新八年级数学讲义第9讲分式-基础班(学生版+解析)

这是一份新八年级数学讲义第9讲分式-基础班(学生版+解析)，共16页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。

1 分式的基本概念
分式的定义：一般地，如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，其中叫分子，叫分母且．
【例题精选】
例1下列各式，，，，，x+中，是分式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
例2 (2023秋•天心区校级期末）下列代数式中，分式有（ ）个．
，，，﹣，，，+3，
A．5B．4C．3D．2
【随堂练习】
1．(2023秋•承德县期末）对于，，，，，，其中分式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．(2023秋•新宾县期末）下列代数式中，属于分式的是（ ）
A．﹣3B．C．D．
3．(2023春•江阴市期中）在式子 ①； ②；③；④中，是分式的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
2 分式有意义的条件
分式有意义（或分式存在）的条件：分式的分母不等于零即．
【例题精选】
例1(2023•海淀区二模）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＝0B．x＝2C．x≠0D．x≠2
例2(2023秋•德州期末）下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（ ）
A．B．C．D．
【随堂练习】
1．(2023秋•慈利县期末）要使分式的值存在，则x的取值应满足（ ）
A．x≠0B．x≠1C．x≠﹣1D．x＞0
2．(2023•姑苏区一模）若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ）
A．x＞3B．x≠0且x≠3C．x≥0D．x≠3
3．(2023•江汉区校级一模）分式有意义的条件是（ ）
A．x≠0B．y≠0C．x≠3D．x≠﹣3
3.分式值为0的条件
分式的值为零的条件：分式的值为零是指分式在有意义的前提下分式的分子为零．
即当且时，．
【例题精选】
例1(2023•界首市一模）如果分式的值是0，那么x的值是______.
例2(2023•云南模拟）若分式的值为零，则x＝______．
【随堂练习】
1．(2023秋•樊城区期末）若分式的值为0，则x的值应为（ ）
A．1B．﹣1C．3D．﹣3
2．(2023秋•保亭县期末）若分式的值为0，则x＝（ ）
A．0B．C．2D．7
3．(2023秋•赫山区期末）若分式的值为0，则x应满足的条件是（ ）
A．x＝﹣1B．x≠﹣1C．x＝±1D．x＝1
4分式的基本性质
分式的基本性质：分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.
即
【例题精选】
例1(2023秋•崇川区校级期末）下列各式从左到右变形正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例2(2023秋•潮州期末）如果把中的x与y都扩大3倍，那么这个代数式的值（ ）
A．扩大9倍B．扩大3倍
C．不变D．缩小到原来的
【随堂练习】
1．(2023秋•嘉祥县期末）下列各式中，正确的是（ ）
A．B．
C．＝b+1D．＝a+b
2．(2023秋•南宁期末）若把分式的x和y都扩大5倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的5倍B．不变
C．缩小为原来的倍D．扩大到原来的25倍
5.最简分式
约分：利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，但不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.分子分母中没有公因式的分式叫做最简分式.
通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同时乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个分式变成分母相同的分式.为了通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.
