新八年级数学讲义第5讲等腰三角形-满分班(学生版+解析)

这是一份新八年级数学讲义第5讲等腰三角形-满分班(学生版+解析)，共23页。学案主要包含了等腰三角形的定义，等腰三角形的性质，等边三角形的判定等内容，欢迎下载使用。


1 等腰三角形
一、等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
二、等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
2.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
3.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．
【例题精选】
例1 (2023春•越秀区校级期中）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形底边的长为（ ）
A．17cmB．5cmC．5cm或17cmD．无法确定
例2 (2023春•芝罘区期中）如图，△ABC中，AB＝AC，腰AB的垂直平分线DE交AB于点E，交AC于点D，且∠DBC＝15°，则∠A的度数是（ ）
A．50°B．36°C．40°D．45°
【随堂练习】
1．(2023春•渭南期中）等腰三角形的一个角是40°，则它的底角是（ ）
A．40°B．40°或70°C．80°或70°D．70°
2．(2023•东莞市一模）等腰三角形的一边长为5，周长为20．则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A．5B．10C．5或10D．5或7.5
3．(2023•光明区一模）如图，AB∥CE，∠A＝40°，CE＝DE，则∠C＝（ ）
A．40°B．30°C．20°D．15°
2等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
【例题精选】
例1(2023秋•德州期末）在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得△ABC是等腰三角形，则这样的格点C的个数是（ ）
A．4B．6C．8D．10
例2(2023•武汉模拟）平面直角坐标系中，A（3，3）、B（0，5）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．7
【随堂练习】
1．(2023•浙江自主招生）已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A．5条B．6条C．7条D．8条
2．(2023秋•江干区期末）若△ABC三个内角的关系为＝＝，则三角形的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
3.等边三角形
一、等边三角形
等边三角形定义：
三边都相等的三角形叫等边三角形.
要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包
括等边三角形．
二、等边三角形的性质
等边三角形的性质：
等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.
三、等边三角形的判定
等边三角形的判定：
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【例题精选】
例1(2023秋•濉溪县期末）如图，在等边三角形ABC中，∠DFE＝120°，那么AD与CE的大小关系是（ ）
A．AD＞CEB．AD＜CEC．AD＝CED．不能确定
【随堂练习】
1．(2023春•兰州期末）如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
4.含30°的直角三角形
含30°的直角三角形的性质定理：
在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.
【例题精选】
例1 (2023秋•靖江市校级月考）已知△ABC，∠BAC＝30°，AB＝8，要使满足条件的△ABC唯一确定，那么BC边长度x的取值范围是（ ）
A．4B．8C．x＞8D．x＝4或x≥8
例2 (2023春•盐田区期末）若等腰三角形的底角为15°，则一腰上的高是腰长的（ ）
A．B．C．1倍D．2倍
【随堂练习】
1．(2023秋•岳阳期中）某商场大厅一楼到二楼的手扶电梯如图所示．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，大厅两层楼之间高度h＝6m，则顾客乘电梯从B点到C点的距离是（ ）m．
A．3B．6C．6D．12
2．(2023秋•海淀区校级月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，点P是AC边上的动点，则BP的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4

综合练习
一．选择题（共3小题）
1．如图，已知点A（﹣2，0）和点B（1，1），在坐标轴上确定点C，使得△ABC是等腰三角形，则满足条件的点C共有（ ）
A．6个B．7个C．8个D．10个
2．如图所示，在△PMN中，∠P＝36°，PM＝PN＝12，MQ平分∠PMN交PN于点Q，延长MN至点G，取NG＝NQ，若MQ＝a，则NG的长是（ ）
A．aB．12﹣aC．12+aD．12+2a
3．在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝4，则BC等于（ ）
A．2B．C．D．8
二．解答题（共3小题）
4．在△ABC中，AB＝AC，M是边BC的中点，BD平分∠ABC，交AM于E，交AC于D，若∠AED＝64°，求∠BAC的度数的大小
5．如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点．若∠B＝35°，求∠CAE度数．
6．如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD＝AB，
（1）若∠BDA＝∠BAD，∠B＝60°，求∠C的大小；
（2）若AE既是△ABD的高又是角平分线，∠B＝54°，求∠C的大小．
