新八年级数学讲义第4讲轴对称图形-基础班(学生版+解析)

这是一份新八年级数学讲义第4讲轴对称图形-基础班(学生版+解析)，共26页。学案主要包含了轴对称图形，轴对称等内容，欢迎下载使用。


1轴对称图形
一、轴对称图形
轴对称图形的定义
一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.
要点诠释：
轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.
二、轴对称
1.轴对称定义
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点
要点诠释：
轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.
2.轴对称与轴对称图形的区别与联系
轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.
【例题精选】
例1(2023•唐山一模）下列图形中，只有一条对称轴的是（ ）
A．B．
C．D．
例2 如图是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有 （ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【随堂练习】
1．(2023•新都区模拟）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023秋•郯城县期末）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2.轴对称图形的性质
轴对称、轴对称图形的性质
轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
【例题精选】
例1 (2023秋•无为县期末）在4×4的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与△ABC关于某条直线对称的格点三角形，最多能画（ ）个．
A．5B．6C．7D．8
例2(2023•洪山区模拟）如图，在3×3的网格中，与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
【随堂练习】
1．(2023秋•张店区期末）下列说法错误的是（ ）
A．关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合
B．线段是轴对称图形
C．全等的两个三角形一定关于某直线成轴对称
D．轴对称图形的对称轴至少有一条
2．(2023秋•浦城县期末）如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝50°，∠C′＝30°，则∠B的度数为（ ）
A．30°B．50°C．90°D．100°
3镜面对称
【例题精选】
例1(2023秋•随县期末）小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示，实际时间是（ ）
A．21：10B．10：21C．10：51D．12：01
例2(2023秋•禹州市期中）小明照镜子的时候，发现T恤上的英文单词在镜子中呈现的样子是（ ）
A．B．C．D．
【随堂练习】
1．(2023秋•岳麓区校级月考）如图，是小亮在镜中看到身后墙上的时钟，此时时钟的实际时刻是（ ）
A．3：55B．8：05C．3：05D．8：55
2．(2023秋•宜昌期中）小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是（ ）
A．15：01B．10：51C．10：21D．12：01
4画轴对称图形
对称轴的作法
若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同．
要点诠释：
在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.
【例题精选】
例1(2023•中宁县二模）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1向右平移1个单位，向下平移5个单位长度后得到的△A2B2C2；
例2(2023秋•连山区期末）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（2，3），B（1，1），C（3，2）．
（1）将△ABC向下平移4个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2．并写出点A2，B2，C2的坐标．
【随堂练习】
1．(2023秋•新宾县期末）如图，网格中小正方形的边长为1，已知点A（﹣1，2），B（﹣2，0），C（﹣3，1）．
（1）作出△ABC；
（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（3）直线AB和直线A1B1交点的坐标是__________．
2．(2023秋•郾城区期末）如图，平面直角坐标系中，A（﹣2，1），B（﹣3，4），C（﹣1，3），过点（l，0）作x轴的垂线l．
（1）作出△ABC关于直线l的轴对称图形△A1B1C1；
（2）直接写出A1（______，______），B1（______，______），C1（______，______）；
（3）在△ABC内有一点P（m，n），则点P关于直线l的对称点P1的坐标为（_____， _____）（结果用含m，n的式子表示）．
综合练习
一．选择题（共3小题）
1．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，分别交BC，AC于点D，E，连接AD，若△ABD的周长C△ABD＝16cm，AB＝5cm，则线段BC的长度等于（ ）
A．8cmB．9 cmC．10 cmD．11 cm
2．下列图形中，只有一条对称轴的轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC、AC于D、E两点，∠B＝60°，∠BAD＝70°，则∠BAC的度数为（ ）
A．130°B．95°C．90°D．85°
二．解答题（共4小题）
4．在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，MN垂直平分AC，分别交AC、BC于点M、N，连接AE，AN．
（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠EAN的度数；
（2）如图2，若∠BAC＝70°，求∠EAN的度数；
（3）若∠BAC＝α（α≠90°），请直接写出∠EAN的度数．（用含α的代数式表示）
5．如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于点D，∠BDC＝60°，AC＝6，求AD的长度．
6．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，作AC的中垂线交BC于E，连接AE，若AE＝4，求BC的长．
7．如图，C，D是AB的垂直平分线上两点，延长AC，DB交于点E，AF∥BC交DE于点F．求证：
（1）AB是∠CAF的角平分线；
（2）∠FAD＝∠E．
第4讲 轴对称图形
1轴对称图形
一、轴对称图形
轴对称图形的定义
一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.
