|＝x+y，则x+y＝________.
3．(2023秋•海安市期中）若a是最小的正整数，b是绝对值最小的数，c是相反数等于它本身的数，d是到原点的距离等于2的负数，e是最大的负整数，则a+b+c+d+e＝_____．
2 有理数的减法
定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，
例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算．
注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算．
（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．
2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：．
注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：
【例题精选】
例1(2023秋•德城区校级期中）若|x|＝7，|y|＝9，x＞y，则x﹣y为（ ）
A．±2B．2和16C．﹣2和﹣16D．±2和±16
例2(2023秋•桥西区校级月考）若|x|＝5，|y|＝3，且x＜y，则x﹣y得（ ）
A．﹣8B．﹣2C．﹣8或﹣2D．2或8
【随堂练习】
1．(2023秋•陇县期中）如果x的相反数是3，|y|＝5，则x﹣y的值是（ ）
A．2B．2或﹣2C．﹣8D．﹣8或2
2．(2023秋•桥西区校级月考）如果a＜0，b＜0，且|a|＜|b|，那么a﹣b的值一定是（ ）
A．正数B．负数C．0D．不确定
3 有理数的加减混合运算
将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.
【例题精选】
例1(2023秋•沙坪坝区校级月考）计算（﹣）+（+）+（﹣﹣﹣）+（+++）+…+（+…+）的值（ ）
A．54B．27C．D．0
例2(2023秋•渝中区校级月考）王马虎同学在做有理数的加减法时，将一个100以内的含两位小数的数看错了，他将小数点前后的两位数看反了（比如56.78错看成了78.56），然后用看错的数字减3.5，发现差恰好就是原正确数字的2倍，则正确的结果应该是________．
【随堂练习】
1.(2023•潍坊模拟）下列计算结果等于4的是（ ）
A．|（﹣9）+（+5）|B．|（+9）﹣（﹣5）|C．|﹣9|+|+5|D．|+9|+|﹣5|
综合练习
一．选择题（共3小题）
1．计算：﹣1﹣的值为（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
2．已知a＝5，|b|＝8，且满足a+b＜0，则a﹣b的值为（ ）
A．3B．﹣3C．﹣13D．13
3．下列计算结果等于4的是（ ）
A．|（﹣9）+（+5）|B．|（+9）﹣（﹣5）|C．|﹣9|+|+5|D．|+9|+|﹣5|
二．填空题
4．如图，方格中的格子填上数，使得每一行、每一列以及两条对角线所填的数字之和均相等，则x的值为 ．
三．解答题
5．定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a﹣b，，，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于1，﹣2，3，因为1﹣（﹣2）＝3，＝﹣1，＝﹣，所以1，﹣2，3的“分差”为﹣．
（1）﹣2，﹣4，1的“分差”为 ；
（2）调整“﹣2，﹣4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最大值是 ；
（3）调整﹣1，6，x这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为2，求x的值．
6．（﹣1）﹣1+（﹣2）﹣（﹣3）﹣（﹣1）+4．
7．下表记录的是今年长江某一周内的水位变化情况，这一周的上周末的水位已达到警戒水位33米（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降）．
（1）本周哪一天长江的水位最高？位于警戒水位之上还是之下？
（2）与上周周末相比，本周周末长江的水位是上升了还是下降了？并通过计算说明理由．
有理数加法运算律
加法交换律
文字语言
两个数相加，交换加数的位置，和不变
符号语言
a+b＝b+a
加法结合律
文字语言
三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变
符号语言
(a+b)+c＝a+(b+c)
星期
一
二
三
四
五
六
水位
变化（米）
+0.2
+0.8
﹣0.4
+0.2
+0.3
﹣0.2
第2讲 有理数的加减
1有理数的加法
知识概述
1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．
2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；
（3）一个数同0相加，仍得这个数．
3.运算律：
【例题精选】
例1(2023秋•义安区期末）若x的相反数为4，|y|＝3，则x+y的值为（ ）
A．﹣1B．7C．7或﹣3D．﹣7或﹣1
分析：根据：x的相反数为4，|y|＝3，可得：x＝﹣4，y＝±3，据此求出x+y的值为多少即可．
【解答】解：∵x的相反数为4，|y|＝3，
∴x＝﹣4，y＝±3，
