2024年中考数学信息必刷卷01（浙江专用）（原卷版+解析版）

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2024年是浙江实行全省统一命题的第一年，从最开始公布出来的考试时间为2小时、总分120分这两条信息来看，新中考在试题题量、试题分值分布、试题难度、试题考点等方面或多或少同此前各地级市自主命题的中考试题有所改变。根据最新考试信息、样卷以及模拟考试可以发现：新中考大概率采用10+6+8的题量进行考察，知识结构这块，各题型超过一半都是考察基础知识掌握情况，相对简单，每种题型的最后两题或一题做为压轴题，以二次函数的数形结合或几何图形的综合题进行考察，也是主要用以拉开学生分差的关键。
新考法1：第19题将会以作图的形式考察学生对图形变换相关知识点的理解；
新考法2：第20题将会重点考查反比例函数/一次函数的图象与性质，难度中等；
新考法3：第24题作为压轴题，较大可能围绕以圆的综合题进行出题考察，难度相对较大。
另外，在平时学习中要特别关注基础性（一般试卷的前6-7题直接考查基础知识，容易拿分）、综合性（选择与填空以及解答的压轴题）、应用型（如本卷中的第21题的解答题结合当下实际场景来考查）和创新性（一般会以数学文化为背景或在新情景下命制对概念的理解以及问题的梳理），同时掌握整体思想、数形结合、特殊值、分类讨论等数学思想，这些思想会蕴含于每道试题之中。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．实数，1，0，3中最小的是（ ）
A．B．1C．0D．3
【答案】A
【分析】本题主要考查实数的大小，熟练掌握实数大小的比较是解题的关键．比较实数的大小进而得出结论即可．
【详解】解：∵-2<0<1<3，
∴实数-2，1，0，3中最小的是-2．
故选：A．
2．北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超亿次．将数据亿用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了科学记数法，把3000亿转化为300000000000，再根据科学记数法：a×10n（1≤a<10，n为整数），先确定a的值，再根据小数点移动的数位确定n的值即可，根据科学记数法确定a和n的值是解题的关键．
【详解】解：3000亿=300000000000=3×1011，
故选：D
3．若，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变；由不等式的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、∵a>b>0，∴a-2>b-2，故原选项错误，不符合题意；
B、∵a>b>0，∴-8a<-8b，故原选项错误，不符合题意；
C、∵a>b>0，∴a>b，故原选项正确，符合题意；
D、∵a>b>0，∴1a<1b，故原选项错误，不符合题意；
故选：C．
4．若点，，都在反比例函数的图象上，则，和1的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的性质，根据C(2,1)求出解析式，再结合反比例函数的性质求解即可得到答案；
【详解】解：∵C(2,1)在反比例函数y=kx的图象上，
∴k2=1，解得：k=2，
∵k=2>0，
∴反比例函数y=kx在x<0上y随x增大而减小，且小于0，
∵-2<-1<0，
∴0>y1>y2，
∴y2故选：D．
5．正十二边形的外角和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和为360°是解题的关键．
根据多边形的外角和为360°进行解答即可．
【详解】解：正十二边形的外角和为360°．
故选：C．
6．中华武术，博大精深．小林把如图1所示的武术动作抽象成数学问题．如图2，已知，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是作出辅助线．过点E，F分别作AB的平行线EG,FH，由平行线的性质得到∠B+∠HFB=180°,∠EFH=GEF,∠C+∠CEG=180°，分别求出∠EFH,∠GEF，即可求解．
【详解】解：过点E，F分别作AB的平行线EG,FH，
∵ AB∥CD,∠C=90°,∠B=85°,∠CEF=100°，
∴FH∥AB∥CD∥EG，
∴ ∠B+∠HFB=180°,∠EFH=GEF,∠C+∠CEG=180°，
∴∠HFB=180°-∠B=95°,∠CEG=180°-∠C=90°，
∴∠GEF=∠CEF-CEG=10°，
∴∠EFH=∠GEF=10°，
∴∠EFB=∠EFH+∠HFB=105°，
故选：A．
