新八年级数学讲义第4讲轴对称图形-提高班(学生版+解析)

这是一份新八年级数学讲义第4讲轴对称图形-提高班(学生版+解析)，共26页。学案主要包含了轴对称图形，轴对称等内容，欢迎下载使用。

1轴对称图形
一、轴对称图形
轴对称图形的定义
一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.
要点诠释：
轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.
二、轴对称
1.轴对称定义
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点
要点诠释：
轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.
2.轴对称与轴对称图形的区别与联系
轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.
【例题精选】
例1(2023秋•南通期中）下列几何图形不一定是轴对称图形的是（ ）
A．三角形B．长方形C．正五边形D．圆
例2(2023秋•甘井子区期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【随堂练习】
1．(2023秋•德州期末）下面的图形中对称轴最多的是（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023•恩施市模拟）下面汉字的书写中，可以看做轴对称图形的是（ ）
A．鹏B．程C．万D．里

2.轴对称图形的性质
轴对称、轴对称图形的性质
轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
【例题精选】
例1 (2023秋•路北区期末）已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，点P1与点P关于OA对称，点P2与点P关于OB对称，则△P1OP2是（ ）
A．含30°角的直角三角形
B．顶角是30°的等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
例2 (2023秋•柳州期中）如图，△ABC与△A'B'C'关于直线DE对称，且∠C＝78°，∠B'＝48°，则∠A的度数为（ ）
A．48°B．54°C．74°D．78°
【随堂练习】
1．(2023秋•西陵区期末）如图，直线MN是四边形MANB的对称轴，点P在MN上．则下列结论错误的是（ ）
A．∠ANM＝∠BNMB．∠MAP＝∠MBPC．AM＝BMD．AP＝BN
2．(2023秋•南京期中）如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，若∠A＝65°，∠B＝80°，则∠F＝（ ）
A．80°B．65°C．45°D．35°
3镜面对称
【例题精选】
例1(2023秋•乐亭县期末）小刚从镜子中看到的电子表的读数是[15：01]，则电子表的实际度数是________．
例2 (2023秋•仪征市期中）如图，是平面镜里看到背向墙壁的电子钟示数，这时的实际时间应该是_________．
【随堂练习】
1．(2023秋•江都区期中）某公路急转弯处设立了一面大镜子，从镜子中看到汽车的车辆的号码如图所示，则该汽车的号码是_________．
2．(2023秋•温岭市期中）小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示，则实际时间是________．
4画轴对称图形
对称轴的作法
若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同．
要点诠释：
在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.
【例题精选】
例1(2023秋•金坛区期中）利用6×8正方形网格画图（不写画法，保留画图痕迹）：
（1）画出△ABD的对称轴直线l；
（2）画△ADE，使得△ADE与△BDC关于直线l对称；
（3）画格点F，使得△ABF是以AB为斜边的直角三角形．
例2 (2023秋•牡丹江期中）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C'．
（2）写出点A'、B'、C'的坐标：
A'____________，B'____________，C'____________．
（3）求出△ACB'面积．
【随堂练习】
1．(2023秋•碑林区校级期中）如图，网格中的小正方形的边长为1．
（1）作出平面直角坐标系中△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）直接写出△A1B1C1各顶点坐标：A1____________B1____________C1____________．
2．(2023秋•越秀区校级期中）如图，A（0，﹣2），B（2，﹣3），C（4，﹣1）；
（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1
（2）写出点A1，B1，C1的坐标：
A1（____，____），
B1（____，____），
C1（____，____）．
综合练习
一．选择题（共3小题）
1．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，分别交BC，AC于点D，E，连接AD，若△ABD的周长C△ABD＝16cm，AB＝5cm，则线段BC的长度等于（ ）
A．8cmB．9 cmC．10 cmD．11 cm
2．下列图形中，只有一条对称轴的轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC、AC于D、E两点，∠B＝60°，∠BAD＝70°，则∠BAC的度数为（ ）
A．130°B．95°C．90°D．85°
二．解答题（共4小题）
4．在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，MN垂直平分AC，分别交AC、BC于点M、N，连接AE，AN．
（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠EAN的度数；
（2）如图2，若∠BAC＝70°，求∠EAN的度数；
（3）若∠BAC＝α（α≠90°），请直接写出∠EAN的度数．（用含α的代数式表示）
5．如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于点D，∠BDC＝60°，AC＝6，求AD的长度．
6．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，作AC的中垂线交BC于E，连接AE，若AE＝4，求BC的长．
7．如图，C，D是AB的垂直平分线上两点，延长AC，DB交于点E，AF∥BC交DE于点F．求证：
（1）AB是∠CAF的角平分线；
（2）∠FAD＝∠E．
第4讲 轴对称图形
1轴对称图形
一、轴对称图形
轴对称图形的定义
一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.
要点诠释：
轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.
二、轴对称
1.轴对称定义
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点
要点诠释：
轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.
2.轴对称与轴对称图形的区别与联系
轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.