∴x+y＝﹣4﹣3＝﹣7或x+y＝﹣4+3＝﹣1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数加法的运算方法，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握．
例2(2023秋•广陵区校级期中）已知|x|＝1，y2＝4，且x＞y，则x+y值为（ ）
A．±3B．±5C．+1或+3D．﹣1或﹣3
分析：首先根据|x|＝1，y2＝4，可得：x＝±1，y＝±2；然后根据x＞y，可得：x＝±1，y＝﹣2，据此求出x+y值为多少即可．
【解答】解：∵|x|＝1，y2＝4，
∴x＝±1，y＝±2；
∵x＞y，
∴x＝±1，y＝﹣2，
∴x+y＝1+（﹣2）＝﹣1或x+y＝﹣1+（﹣2）＝﹣3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数加法的运算方法，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握．
【随堂练习】
1．(2023秋•襄州区期中）已知a是最大的负整数，b是绝对值最小的整数，c是最小的正整数，则|a+b+c|等于（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【解答】解：∵a是最大的负整数，b是绝对值最小的整数，c是最小的正整数，
∴a＝﹣1，b＝0，c＝1，
∴|a+b+c|
＝|﹣1+0+1|
＝0
故选：B．
2．(2023秋•渝北区期末）已知|x|＝8，|y|＝3，|x+y|＝x+y，则x+y＝________.
【解答】解：∵|x|＝8，|y|＝3，
∴x＝±8、y＝±3，
又|x+y|＝x+y，即x+y＝≥0，
∴x＝8、y＝3或x＝8、y＝﹣3，
当x＝8、y＝3时，x+y＝11；
当x＝8、y＝﹣3时，x+y＝5；
故答案为：5或11．
3．(2023秋•海安市期中）若a是最小的正整数，b是绝对值最小的数，c是相反数等于它本身的数，d是到原点的距离等于2的负数，e是最大的负整数，则a+b+c+d+e＝_____．
【解答】解：∵a是最小的正整数，b是绝对值最小的数，c是相反数等于它本身的数，d是到原点的距离等于2的负数，e是最大的负整数，
∴a＝1，b＝0，c＝0，d＝﹣2，e＝﹣1，
∴a+b+c+d+e＝1+0+0﹣2﹣1＝﹣2．
故答案为：﹣2．
2 有理数的减法
定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，
例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算．
注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算．
（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．
2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：．
注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：
【例题精选】
例1(2023秋•德城区校级期中）若|x|＝7，|y|＝9，x＞y，则x﹣y为（ ）
A．±2B．2和16C．﹣2和﹣16D．±2和±16
分析：首先根据|x|＝7，|y|＝9，可得：x＝±7，y＝±9，然后根据x＞y，可得：x＝±7，y＝﹣9，据此求出x﹣y的值是多少即可．
【解答】解：∵|x|＝7，|y|＝9，
∴x＝±7，y＝±9，
∵x＞y，
∴x＝±7，y＝﹣9，
∴x﹣y＝﹣7﹣（﹣9）＝2或x﹣y＝7﹣（﹣9）＝16．
故选：B．
【点评】此题主要考查了有理数减法的运算方法，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握．
例2(2023秋•桥西区校级月考）若|x|＝5，|y|＝3，且x＜y，则x﹣y得（ ）
A．﹣8B．﹣2C．﹣8或﹣2D．2或8
分析：首先根据|x|＝5，|y|＝3，可得：x＝±5，y＝±3，然后根据x＜y，可得：x＝﹣5，y＝±3，据此求出x﹣y的值是多少即可．
【解答】解：∵|x|＝5，|y|＝3，
∴x＝±5，y＝±3，
又∵x＜y，
∴x＝﹣5，y＝±3，
∴x﹣y＝﹣5﹣3＝﹣8或x﹣y＝﹣5﹣（﹣3）＝﹣2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了有理数减法的运算方法，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握．
【随堂练习】
1．(2023秋•陇县期中）如果x的相反数是3，|y|＝5，则x﹣y的值是（ ）
A．2B．2或﹣2C．﹣8D．﹣8或2
【解答】解：∵x的相反数为3，
∴x＝﹣3，
∵|y|＝5，
∴y＝5或﹣5，
∴x﹣y＝﹣3﹣5＝﹣8，
或x﹣y＝﹣3﹣（﹣5）＝﹣3+5＝2，
所以，x﹣y的值是﹣8或2．
故选：D．
2．(2023秋•桥西区校级月考）如果a＜0，b＜0，且|a|＜|b|，那么a﹣b的值一定是（ ）
A．正数B．负数C．0D．不确定
【解答】解：∵a＜0，b＜0，且|a|＜|b|，
∴﹣a＜﹣b，
∴a＞b，
∴a﹣b＞0，
即a﹣b的值一定是正数．
故选：A．
3 有理数的加减混合运算
将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.
