七年级数学暑期精品讲义第10讲.几何初步--点、线--满分班(学生版+解析)

这是一份七年级数学暑期精品讲义第10讲.几何初步--点、线--满分班(学生版+解析)，共26页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。


1图形的认识
图形分类
几何图形：长方体、圆柱、球、长（正）方形、圆、线段、点等，以及小学学习过的三角形、四边形等，都是从形形色色的物体外形中得出的，它们都是几何图形．
立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形．棱柱、棱锥也是常见的立体图形．如下图中的这些生活中常见的物体都是立体图形．

平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们都是平面图形．如下面这些图形：
立体图形与平面图形的联系：
立体图形中某些部分是平面图形，例如长方体的侧面是长方形；
对于一些立体图形，常把它们转化为平面图形来研究和处理．从不同方向来看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形；
有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以张开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．
【例题精选】
例1(2023秋•任丘市期末）一个六棱柱的顶点个数、棱的条数、面的个数分别是（ ）
A．6、12、6B．12、18、8C．18、12、6D．18、18、24
例2(2023秋•南岗区期中）如图，此图形中阴影部分的面积为（ ）dm2．
A．πB．4πC．πD．7π
【随堂练习】
1．(2023秋•呼兰区期中）两圆的周长比是1：2，则这两圆的面积比是（ ）
A．1：1B．1：2C．1：3D．1：4
2．(2023秋•沈河区期末）一个棱柱有12个顶点，所有侧棱长的和是48cm，则每条侧棱长是_______cm．
2点、线、面、体
体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，简称体．
面：包围着体的是面，面有平面和曲面两种．
线：面与面相交的地方形成线．
点：线与线相交的地方是点．
点、线、面、体的关系：点动成线，线动成面，面动成体．
【例题精选】
例1(2023秋•宁德期中）“笔尖在纸上快速滑动写出数字6”，运用数学知识解释这一现象（ ）
A．点动成线B．线动成面
C．面动成体D．面面相交得线
例2(2023秋•迎泽区校级月考）下列图形绕图中的虚线旋转一周，能形成圆锥的是（ ）
A．B．C．D．
【随堂练习】
1．(2023秋•建宁县期末）“汽车上雨刷器的运动过程”能说明的数学知识是（ ）
A．点动成线B．线动成面
C．面动成体D．面与面交于线
2．(2023秋•姜堰区期末）将如图所示的直角三角形绕其一边旋转一周，形成的曲面不能围成的几何体是（ ）
A．B．
C．D．
3直线、射线、线段
直线、射线、线段的概念
在直线的基础上定义射线、线段：
直线上的一点和这点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点．
直线上两点和中间的部分叫线段，这两个点叫线段的端点．
在线段的基础上定义直线、射线：
把线段向一方无限延伸所形成的图形叫射线．
把线段向两方无限延伸所形成的图形是直线．
直线
点的表示方法：我们经常用一个大写的英文字母表示点：，，，， ．
关于直线的基本事实：
经过两点有一条直线，并且只有一条直线，也称为“两点确定一条直线”．
直线的表示方法：
用一个小写字母来表示，如下图表示为直线．
注意：在直线的表示前面必须加上“直线”二字．
用一条直线上的两点来表示这条直线，如下图表示为直线．
注意：是两个大写字母，不分先后顺序，因此也可以写作直线．
点与直线的关系：
一个点在一条直线上，也可以说这条直线经过这个点．
一个点在一条直线外，也可以说直线不经过这个点．
相交：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点
射线
射线的表示方法：
用一个小写字母来表示，如下图表示为射线．
注意：在射线的表示前面必须加上“射线”二字．
用射线的端点和射线上的一点来表示，如下图表示为射线．
注意：第一个大写字母表示射线的端点，第二个大写字母表示射线上的点，因此两个字母分先后顺序，不能写作射线．
线段
线段的表示方法：
用一个小写字母来表示：如下图表示为线段．
注意：在线段的表示前面必须加上“线段”二字．
用线段上的两点来表示这个线段，如下图表示为线段．
注意：是两个大写字母，不分先后顺序，因此也可以写作线段．
线段长短的比较