要点诠释：
轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.
二、轴对称
1.轴对称定义
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点
要点诠释：
轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.
2.轴对称与轴对称图形的区别与联系
轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.
【例题精选】
例1(2023•唐山一模）下列图形中，只有一条对称轴的是（ ）
A．B．
C．D．
分析：根据轴对称图形的概念，分别分析四个选项的对称轴，再作答．
【解答】解：A、等腰三角形只有一条对称轴，故此选项符合题意；
B、菱形有2条对称轴，故此选项不符合题意；
C、正五边形有5条对称轴，故此选项不符合题意；
D、矩形有2条对称轴，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形．解题的关键是掌握轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴．
例2 如图是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有 （ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
分析：根据轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：中国银行、中国工商银行、中国人民银行、中国农业银行的标志是轴对称图形，
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【随堂练习】
1．(2023•新都区模拟）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C．
2．(2023秋•郯城县期末）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
2.轴对称图形的性质
轴对称、轴对称图形的性质
轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
【例题精选】
例1 (2023秋•无为县期末）在4×4的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与△ABC关于某条直线对称的格点三角形，最多能画（ ）个．
A．5B．6C．7D．8
分析：根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解；
【解答】解：如图，最多能画出7个格点三角形与△ABC成轴对称．
故选：C．
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．
例2(2023•洪山区模拟）如图，在3×3的网格中，与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
分析：依据对称轴的不同位置，即可得到位置不同的三角形．
【解答】解：如图所示：
与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有8个，
故选：D．
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．
【随堂练习】
1．(2023秋•张店区期末）下列说法错误的是（ ）
A．关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合
B．线段是轴对称图形
C．全等的两个三角形一定关于某直线成轴对称
D．轴对称图形的对称轴至少有一条
【解答】解：A、关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合，正确，故本选项错误；
B、线段是轴对称图形，正确，故本选项错误；
C、全等的两个三角形不一定关于某直线成轴对称，但关于某直线成轴对称的两个三角形一定，故本选项正确；
D、轴对称图形的对称轴至少有一条，正确，故本选项错误．
故选：C．
2．(2023秋•浦城县期末）如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝50°，∠C′＝30°，则∠B的度数为（ ）
A．30°B．50°C．90°D．100°
【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠C′＝30°，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C＝∠C′＝30°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣30°＝100°．
故选：D．
3镜面对称
【例题精选】
例1(2023秋•随县期末）小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示，实际时间是（ ）
A．21：10B．10：21C．10：51D．12：01
分析：利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与12：01成轴对称，所以此时实际时刻为10：51，
故选：C．
【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
例2(2023秋•禹州市期中）小明照镜子的时候，发现T恤上的英文单词在镜子中呈现的样子是（ ）
A．B．C．D．
分析：根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称，分析并作答．
【解答】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所给的图片与A显示的图片成轴对称，故选A．
【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
【随堂练习】
1．(2023秋•岳麓区校级月考）如图，是小亮在镜中看到身后墙上的时钟，此时时钟的实际时刻是（ ）
A．3：55B．8：05C．3：05D．8：55
【解答】解：根据平面镜成像原理可知，镜中的像与原图象之间实际上只是进行了左右对换，由轴对称知识可知，只要将其进行左可翻折，即可得到原图象，实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点，分针指向11实际对应点为1，故此时的实际时刻是：8点5分．
故选：B．
2．(2023秋•宜昌期中）小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是（ ）
A．15：01B．10：51C．10：21D．12：01
【解答】解：电子表的实际时刻是10：21．
故选：C．
4画轴对称图形
对称轴的作法
若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同．
要点诠释：
在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.