【例题精选】
例1(2023秋•广安期末）下列分式，，，，中，最简分式的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
例2(2023秋•滦南县期末）下列分式中，不是最简分式是（ ）
A．B．
C．D．
【随堂练习】
1．(2023秋•湛江期末）下列分式是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023秋•莫旗期末）下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
综合应用
一．选择题
1．下列各式：，，x2，，+1，中，分式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．若分式的值为0，则（ ）
A．x＝﹣6B．x＝6C．x＝36D．x＝±6
3．若把分式中x和y都缩小为原来的一半，那么分式的值（ ）
A．缩小为原来的一半B．不变
C．扩大为原来的2倍D．不确定
4．下列式子从左至右变形正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
第9讲 分式
1 分式的基本概念
分式的定义：一般地，如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，其中叫分子，叫分母且．
【例题精选】
例1下列各式，，，，，x+中，是分式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
分析：判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：分式有，，，x+中共有4个．
故选：D．
【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
例2 (2023秋•天心区校级期末）下列代数式中，分式有（ ）个．
，，，﹣，，，+3，
A．5B．4C．3D．2
分析：根据分式的定义逐个判断即可．
【解答】解：分式有：，，﹣，，共4个，
故选：B．
【点评】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义的内容是解此题的关键，注意：分式的分母中含有字母．
【随堂练习】
1．(2023秋•承德县期末）对于，，，，，，其中分式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：，，，是分式，共4个；
故选：D．
2．(2023秋•新宾县期末）下列代数式中，属于分式的是（ ）
A．﹣3B．C．D．
分析：根据分式的定义即可求出答案．
【解答】解：是分式；
故选：D．
3．(2023春•江阴市期中）在式子 ①； ②；③；④中，是分式的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【解答】解：②；④中的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式；
①；③中的分母中含有字母，因此是分式；
故选：C．
2 分式有意义的条件
分式有意义（或分式存在）的条件：分式的分母不等于零即．
【例题精选】
例1(2023•海淀区二模）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＝0B．x＝2C．x≠0D．x≠2
分析：直接利用分式有意义则分母不为零进而得出答案．
【解答】解：若代数式有意义，则x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故选：D．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
例2(2023秋•德州期末）下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（ ）
A．B．C．D．
分析：根据分式有意义的条件分析四个选项中哪个分式分母不为零，进而可得答案．
【解答】解：A、＝，（x+1）2≥0，则（x+1）2+3≥3，无论x取何值，分式都有意义，故此选项正确；
B、当x＝﹣时，分式分母＝0，分式无意义，故此选项错误；
C、x＝0时，分式分母＝0，分式无意义，故此选项错误；
D、x＝0时，分式分母＝0，分式无意义，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
【随堂练习】
1．(2023秋•慈利县期末）要使分式的值存在，则x的取值应满足（ ）
A．x≠0B．x≠1C．x≠﹣1D．x＞0
【解答】解：由题意得：x+1≠0，
解得：x≠﹣1，
故选：C．
2．(2023•姑苏区一模）若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ）
A．x＞3B．x≠0且x≠3C．x≥0D．x≠3
【解答】解：∵分式在实数范围内有意义，
∴x﹣3≠0，
∴x≠3
故选：D．
3．(2023•江汉区校级一模）分式有意义的条件是（ ）
A．x≠0B．y≠0C．x≠3D．x≠﹣3
【解答】解：根据分式有意义的条件，得x﹣3≠0
解得x≠3．
故选：C．
3.分式值为0的条件
分式的值为零的条件：分式的值为零是指分式在有意义的前提下分式的分子为零．
即当且时，．
【例题精选】
例1(2023•界首市一模）如果分式的值是0，那么x的值是______.
分析：根据分式为0的条件得到方程，解方程得到答案．
【解答】解：由题意得，x＝0，
故答案是：0．
【点评】本题若分式的值为零的条件，分式为0需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
例2(2023•云南模拟）若分式的值为零，则x＝______．
分析：直接利用分式的值为0，则分子为零，且分母不为零，进而求出答案．
【解答】解：由题意得：x2﹣1＝0，且x﹣1≠0，
解得：x＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
【随堂练习】
1．(2023秋•樊城区期末）若分式的值为0，则x的值应为（ ）
A．1B．﹣1C．3D．﹣3
【解答】解：由题意知x﹣1＝0且x﹣3≠0，
解得：x＝1，
故选：A．
2．(2023秋•保亭县期末）若分式的值为0，则x＝（ ）
A．0B．C．2D．7
【解答】解：由题意，得
3x﹣6＝0且2x+1≠0，
解得x＝2，
故选：C．
3．(2023秋•赫山区期末）若分式的值为0，则x应满足的条件是（ ）
A．x＝﹣1B．x≠﹣1C．x＝±1D．x＝1
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x2﹣1＝0，且x+1≠0，
解得：x＝1．
故选：D．
4分式的基本性质
分式的基本性质：分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.
