新八年级数学讲义第7讲乘法公式-满分班(学生版+解析)

这是一份新八年级数学讲义第7讲乘法公式-满分班(学生版+解析)，共13页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。

1 平方差公式
平方差公式
平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型
（2）系数变化：如
（3）指数变化：如
（4）符号变化：如
（5）增项变化：如
（6）增因式变化：如
【例题精选】
例1 (2023•镇江模拟）计算：（﹣2x﹣3y）（2x﹣3y）＝___________．
例2(2023秋•宁都县期末）计算：2020×2018﹣20192＝______．
【随堂练习】
1．(2023秋•长葛市期末）计算：20202﹣2019×2021＝________．
2．(2023•东台市一模）计算：（2a+b）（2a﹣b）+b（2a+b）＝________．
2完全平方公式
完全平方公式：
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：

【例题精选】
例1 (2023秋•新宾县期末）已知x+y＝4，xy＝3，求下列各式的值：
（1）2x2y+2xy2；
（2）x﹣y
例2(2023春•丹徒区期中）用简便方法计算：10.12﹣2×10.1×0.1+0.01＝_______．
【随堂练习】
1．(2023秋•德州期末）若x2+y2＝8，xy＝2，则（x﹣y）2＝________．
2．(2023秋•东湖区期末）已知a+b＝5，ab＝3．则（a﹣b）2的值为___________．
3．(2023春•雁塔区校级期末）若n满足（n﹣2019）2+(2023﹣n）2＝1，则（n﹣2019）(2023﹣n）＝__________．
4．(2023春•金华期中）已知a+b＝6，ab＝﹣3，求下列各式的值：
（1）a2+b2；
（2）（a﹣b）2．
3完全平方式
完全平方公式：
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：

【例题精选】
例1(2023秋•日照期末）下列各式是完全平方式的是（ ）
A．x2﹣x+B．1+x2C．x+xy+1D．x2+2x﹣1
例2(2023秋•武安市期末）若x2﹣2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于（ ）
A．﹣1B．7C．7或﹣7D．7或﹣1
【随堂练习】
1．(2023秋•连山区期末）如果关于x的二次三项式9x2﹣mx+4是完全平方式，那么m的值是________．
2．(2023秋•勃利县期末）已知：x2+16x﹣k是完全平方式，则k＝_______．
3．(2023秋•大安市期末）如果4x2+mx+9是完全平方式，则m的值是________．
综合练习
一．选择题（共4小题）
1．如果9x2﹣kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（ ）
A．±15B．15C．±30D．30
2．已知a+b＝6，ab＝3，则﹣ab＝（ ）
A．9B．18C．15D．12
3．若x2﹣mx+4是一个完全平方式，则m的值应是（ ）
A．2B．﹣2C．4或﹣4D．2或﹣2
4．把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形拼成如图的正方形，图形中阴影部分面积正好可以验证下面等式的正确性的是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
二．填空题（共2小题）
5．已知（x﹣y）2＝7，x+y＝5，则xy的值为 ．
6．计算：（1﹣π）0（2a+1）（2a﹣1）＝ ．
三．解答题（共3小题）
7．计算：
（1）（﹣5）0﹣（）2+|﹣3|；
（2）（a+b）（a﹣b）﹣a（a﹣b）．
8．化简：（a+1）（a﹣1）﹣（a﹣1）2．
9．（1）计算：（﹣2）2+﹣（2）0．
（2）化简：（a+2）（a﹣2）﹣a（a﹣4）．
第7讲 乘法公式

