新八年级数学讲义第3讲角平分线与垂直平分线-满分班(学生版+解析)

这是一份新八年级数学讲义第3讲角平分线与垂直平分线-满分班(学生版+解析)，共17页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。

1 角平分线
角平分线的性质
1.角的平分线的性质定理
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
2.角的平分线的判定定理
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
3.三角形的角平分线
三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.
4.与角平分线有关的辅助线
在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；
在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.
【例题精选】
例1(2023秋•永城市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，CD＝DE，∠CBD＝26°，则∠A的度数为（ ）
A．40°B．34°C．36°D．38°
例2(2023秋•定州市期末）如图，已知∠AOB＝60°，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，点D是OB上的动点，若PO＝6cm，则PD长的最小值是（ ）
A．7cmB．6cmC．5cmD．3cm
【随堂练习】
1.(2023秋•宜春期末）如图点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠A＝50°，
则∠BOC等于（ ）
A．115°B．105°C．125°D．130°
2．(2023秋•霸州市期末）如图，已知△ABC的周长是10，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于D．若OD＝2，则△ABC的面积是（ ）
A．20B．12C．10D．8
2 垂直平分线
线段的垂直平分线
定义：
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
性质：
性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
要点诠释：
线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.
【例题精选】
例1(2023秋•来凤县期末）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝112°，则∠EAF为（ ）
A．38°B．40°C．42°D．44°
例2(2023•西湖区模拟）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【随堂练习】
1．(2023秋•涟源市期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（ ）
A．5B．10C．12D．13
2．(2023秋•东台市期末）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ）
A．AB与CD互相垂直平分B．CD垂直平分AB
C．AB垂直平分CDD．CD平分∠ACB
综合练习
一．选择题（共3小题）
1．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，分别交BC，AC于点D，E，连接AD，若△ABD的周长C△ABD＝16cm，AB＝5cm，则线段BC的长度等于（ ）
A．8cmB．9 cmC．10 cmD．11 cm
2．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC、AC于D、E两点，∠B＝60°，∠BAD＝70°，则∠BAC的度数为（ ）
A．130°B．95°C．90°D．85°
二．解答题
1．在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，MN垂直平分AC，分别交AC、BC于点M、N，连接AE，AN．
（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠EAN的度数；
（2）如图2，若∠BAC＝70°，求∠EAN的度数；
（3）若∠BAC＝α（α≠90°），请直接写出∠EAN的度数．（用含α的代数式表示）
2．如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于点D，∠BDC＝60°，AC＝6，求AD的长度．
3．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，作AC的中垂线交BC于E，连接AE，若AE＝4，求BC的长．
4．如图，C，D是AB的垂直平分线上两点，延长AC，DB交于点E，AF∥BC交DE于点F．求证：
（1）AB是∠CAF的角平分线；
（2）∠FAD＝∠E．
第3讲 角平分线和垂直平分线
1 角平分线
角平分线的性质
1.角的平分线的性质定理
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
2.角的平分线的判定定理
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
3.三角形的角平分线
三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.
4.与角平分线有关的辅助线
在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；
在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.
【例题精选】
例1(2023秋•永城市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，CD＝DE，∠CBD＝26°，则∠A的度数为（ ）
A．40°B．34°C．36°D．38°
分析：利用角平分线的性质定理的逆定理得到BD平分∠ABC，则∠EBD＝∠CBD＝26°，然后利用互余计算∠A的度数．
【解答】解：∵DE⊥AB，DC⊥BC，DE＝DC，
∴BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠CBD＝26°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣2×26°＝38°．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
例2(2023秋•定州市期末）如图，已知∠AOB＝60°，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，点D是OB上的动点，若PO＝6cm，则PD长的最小值是（ ）
A．7cmB．6cmC．5cmD．3cm
分析：作PH⊥OB于H，如图，根据角平分线的性质得到PC＝PH，∠AOP＝∠AOB＝30°，则根据含30度的直角三角形三边的关系得到PC＝3，则PH＝3，然后根据垂线段最短求解．
【解答】解：作PH⊥OB于H，如图，
∵OP平分∠AOB，
∴PC＝PH，∠AOP＝∠AOB＝30°，
在Rt△OPC中，PC＝OP＝3，
∴PH＝3，
∴PD长的最小值为3cm．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．
【随堂练习】
1.(2023秋•宜春期末）如图点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠A＝50°，
则∠BOC等于（ ）
A．115°B．105°C．125°D．130°
【解答】解：∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等，
∴点O为△ABC的内角平分线的交点，
即OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠BOC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
而∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+∠A
＝90°+×50°
＝115°．
故选：A．
2．(2023秋•霸州市期末）如图，已知△ABC的周长是10，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于D．若OD＝2，则△ABC的面积是（ ）
A．20B．12C．10D．8
【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴OE＝OF＝OD＝2，
∴△ABC的面积＝△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积
＝×（AB+BC+AC）×OD
＝×10×2
＝10，
故选：C．
2 垂直平分线
线段的垂直平分线
定义：
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
性质：
性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
要点诠释：
线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.