7．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐：乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问：几何日相逢?译文：甲从长安出发，5日到齐国：乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问：多久后甲、乙相逢? 设甲出发x日，乙出发y日后甲、乙相逢，则所列方程组正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】此题考查二元一次方程的实际应用，解题关键是找到数据之间的数量关系列方程．可将此题看做是工作效率类的应用题，根据效率×时间=总量列方程即可．
【详解】解：由题可知，甲的效率为15，乙的效率为17，
设甲出发x日，乙出发y日后甲、乙相逢，根据题意列方程组：
x+2=y15x+17y=1．
故选：D．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=2，若点D为直线AC左侧一点，当△ABC∽△CAD时，则BC+CD的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，二次函数的最值问题，勾股定理，先利用相似三角形的性质得到AC2=2CD，再由勾股定理得到AC2=4-BC2，则CD=2-12BC2，进而得到CD+BC=-12BC-12+52，据此可得答案．
【详解】解：∵△ABC∽△CAD，
∴ABAC=ACCD，
∴AC2=AB⋅CD=2CD，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=2，
∴AC2=AB2-BC2=4-BC2，
∴2CD=4-BC2，
∴CD=2-12BC2，
∴CD+BC=-12BC2+BC+2=-12BC-12+52，
∴当BC=1时，CD+BC有最大值52，
故选：B．
9．如图，以△ABC的顶点A为圆心作一个圆，与AB相交于点G，与BC相切于点D，与AC相交于点E，点F是优弧GE的一点，连接GF与EF，若⊙A的半径为3，∠CDE=18°，AB=6，则∠GFE的度数是（ ）

A．50°B．48°C．45°D．36°
【答案】B
【分析】连接AD，根据切线的性质得到AD⊥BC，根据垂直的定义得到∠ADB=∠ADC=90°，根据直角三角形的性质得到∠B=30°，根据三角形的内角和定理得到∠GAD=60°，根据等腰三角形的性质得到∠AED=∠ADE=72°，根据圆周角定理即可得到结论．
【详解】解：连接AD，如图所示：
∵BC与⊙A相切于点D，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵AB=6,AG=AD=3，
∴AD=12AB，
∴∠B=30°，
∴∠GAD=60°，
∵∠CDE=18°，
∴∠ADE=90°-18°=72°，
∵AD=AE，
∴∠AED=∠ADE=72°，
∴∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=180°-72°-72°=36°，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+36°=96°，
∴∠GFE=12∠GAE=12×96°=48°，
故选：B．
10．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点在轴上，，，抛物线经过点，且顶点在直线上，则的值为（）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查了二次函数几何综合，菱形的性质及勾股定理．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．由在平面直角坐标系xOy中，菱形ABDC的边AB在x轴上，A-3,0，C0,4，利用勾股定理即可求得AC的长然后求得点B坐标，继而求得直线BC的解析式，最后由抛物线y=ax2-8ax+c经过点C，且顶点M在直线BC上，求得答案
【详解】∵A(-3,0),C(0,4),
∴OA=3,OC=4,
∴AC=OA2+OC2=5,
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD=AC=5,
∴OB=AB-OA=2,
∴B(2,0),
设直线BC的解析式为∶y=kx+b，
∴b=42k+b=0，
解得：k=-2b=4，
∴直线BC的解析式为∶y=-2x+4，
∵抛物线y=ax2-8ax+c经过点C，
∴c=4，
∴x对=--8a2a=4,
y=4ac-(-8a)24a=4-16a,
∴顶点为∶(4,4-16a)，
∵顶点M在直线BC上，
∴4-16a=-2×4+4,
∴a=12．
故选：B．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．因式分解： ．
【答案】ax+2x-2
