新八年级数学讲义第9讲分式-提高班(学生版+解析)

这是一份新八年级数学讲义第9讲分式-提高班(学生版+解析)，共16页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。

1 分式的基本概念
分式的定义：一般地，如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，其中叫分子，叫分母且．
【例题精选】
例1(2023秋•郾城区期末）在﹣3x、、﹣、、﹣、、中，分式的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
例2(2023秋•青龙县期末）在，，，，中，分式的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4

【随堂练习】
1．(2023春•龙海市期中）下列有理式中，，，，其中是分式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．(2023春•东湖区校级月考）下列各式中，，，，，其中分式的个数有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
2 分式有意义的条件
分式有意义（或分式存在）的条件：分式的分母不等于零即．
【例题精选】
例1(2023秋•长白县期末）要使分式有意义，x的取值应满足（ ）
A．x≠1B．x≠﹣2C．x≠1或x≠﹣2D．x≠1且x≠﹣2
例2(2023•南岸区校级模拟）若分式﹣有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣3B．x≠﹣3C．x≥﹣3D．x≠﹣6
【随堂练习】
1．(2023秋•湛江期末）要使分式有意义，x应满足的条件是（ ）
A．x＞3B．x＜3C．x≠﹣3D．x≠3
2．(2023•成都模拟）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2B．x≠﹣2C．x＜﹣2D．x≠2
3．(2023•高新区一模）若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1B．x＜﹣1C．x＝﹣1D．x≠﹣1
3.分式值为0的条件
分式的值为零的条件：分式的值为零是指分式在有意义的前提下分式的分子为零．
即当且时，．
【例题精选】
例1(2023春•沙坪坝区校级月考）已知分式当x＝2时，分式的值为零；当x＝﹣2时，分式没有意义，则分式有意义时，a+b的值为（ ）
A．﹣2B．2C．6D．﹣6
例2(2023秋•谢家集区期末）若分式的值为0，则（ ）
A．x＝2B．x＝﹣2C．x＝2或x＝﹣2D．x≠2或x≠﹣2
【随堂练习】
1．(2023秋•平山县期末）若式子的值为零，则x的值为_______．
2．(2023秋•勃利县期末）当m＝________时，分式的值为0．
4分式的基本性质
分式的基本性质：分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.
即
【例题精选】
例1 (2023秋•大连期末）把分式中的x、y的值同时扩大为原来的10倍，则分式的值（ ）
A．缩小为原来的B．不变
C．扩大为原来的10倍D．扩大为原来的100倍
例2(2023•浦城县二模）下列变形正确的是（ ）
A．＝B．
C．D．
【随堂练习】
1．(2023春•江阴市期中）如果把分式中的m和n都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大4倍B．缩小2倍C．不变D．扩大2倍
2．(2023秋•梁园区期末）下列各式中的变形，错误的是（ ）
A．＝﹣B．＝C．＝D．＝
5.最简分式
约分：利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，但不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.分子分母中没有公因式的分式叫做最简分式.
通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同时乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个分式变成分母相同的分式.为了通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.
【例题精选】
例1(2023秋•荆州区期末）下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
例2 (2023秋•扎鲁特旗期末）下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．
C．D．
【随堂练习】
1．(2023秋•宜城市期末）下列各分式中，最简分式是（ ）
A．B．
C．D．
2.(2023春•唐河县期中）下列分式，，，，中，最简分式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
综合应用
一．选择题
1．下列各式：，，x2，，+1，中，分式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．若分式的值为0，则（ ）
A．x＝﹣6B．x＝6C．x＝36D．x＝±6
3．若把分式中x和y都缩小为原来的一半，那么分式的值（ ）
A．缩小为原来的一半B．不变
C．扩大为原来的2倍D．不确定
4．下列式子从左至右变形正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
第9讲 分式
1 分式的基本概念
分式的定义：一般地，如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，其中叫分子，叫分母且．
【例题精选】
例1(2023秋•郾城区期末）在﹣3x、、﹣、、﹣、、中，分式的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
分析：直接可以分式的定义进而分析得出答案．
【解答】解：﹣3x、、﹣、、﹣、、中，分式是：、﹣、﹣，共3个．
故选：A．
【点评】此题主要考查了分式的定义，正确把握分式的定义是解题关键．
例2(2023秋•青龙县期末）在，，，，中，分式的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
分析：判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：，，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
，，分母中含有字母，因此是分式．
故选：C．
【点评】本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．

