新八年级数学讲义第1讲三角形-基础班(学生版+解析)

这是一份新八年级数学讲义第1讲三角形-基础班(学生版+解析)，共20页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。

1 与三角形相关的线段
1.三角形三边的关系：
定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.
要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
2.三角形按“边”分类：
3.三角形的重要线段：
（1）三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.
（2）三角形的中线
三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线，
要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.
（3）三角形的角平分线
三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.
【例题精选】
例1(2023•北京二模）如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例2 (2023秋•齐齐哈尔期末）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成三角形的是（ ）
A．1，2，4B．8，6，4C．12，6，5D．3，3，6
【随堂练习】
1．(2023秋•呼和浩特期末）在数学课上，同学们在练习画边AC上的高时，出现下列四种图形，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023秋•辛集市期末）一个三角形的两边长分别为3和4，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（ ）
A．11B．12C．13D．14
3．(2023•迁安市二模）如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（ ）
A．两点之间的线段最短
B．长方形的四个角都是直角
C．长方形是轴对称图形
D．三角形有稳定性
2 与三角形有关的角
1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
推论：1.直角三角形的两个锐角互余
2.有两个角互余的三角形是直角三角形
2.三角形外角性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.
【例题精选】
例1(2023春•安源区期中）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠B＝_______．
例2．(2023秋•港南区期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（ ）
A．70°B．80°C．90°D．100°
例3(2023•石屏县一模）如图，BD、CE是△ABC的角平分线，它们相交于点O，若∠A＝64°，则∠BOC＝________．
【随堂练习】
1．(2023秋•樊城区期末）在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则∠B＝_______度．
2．(2023•大庆）如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A＝60°，则∠BEC是（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
3．(2023•杭州）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（ ）
A．必有一个内角等于30°B．必有一个内角等于45°
C．必有一个内角等于60°D．必有一个内角等于90°
3 多边形
多边形的内角和及外角和公式
1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．
要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；
(2)内角和定理的应用：
①已知多边形的边数，求其内角和；
②已知多边形内角和，求其边数.
2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
要点诠释：(1)外角和公式的应用：
①已知外角度数，求正多边形边数；
②已知正多边形边数，求外角度数.
(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：
①n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.
三角形的内角和与外角和
【例题精选】
例1(2023•陕西模拟）如图，五边形ABCDE的外角中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝75°，则∠A的度数是_________．
例2(2023秋•南昌期末）已知一个多边形的内角和等于这个多边形外角和的2倍，则这个多边形的边数是_________．
【随堂练习】
1．(2023秋•嘉祥县期末）一个正多边形的外角等于36°，则这个正多边形的内角和是（ ）
A．1440°B．1080°C．900°D．720°
2．(2023秋•广安期末）若n边形的内角和等于外角和的3倍，则边数n为（ ）
A．n＝6B．n＝7C．n＝8D．n＝9
3．(2023春•丹徒区期中）一个多边形的每个内角都相等，并且它的一个外角与一个内角的比为1：3，则这个多边形为（ ）
A．三角形B．四边形C．六边形D．八边形
综合练习
一．选择题
1．三角形的高线、中线、角平分线都是（ ）
A．直线B．线段
C．射线D．以上情况都有
2．四边形剪去一个角后，内角和将（ ）
A．减少180°B．不变
C．增加180°D．以上都有可能
3．下列说法：①满足a+b＞c的a、b、c三条线段一定能组成三角形；②三角形的三条高交于三角形内一点；③三角形的外角大于它的任何一个内角，其中错误的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
4．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．80°B．90°C．100°D．110°
5．若某三角形两边的长分别是3和5，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．2B．7C．8D．1
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC和∠BAC的平分线交于一点O，∠ABO＝30°，则∠AOB的度数是（ ）
A．100°B．125°C．135°D．130°
7．下列各组数不可能是一个三角形的边长的是（ ）
A．7，8，9B．5，6，7C．3，4，5D．1，2，3
二．解答题
8．小明想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整．
在△ABC边BC上任取一点E，作DE∥AC交AB于点D，作EF∥AB交AC于点F．
∵DE∥AC，AB∥EF，
∴∠1＝ ，∠3＝ （ ）
∵AB∥EF，
∴∠4＝ （ ）
∵DE∥AC，
∴∠4＝ （ ）
∴∠2＝ ．（ ）
∵∠1+∠2+∠3＝180°，
∴∠A+∠B+∠C＝ ．
第1讲 三角形
1 与三角形相关的线段
1.三角形三边的关系：
定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.
要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
2.三角形按“边”分类：
3.三角形的重要线段：
（1）三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.
（2）三角形的中线
三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线，
要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.
（3）三角形的角平分线
三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.