【分析】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法是解题的关键．先提出公因式，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：ax2-4a=ax2-4=ax+2x-2，
故答案为：ax+2x-2．
12．小明的书包里只放了大小的试卷共5张，其中语文3张，数学2张．若随机地从书包中抽出2张，抽出的试卷恰好都是数学试卷的概率是 ．
【答案】110
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到抽出的试卷恰好都是数学试卷的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：列表如下：
由表格可知一共有20种等可能性的结果数，其中抽出的试卷恰好都是数学试卷的结果数有2种，
∴抽出的试卷恰好都是数学试卷的概率为220=110，
故答案为：110．
13．如果一元二次方程的两个根为，则 ．
【答案】-2
【分析】本题考查一元二次方程的根的定义，根与系数的关系，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，则x1+x2=-ba，x1x2=ca，据此即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程x2+3x-2=0的两个根为x1,x2，
∴ x12+3x1-2=0，x1+x2=-3，x1x2=-2，
∴ x12+3x1=2，
∴ x12+5x1-x1x2+2x2
=x12+3x1+2x1+x2-x1x2
=2+2×-3--2
=2-6+2
=-2，
故答案为：-2．
14．如图，点E为矩形ABCD边AD上一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接AF，过点F作FH⊥BC于H，若AB＝5，FH＝3，则AF的长度为 ．
【答案】45
【分析】本题主要考查了矩形的折叠，勾股定理，相似三角形的性质和判定，相似三角形的性质是求线段长的常用方法．
先标注点G，根据折叠的性质和勾股定理得BH，再说明△ABG∽△FHG，可求BG，HG，然后根据勾股定理求出AG，FG，可得答案．
【详解】如图所示，标注点G．
根据折叠的性质可知AB=BF=5．
在Rt△BFH中，BH=BF2-FH2=4．
∵∠AGB=∠FGH，∠ABG=∠FHG=90°，
∴△ABG∽△FHG，
∴ABFH=BGHG，
即53=BG4-BG，
解得BG=52，故HG=32．
在Rt△ABG中，AG=AB2+BG2=52+(52)2=552；
在Rt△FHG中，FG=FH2+HG2=32+(32)2=352，
∴AF=AG+FG=552+352=45．
故答案为：45．
15．如图，A，B是反比例函数图象上的两点，连接，．过点A作轴于点C，交于点D．若D为的中点，的面积为5，点B的坐标为，则m的值为 ．

【答案】10
【分析】本题考查了反比例函数中k的几何意义，利用△COD的面积转化为三角形AOC的面积．应用k的几何意义及中线的性质求解．
【详解】解：∵D为AC的中点，△COD的面积为5，
∴△AOC的面积为10，
∵A，B是反比例函数y=kx图象上的两点，
∴ S△AOC=12k=10，即k=20，
由函数图象得：k>0，即k=20
∴k=2m=20，
解得：m=10．
故答案为：10．
16．如图，⊙O的半径是4，等边△ABC内接于⊙O，点D在 eq \(AC,\s\up10(⌒)) 上，点E在eq \(BC,\s\up10(⌒)) 上，且∠DOE=120°，OF⊥AB于点F，则阴影部分的面积是 ．
【答案】163π-23
【分析】本题主要考查扇形的面积公式，根据圆的旋转不变性，把阴影部分面积化为弓形的面积和三角形面积是解题的关键．
连接OB、OC，过O作OG⊥BC于点G，S扇形BOC=S扇形DOE，△OCM≌△OBN，△OAF≌△OBG进而得到：阴影部分的面积=弓形BEC的面积+S△BOG=S扇形BOC-S△BOC+S△BOG，根据扇形的面积公式和三角形的面积公式，即可求解．
【详解】连接OB、OC， △ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，
∴∠BOC=120°，
∵ ∠DOE=120°，
∴ S扇形BOC=S扇形DOE，
∴∠BOC-CON=DOE-CON即∠COM=∠BON，
∴ S扇形BOC-S扇形COE=S扇形DOE-S扇形COE
即S扇形BOE=S扇形COD，
在△OCM和△OBN中
OC=OB∠COM=∠BON∠OBN=∠OCM=30°
∴ △OCM≌△OBN，
∵OB=OC=4，
∴△BOC为等腰三角形，
∴ ∠OBC=∠OCB=12180°-120°=30°，
∴∠ACO=30°，
过O作OG⊥BC于点G，