【例题精选】
例1(2023秋•南通期中）下列几何图形不一定是轴对称图形的是（ ）
A．三角形B．长方形C．正五边形D．圆
分析：根据轴对称图形的定义即可判断．
【解答】解：A、三角形，不是轴对称图形，符合题意；
B、长方形，是轴对称图形，不合题意；
C、正五边形，是轴对称图形，不合题意；
D、圆是轴对称图形，不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查轴对称图形，解题的关键是理解轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
例2(2023秋•甘井子区期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
分析：根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．
【随堂练习】
1．(2023秋•德州期末）下面的图形中对称轴最多的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、有一条对称轴；
B、有4条对称轴；
C、有一条对称轴；
D、有2条对称轴；
综上可得：对称轴最多的是选项B．
故选：B．
2．(2023•恩施市模拟）下面汉字的书写中，可以看做轴对称图形的是（ ）
A．鹏B．程C．万D．里
【解答】解：鹏、程、万都不是轴对称图形，
里是轴对称图形，
故选：D．

2.轴对称图形的性质
轴对称、轴对称图形的性质
轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
【例题精选】
例1 (2023秋•路北区期末）已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，点P1与点P关于OA对称，点P2与点P关于OB对称，则△P1OP2是（ ）
A．含30°角的直角三角形
B．顶角是30°的等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
分析：根据轴对称的性质，结合等边三角形的判定求解．
【解答】解：∵P为∠AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点分别为P1、P2，
∴OP＝OP1＝OP2且∠P1OP2＝2∠AOB＝60°，
∴故△P1OP2是等边三角形．
故选：C．
【点评】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
例2 (2023秋•柳州期中）如图，△ABC与△A'B'C'关于直线DE对称，且∠C＝78°，∠B'＝48°，则∠A的度数为（ ）
A．48°B．54°C．74°D．78°
分析：依据轴对称的性质，即可得到∠B的度数，再根据三角形内角和定理，即可得到∠A的度数．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线DE对称，∠B'＝48°，
∴∠B＝48°，
∵三角形内角和为180°，
∴∠A＝180°﹣48°﹣78°＝54°
故选：B．
【点评】本题考查了图形的轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的三角形全等，对应角相等．
【随堂练习】
1．(2023秋•西陵区期末）如图，直线MN是四边形MANB的对称轴，点P在MN上．则下列结论错误的是（ ）
A．∠ANM＝∠BNMB．∠MAP＝∠MBPC．AM＝BMD．AP＝BN
【解答】解：∵直线MN是四边形AMBN的对称轴，
∴点A与点B对应，
∴AM＝BM，AN＝BN，∠ANM＝∠BNM，
∵点P是直线MN上的点，
∴∠MAP＝∠MBP，
∴A，B，C正确，而D错误，
故选：D．
2．(2023秋•南京期中）如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，若∠A＝65°，∠B＝80°，则∠F＝（ ）
A．80°B．65°C．45°D．35°
【解答】解：∵△ABC与△DEF关于直线l对称
∴∠A＝∠D＝65°，∠B＝∠E＝80°
∴∠F＝180°﹣80°﹣65°＝35°．
故选：D．
3镜面对称
【例题精选】
例1(2023秋•乐亭县期末）小刚从镜子中看到的电子表的读数是[15：01]，则电子表的实际度数是________．
分析：镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称．注意镜子的5实际应为2．
【解答】解：如图：
电子表的实际时刻是10：21．
故答案为10：21．
【点评】此题主要考查了镜面对称，可以把数据抄下来，反过来看看，这样最直观．
例2 (2023秋•仪征市期中）如图，是平面镜里看到背向墙壁的电子钟示数，这时的实际时间应该是_________．
分析：注意镜面对称的特点，并结合实际求解．
【解答】解：根据镜面对称的性质，如图所示的真实图象应该是12：05．
故答案为12：05．
【点评】考查了镜面对称的知识，解决此类问题要注意所学知识与实际情况的结合．
【随堂练习】
1．(2023秋•江都区期中）某公路急转弯处设立了一面大镜子，从镜子中看到汽车的车辆的号码如图所示，则该汽车的号码是_________．
【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的图片中的数字与“B46E58”成轴对称，则该汽车的号码是B46E58．
故答案为：B46E58．
2．(2023秋•温岭市期中）小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示，则实际时间是________．
【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与12：01成轴对称，所以此时实际时刻为10：51，
故答案为：10：51．
4画轴对称图形
对称轴的作法
若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同．
要点诠释：
在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.
