新八年级数学讲义第1讲三角形-提高班(学生版+解析)

这是一份新八年级数学讲义第1讲三角形-提高班(学生版+解析)，共20页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。

1 与三角形相关的线段
1.三角形三边的关系：
定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.
要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
2.三角形按“边”分类：

3.三角形的重要线段：
（1）三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.
（2）三角形的中线
三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线，
要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.
（3）三角形的角平分线
三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.
【例题精选】
例1(2023秋•宿松县期末）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例2(2023秋•桐梓县期末）在△ABC中，AB＝2cm，AC＝5cm，若BC的长为整数，则BC的长可能是（ ）
A．2 cmB．3 cmC．6 cmD．7 cm
【随堂练习】
1．(2023•越城区模拟）用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023秋•滑县期末）以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，4cmB．3cm，3cm，6cm
C．5cm，6cm，12cmD．4cm，6cm，8cm
3．(2023秋•江北区期末）已知三角形的两边长分别为8和4，则第三边长可能是（ ）
A．3B．4C．8D．12
2 与三角形有关的角
1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
推论：1.直角三角形的两个锐角互余
2.有两个角互余的三角形是直角三角形
2.三角形外角性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.
【例题精选】
例1 (2023秋•松滋市期末）如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点O，若∠A＝50°，则∠BOC＝__________．
例2(2023春•成都期中）如图，在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，C为AE延长线上的一点，D为AB边上的一点，DC交BE于F，若∠ADC＝80°，∠B＝30°，求∠C的度数．
【随堂练习】
1．(2023秋•揭阳期末）在一个三角形中，如果一个外角是其相邻内角的4倍，那么这个外角的度数为（ ）
A．36°B．45°C．135°D．144°
2．(2023秋•松滋市期末）如图，已知D为BC上一点，∠B＝∠1，∠BAC＝64°，则∠2的度数为（ ）
A．37°B．64°C．74°D．84°
3 多边形
多边形的内角和及外角和公式
1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．
要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；
(2)内角和定理的应用：
①已知多边形的边数，求其内角和；
②已知多边形内角和，求其边数.
2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
要点诠释：(1)外角和公式的应用：
①已知外角度数，求正多边形边数；
②已知正多边形边数，求外角度数.
(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：
①n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.
三角形的内角和与外角和
【例题精选】
例1(2023春•宜兴市期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝160°，∠B＝50°，∠ADC、∠BCD的平分线相交于点E，则∠CED＝_________°．
例2 (2023春•建湖县期中）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．180°B．90°C．210°D．270°
【随堂练习】
1．(2023•曲江区校级一模）任意五边形的内角和与外角和的差为_______度．
2．(2023•海淀区校级模拟）一个多边形的每一个外角都是72°，这个多边形的内角和为（ ）
A．360°B．540°C．720°D．900°
3．(2023•浙江自主招生）若一个正多边形的每一个内角为156°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．14B．15C．16D．17
综合练习
一．选择题
1．三角形的高线、中线、角平分线都是（ ）
A．直线B．线段
C．射线D．以上情况都有
2．四边形剪去一个角后，内角和将（ ）
A．减少180°B．不变
C．增加180°D．以上都有可能
3．下列说法：①满足a+b＞c的a、b、c三条线段一定能组成三角形；②三角形的三条高交于三角形内一点；③三角形的外角大于它的任何一个内角，其中错误的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
4．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．80°B．90°C．100°D．110°
5．若某三角形两边的长分别是3和5，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．2B．7C．8D．1
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC和∠BAC的平分线交于一点O，∠ABO＝30°，则∠AOB的度数是（ ）
A．100°B．125°C．135°D．130°
7．下列各组数不可能是一个三角形的边长的是（ ）
A．7，8，9B．5，6，7C．3，4，5D．1，2，3
二．解答题
8．小明想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整．
在△ABC边BC上任取一点E，作DE∥AC交AB于点D，作EF∥AB交AC于点F．
∵DE∥AC，AB∥EF，
∴∠1＝ ，∠3＝ （ ）
∵AB∥EF，
∴∠4＝ （ ）
∵DE∥AC，
∴∠4＝ （ ）
∴∠2＝ ．（ ）
∵∠1+∠2+∠3＝180°，
∴∠A+∠B+∠C＝ ．
第1讲 三角形
1 与三角形相关的线段
1.三角形三边的关系：
定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.
要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
2.三角形按“边”分类：

3.三角形的重要线段：
（1）三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.
（2）三角形的中线
三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线，
要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.
（3）三角形的角平分线
三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.