∴ ∠BGO=90°，
∴ OG=12OB=2，
BG=CG=12BC=23，
∴BC=43
∵ OA=OB=OC
∴∠OAF=∠OBF=∠OBC=30°，
∵ OF⊥AB，
∴∠OFA=90°，
在△OAF和△OBG中
OA=OB∠OAF=∠OBG=30°∠OFA=∠OGB=90°
∴ △OAF≌△OBG
∴阴影部分的面积=弓形BEC的面积+S△BOG=S扇形BOC-S△BOC+S△BOG，
=120×π×42360-43×22+23×22=163π-23，
故答案为：163π-23
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）计算：
（2）解方程：．
【答案】解：（1）原式=2-1-1-2×22+4
=2；
（2）方程两边同时乘x2-1得：x+3x-1-3x=x2-1
x2+2x-3-3x=x2-1，即-x=2
解得：x=-2
检验：当x=-2时，x2-1≠0
故原方程的解为：x=-2
【分析】（1）由实数的混合运算法则即可求解；
（2）按照解分式方程的步骤即可求解．
18．某中学为做好学生“午餐工程”工作，学校工作人员搭配了四种不同种类的套餐，学校决定围绕“在四种套餐中，你最喜欢的套餐种类是什么？（必选且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查问卷适当整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢种套餐的学生占被抽取人数的20%，请根据以上信息解答下列问题：

(1)在这次调查中，一共抽取了____________名学生；
(2)通过计算中，补全条形统计图；
(3)如果全校有3000名学生，请估计全校学生中最喜欢种套餐的人数．
【答案】（1）一共抽取的学生有
40÷20%=200（名），
故答案为：200．
（2）根据题意得：
喜欢C种套餐得学生有
200-90-50-40=20（名）．
补全统计图如下：

（3）∵全校有3000名学生，
∴全校学生中最喜欢B中套餐得学生有
3000×50200=750（名），
答：估计全校最喜欢B种套餐的学生有750名．
【分析】1根据最喜欢D种套餐种类的人数除以最喜欢D中套餐的学生所占的百分比，即可求出调查总人数，
2根据1中所求出的总人数减去喜欢A, B, D三种套餐种类的人数，即可求出答案，
3用全校总学生数乘以最喜欢B中套餐的学生所占的百分比，即可求出答案．
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为C1,2，B2,3，A4,1．
(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2:1；
(3)点B2的坐标__________．
【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所要求作的图形；
（2）解：如图，△A2B2C2即为所要求作的图形．
（3）解：由图可知点B2的坐标为(-4,-6)．
【分析】本题考查了轴对称变化、位似变化，熟练掌握轴对称变化、位似变化的作图是解题的关键．
（1）找到点A、B、C关于y轴的对称点A1(-4,1)、B1(-2,3)、C1(-1,2)，连接点A1、B1、C1得到△A1B1C1即可；
（2）分别连接AO、BO、CO，并分别向AO、BO、CO方向延长两倍，得到点A2、B2、C2，连接点A2、B2、C2得到△A2B2C2；
（3）根据图象得出点B2的坐标即可．
20．一次函数与反比例函数的图像在第一象限交于A,B两点，其中．
(1)求反比例函数表达式；
(2)结合图像，直接写出时，x的取值范围；
(3)若把一次函数的图像向下平移b个单位，使之与反比例函的图像只有一个交点，请直接写出b的值．
【答案】（1）解：将A(1,a)代入y=-x+5得，a=-1+5=4，
∴A(1，4)，
将A(1，4)代入y=kx得，4=k1，
解得，k=4，
∴反比例函数表达式为y=4x；
（2）解：联立-x+5=4x，整理得，x2-5x+4=0，
∴x-1x-4=0，
解得，x=1或x=4，
经检验，x=1或x=4是原分式方程的解，
将x=4代入y=4x得，y=44=1，
∴B(4，1)，
∴由图像可知，-x+5≤kx的解集为0（3）解：由题意知，平移后的解析式为y=-x+5-b，
联立得，-x+5-b=4x，整理得，x2-5-bx+4=0，
∵图像只有一个交点，
∴Δ=5-b2-4×1×4=0，
解得，b=1或b=9，
∴b的值为1或9．
【分析】（1）将A(1,a)代入y=-x+5得，a=-1+5=4，则A(1，4)，将A(1，4)代入y=kx得，可得，k=4，进而可得反比例函数表达式；
（2）联立-x+5=4x，整理得，x2-5x+4=0，可求满足要求的解x=1或x=4，将x=4代入y=4x得，y=44=1，则B(4，1)，然后数形结合求不等式的解集即可；