【随堂练习】
1．(2023春•龙海市期中）下列有理式中，，，，其中是分式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：，的分母中不含有字母，是整式，的分母中含有字母．
故选：A．
2．(2023春•东湖区校级月考）下列各式中，，，，，其中分式的个数有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【解答】解：的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
，是分式，共2个，
故选：D．
2 分式有意义的条件
分式有意义（或分式存在）的条件：分式的分母不等于零即．
【例题精选】
例1(2023秋•长白县期末）要使分式有意义，x的取值应满足（ ）
A．x≠1B．x≠﹣2C．x≠1或x≠﹣2D．x≠1且x≠﹣2
分析：根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，（x+2）（x﹣1）≠0，
解得，x≠1且x≠﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
例2(2023•南岸区校级模拟）若分式﹣有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣3B．x≠﹣3C．x≥﹣3D．x≠﹣6
分析：根据分式有意义的条件可得2x+6≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：2x+6≠0，
解得：x≠﹣3，
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
【随堂练习】
1．(2023秋•湛江期末）要使分式有意义，x应满足的条件是（ ）
A．x＞3B．x＜3C．x≠﹣3D．x≠3
【解答】解：要使分式有意义，x应满足的条件是：x﹣3≠0，
解得：x≠3．
故选：D．
2．(2023•成都模拟）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2B．x≠﹣2C．x＜﹣2D．x≠2
【解答】解：若分式有意义，则x+2≠0，
解得：x≠﹣2．
故选：B．
3．(2023•高新区一模）若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1B．x＜﹣1C．x＝﹣1D．x≠﹣1
【解答】解：由分式有意义的条件可知：x+1≠0，
∴x≠﹣1，
故选：D．
3.分式值为0的条件
分式的值为零的条件：分式的值为零是指分式在有意义的前提下分式的分子为零．
即当且时，．
【例题精选】
例1(2023春•沙坪坝区校级月考）已知分式当x＝2时，分式的值为零；当x＝﹣2时，分式没有意义，则分式有意义时，a+b的值为（ ）
A．﹣2B．2C．6D．﹣6
分析：根据分式的值为0，即分子等于0，分母不等于0，从而求得b的值；根据分式没有意义，即分母等于0，求得a的值，从而求得a+b的值．
【解答】解：∵x＝2时，分式的值为零，
∴2﹣b＝0，
解得b＝2．
∵x＝﹣2时，分式没有意义，
∴2×（﹣2）+a＝0，
解得a＝4．
∴a+b＝4+2＝6．
故选：C．
【点评】考查了分式的值为零的条件，分式有意义的条件，注意：分式的值为0，则分子等于0，分母不等于0；分式无意义，则分母等于0．
例2(2023秋•谢家集区期末）若分式的值为0，则（ ）
A．x＝2B．x＝﹣2C．x＝2或x＝﹣2D．x≠2或x≠﹣2
分析：根据分式的值为零的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：，
∴x＝2，
故选：A．
【点评】本题考查分式的值，解题的关键是正确理解分式的值为零的条件，本题属于基础题型．
【随堂练习】
1．(2023秋•平山县期末）若式子的值为零，则x的值为_______．
【解答】解：∵式子的值为零，
∴x2﹣1＝0，（x﹣1）（x+2）≠0，
解得：x＝﹣1．
故答案为：﹣1．
2．(2023秋•勃利县期末）当m＝________时，分式的值为0．
【解答】解：由题意可知：
解得：m＝﹣3，
故答案为：﹣3
4分式的基本性质
分式的基本性质：分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.
即
【例题精选】
例1 (2023秋•大连期末）把分式中的x、y的值同时扩大为原来的10倍，则分式的值（ ）
A．缩小为原来的B．不变
C．扩大为原来的10倍D．扩大为原来的100倍
分析：根据分式的基本性质，把分式中的x、y的值同时扩大为原来的10倍得：＝＝，即可得到答案．
【解答】解：把分式中的x、y的值同时扩大为原来的10倍得：
＝＝，
即分式的值扩大为原来的10倍，
故选：C．
【点评】本题考查了分式的基本性质，正确掌握分式的基本性质是解题的关键．
例2(2023•浦城县二模）下列变形正确的是（ ）
A．＝B．
C．D．
分析：根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：（A）≠，故A错误；
（B）＝，故B错误；
（C）﹣1＝，故C错误；
故选：D．
【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
【随堂练习】
1．(2023春•江阴市期中）如果把分式中的m和n都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大4倍B．缩小2倍C．不变D．扩大2倍
【解答】解：根据题意得：
原式可变形为：，
分式的分子分母同时除以2得：原式＝，
即分式的值不变，
故选：C．
2．(2023秋•梁园区期末）下列各式中的变形，错误的是（ ）
A．＝﹣B．＝C．＝D．＝
【解答】解：A、＝﹣，故A正确；
B、分子、分母同时乘以﹣1，分式的值不发生变化，故B正确；
C、分子、分母同时乘以3，分式的值不发生变化，故C正确；
D、≠，故D错误；
故选：D．
5.最简分式
约分：利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，但不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.分子分母中没有公因式的分式叫做最简分式.
通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同时乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个分式变成分母相同的分式.为了通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.
【例题精选】
例1(2023秋•荆州区期末）下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
分析：最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【解答】解：A．是最简分式；
B．＝＝x﹣y，不符合题意；
C．＝＝，不符合题意；
D．＝，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了分式的基本性质和最简分式，能熟记分式的化简过程是解此题的关键，首先要把分子分母分解因式，然后进行约分．
例2 (2023秋•扎鲁特旗期末）下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．
C．D．
分析：根据分式的分子分母都不含有公因式的分式是最简分式，可得答案．
【解答】解：A．＝＝，不符合题意；
B．＝＝m﹣n，不符合题意；
C．是最简分式，符合题意；
D．＝＝，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．
【随堂练习】
1．(2023秋•宜城市期末）下列各分式中，最简分式是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：（A）原式＝，故A不是最简分式；
（B）原式＝＝，故B不是最简分式；
（C）原式＝，故C是最简分式；
（D）原式＝＝，故D不是最简分式；
故选：C．
2.(2023春•唐河县期中）下列分式，，，，中，最简分式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：＝﹣，
＝＝，
所以最简分式有，，．
故选：C．
综合应用
一．选择题
1．下列各式：，，x2，，+1，中，分式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：，x2，+1是分式，
故选：C．
2．若分式的值为0，则（ ）
A．x＝﹣6B．x＝6C．x＝36D．x＝±6
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x2﹣36＝0，且2x+12≠0，
解得：x＝6．
故选：B．
3．若把分式中x和y都缩小为原来的一半，那么分式的值（ ）
A．缩小为原来的一半B．不变
C．扩大为原来的2倍D．不确定
【解答】解：原式＝
＝，
故选：B．
4．下列式子从左至右变形正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【解答】解：A、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故A错误；
B、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故B错误；
C、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故C错误；
D、分子分母都除以b，分式的值不变，故D正确；
故选：D．