【例题精选】
例1(2023秋•金坛区期中）利用6×8正方形网格画图（不写画法，保留画图痕迹）：
（1）画出△ABD的对称轴直线l；
（2）画△ADE，使得△ADE与△BDC关于直线l对称；
（3）画格点F，使得△ABF是以AB为斜边的直角三角形．
分析：（1）根据轴对称图形的概念求解可得；
（2）作出点C关于直线l的对称点，再顺次连接即可得；
（3）根据直角三角形的概念求解可得．
【解答】解：（1）如图所示，直线l即为所求．
（2）如图所示，△ADE即为所求；
（3）如图所示，点F即为所求．
【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称图形与轴对称变换的定义和性质．
例2 (2023秋•牡丹江期中）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C'．
（2）写出点A'、B'、C'的坐标：
A'____________，B'____________，C'____________．
（3）求出△ACB'面积．
分析：（1）根据轴对称的性质，即可得到△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C'；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相同，可得点A'、B'、C'的坐标；
（3）根据割补法进行计算，即可得到△ACB'面积．
【解答】解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求．
（2）由图可得，A'（1，5）、B'（1，0）、C'（4，3）；
（3）△ACB'面积为：5×5﹣×2×3﹣×3×5﹣×2×5＝25﹣3﹣7.5﹣5＝9.5．
【点评】本题主要考查了利用轴对称变换作图以及三角形面积的计算，正确得出对应点位置是解题关键．
【随堂练习】
1．(2023秋•碑林区校级期中）如图，网格中的小正方形的边长为1．
（1）作出平面直角坐标系中△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）直接写出△A1B1C1各顶点坐标：A1____________B1____________C1____________．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，A1（﹣3，2），B1（﹣1，﹣2），C1（1，﹣1）．
故答案为：（﹣3，2），（﹣1，﹣2），（1，﹣1）．
2．(2023秋•越秀区校级期中）如图，A（0，﹣2），B（2，﹣3），C（4，﹣1）；
（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1
（2）写出点A1，B1，C1的坐标：
A1（____，____），
B1（____，____），
C1（____，____）．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）由图知，A1（0，﹣2）、B1（﹣2，﹣3）、C1（﹣4，﹣1），
故答案为：0、﹣2、﹣2、﹣3、﹣4、﹣1．
综合练习
一．选择题（共3小题）
1．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，分别交BC，AC于点D，E，连接AD，若△ABD的周长C△ABD＝16cm，AB＝5cm，则线段BC的长度等于（ ）
A．8cmB．9 cmC．10 cmD．11 cm
【解答】解：∵AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，
∴AD＝DC，
∴△ABD的周长为AB+AD+BD＝AB+DC+BD＝AB+B，
∵C△ABD＝16cm，AB＝5cm，
∴BC＝11cm，
故选：D．
2．下列图形中，只有一条对称轴的轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、没有对称轴，故此选项错误；
B、有4条对称轴，故此选项错误；
C、有4条对称轴，故此选项错误；
D、只有一条对称轴，正确．
故选：D．
3．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC、AC于D、E两点，∠B＝60°，∠BAD＝70°，则∠BAC的度数为（ ）
A．130°B．95°C．90°D．85°
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
∵∠B＝60°，∠BAD＝70°，
∴∠BDA＝50°，
∴∠DAC＝∠BDA＝25°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝70°+25°＝95°
故选：B．
二．解答题（共4小题）
4．在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，MN垂直平分AC，分别交AC、BC于点M、N，连接AE，AN．
（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠EAN的度数；
（2）如图2，若∠BAC＝70°，求∠EAN的度数；
（3）若∠BAC＝α（α≠90°），请直接写出∠EAN的度数．（用含α的代数式表示）
【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得：∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAC﹣∠BAE﹣∠CAN，
＝∠BAC﹣（∠B+∠C），
在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°，
∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）＝100°﹣80°＝20°；
（2）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得：∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC，
＝（∠B+∠C）﹣∠BAC，
在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝110°，
∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC＝110°﹣70°＝40°；
（3）当0°＜α＜90°时，∠EAN＝180°﹣2α；
当180°＞α＞90°时，∠EAN＝2α﹣180°．
5．如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于点D，∠BDC＝60°，AC＝6，求AD的长度．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∵∠C＝90°，∠BDC＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∴CD＝BD，
∴CD＝AD，
∵AC＝6，
∴AD＝4．
6．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，作AC的中垂线交BC于E，连接AE，若AE＝4，求BC的长．
【解答】解：如图，作AM⊥BC于M．
∵AC的中垂线交BC于E，
∴EA＝EC，
∴∠C＝∠EAC＝30°，
∴∠AEM＝∠EAC+∠C＝60°，
∵∠AME＝90°，AE＝EC＝4，∠MAE＝30°，
∴EMAE＝2，AM＝2，
∵∠B＝45°，∠AMB＝90°，
∴BM＝AM＝2，
∴BC＝BM+EM+EC＝6+2．
7．如图，C，D是AB的垂直平分线上两点，延长AC，DB交于点E，AF∥BC交DE于点F．求证：
（1）AB是∠CAF的角平分线；
（2）∠FAD＝∠E．
【解答】证明：（1）∵点C是AB的垂直平分线上的点，
∴CB＝CA，
∴∠CBA＝∠CAB，
∵AF∥BC交DE于点F，
∴∠BAF＝∠CBA，
∴∠BAF＝∠CAB．
即 AB是∠CAF的角平分线．
（2）∵点D是AB的垂直平分线上的点，
∴DB＝DA，
∴∠DBA＝∠DAB，
∵∠DBA＝∠E+∠CAB，∠DAB＝∠FAD+∠BAF，∠CAB＝∠BAF，
∴∠E＝∠FAD．