1 平方差公式
平方差公式
平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型
（2）系数变化：如
（3）指数变化：如
（4）符号变化：如
（5）增项变化：如
（6）增因式变化：如
【例题精选】
例1 (2023•镇江模拟）计算：（﹣2x﹣3y）（2x﹣3y）＝___________．
分析：根据平方差公式解答即可．
【解答】解：（﹣2x﹣3y）（2x﹣3y）
＝（﹣3y）2﹣（2x）2
＝9y2﹣4x2．
故答案为：9y2﹣4x2
【点评】本题主要考查了平方差公式，熟记公式是解答本题的关键．
例2(2023秋•宁都县期末）计算：2020×2018﹣20192＝______．
分析：首先把2020×2018化成(2023+1）(2023﹣1），然后应用平方差公式计算即可．
【解答】解：2020×2018﹣20192
＝(2023+1）(2023﹣1）﹣20192
＝20192﹣12﹣20192
＝﹣1
故答案为：﹣1．
【随堂练习】
1．(2023秋•长葛市期末）计算：20202﹣2019×2021＝________．
【解答】解：20202﹣2019×2021
＝20202﹣(2023﹣1）×(2023+1）
＝20202﹣20202+12
＝1
故答案为：1．
2．(2023•东台市一模）计算：（2a+b）（2a﹣b）+b（2a+b）＝________．
【解答】解：原式＝4a2﹣b2+2ab+b2＝4a2+2ab，
故答案为：4a2+2ab
2完全平方公式
完全平方公式：
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：

【例题精选】
例1 (2023秋•新宾县期末）已知x+y＝4，xy＝3，求下列各式的值：
（1）2x2y+2xy2；
（2）x﹣y
分析：（1）提取公因式2xy，原式可化为2xy（x+y），再把x+y＝4，xy＝3代入计算即可；
（2）运用完全平方公式解答即可．
【解答】解：（1）∵x+y＝4，xy＝3，
∴2x2y+2xy2＝2xy（x+y）＝2×4×3＝24；
（2）∵x+y＝4，xy＝3，
∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝42﹣4×3＝4．
∴．
【点评】本题主要考查了代数式求值，熟练掌握完全平方公式以及整体代入的方法是解答本题的关键．
例2(2023春•丹徒区期中）用简便方法计算：10.12﹣2×10.1×0.1+0.01＝_______．
分析：利用完全平方公式解答．
【解答】解：原式＝（10.1﹣0.1）2＝102＝100．
故答案是：100．
【点评】本题考查了完全平方公式，能够把已知式子变成完全平方的形式，求得（10.1﹣0.1）的值．
【随堂练习】
1．(2023秋•德州期末）若x2+y2＝8，xy＝2，则（x﹣y）2＝________．
【解答】解：∵x2+y2＝8，xy＝2，
∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝8﹣4＝4．
故答案为：4．
2．(2023秋•东湖区期末）已知a+b＝5，ab＝3．则（a﹣b）2的值为___________．
【解答】解：∵a+b＝5，ab＝3，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝52﹣4×3＝13．
故答案为：13．
3．(2023春•雁塔区校级期末）若n满足（n﹣2019）2+(2023﹣n）2＝1，则（n﹣2019）(2023﹣n）＝__________．
【解答】解：∵（n﹣2019）2+(2023﹣n）2＝1，
∴[（n﹣2019）+(2023﹣n）]2
＝（n﹣2019）2+2（n﹣2019）(2023﹣n）+(2023﹣n）2
＝1+2（n﹣2019）(2023﹣n）
＝1，
∴（n﹣2019）(2023﹣n）＝0．
故答案为：0．
4．(2023春•金华期中）已知a+b＝6，ab＝﹣3，求下列各式的值：
（1）a2+b2；
（2）（a﹣b）2．
【解答】解：（1）∵a+b＝6，ab＝﹣3，
∴原式＝（a+b）2﹣2ab
＝62﹣2×（﹣3）
＝36+6
＝42；
（2）原式＝（a+b）2﹣4ab
＝62﹣4×（﹣3）
＝48．
3完全平方式
完全平方公式：
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：