【例题精选】
例1(2023秋•来凤县期末）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝112°，则∠EAF为（ ）
A．38°B．40°C．42°D．44°
分析：根据三角形内角和定理求出∠C+∠B＝68°，根据线段垂直平分线的性质得到EC＝EA，FB＝FA，根据等腰三角形的性质得到∠EAC＝∠C，∠FAB＝∠B，计算即可．
【解答】解：∵∠BAC＝112°，
∴∠C+∠B＝68°，
∵EG、FH分别为AB、AC的垂直平分线，
∴EB＝EA，FC＝FA，
∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，
∴∠EAB+∠FAC＝68°，
∴∠EAF＝44°，
故选：D．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
例2(2023•西湖区模拟）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
分析：根据内角和定理求得∠BAC＝95°，由中垂线性质知DA＝DC，即∠DAC＝∠C＝30°，从而得出答案．
【解答】解：在△ABC中，∵∠B＝50°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，
由作图可知MN为AC的中垂线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝70°，
故选：C．
【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．
【随堂练习】
1．(2023秋•涟源市期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（ ）
A．5B．10C．12D．13
【解答】解：∵ED垂直平分AB，
∴BE＝AE，
∵AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，
∴12+5+AE＝30，
∴AE＝13，
∴BE＝AE＝13，
故选：D．
2．(2023秋•东台市期末）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ）
A．AB与CD互相垂直平分B．CD垂直平分AB
C．AB垂直平分CDD．CD平分∠ACB
【解答】解：∵AC＝AD，BC＝BD，
∴AB是线段CD的垂直平分线，
故选：C．
综合练习
一．选择题（共3小题）
1．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，分别交BC，AC于点D，E，连接AD，若△ABD的周长C△ABD＝16cm，AB＝5cm，则线段BC的长度等于（ ）
A．8cmB．9 cmC．10 cmD．11 cm
【解答】解：∵AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，
∴AD＝DC，
∴△ABD的周长为AB+AD+BD＝AB+DC+BD＝AB+B，
∵C△ABD＝16cm，AB＝5cm，
∴BC＝11cm，
故选：D．
2．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC、AC于D、E两点，∠B＝60°，∠BAD＝70°，则∠BAC的度数为（ ）
A．130°B．95°C．90°D．85°
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
∵∠B＝60°，∠BAD＝70°，
∴∠BDA＝50°，
∴∠DAC＝∠BDA＝25°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝70°+25°＝95°
故选：B．
二．解答题
1．在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，MN垂直平分AC，分别交AC、BC于点M、N，连接AE，AN．
（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠EAN的度数；
（2）如图2，若∠BAC＝70°，求∠EAN的度数；
（3）若∠BAC＝α（α≠90°），请直接写出∠EAN的度数．（用含α的代数式表示）
【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得：∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAC﹣∠BAE﹣∠CAN，
＝∠BAC﹣（∠B+∠C），
在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°，
∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）＝100°﹣80°＝20°；
（2）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得：∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC，
＝（∠B+∠C）﹣∠BAC，
在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝110°，
∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC＝110°﹣70°＝40°；
（3）当0°＜α＜90°时，∠EAN＝180°﹣2α；
当180°＞α＞90°时，∠EAN＝2α﹣180°．
2．如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于点D，∠BDC＝60°，AC＝6，求AD的长度．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∵∠C＝90°，∠BDC＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∴CD＝BD，
∴CD＝AD，
∵AC＝6，
∴AD＝4．
3．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，作AC的中垂线交BC于E，连接AE，若AE＝4，求BC的长．
【解答】解：如图，作AM⊥BC于M．
∵AC的中垂线交BC于E，
∴EA＝EC，
∴∠C＝∠EAC＝30°，
∴∠AEM＝∠EAC+∠C＝60°，
∵∠AME＝90°，AE＝EC＝4，∠MAE＝30°，
∴EMAE＝2，AM＝2，
∵∠B＝45°，∠AMB＝90°，
∴BM＝AM＝2，
∴BC＝BM+EM+EC＝6+2．
4．如图，C，D是AB的垂直平分线上两点，延长AC，DB交于点E，AF∥BC交DE于点F．求证：
（1）AB是∠CAF的角平分线；
（2）∠FAD＝∠E．
【解答】证明：（1）∵点C是AB的垂直平分线上的点，
∴CB＝CA，
∴∠CBA＝∠CAB，
∵AF∥BC交DE于点F，
∴∠BAF＝∠CBA，
∴∠BAF＝∠CAB．
即 AB是∠CAF的角平分线．
（2）∵点D是AB的垂直平分线上的点，
∴DB＝DA，
∴∠DBA＝∠DAB，
∵∠DBA＝∠E+∠CAB，∠DAB＝∠FAD+∠BAF，∠CAB＝∠BAF，
∴∠E＝∠FAD．