测量法：用刻度尺分别测量出线段的长度，通过长度来比较线段的长短；
作图法：把其中一条线段移到另一条上作比较．
尺规作图：用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图．
中点：把线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点．
，
三等分点：把线段分成三条相等的线段的两个点叫做这条线段的三等分点．
，
关于线段的基本事实：
两点的所有连线中，线段最短，简称“两点之间，线段最短”．
两点的距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．
直线、射线、线段的主要区别：
【例题精选】
例1 (2023秋•密云区期末）如图，点C在线段AB上，AB＝9，AC＝2CB，D是AC的中点，求AD长．
例2(2023秋•邛崃市期末）已知线段AB＝6，在直线AB上取一点C，使BC＝2，则线段AC的长（ ）
A．2B．4C．8D．8或4
【随堂练习】
1.(2023秋•薛城区期末）如图，已知点C为AB上一点，BC＝12cm，AC＝CB，D、E分别为AC、AB的中点，则DE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．(2023秋•成都期末）如图所示，C、D是线段AB上两点，若AC＝3cm，C为AD中点且AB＝10cm，则DB＝（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm
综合应用
一．选择题（共5小题）
1．已知线段AB＝5cm，线段AC＝4cm，则线段BC的长度为（ ）
A．9cmB．1cmC．9cm或1cmD．无法确定
2．如图，C是线段AB上的点，D是线段AC的中点，E是线段BC的中点，若DE＝10，则AB的长为（ ）
A．10B．20C．30D．40
3．已知线段AB＝12cm．C是AB的中点．在线段AB上有一点D，且CD＝2cm．则AD的长是（ ）
A．8cmB．8cm或2cmC．8cm或4cmD．2cm或4cm
4．如图，点C是AB的中点，点D是BC的中点，现给出下列等式：①CD＝AC﹣DB，②CD＝AB，③CD＝AD﹣BC，④BD＝2AD﹣AB．其中正确的等式编号是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③④D．②③
5．直线a上有5个不同的点A、B、C、D、E，则该直线上共有（ ）条线段．
A．8B．9C．12D．10
二．解答题（共3小题）
6．如图，线段AB＝8，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点．
（1）求线段AD的长；
（2）若在线段AB上有一点E，CE＝BC，求AE的长．
7．已知线段AB＝16，在直线AB上截取线段BC＝10，点P、Q分別是AB、AC的中点．
（1）线段PQ的长度为 ；
（2）若AB＝m，BC＝n，其它条件不变，求线段PQ的长度；
（3）分析（1）（2）的结论，你从中发现了什么规律？
8．如图，直线1上有A，B两点，AB＝12cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB．
（1）OA＝ cm，OB＝ cm；
（2）若点C是线段AB上一点（点C不与点AB重合），且满足AC＝CO+CB，求CO的长；
（3）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s．设运动时间为t（s），当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．求当t为何值时，2OP﹣OQ＝4（cm）；
正方体
长方体
三棱柱
三棱锥
四棱锥
圆柱
圆锥
球
类型
端点
表示方法
是否可度量
是否可延长
直线
个
直线
直线或直线
否
无
射线
个
射线
射线，是端点
否
有反向延长线
线段
个
线段
线段或线段
是
有延长线及反向延长线
第10讲 几何图形初步
1图形的认识
图形分类
几何图形：长方体、圆柱、球、长（正）方形、圆、线段、点等，以及小学学习过的三角形、四边形等，都是从形形色色的物体外形中得出的，它们都是几何图形．
立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形．棱柱、棱锥也是常见的立体图形．如下图中的这些生活中常见的物体都是立体图形．

平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们都是平面图形．如下面这些图形：
立体图形与平面图形的联系：
立体图形中某些部分是平面图形，例如长方体的侧面是长方形；