【例题精选】
例1(2023•北京二模）如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A．B．
C．D．
分析：根据高线的定义即可得出结论．
【解答】解：A，C，D都不是△ABC的边AB上的高，
故选：B．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
例2 (2023秋•齐齐哈尔期末）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成三角形的是（ ）
A．1，2，4B．8，6，4C．12，6，5D．3，3，6
分析：根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边进行分析即可．
【解答】解：A、1+2＝3＜4，不能组成三角形，故此选项错误；
B、6+4＞8，能组成三角形，故此选项正确；
C、6+5＜12，不能组成三角形，故此选项错误；
D、3+3＝6，不能组成三角形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系定理，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【随堂练习】
1．(2023秋•呼和浩特期末）在数学课上，同学们在练习画边AC上的高时，出现下列四种图形，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：AC边上的高应该是过B作垂线段AC，符合这个条件的是C；
A，B，D都不过B点，故错误；
故选：C．
2．(2023秋•辛集市期末）一个三角形的两边长分别为3和4，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（ ）
A．11B．12C．13D．14
【解答】解：设第三边为a，
根据三角形的三边关系，得：4﹣3＜a＜3+4，
即1＜a＜7，
∵a为整数，
∴a的最大整数值为6，
则三角形的最大周长为3+4+6＝13．
故选：C．
3．(2023•迁安市二模）如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（ ）
A．两点之间的线段最短
B．长方形的四个角都是直角
C．长方形是轴对称图形
D．三角形有稳定性
【解答】解：用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形的根据是三角形具有稳定性．
故选：D．
2 与三角形有关的角
1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
推论：1.直角三角形的两个锐角互余
2.有两个角互余的三角形是直角三角形
2.三角形外角性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.
【例题精选】
例1(2023春•安源区期中）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠B＝_______．
分析：设一份是x°，则∠A＝2x°，∠B＝3x°，∠C＝4x°，再根据三角形的内角和是180°列方程求解．
【解答】解：设一份是x°，则∠A＝2x°，∠B＝3x°，∠C＝4x°．
则有2x+3x+4x＝180，
x＝20．
则∠B＝3x°＝60°；
故答案为：60°．
【点评】此题考查了三角形的内角和定理．
例2．(2023秋•港南区期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（ ）
A．70°B．80°C．90°D．100°
分析：根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数，即可求出结果．
【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，
∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，
∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，
∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，
∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，
∵∠PBC＝20°，
∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，
∴∠A+∠P＝90°，
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的定义，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以及三角形的内角和为180°，难度适中．
例3(2023•石屏县一模）如图，BD、CE是△ABC的角平分线，它们相交于点O，若∠A＝64°，则∠BOC＝________．
分析：由三角形内角和得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，根据角平分线定义得∠1+∠2＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB），进而解答即可．
【解答】解：∵∠A＝64°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝116°，
∵BD平分∠ABC、CE平分∠ACB，
∴∠DBC＝∠ABC、∠BCE＝∠ACB，
则∠DBC+∠BCE＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝58°，
∴∠BOC＝180°﹣58°＝122°，
故答案为：122°
【点评】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理、角平分线的定义是解题的关键．
【随堂练习】
1．(2023秋•樊城区期末）在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则∠B＝_______度．
【解答】解：设∠A为x．
x+2x+3x＝180°⇒x＝30°．
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°．
故填60．
2．(2023•大庆）如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A＝60°，则∠BEC是（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
【解答】解：∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠EBM＝∠ABC，
∵CE是外角∠ACM的平分线，
∴∠ECM＝∠ACM，
则∠BEC＝∠ECM﹣∠EBM＝×（∠ACM﹣∠ABC）＝∠A＝30°，
故选：B．
3．(2023•杭州）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（ ）
A．必有一个内角等于30°B．必有一个内角等于45°
C．必有一个内角等于60°D．必有一个内角等于90°
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠C﹣∠B，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故选：D．
3 多边形
多边形的内角和及外角和公式
1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．
要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；
(2)内角和定理的应用：
①已知多边形的边数，求其内角和；
②已知多边形内角和，求其边数.
2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
要点诠释：(1)外角和公式的应用：
①已知外角度数，求正多边形边数；
②已知正多边形边数，求外角度数.
(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：
①n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.