即
【例题精选】
例1(2023秋•崇川区校级期末）下列各式从左到右变形正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
分析：根据分式的基本性质，依次分析各个选项，选出正确的选项即可．
【解答】解：A．分式的分子和分母同时乘以10，应得，即A不正确，
B.，故选项B正确，
C．分式的分子和分母同时减去一个数，与原分式不相等，即C项不合题意，
D.不能化简，故选项D不正确．
故选：B．
【点评】本题考查了分式的基本性质，正确掌握分式的基本性质是解题的关键．
例2(2023秋•潮州期末）如果把中的x与y都扩大3倍，那么这个代数式的值（ ）
A．扩大9倍B．扩大3倍
C．不变D．缩小到原来的
分析：根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：原式＝＝＝
故选：B．
【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
【随堂练习】
1．(2023秋•嘉祥县期末）下列各式中，正确的是（ ）
A．B．
C．＝b+1D．＝a+b
【解答】解：与在a＝0或a＝b时才成立，故选项A不正确；
＝＝，故选项B正确；
＝b+，故选项C不正确；
不能化简，故选项D不正确；
故选：B．
2．(2023秋•南宁期末）若把分式的x和y都扩大5倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的5倍B．不变
C．缩小为原来的倍D．扩大到原来的25倍
【解答】解：∵把分式的x和y都扩大5倍，xy扩大到原来的25倍，x+y扩大到原来的5倍，
∴若把分式的x和y都扩大5倍，则分式的值扩大到原来的5倍．
故选：A．
5.最简分式
约分：利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，但不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.分子分母中没有公因式的分式叫做最简分式.
通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同时乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个分式变成分母相同的分式.为了通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.
【例题精选】
例1(2023秋•广安期末）下列分式，，，，中，最简分式的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
分析：根据最简分式的定义逐个判断即可．
【解答】解：＝，＝，＝b+2，这三个不是最简分式，
所以最简分式有：，，共2个，
故选：B．
【点评】本题考查了分式的基本性质和最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键．
例2(2023秋•滦南县期末）下列分式中，不是最简分式是（ ）
A．B．
C．D．
分析：最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【解答】解：＝，即分子、分母中含有公因式（2x+y），所以它不是最简分式；
故选：D．
【点评】考查了最简分式，分式分子分母不能约分的分式才是最简分式．
【随堂练习】
1．(2023秋•湛江期末）下列分式是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、该分式的分子、分母中含有公因数a，则它不是最简分式．故本选项错误；
B、该分式的分子、分母中含有公因数3，则它不是最简分式．故本选项错误；
C、该分式符合最简分式的定义．故本选项正确．
D、分母为（x+1）（x﹣1），所以该分式的分子、分母中含有公因式（x+1），则它不是最简分式．故本选项错误；
故选：C．
2．(2023秋•莫旗期末）下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A.，不是最简分式；
B.，不是最简分式；，
C.，不是最简分式；，
D.，是最简分式；
故选：D．
综合应用
一．选择题
1．下列各式：，，x2，，+1，中，分式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：，x2，+1是分式，
故选：C．
2．若分式的值为0，则（ ）
A．x＝﹣6B．x＝6C．x＝36D．x＝±6
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x2﹣36＝0，且2x+12≠0，
解得：x＝6．
故选：B．
3．若把分式中x和y都缩小为原来的一半，那么分式的值（ ）
A．缩小为原来的一半B．不变
C．扩大为原来的2倍D．不确定
【解答】解：原式＝
＝，
故选：B．
4．下列式子从左至右变形正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【解答】解：A、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故A错误；
B、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故B错误；
C、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故C错误；
D、分子分母都除以b，分式的值不变，故D正确；
故选：D．