（3）由题意知，平移后的解析式为y=-x+5-b，联立得，-x+5-b=4x，整理得，x2-5-bx+4=0，由图像只有一个交点，可得Δ=5-b2-4×1×4=0，计算求解然后作答即可．
21．某商家销售某种商品，每件进价为40元．经市场调查发现，该商品一周的销售量y（大于0的整数）件与销售单价x（不低于50的整数）满足一次函数关系，部分调查数据如表：
(1)直接写出销售量y关于销售单价x的函数表达式：y= ．
(2)若一周的销售利润为2750元，则销售单价是多少元/件？
(3)现商家决定将商品一周的销售利润作为捐款寄往贫困地区，则捐款能达到的最大值是 元．
【答案】（1）解：设y=kx+b，
将50,500，60,400代入得：50k+b=50060k+b=400，
解得k=-10b=1000，
∴销售量y关于销售单价x的函数表达式为y=-10x+1000，
故答案为：-10x+1000；
（2）解：根据题意得：x-40-10x+1000=2750，
解得x=95或x=45（舍去），
∴销售单价是95元/件；
（3）解：设商品一周的销售利润为w元，
w=x-40-10x+1000=-10x2+1400x-40000=-10x-702+9000，
∵-10<0，
∴x=70时，w取最大值，最大值为9000元，
故答案为：9000．
【分析】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用、二次函数的应用，理解题意，列出方程和函数关系式是解此题的关键．
（1）设y=kx+b，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意得出x-40-10x+1000=2750，解方程即可得出答案；
（3）设商品一周的销售利润为w元，得出w关于x的关系式，根据二次函数的性质即可得出答案．
22．如图，在平行四边形中，点F在边上，，连接，O为中点，的延长线交边于点E，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若平行四边形的周长为18，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB=∠EBF，∠FAE=∠BEA
∵O为BF中点，
∴OB=OF，
∴△AOF≌△EOBAAS
∴OA=OE
∴四边形ABEF是平行四边形，
又∵AB=AF，
∴平行四边形ABEF是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵平行四边形ABCD的周长为18，
∴AB+BC=9，即AB+BE+CE=9，
∵平行四边形ABEF是菱形
∴AB=BE，
∵CE=1，
∴AB=BE=4，
∵∠ABE=60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=BE=4，即AE的长为4．
【分析】（1）证明△AOF≌△EOBAAS，根据全等三角形的判定和性质得到BE=FE，BE=AF，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得AB+BC=9，再证AB=BE=4，然后证△ABE是等边三角形，即可得出结论．
23．如图，抛物线交轴于、两点（点在点的左侧）坐标分别为，，交轴于点．
(1)求出抛物线解析式；
(2)如图1，过轴上点作的垂线，交直线于点，交抛物线于点，当时，请求出点的坐标；
(3)如图2，点H的坐标是0,-2，点Q为x轴上一动点，点P-2,-8在抛物线上，把△PHQ沿HQ翻折，使点P刚好落在x轴上，请直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）解：将2,0，-4,0代入表达式得：4+2b+c=016-4b+c=0，
解得：b=2c=-8，
∴抛物线解析式为y=x2+2x-8；
（2）过点M作x轴的垂线交AC于E，交x轴于F，
∵MF⊥x轴，OC⊥x轴，
∴OC∥FM，
∴∠ACO=∠NEM，
∵MD⊥AC，
∴∠AOC=∠ENM=90°，
∴sin∠ACO=sin∠NEM，
即OAAC=MNEM，
∵A-4,0，B2,0，C0,-8，
∴OA=4，OC=8，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC=45，
∴445=5EM，
∴EM=5，
∵A-4,0，C0,-8，
∴直线AC：y=-2x-8，
设Mm,m2+2m-8，Em,-2m-8，
∴m2+2m-8--2m-8=5或-2m-8-m2+2m-8=5，
解得：m1=1，m2=-5，
∴M1,-5或-5,7；
（3）分两种情况讨论：
①如图所示，当点Q位于x轴负半轴时，过点P作PQ∥y轴交x轴于点Q，作PC∥x轴交y轴于点C，
∵P-2,-8，C0,-8，H0,-2，
∴PC⊥OC，PC=OH=2，