【例题精选】
例1(2023秋•宿松县期末）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A．
B．
C．
D．
分析：根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．
【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项C．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．
例2(2023秋•桐梓县期末）在△ABC中，AB＝2cm，AC＝5cm，若BC的长为整数，则BC的长可能是（ ）
A．2 cmB．3 cmC．6 cmD．7 cm
分析：已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围；又知道第三边长为整数，就可以知道第三边的长度．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
5﹣2＜BC＜5+2，
即3＜BC＜7．
又BC的长为整数，则BC的长可能是6cm．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．
【随堂练习】
1．(2023•越城区模拟）用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高，
故选：A．
2．(2023秋•滑县期末）以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，4cmB．3cm，3cm，6cm
C．5cm，6cm，12cmD．4cm，6cm，8cm
【解答】解：A、1+2＜4，故不能构成三角形，选项错误；
B、3+3＝6，故不能构成三角形，选项错误；
C、5+6＜12，故不能构成三角形，选项错误；
D、正确．
故选：D．
3．(2023秋•江北区期末）已知三角形的两边长分别为8和4，则第三边长可能是（ ）
A．3B．4C．8D．12
【解答】解：设第三边的长为x，
∵三角形两边的长分别是4和8，
∴8﹣4＜x＜8+4，即4＜x＜12．
故选：C．
2 与三角形有关的角
1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
推论：1.直角三角形的两个锐角互余
2.有两个角互余的三角形是直角三角形
2.三角形外角性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.
【例题精选】
例1 (2023秋•松滋市期末）如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点O，若∠A＝50°，则∠BOC＝__________．
分析：求出∠ABC+∠ACB＝130°，根据角平分线定义得出∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，求出∠OBC+∠OCB＝×（∠ABC+∠ACB）＝65°，根据三角形的内角和定理得出∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB），代入求出即可．
【解答】解；∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，
∵∠B和∠C的平分线交于点O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝×（∠ABC+∠ACB）＝×130°＝65°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°，
故答案为：115°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的角平分线、高的定义等知识点，关键是求出∠OBC+∠OCB的度数．
例2(2023春•成都期中）如图，在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，C为AE延长线上的一点，D为AB边上的一点，DC交BE于F，若∠ADC＝80°，∠B＝30°，求∠C的度数．
分析：根据三角形内角和定理，即可得到∠A的度数，再根据三角形内角和定理，即可得到∠C的度数．
【解答】解：∵在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠B＝30°
∴∠A＝90°﹣∠B＝60°，
∵在△ADC中，∠A＝60°，∠ADC＝80°
∴∠C＝180°﹣60°﹣80°＝40°，
答：∠C的度数为40°．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，解题时注意：三角形内角和等于180°．
【随堂练习】
1．(2023秋•揭阳期末）在一个三角形中，如果一个外角是其相邻内角的4倍，那么这个外角的度数为（ ）
A．36°B．45°C．135°D．144°
【解答】解：设这个内角为α，则与其相邻的外角为4α，
所以，α+4α＝180°，
解得α＝36°，
4α＝4×36°＝144°．
故选：D．
2．(2023秋•松滋市期末）如图，已知D为BC上一点，∠B＝∠1，∠BAC＝64°，则∠2的度数为（ ）
A．37°B．64°C．74°D．84°
【解答】解：∵∠B＝∠1，∠BAC＝64°，
∴∠B+∠BAD＝∠BAC＝64°．
∵∠2是△ABD的外角，
∴∠2＝∠B+∠BAD＝64°．
故选：B．
3 多边形
多边形的内角和及外角和公式
1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．
要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；
(2)内角和定理的应用：
①已知多边形的边数，求其内角和；
②已知多边形内角和，求其边数.
2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
要点诠释：(1)外角和公式的应用：
①已知外角度数，求正多边形边数；
②已知正多边形边数，求外角度数.
(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：
①n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.