对于一些立体图形，常把它们转化为平面图形来研究和处理．从不同方向来看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形；
有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以张开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．
【例题精选】
例1(2023秋•任丘市期末）一个六棱柱的顶点个数、棱的条数、面的个数分别是（ ）
A．6、12、6B．12、18、8C．18、12、6D．18、18、24
分析：一个六棱柱是由两个六边形的底面和6个长方形的侧面组成，根据其特征进行填空即可．
【解答】解：一个六棱柱的顶点个数是12，棱的条数是18，面的个数是8．
故选：B．
【点评】此题主要考查了认识立体图形，利用n棱柱有2n个顶点，有（n+2）个面，有3n条棱得出是解题关键．
例2(2023秋•南岗区期中）如图，此图形中阴影部分的面积为（ ）dm2．
A．πB．4πC．πD．7π
分析：阴影部分的面积等于半径是4dm的半圆面积和半径是3dm的半圆面积之差．
【解答】解：
＝8π﹣π
＝（dm2），
答：图形中阴影部分的面积为dm2．
故选：A．
【点评】本题考查了圆的面积的计算．在求不规则图形的面积时，一般要把不规则图形的面积转化为几个规则图形的面积相加或相减的方法进行计算．
【随堂练习】
1．(2023秋•呼兰区期中）两圆的周长比是1：2，则这两圆的面积比是（ ）
A．1：1B．1：2C．1：3D．1：4
【解答】解：设圆的半径分别为r，R，
∵两圆的周长比是1：2，
∴＝，即＝，
∴R＝2r，
则两个圆的面积比为＝＝，
故选：D．
2．(2023秋•沈河区期末）一个棱柱有12个顶点，所有侧棱长的和是48cm，则每条侧棱长是_______cm．
【解答】解：根据以上分析一个棱柱有12个顶点，所以它是六棱柱，即有6条侧棱，又因为所有侧棱长的和是48cm，所以每条侧棱长是48÷6＝8cm．
故答案为8．
2点、线、面、体
体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，简称体．
面：包围着体的是面，面有平面和曲面两种．
线：面与面相交的地方形成线．
点：线与线相交的地方是点．
点、线、面、体的关系：点动成线，线动成面，面动成体．
【例题精选】
例1(2023秋•宁德期中）“笔尖在纸上快速滑动写出数字6”，运用数学知识解释这一现象（ ）
A．点动成线B．线动成面
C．面动成体D．面面相交得线
分析：利用点动成线，线动成面，面动成体，进而得出答案．
【解答】解：笔尖在纸上快速滑动写出数字6，用数学知识解释为点动成线．
故选：A．
【点评】此题主要考查了点、线、面、体，正确把握它们之间的关系是解题关键．
例2(2023秋•迎泽区校级月考）下列图形绕图中的虚线旋转一周，能形成圆锥的是（ ）
A．B．C．D．
分析：抓住圆锥图形的特征，即可选择正确答案．
【解答】解：根据圆锥的特征可得：直角三角形沿一条直角边旋转一周后得到圆锥，
所给图形是直角三角形的是B选项．
故选：B．
【点评】考查了旋转的定义和圆锥的特征．解题的关键是掌握旋转的定义和圆锥的特征，依此即可解决此类问题．
【随堂练习】
1．(2023秋•建宁县期末）“汽车上雨刷器的运动过程”能说明的数学知识是（ ）
A．点动成线B．线动成面
C．面动成体D．面与面交于线
【解答】解：汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，是运用了线动成面的原理，
故选：B．
2．(2023秋•姜堰区期末）将如图所示的直角三角形绕其一边旋转一周，形成的曲面不能围成的几何体是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：直角三角形绕其一边旋转一周，形成的曲面不能围成的几何体是选项A，
故选：A．
3直线、射线、线段
直线、射线、线段的概念
在直线的基础上定义射线、线段：
直线上的一点和这点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点．
直线上两点和中间的部分叫线段，这两个点叫线段的端点．
在线段的基础上定义直线、射线：
把线段向一方无限延伸所形成的图形叫射线．
把线段向两方无限延伸所形成的图形是直线．
直线
点的表示方法：我们经常用一个大写的英文字母表示点：，，，， ．
关于直线的基本事实：
经过两点有一条直线，并且只有一条直线，也称为“两点确定一条直线”．
直线的表示方法：
用一个小写字母来表示，如下图表示为直线．
注意：在直线的表示前面必须加上“直线”二字．
用一条直线上的两点来表示这条直线，如下图表示为直线．