【例题精选】
例1(2023•中宁县二模）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1向右平移1个单位，向下平移5个单位长度后得到的△A2B2C2；
分析：（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．
【点评】此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
例2(2023秋•连山区期末）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（2，3），B（1，1），C（3，2）．
（1）将△ABC向下平移4个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2．并写出点A2，B2，C2的坐标．
分析：（1）利用点平移的坐标特征写出点A1，B1，C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出点A2，B2，C2的坐标，然后描点即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作，A2（﹣2，3），B2（﹣1，1），C2（﹣3，2）．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了平移变换．
【随堂练习】
1．(2023秋•新宾县期末）如图，网格中小正方形的边长为1，已知点A（﹣1，2），B（﹣2，0），C（﹣3，1）．
（1）作出△ABC；
（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（3）直线AB和直线A1B1交点的坐标是__________．
【解答】解：（1）如图所示，△ABC即为所求；
（2）如图所示，△A1B1C1即为所求：
（3）直线AB和直线A1B1交点的坐标是（0，4），
故答案为：（0，4）
2．(2023秋•郾城区期末）如图，平面直角坐标系中，A（﹣2，1），B（﹣3，4），C（﹣1，3），过点（l，0）作x轴的垂线l．
（1）作出△ABC关于直线l的轴对称图形△A1B1C1；
（2）直接写出A1（______，______），B1（______，______），C1（______，______）；
（3）在△ABC内有一点P（m，n），则点P关于直线l的对称点P1的坐标为（_____， _____）（结果用含m，n的式子表示）．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）A（4，1），B，（5，4），G（3，3）；
（3）点P关于直线l的对称点P1的坐标为（2﹣m，n）．
故答案为4，1；5，4；3，3；﹣m+2，n．
综合练习
一．选择题（共3小题）
1．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，分别交BC，AC于点D，E，连接AD，若△ABD的周长C△ABD＝16cm，AB＝5cm，则线段BC的长度等于（ ）
A．8cmB．9 cmC．10 cmD．11 cm
【解答】解：∵AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，
∴AD＝DC，
∴△ABD的周长为AB+AD+BD＝AB+DC+BD＝AB+B，
∵C△ABD＝16cm，AB＝5cm，
∴BC＝11cm，
故选：D．
2．下列图形中，只有一条对称轴的轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、没有对称轴，故此选项错误；
B、有4条对称轴，故此选项错误；
C、有4条对称轴，故此选项错误；
D、只有一条对称轴，正确．
故选：D．
3．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC、AC于D、E两点，∠B＝60°，∠BAD＝70°，则∠BAC的度数为（ ）
A．130°B．95°C．90°D．85°
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
∵∠B＝60°，∠BAD＝70°，
∴∠BDA＝50°，
∴∠DAC＝∠BDA＝25°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝70°+25°＝95°
故选：B．
二．解答题（共4小题）
4．在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，MN垂直平分AC，分别交AC、BC于点M、N，连接AE，AN．
（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠EAN的度数；
（2）如图2，若∠BAC＝70°，求∠EAN的度数；
（3）若∠BAC＝α（α≠90°），请直接写出∠EAN的度数．（用含α的代数式表示）
【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得：∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAC﹣∠BAE﹣∠CAN，
＝∠BAC﹣（∠B+∠C），
在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°，
∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）＝100°﹣80°＝20°；
（2）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得：∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC，
＝（∠B+∠C）﹣∠BAC，
在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝110°，
∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC＝110°﹣70°＝40°；
（3）当0°＜α＜90°时，∠EAN＝180°﹣2α；
当180°＞α＞90°时，∠EAN＝2α﹣180°．
5．如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于点D，∠BDC＝60°，AC＝6，求AD的长度．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∵∠C＝90°，∠BDC＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∴CD＝BD，
∴CD＝AD，
∵AC＝6，
∴AD＝4．
6．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，作AC的中垂线交BC于E，连接AE，若AE＝4，求BC的长．
【解答】解：如图，作AM⊥BC于M．
∵AC的中垂线交BC于E，
∴EA＝EC，
∴∠C＝∠EAC＝30°，
∴∠AEM＝∠EAC+∠C＝60°，
∵∠AME＝90°，AE＝EC＝4，∠MAE＝30°，
∴EMAE＝2，AM＝2，
∵∠B＝45°，∠AMB＝90°，
∴BM＝AM＝2，
∴BC＝BM+EM+EC＝6+2．
7．如图，C，D是AB的垂直平分线上两点，延长AC，DB交于点E，AF∥BC交DE于点F．求证：
（1）AB是∠CAF的角平分线；
（2）∠FAD＝∠E．
【解答】证明：（1）∵点C是AB的垂直平分线上的点，
∴CB＝CA，
∴∠CBA＝∠CAB，
∵AF∥BC交DE于点F，
∴∠BAF＝∠CBA，
∴∠BAF＝∠CAB．
即 AB是∠CAF的角平分线．
（2）∵点D是AB的垂直平分线上的点，
∴DB＝DA，
∴∠DBA＝∠DAB，
∵∠DBA＝∠E+∠CAB，∠DAB＝∠FAD+∠BAF，∠CAB＝∠BAF，
∴∠E＝∠FAD．