【例题精选】
例1(2023秋•沙坪坝区校级月考）计算（﹣）+（+）+（﹣﹣﹣）+（+++）+…+（+…+）的值（ ）
A．54B．27C．D．0
分析：根据有理数的加减混合运算先算括号内的，进而即可求解．
【解答】解：原式＝﹣+1﹣+2﹣+3﹣+…+27
＝27×
＝．
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，解决本题的关键是寻找规律．
例2(2023秋•渝中区校级月考）王马虎同学在做有理数的加减法时，将一个100以内的含两位小数的数看错了，他将小数点前后的两位数看反了（比如56.78错看成了78.56），然后用看错的数字减3.5，发现差恰好就是原正确数字的2倍，则正确的结果应该是________．
分析：根据用看错的数字减3.5，发现差恰好就是原正确数字的2倍，利用有理数的加减混合运算即可求解．
【解答】解：∵100以内的含两位小数的数看错了，根据归纳猜想得：
原数为14.32，
看错的两位数为32.14，
32.14﹣3.5＝28.64，
14.32×2＝28.64．
∴32.14﹣3.5＝2×14.32．
故答案为14.32．
【点评】本题考查有理数的加减混合运算，解题的关键是利用探究猜想的方法进行计算．
【随堂练习】
1.(2023•潍坊模拟）下列计算结果等于4的是（ ）
A．|（﹣9）+（+5）|B．|（+9）﹣（﹣5）|C．|﹣9|+|+5|D．|+9|+|﹣5|
分析：各项利用绝对值的代数意义以及加法法则计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A．|（﹣9）+（+5）|＝|﹣4|＝4，此选项符合题意；
B．|（+9）﹣（﹣5）|＝|9+5|＝14，此选项不符合题意；
C．|﹣9|+|+5|＝9+5＝14，此选项不符合题意；
D．|+9|+|﹣5|＝9+5＝14，此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题考查了有理数的加法，以及绝对值，熟练掌握加法法则是解本题的关键．
综合练习
一．选择题（共3小题）
1．计算：﹣1﹣的值为（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
【解答】解：﹣1﹣＝﹣1+（﹣）＝﹣，
故选：D．
2．已知a＝5，|b|＝8，且满足a+b＜0，则a﹣b的值为（ ）
A．3B．﹣3C．﹣13D．13
【解答】解：∵|b|＝8，
∴b＝±8，
又∵a＝5，a+b＜0，
∴b＝﹣8，
则a﹣b＝5﹣（﹣8）＝13，
故选：D．
3．下列计算结果等于4的是（ ）
A．|（﹣9）+（+5）|B．|（+9）﹣（﹣5）|C．|﹣9|+|+5|D．|+9|+|﹣5|
【解答】解：A．|（﹣9）+（+5）|＝|﹣4|＝4，此选项符合题意；
B．|（+9）﹣（﹣5）|＝|9+5|＝14，此选项不符合题意；
C．|﹣9|+|+5|＝9+5＝14，此选项不符合题意；
D．|+9|+|﹣5|＝9+5＝14，此选项不符合题意；
故选：A．
二．填空题（共1小题）
4．如图，方格中的格子填上数，使得每一行、每一列以及两条对角线所填的数字之和均相等，则x的值为 ﹣1 ．
【解答】解：6+1+2﹣1﹣5＝3，
6+1+2﹣6﹣3＝0，
6+1+2﹣0﹣5＝4．
根据题意得：6+1+2＝6+x+4，
解得：x＝﹣1．
故答案为：﹣1．
三．解答题（共3小题）
5．定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a﹣b，，，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于1，﹣2，3，因为1﹣（﹣2）＝3，＝﹣1，＝﹣，所以1，﹣2，3的“分差”为﹣．