注意：是两个大写字母，不分先后顺序，因此也可以写作直线．
点与直线的关系：
一个点在一条直线上，也可以说这条直线经过这个点．
一个点在一条直线外，也可以说直线不经过这个点．
相交：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点
射线
射线的表示方法：
用一个小写字母来表示，如下图表示为射线．
注意：在射线的表示前面必须加上“射线”二字．
用射线的端点和射线上的一点来表示，如下图表示为射线．
注意：第一个大写字母表示射线的端点，第二个大写字母表示射线上的点，因此两个字母分先后顺序，不能写作射线．
线段
线段的表示方法：
用一个小写字母来表示：如下图表示为线段．
注意：在线段的表示前面必须加上“线段”二字．
用线段上的两点来表示这个线段，如下图表示为线段．
注意：是两个大写字母，不分先后顺序，因此也可以写作线段．
线段长短的比较
测量法：用刻度尺分别测量出线段的长度，通过长度来比较线段的长短；
作图法：把其中一条线段移到另一条上作比较．
尺规作图：用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图．
中点：把线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点．
，
三等分点：把线段分成三条相等的线段的两个点叫做这条线段的三等分点．
，
关于线段的基本事实：
两点的所有连线中，线段最短，简称“两点之间，线段最短”．
两点的距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．
直线、射线、线段的主要区别：
【例题精选】
例1 (2023秋•密云区期末）如图，点C在线段AB上，AB＝9，AC＝2CB，D是AC的中点，求AD长．
分析：根据线段的和差倍分即可得到结论．
【解答】解：∵点C在线段AB上，AC＝2CB，AB＝9，
∴AC＝6，
∵D是AC的中点，
∴AD＝AC，
∴AD＝3．
例2(2023秋•邛崃市期末）已知线段AB＝6，在直线AB上取一点C，使BC＝2，则线段AC的长（ ）
A．2B．4C．8D．8或4
分析：由于在直线AB上画线段BC，那么CB的长度有两种可能：①当C在AB之间，此时AC＝AB﹣BC；②当C在线段AB的延长线上，此时AC＝AB﹣BC．然后代入已知数据即可求出线段AC的长度．
【解答】解：∵在直线AB上画线段BC，
∴CB的长度有两种可能：
①当C在AB之间，
此时AC＝AB﹣BC＝6﹣2＝4cm；
②当C在线段AB的延长线上，
此时AC＝AB+BC＝6+2＝8cm．
故选：D．
【点评】此题主要考查了线段的和差的计算．在未画图类问题中，正确理解题意很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
【随堂练习】
1.(2023秋•薛城区期末）如图，已知点C为AB上一点，BC＝12cm，AC＝CB，D、E分别为AC、AB的中点，则DE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：根据题意BC＝12cm，AC＝CB，
所以AC＝18cm，
所以AB＝AC+CB＝30cm，
又因为D、E分别为AC、AB的中点，
所以DE＝AE﹣AD＝（AB﹣AC）＝6cm．
故选：D．
2．(2023秋•成都期末）如图所示，C、D是线段AB上两点，若AC＝3cm，C为AD中点且AB＝10cm，则DB＝（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm
【解答】解：∵点C为AD的中点，AC＝3cm，
∴CD＝3cm．
∵AB＝10cm，AC+CD+DB＝AB，
∴BD＝10﹣3﹣3＝4cm．
故选：A．
综合应用
一．选择题（共5小题）
1．已知线段AB＝5cm，线段AC＝4cm，则线段BC的长度为（ ）
A．9cmB．1cmC．9cm或1cmD．无法确定
【解答】解：当点C在线段AB上时，则AB﹣AC＝BC，所以BC＝5cm﹣4cm＝1cm；
当点C在线段BA的延长线上时，则AC﹣BC＝AB，所以BC＝5cm+4cm＝9cm．
故选：C．
2．如图，C是线段AB上的点，D是线段AC的中点，E是线段BC的中点，若DE＝10，则AB的长为（ ）
A．10B．20C．30D．40
【解答】解：∵D是线段AC的中点，E是线段BC的中点，∴AD＝CD＝，BE＝CE＝，
∴DE＝CD+DE＝AB＝10，故AB＝20．
故选：B．
3．已知线段AB＝12cm．C是AB的中点．在线段AB上有一点D，且CD＝2cm．则AD的长是（ ）
A．8cmB．8cm或2cmC．8cm或4cmD．2cm或4cm
【解答】解：∵AB＝12cm．C是AB的中点，
∴AC＝＝6cm，