第5讲 等腰三角形
1 等腰三角形
一、等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
二、等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
2.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
3.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．
【例题精选】
例1 (2023春•越秀区校级期中）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形底边的长为（ ）
A．17cmB．5cmC．5cm或17cmD．无法确定
分析：根据等腰三角形的性质和已知条件求出腰长和底边长，然后根据三边关系进行讨论，即可得出结论．
【解答】解：设等腰三角形的腰长是xcm，底边是ycm．
根据题意，得：或，
解得或．
再根据三角形的三边关系知：8，8，17不能组成三角形，应舍去．
所以它的底边长是5cm．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质；解题中，因为两部分的周长没有明确，所以首先要分两种情况考虑．最后一定要注意检查是否符合三角形的三边关系．分类讨论是解题的关键．
例2 (2023春•芝罘区期中）如图，△ABC中，AB＝AC，腰AB的垂直平分线DE交AB于点E，交AC于点D，且∠DBC＝15°，则∠A的度数是（ ）
A．50°B．36°C．40°D．45°
分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，再根据等边对等角可得∠A＝∠ABD，∠ABC＝∠C，然后根据三角形的内角和等于180°方程求解即可．
【解答】解：∵AB的垂直平分线DE交AC于D，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠DBC＝15°，
∴∠ABC＝∠C＝∠A+15°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠A+∠A+15°+∠A+15°＝180°，
解得∠A＝50°．
故选：A．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，熟记性质与定理并列出方程是解题的关键．
【随堂练习】
1．(2023春•渭南期中）等腰三角形的一个角是40°，则它的底角是（ ）
A．40°B．40°或70°C．80°或70°D．70°
【解答】解：当40°的角为等腰三角形的顶角时，底角＝＝70°；
当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，
故它的底角的度数是70°或40°．
故选：B．
2．(2023•东莞市一模）等腰三角形的一边长为5，周长为20．则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A．5B．10C．5或10D．5或7.5
【解答】解：当5为腰长时，底边长为20﹣5×2＝10，
所以此时三角形的三边长为5，5，10，
∵5+5＝10，
∴不能组成三角形，
当5为底边长时，腰长为＝7.5，
此时三角形的三边长为5，7.5，7.5，能组成三角形，
所以等腰三角形的底边长为5，
故选：A．
3．(2023•光明区一模）如图，AB∥CE，∠A＝40°，CE＝DE，则∠C＝（ ）
A．40°B．30°C．20°D．15°
【解答】解：∵AB∥CE，
∴∠AEC＝∠A＝40°，
∵CE＝DE，
∴∠C＝∠D，
∴∠AEC＝∠C+∠D＝2∠C，
∴∠C＝∠AEC＝×40°＝20°．
故选：C．
2等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
【例题精选】
例1(2023秋•德州期末）在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得△ABC是等腰三角形，则这样的格点C的个数是（ ）
A．4B．6C．8D．10
分析：分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
【解答】解：如图，
分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想．
例2(2023•武汉模拟）平面直角坐标系中，A（3，3）、B（0，5）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．7
分析：由于没有说明△ABC的腰长，故需要分三种情况进行讨论，分别是AB＝AC，AB＝BC，AC＝BC，
【解答】解：当AC＝CB时，
作AB的垂直平分线，交x轴于C1，交y轴于点C2
当AB＝AC时，
以点A为圆心，AB为半径作圆A，交y轴于C3，交x轴于C4、C5，
当AB＝BC时，
以点B为圆心，AB为半径作圆B，交y轴于点C6、C7
故选：D．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是根据等腰三角形的性质分三种情况进行讨论，本题属于中等题型．
【随堂练习】
1．(2023•浙江自主招生）已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A．5条B．6条C．7条D．8条
【解答】解：如图所示：
当BC1＝AC1，AC＝CC2，AB＝BC3，AC4＝CC4，AB＝AC5，AB＝AC6，BC7＝CC7时都能得到符合题意的等腰三角形．
故选：C．
2．(2023秋•江干区期末）若△ABC三个内角的关系为＝＝，则三角形的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
【解答】解：∵△ABC三个内角的关系为＝＝，
∴设＝＝＝k，
∴∠A＝3k，∠B＝4k，∠C＝5k，
∴3k+4k+5k＝180°，
∴k＝15°，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，
∴三角形的形状为锐角三角形，
故选：A．
3.等边三角形
一、等边三角形
等边三角形定义：
三边都相等的三角形叫等边三角形.