（1）﹣2，﹣4，1的“分差”为 ；
（2）调整“﹣2，﹣4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最大值是 ；
（3）调整﹣1，6，x这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为2，求x的值．
【解答】解：（1）∵a＝﹣2，b＝﹣4，c＝1
∴a﹣b＝﹣2﹣（﹣4）＝2，＝，＝，
∴﹣2，﹣4，1的“分差”为
故答案为：
（2）①若a＝﹣2，b＝1，c＝﹣4
则a﹣b＝﹣2﹣1＝﹣3，＝＝1，＝，
∴﹣2，1，﹣4的“分差”为﹣3
②若a＝﹣4，b＝﹣2，c＝1
则a﹣b＝﹣4﹣（﹣2）＝﹣2，＝，＝
∴﹣4，﹣2，1的“分差”为
③若a＝﹣4，b＝1，c＝﹣2
则a﹣b＝﹣4﹣1＝﹣5，＝，＝
∴﹣4，1，﹣2的“分差”为﹣5
④若a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2
则a﹣b＝1﹣（﹣4）＝5，＝，＝
∴1，﹣4，﹣2的“分差”为
⑤若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4
则a﹣b＝1﹣（﹣2）＝3，＝，＝
∴1，﹣2，﹣4的“分差”为
综上所述，这些不同“分差”中的最大值为
故答案为：
（3）∵“分差”为2，﹣1﹣6＝﹣7
∴三个数的顺序不能是﹣1，6，x和﹣1，x，6和x，﹣1，6
①a＝6，b＝x，c＝﹣1，
∴a﹣b＝6﹣x，＝，＝
若6﹣x＝2，得x＝4，＜2，不符合
若，得x＝5，6﹣x＝1＜2，不符合
②a＝6，b＝﹣1，c＝x，
∴a﹣b＝6﹣（﹣1）＝7，＝，＝
若，得x＝2，＜2，不符合
若，得x＝﹣7，＞2，符合
③a＝x，b＝6，c＝﹣1
∴a﹣b＝x﹣6，＝，＝
若x﹣6＝2，得x＝8，＞2，符合
若，得x＝3，x﹣6＝﹣3＜2，不符合
综上所述，x的值为﹣7或8．
6．（﹣1）﹣1+（﹣2）﹣（﹣3）﹣（﹣1）+4．
【解答】解：（﹣1）﹣1+（﹣2）﹣（﹣3）﹣（﹣1）+4
＝﹣﹣﹣+++4
＝﹣4++4
＝．
7．下表记录的是今年长江某一周内的水位变化情况，这一周的上周末的水位已达到警戒水位33米（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降）．
（1）本周哪一天长江的水位最高？位于警戒水位之上还是之下？
（2）与上周周末相比，本周周末长江的水位是上升了还是下降了？并通过计算说明理由．
【解答】解：（1）正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降，由此计算出每天的实际水位即可求值．
本周水位最高的为周五，
周一：+0.2，
周二：+0.2+0.8＝+1，
周三：+1﹣0.4＝+0.6，
周四：+0.6+0.2＝+0.8，
周五：+0.8+0.3＝1.1m，
故本周五水位最高高于警戒水位1.1m；
（2）通过表格可得+0.2+0.8﹣0.4+0.2+0.3﹣0.2＝0.9m，
故与上周周末相比，本周周末长江的水位是上升了0.9m．
有理数加法运算律
加法交换律
文字语言
两个数相加，交换加数的位置，和不变
符号语言
a+b＝b+a
加法结合律
文字语言
三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变
符号语言
(a+b)+c＝a+(b+c)
星期
一
二
三
四
五
六
水位
变化（米）
+0.2
+0.8
﹣0.4
+0.2
+0.3
﹣0.2