当点D在AC之间时，AD＝AC﹣CD＝6﹣2＝4cm；
当点D在BC之间时，AD＝AC+CD＝6+2＝8cm．
故AD的长为8cm或4cm．
故选：C．
4．如图，点C是AB的中点，点D是BC的中点，现给出下列等式：①CD＝AC﹣DB，②CD＝AB，③CD＝AD﹣BC，④BD＝2AD﹣AB．其中正确的等式编号是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③④D．②③
【解答】解：①点C是AB的中点，AC＝CB．
CD＝CB﹣BD＝AC﹣DB，故①正确；
②2AD﹣AB＝2×AB﹣AB＝AB﹣AB＝BC＝．故②正确；
③点C是AB的中点，AC＝CB．
CD＝AD﹣AC＝AD﹣BC，故③正确；
④2AD﹣AB＝2AC+2CD﹣AB＝2CD＝BC，故④错误．
故正确的有①②③．
故选：B．
5．直线a上有5个不同的点A、B、C、D、E，则该直线上共有（ ）条线段．
A．8B．9C．12D．10
【解答】解：根据题意画图：
由图可知有AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE，
共10条．
故选：D．
二．解答题（共3小题）
6．如图，线段AB＝8，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点．
（1）求线段AD的长；
（2）若在线段AB上有一点E，CE＝BC，求AE的长．
【解答】解：（1）∵AB＝8，C是AB的中点，
∴AC＝BC＝4，
∵D是BC的中点，
∴CD＝BC＝2，
∴AD＝AC+CD＝6；
（2）∵BC＝4，CE＝BC，
∴CE＝×4＝1，
当E在C的左边时，AE＝AC﹣CE＝4﹣1＝3；
当E在C的右边时，AE＝AC+CE＝4+1＝5．
∴AE的长为3或5．
7．已知线段AB＝16，在直线AB上截取线段BC＝10，点P、Q分別是AB、AC的中点．
（1）线段PQ的长度为 5cm ；
（2）若AB＝m，BC＝n，其它条件不变，求线段PQ的长度；
（3）分析（1）（2）的结论，你从中发现了什么规律？
【解答】解：（1）当点C在线段AB之间时，AB＝16，BC＝10，故AC＝16﹣10＝6cm，
∵P、Q分别是AB、AC的中点，
∴＝8cm，AQ＝＝3cm，
∴PQ＝AP﹣AQ＝8﹣3＝5cm；
当点C在线段AB的延长线上时，AB＝16，BC＝10，故AC＝AB+BC＝16+10＝26cm，
∵P、Q分别是AB、AC的中点，
∴＝8cm，AQ＝＝13cm，
∴PQ＝AQ﹣AP＝13﹣8＝5cm；
故答案为：5cm；
（2）当点C在线段AB之间时，AB＝m，BC＝n，故AC＝m﹣n，
∵P、Q分别是AB、AC的中点，
∴＝，AQ＝＝，
∴PQ＝AP﹣AQ═；
当点C在线段AB的延长线上时，AB＝m，BC＝n，故AC＝AB+BC＝m+n，
∵P、Q分别是AB、AC的中点，
∴＝，AQ＝＝，
∴PQ＝AQ﹣AP＝；
（3）规律：PQ的长度总是等于BC的一半．
8．如图，直线1上有A，B两点，AB＝12cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB．
（1）OA＝ 8 cm，OB＝ 4 cm；
（2）若点C是线段AB上一点（点C不与点AB重合），且满足AC＝CO+CB，求CO的长；
（3）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s．设运动时间为t（s），当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．求当t为何值时，2OP﹣OQ＝4（cm）；
【解答】解：（1）∵AB＝12cm，OA＝2OB，
∴OA+OB＝3OB＝AB＝12cm，解得OB＝4cm，
OA＝2OB＝8cm．
故答案为：8，4；
（2）设C点所表示的实数为x，
分两种情况：①点C在线段OA上时，则x＜0，
∵AC＝CO+CB，
∴8+x＝﹣x+4﹣x，
3x＝﹣4，
x＝；
②点C在线段OB上时，则x＞0，
∵AC＝CO+CB，
∴8+x＝4，
x＝﹣4（不符合题意，舍）．
故CO的长是；
（3）当0≤t＜4时，依题意有
2（8﹣2t）﹣（4+t）＝4，
解得t＝1.6；
当4≤t＜6时，依题意有
2（2t﹣8）﹣（4+t）＝4，
解得t＝8（不合题意舍去）；
当t≥6时，依题意有
2（2t﹣8）﹣（4+t）＝4，
解得t＝8．
故当t为1.6s或8s时，2OP﹣OQ＝4．
正方体
长方体
三棱柱
三棱锥
四棱锥
圆柱
圆锥
球
类型
端点
表示方法
是否可度量
是否可延长
直线
个
直线
直线或直线
否
无
射线
个
射线
射线，是端点
否
有反向延长线
线段
个
线段
线段或线段
是
有延长线及反向延长线