【例题精选】
例1(2023秋•日照期末）下列各式是完全平方式的是（ ）
A．x2﹣x+B．1+x2C．x+xy+1D．x2+2x﹣1
分析：完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．最后一项为乘积项除以2，除以第一个底数的结果的平方．
【解答】解：A、x2﹣x+是完全平方式；
B、缺少中间项±2x，不是完全平方式；
C、不符合完全平方式的特点，不是完全平方式；
D、不符合完全平方式的特点，不是完全平方式．
故选：A．
【点评】本题是完全平方公式的应用，熟记公式结构：两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，是解题的关键．
例2(2023秋•武安市期末）若x2﹣2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于（ ）
A．﹣1B．7C．7或﹣7D．7或﹣1
分析：这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍．
【解答】解：依题意，得m﹣3＝±4，
解得m＝7或﹣1．
故选：D．
【点评】本题是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
【随堂练习】
1．(2023秋•连山区期末）如果关于x的二次三项式9x2﹣mx+4是完全平方式，那么m的值是________．
【解答】解：∵9x2﹣mx+4是一个完全平方式，
∴这两个数是3x和2，
∴mx＝±2×2×3x，
解得k＝±12；
故答案是：±12．
2．(2023秋•勃利县期末）已知：x2+16x﹣k是完全平方式，则k＝_______．
【解答】解：∵x2+16x﹣k是完全平方式，
∴﹣k＝64，
∴k＝﹣64．
故答案为：﹣64
3．(2023秋•大安市期末）如果4x2+mx+9是完全平方式，则m的值是________．
分析：利用完全平方公式化简即可求出m的值．
【解答】解：∵4x2+mx+9是完全平方式，
∴m＝±12，
故答案为：±12
综合练习
一．选择题（共4小题）
1．如果9x2﹣kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（ ）
A．±15B．15C．±30D．30
【解答】解：∵9x2﹣kx+25是一个完全平方式，
∴﹣kx＝±2×3x×5，
则k＝±30．
故选：C．
2．已知a+b＝6，ab＝3，则﹣ab＝（ ）
A．9B．18C．15D．12
【解答】解：把a+b＝6两边平方得：（a+b）2＝36，
整理得：a2+b2+2ab＝36，
将ab＝3代入得：a2+b2＝30，
则原式＝15﹣3＝12，
故选：D．
3．若x2﹣mx+4是一个完全平方式，则m的值应是（ ）
A．2B．﹣2C．4或﹣4D．2或﹣2
【解答】解：∵（x±2）2＝x2±4x+4＝x2﹣mx+4，
∴m＝±4．
故选：C．
4．把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形拼成如图的正方形，图形中阴影部分面积正好可以验证下面等式的正确性的是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
【解答】解：阴影部分的面积是：（a+b）2﹣（a﹣b）2；
4个长方形的面积是：4ab，
∴验证的等式是：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．
故选：D．
二．填空题（共2小题）
5．已知（x﹣y）2＝7，x+y＝5，则xy的值为 ．
【解答】解：∵（x﹣y）2＝7，
∴x2﹣2xy+y2＝7①，
∵x+y＝5，
∴（x+y）2＝25，
∴x2+2xy+y2＝25②，
∴②﹣①得：
4xy＝18，
则xy＝．
6．计算：（1﹣π）0（2a+1）（2a﹣1）＝ 4a2﹣1 ．
【解答】解：原式＝1×（4a2﹣1）＝4a2﹣1．
故答案是：4a2﹣1．
三．解答题（共3小题）
7．计算：
（1）（﹣5）0﹣（）2+|﹣3|；
（2）（a+b）（a﹣b）﹣a（a﹣b）．
【解答】解：（1）原式＝1﹣3+3＝1；
（2）原式＝a2﹣b2﹣a2+ab＝﹣b2+ab．
8．化简：（a+1）（a﹣1）﹣（a﹣1）2．
【解答】解：原式＝a2﹣1﹣a2+2a﹣1＝2a﹣2．
9．（1）计算：（﹣2）2+﹣（2）0．
（2）化简：（a+2）（a﹣2）﹣a（a﹣4）．
【解答】解：（1）原式＝4+2﹣1＝3+2．
（2）原式＝a2﹣4﹣a2+4a＝4a﹣4．