要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包
括等边三角形．
二、等边三角形的性质
等边三角形的性质：
等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.
三、等边三角形的判定
等边三角形的判定：
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【例题精选】
例1(2023秋•濉溪县期末）如图，在等边三角形ABC中，∠DFE＝120°，那么AD与CE的大小关系是（ ）
A．AD＞CEB．AD＜CEC．AD＝CED．不能确定
分析：根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：AD＝CE，
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ACB＝60°，
∵∠DFE＝120°，
∴∠EFC＝60°，
∴∠BDC＝60°+∠ACD，∠AEF＝40°+∠ACE，
∴∠BDC＝∠AEB，
∴∠ADE＝∠BEC，
∵AC＝BC，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD＝CE．
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
【随堂练习】
1．(2023春•兰州期末）如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
【解答】解：∵在等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴AD是BC的线段垂直平分线，
∵E是AD上一点，
∴EB＝EC，
∴∠EBD＝∠ECD，
∵∠CED＝50°，
∴∠ECD＝40°，
又∵∠ABC＝60°，∠ECD＝40°，
∴∠ABE＝60°﹣40°＝20°，
故选：C．
4.含30°的直角三角形
含30°的直角三角形的性质定理：
在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.
【例题精选】
例1 (2023秋•靖江市校级月考）已知△ABC，∠BAC＝30°，AB＝8，要使满足条件的△ABC唯一确定，那么BC边长度x的取值范围是（ ）
A．4B．8C．x＞8D．x＝4或x≥8
分析：过B点作BD垂直于AC于D点，则△ABD是含30度角的直角三角形；再延长AD到E点，使DE＝AD，再分别讨论C点的位置即可．
【解答】解：过B点作BD垂直于AC于D点，则△ABD是含30度角的直角三角形；再延长AD到E点，使DE＝AD，
①当C点和D点重合时，△ABC是含30度角的直角三角形，BC＝AB＝4，这个三角形是唯一的；
②当C点和E点重合时，三角形ABC是等腰三角形，BC＝AB＝8，这个三角形也是唯一的；
③当C点在线段AE的延长线上时，即x大于BE，也就是x大于8，这时，三角形ABC也是唯一的；
综上所述，∠BAC＝30°，AB＝8，要使△ABC唯一确定，那么BC的长度x满足的条件是：x＝4或x≥8．
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是要确定点C的位置．
例2 (2023春•盐田区期末）若等腰三角形的底角为15°，则一腰上的高是腰长的（ ）
A．B．C．1倍D．2倍
分析：根据等腰三角形的性质，三角形的内角与外角的关系得到∠DAC＝30°．在直角△ACD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半解得CD与腰长AC的关系．
【解答】解：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝15°，CD是腰AB上的高，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝15°，
∴∠DAC＝30°，
∵AB＝AC，
∴在直角△ACD中，CD＝AC，
故选：B．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质：等边对等角．三角形的内角与外角的关系以及直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半．