∴CH=8-2=6，
由折叠可知HP=HP1，QP=QP1，
∴Rt△PCH≌Rt△OHP1，
∴OP1=CH=6，
设Qn,0，
∴QP1=6-n，QP=n+22+-82，
∴6-n2=n+22+-82，
∴n=-2，
∴Q点的坐标为-2,0；
②如图所示，当点Q位于x轴正半轴时
∵P-2,-8，C0,-8，H0,-2，
∴PC⊥OC，PC=OH=2，
∴CH=8-2=6，
由折叠可知HP=HP2，QP=QP2，
∴Rt△PCH≌Rt△OHP2，
∴OP2=CH=6，
设Qn,0，
∴QP1=6+n，QP=n+22+82，
∴6+n2=n+22+82，
∴n=4，
∴Q点的坐标为4,0；
综上所述，Q点的坐标为-2,0或4,0．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）过点M作x轴的垂线交AC于E，交x轴于F，推出∠ACO=∠NEM，根据锐角三角函数的定义求出EM=5，设Mm,m2+2m-8，Em,-2m-8，由EM=5可得m1=1，m2=-5，即可求解；
（3）分两种情况讨论：①如图所示，当点Q位于x轴负半轴时，过点P作PQ∥y轴交x轴于点Q，作PC∥x轴交y轴于点C，②如图所示，当点Q位于x轴正半轴时，过点P作作PC∥x轴交y轴于点C，根据全等三角形的性质以及勾股定理即可求解．
24．如图，以AB为直径的⊙O上有两点E、F，BE=EF，过点E作直线CD⊥AF交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C，过C作CM平分∠ACD交AE于点M，交BE于点N．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求证：EM=EN；
(3)如果N是CM的中点，且AB=95，求EN的长．
【答案】（1）证明：如图所示，

∵BE=EF，
∴∠1=∠2，
∵OA=OE
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OE∥AF
∵CD⊥AF，
∴OE⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）证明：如图所示，

∵CM平分∠ACD
∴∠5=∠6=12∠DCA
又∵∠1=∠2=12∠DAC，AD⊥CD
则∠ADC=90°，
∴∠EMC= ∠1+∠5=12∠DAC+∠DCA=12180°-∠ADC=45°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠MEN=∠AEB=90°，
∴∠ENM=∠EMN=45°，
∴EM=EN；
（3）解：如图所示，取EC的中点P，连接PN，

∵CD是⊙O的切线，
∴∠CEB+∠OEB=90°，
∵∠AEB=∠AEO+∠OEB=90°，
∴∠AEO=∠BEC，
又∠OAE=∠OEA，
∴∠BEC=∠OAE，
∵N是MC的中点，P是EC的中点，
∴PN∥EM,PN=12EM=12EN，
∵AE⊥EB，
∴PN⊥EB，
在Rt△PEN中，tan∠PEN=PNEN=12，
∵∠BEC=∠OAE，
∴tan∠EAB=EBAE=tan∠PEN=12
设BE=b，则AE=2b，
∴AB=5b
∵AB=95
∴b=9
∴AE=18，EB=9,
∵∠BEC=∠EAC，∠ECB=∠ACE，
∴△ECB∽△ACE，
∴AEEB=CECB=2，
∵CM是∠ACD的角平分线，
∴N到CD,AC的距离相等，设为d，在△EBC，设点C到EB的距离为h，
∴S△ENCS△BNC=12EC×d12BC×d=12EN×h12BN×h，
∴ENBN=ECBC=2，
∴EN=23EB=6．
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得出∠1=∠2，根据OA=OE，得出∠1=∠3，则∠2=∠3，可得OE∥AF，根据已知CD⊥AF，得出OE⊥CD，即可得证；
（2）根据角平分线的定义得出∠5=∠6=12∠DCA，又∠1=∠2=12∠DAC，根据三角形内角和定理得出∠EMC= 45°，由AB是⊙O的直径，即可得证；
（3）取EC的中点P，连接PN，证明∠BEC=∠OAE，由N是MC的中点，P是EC的中点，得出PN∥EM,PN=12EM=12EN，进而得出tan∠PEN=PNEN=12，设BE=b，则AE=2b，勾股定理得出AE=18，EB=9,证明△ECB∽△ACE得出AEEB=CECB=2，根据角平分线的性质得出ENBN=ECBC=2，即可求解．
A
B
C
D
E
A
B,A
C,A
D,A
E,A
B
A,B
C,B
D,B
E,B
C
A,C
B,C
D,C
E,C
D
A,D
B,D
C,D
E,D
E
A,E
B,E
C,E
D,E
销售单价x（元/件）
50
55
60
70
75
…
一周的销售量y（件）
500
450
400
300
250
…