三角形的内角和与外角和
【例题精选】
例1(2023•陕西模拟）如图，五边形ABCDE的外角中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝75°，则∠A的度数是_________．
分析：根据多边形的外角和求出与∠A相邻的外角的度数，然后根据邻补角的和等于180°列式求解即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝75°，
∴与∠A相邻的外角＝360°﹣75°×4＝360°﹣300°＝60°，
∴∠A＝180°﹣60°＝120°．
故答案为：120°．
【点评】本题考查了多边形的外角和，利用多边形的外角和等于360度进行计算是解决问题的关键．
例2(2023秋•南昌期末）已知一个多边形的内角和等于这个多边形外角和的2倍，则这个多边形的边数是_________．
分析：多边形的外角和是360°，则内角和是2×360＝720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值．
【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
（n﹣2）×180°＝2×360，
解得：n＝6．
即这个多边形为6边形．
故答案为：6．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
【随堂练习】
1．(2023秋•嘉祥县期末）一个正多边形的外角等于36°，则这个正多边形的内角和是（ ）
A．1440°B．1080°C．900°D．720°
【解答】解：∵一个正多边形的外角等于36°，
∴这个正多边形是正十边形，
∴内角和为（10﹣2）×180°＝1440°，
故选：A．
2．(2023秋•广安期末）若n边形的内角和等于外角和的3倍，则边数n为（ ）
A．n＝6B．n＝7C．n＝8D．n＝9
【解答】解：由题意得：180（n﹣2）＝360×3，
解得：n＝8，
故选：C．
3．(2023春•丹徒区期中）一个多边形的每个内角都相等，并且它的一个外角与一个内角的比为1：3，则这个多边形为（ ）
A．三角形B．四边形C．六边形D．八边形
【解答】解：设这个多边形的边数为n，依题意得
（n﹣2）×180°＝3×360°，
解得n＝8，
∴这个多边形为八边形，
故选：D．
综合练习
一．选择题
1．三角形的高线、中线、角平分线都是（ ）
A．直线B．线段
C．射线D．以上情况都有
【解答】解：三角形的高线、角平分线和中线都是线段，
故选：B．
2．四边形剪去一个角后，内角和将（ ）
A．减少180°B．不变
C．增加180°D．以上都有可能
【解答】解：如下图所示：
观察图形可知，四边形剪掉一个角后，剩下的图形可能是五边形，也可能是四边形，还可能是三角形．
则剩下的纸片图形是三角形或四边形或五边形．
内角和是：180°或360°或540°．
故选：D．
3．下列说法：①满足a+b＞c的a、b、c三条线段一定能组成三角形；②三角形的三条高交于三角形内一点；③三角形的外角大于它的任何一个内角，其中错误的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解答】解：（1）满足a+b＞c且a＜c，b＜c的a、b、c三条线段一定能组成三角形，故错误；
（2）只有锐角三角形的三条高交于三角形内一点，故错误；
（3）三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角，故错误；
故选：D．
4．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．80°B．90°C．100°D．110°
【解答】解：∵∠A＝65°，∠B＝75°，
∴∠C＝180°﹣65°﹣75°＝40°，
由折叠的性质可知，∠C′＝∠C＝40°，
∴∠3＝∠1+∠C′＝60°，
∴∠2＝∠C+∠3＝100°，
故选：C．
5．若某三角形两边的长分别是3和5，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．2B．7C．8D．1
【解答】解：设三角形的第三边为m．
由题意：5﹣3＜m＜5+3，
即2＜m＜8，
故选：B．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC和∠BAC的平分线交于一点O，∠ABO＝30°，则∠AOB的度数是（ ）
A．100°B．125°C．135°D．130°
【解答】解：∵BO平分∠ABC，∠ABO＝30°，
∴∠ABC＝60°，
又∵∠C＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∵AO平分∠BAC，
∴∠BAO＝∠BAC＝15°，
∴△AOB中，∠AOB＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝135°，
故选：C．
7．下列各组数不可能是一个三角形的边长的是（ ）
A．7，8，9B．5，6，7C．3，4，5D．1，2，3
【解答】解：A、7+8＞9，能构成三角形；
B、5+6＞7，能构成三角形；
C、3+4＞5，能构成三角形；
D、1+2＝3，不能构成三角形．
故选：D．
二．解答题
8．小明想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整．
在△ABC边BC上任取一点E，作DE∥AC交AB于点D，作EF∥AB交AC于点F．
∵DE∥AC，AB∥EF，
∴∠1＝ ∠C ，∠3＝ ∠B （ ∠A ）
∵AB∥EF，
∴∠4＝ ∠A （ 两直线平行同位角相等 ）
∵DE∥AC，
∴∠4＝ ∠2 （ 两直线平行内错角相等 ）
∴∠2＝ ∠A ．（ 等量代换 ）
∵∠1+∠2+∠3＝180°，
∴∠A+∠B+∠C＝ 180 ．
【解答】解：在△ABC边BC上任取一点E，作DE∥AC交AB于点D，作EF∥AB交AC于点F．
∵DE∥AC，AB∥EF，
∴∠1＝∠C，∠3＝∠B
∵AB∥EF，
∴∠4＝∠A（两直线平行内错角相等）
∵DE∥AC，
∴∠4＝∠2（两直线平行内错角相等 ）
∴∠2＝∠A（等量代换）．
∵∠1+∠2+∠3＝180°，
∴∠A+∠B+∠C＝180°．
故答案为：∠C，∠B，∠A，∠2，两直线平行内错角相等，两直线平行，∠2，两直线平行内错角相等∠A，等量代换，180°．