【随堂练习】
1．(2023秋•岳阳期中）某商场大厅一楼到二楼的手扶电梯如图所示．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，大厅两层楼之间高度h＝6m，则顾客乘电梯从B点到C点的距离是（ ）m．
A．3B．6C．6D．12
【解答】解：如图所示：过点C作CE⊥AB延长线于点E，
∵∠ABC＝150°，
∴∠CBE＝30°，
∵从点B到点C上升的高度为6m，
∴电梯BC的长是12m．
故选：D．
2．(2023秋•海淀区校级月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，点P是AC边上的动点，则BP的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，
∴BC＝AB＝＝2，
∵点P是AC边上的动点，
则当P与C重合时，BP的值最小为2，
故选：B．

综合练习
一．选择题（共3小题）
1．如图，已知点A（﹣2，0）和点B（1，1），在坐标轴上确定点C，使得△ABC是等腰三角形，则满足条件的点C共有（ ）
A．6个B．7个C．8个D．10个
【解答】解：如图所示：
以A为圆心，AB长为半径，C点有4个；
以B为圆心，AB长为半径，C点有4个；
以AB线段垂直平分线交坐标轴有2个；
故C点有10个，
故选：D．
2．如图所示，在△PMN中，∠P＝36°，PM＝PN＝12，MQ平分∠PMN交PN于点Q，延长MN至点G，取NG＝NQ，若MQ＝a，则NG的长是（ ）
A．aB．12﹣aC．12+aD．12+2a
【解答】解：∵在△PMN中，∠P＝36°，
∴∠PMN＝∠PNM＝72°，
∵MQ平分∠PMN，
∴∠PMQ＝36°，
∴∠P＝∠PMQ，
∴PQ＝QM，
∵NG＝NQ，
∴∠G＝∠NQG，
∵∠PNM＝∠G+∠GQN＝72°，
∴∠G＝∠GQN＝36°，
∴QN＝NG，
∵PM＝PN＝12，MQ＝a，
∴NG＝QN＝12﹣a，
故选：B．
3．在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝4，则BC等于（ ）
A．2B．C．D．8
【解答】解：根据含30度角的直角三角形的性质可知：BC＝2AB＝8．
故选：D．
二．解答题（共3小题）
4．在△ABC中，AB＝AC，M是边BC的中点，BD平分∠ABC，交AM于E，交AC于D，若∠AED＝64°，求∠BAC的度数的大小
【解答】解：∵AB＝AC，M是边BC的中点，
∴∠ABM＝90°，∠BAM＝∠CAM，
∵∠BEM＝∠AED＝64°，
∴∠EBM＝26°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBM＝52°，
∴∠BAM＝90°﹣∠ABM＝38°，
∴∠BAC＝2∠BAM＝76°．
5．如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点．若∠B＝35°，求∠CAE度数．
【解答】解：∵BD＝AD，∠B＝35°，
∴∠B＝∠BAD＝35°，
∴∠ADC＝2∠B＝70°，
∵AD＝AC，点E是CD中点，
∴AE⊥CD，∠C＝∠ADC＝70°，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣70°＝20°．
6．如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD＝AB，
（1）若∠BDA＝∠BAD，∠B＝60°，求∠C的大小；
（2）若AE既是△ABD的高又是角平分线，∠B＝54°，求∠C的大小．
【解答】解：（1）∵∠B＝60°，∠BDA＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠BDA＝60°，
∴AB＝AD，
∵CD＝AB，
∴CD＝AD，
∴∠DAC＝∠C，
∴∠BDA＝∠DAC+∠C＝2∠C，
∵∠BDA＝60°，
∴∠C＝30°；
（2）∵AE既是△ABD的高又是角平分线，∠B＝54°，
∴AB＝AD，∠ADB＝∠B＝54，
∵CD＝AB，
∴CD＝AD，
∴∠DAC＝∠C，
∴∠BDA＝∠DAC+∠C＝2∠C，
∵∠BDA＝54°，
∴∠C＝27°．