三角形的内角和与外角和
【例题精选】
例1(2023春•宜兴市期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝160°，∠B＝50°，∠ADC、∠BCD的平分线相交于点E，则∠CED＝_________°．
分析：首先根据四边形内角和可得∠ADC+∠DCB＝360°﹣160°﹣50°＝150°，再根据角平分线的性质可得∠EDC+∠ECD＝×150°＝80°，再进一步利用三角形内角和定理可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD中，∠A＝160°，∠B＝50°，
∴∠ADC+∠DCB＝360°﹣160°﹣50°＝150°，
∵∠ADC、∠DCB的平分线相交于点E，
∴∠EDC＝∠ADC，∠ECD＝∠BCD，
∴∠EDC+∠ECD＝×150°＝75°，
∴∠CED＝180°﹣75°＝105°．
故答案为：105．
【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，关键是掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3）且n为整数）．
例2 (2023春•建湖县期中）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．180°B．90°C．210°D．270°
分析：根据两直线平行，同旁内角互补得到以点B、点C为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于180°，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：延长AB，DC，
∵AB∥CD，
∴∠4+∠5＝180°，
根据多边形的外角和定理可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣180°＝180°．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，是基础题，理清求解思路是解题的关键．
【随堂练习】
1．(2023•曲江区校级一模）任意五边形的内角和与外角和的差为_______度．
【解答】解：任意五边形的内角和是180×（5﹣2）＝540度；
任意五边形的外角和都是360度；
所以任意五边形的内角和与外角和的差为540﹣360＝180度．
故答案为：180．
2．(2023•海淀区校级模拟）一个多边形的每一个外角都是72°，这个多边形的内角和为（ ）
A．360°B．540°C．720°D．900°
【解答】解：∵一个多边形的每一个外角都是72°，多边形的外角和等于360°，
∴这个多边形的边数为：360÷72＝5，
∴这个多边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°．
故选：B．
3．(2023•浙江自主招生）若一个正多边形的每一个内角为156°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．14B．15C．16D．17
【解答】解：180°﹣156°＝24°，
360°÷24°＝15．
故选：B．
综合练习
一．选择题
1．三角形的高线、中线、角平分线都是（ ）
A．直线B．线段
C．射线D．以上情况都有
【解答】解：三角形的高线、角平分线和中线都是线段，
故选：B．
2．四边形剪去一个角后，内角和将（ ）
A．减少180°B．不变
C．增加180°D．以上都有可能
【解答】解：如下图所示：
观察图形可知，四边形剪掉一个角后，剩下的图形可能是五边形，也可能是四边形，还可能是三角形．
则剩下的纸片图形是三角形或四边形或五边形．
内角和是：180°或360°或540°．
故选：D．
3．下列说法：①满足a+b＞c的a、b、c三条线段一定能组成三角形；②三角形的三条高交于三角形内一点；③三角形的外角大于它的任何一个内角，其中错误的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解答】解：（1）满足a+b＞c且a＜c，b＜c的a、b、c三条线段一定能组成三角形，故错误；
（2）只有锐角三角形的三条高交于三角形内一点，故错误；
（3）三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角，故错误；
故选：D．
4．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．80°B．90°C．100°D．110°
【解答】解：∵∠A＝65°，∠B＝75°，
∴∠C＝180°﹣65°﹣75°＝40°，
由折叠的性质可知，∠C′＝∠C＝40°，
∴∠3＝∠1+∠C′＝60°，
∴∠2＝∠C+∠3＝100°，
故选：C．
5．若某三角形两边的长分别是3和5，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．2B．7C．8D．1
【解答】解：设三角形的第三边为m．
由题意：5﹣3＜m＜5+3，
即2＜m＜8，
故选：B．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC和∠BAC的平分线交于一点O，∠ABO＝30°，则∠AOB的度数是（ ）
A．100°B．125°C．135°D．130°
【解答】解：∵BO平分∠ABC，∠ABO＝30°，
∴∠ABC＝60°，
又∵∠C＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∵AO平分∠BAC，
∴∠BAO＝∠BAC＝15°，
∴△AOB中，∠AOB＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝135°，
故选：C．
7．下列各组数不可能是一个三角形的边长的是（ ）
A．7，8，9B．5，6，7C．3，4，5D．1，2，3
【解答】解：A、7+8＞9，能构成三角形；
B、5+6＞7，能构成三角形；
C、3+4＞5，能构成三角形；
D、1+2＝3，不能构成三角形．
故选：D．
二．解答题
8．小明想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整．
在△ABC边BC上任取一点E，作DE∥AC交AB于点D，作EF∥AB交AC于点F．
∵DE∥AC，AB∥EF，
∴∠1＝ ∠C ，∠3＝ ∠B （ ∠A ）
∵AB∥EF，
∴∠4＝ ∠A （ 两直线平行同位角相等 ）
∵DE∥AC，
∴∠4＝ ∠2 （ 两直线平行内错角相等 ）
∴∠2＝ ∠A ．（ 等量代换 ）
∵∠1+∠2+∠3＝180°，
∴∠A+∠B+∠C＝ 180 ．
【解答】解：在△ABC边BC上任取一点E，作DE∥AC交AB于点D，作EF∥AB交AC于点F．
∵DE∥AC，AB∥EF，
∴∠1＝∠C，∠3＝∠B
∵AB∥EF，
∴∠4＝∠A（两直线平行内错角相等）
∵DE∥AC，
∴∠4＝∠2（两直线平行内错角相等 ）
∴∠2＝∠A（等量代换）．
∵∠1+∠2+∠3＝180°，
∴∠A+∠B+∠C＝180°．
故答案为：∠C，∠B，∠A，∠2，两直线平行内错角相等，两直线平行，∠2，两直线平行内错角相等∠A，等量代换，180°．