2024年中考数学信息必刷卷03（浙江新中考）（原卷版+解析版）

这是一份2024年中考数学信息必刷卷03（浙江新中考）（原卷版+解析版），文件包含信息必刷卷03浙江新中考原卷版docx、信息必刷卷03浙江新中考解析版docx、信息必刷卷03浙江新中考参考答案docx等3份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。


2024年是浙江实行全省统一命题的第一年，对于广大考生来说都是一个不小的挑战。根据最新考试信息、样卷以及模拟考试可以发现：2024年浙江中考数学，在考试题型结构上，将采用10+6+8的模式，在总分只有120分情况下，解答题的分值会有一定的下降。在考题的难易程度上面，超过一半的试题都是以基础题为主，考察考生对于初中数学知识点的掌握情况，压轴题具有一定难度，会考察学生的数形结合、分类讨论等数学思维。
新考法1：第6题，一般填空题中会有概率与统计的相关知识点考察，本题结合树状图的知识考察学生对于概率的掌握；
新考法2：第16题，一次函数、反比例函数的综合应用，同时结合三角形面积以及不等式等相关知识点，难度较大
新考法3：第18题，利用网格做全等三角形，轴对称图形等，考察学生对于全等三角形判定、轴对称性质、等腰三角形性质的掌握。
新考法4：第23题，压轴题，二次函数求面积最值，全等三角形性质等，要求考生能对二次函数熟练掌握，并且能灵活使用分类讨论的数学解题方法，运算能力与分析能力要求较高。
另外，在日常的学习中要特别关注基础题（选择题前6题，填空题前3题，解答题前4题）；能力题（选择题7-9题，填空题14-15题，解答题21-22题）；压轴题（各大题最后一两题）。中考侧重对数学基础知识的考察，再此基础之上，也会加大考察的深度和广度，考生也应该加强作图、识图、探究、思维等能力，对于一些应用型和创新型也应该注意，同时，整体思想、数形结合思想等数学思想，也都在这些试题中有所体现。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列各组数中，互为倒数的是（ ）
A．-2与2B．-2与12C．-2与-12D．-2与-2
【答案】C
【详解】解：A．∵-2×2=-4，∴-2与2不互为倒数，故A错误；
B．∵-2×12=-1，∴-2与12不互为倒数，故B错误；
C．∵-2×-12=1，∴-2与-12互为倒数，故C正确；
D．∵-2×-2=-4，∴-2与-2不互为倒数，故D错误．
故选：C．
2．下列各式的计算，正确的是（ ）
A．3a+2b=5abB．4m2n-2mn2=2mn
C．-12x+7x=-5xD．5y2-3y2=2
【答案】C
【详解】解：A、3a与2b不是同类项，不能合并，故错误，不符合题意；
B、4m2n与2mn2不是同类项，不能合并，故错误，不符合题意；
C、-12x+7x=-5x，正确，符合题意；
D、5y2-3y2=2y2，故错误，不符合题意；
故选：C．
3．“学习强国”平台上线的某天，全国大约有1.263×108人在此平台上学习，用科学记数法表示的数1.263×108的原数为（ ）
A．126300000B．12630000C．1263000000D．1263000
【答案】A
【详解】解：由题意得
1.263×108
=1.263×100000000
=126300000，
故选：A．
4．下列图案中，是中心对称图形的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：选项A、B、C不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图重合，所以不是中心对称图形；
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图重合，所以是中心对称图形；
故选：D．
5．使得b+3有意义的b的取值范围是（ ）
A．b≥﹣3B．b＞3C．b＞﹣3D．b≥3
【答案】A
【详解】∵二次根式有意义，
∴b+3≥0，解得b≥-3，
即b的取值范围为：b≥-3，
故选：A．
6．在学校乒乓球比赛中，从甲、乙、丙、丁这四人中，随机抽签一组对手，正好抽到乙与丁的概率是（ ）
A．110B．14C．15D．16
【答案】D
【详解】画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中正好抽到乙与丁的结果数为2，
所以正好抽到乙与丁的概率＝212=16．
故选D．
7．如图，在△ABC中，过点B作△ABC的角平分线AD的垂线，垂足为F， FG∥AB交AC于点G，若AB=4，则线段FG的长为（ ）

A．1B．2C．2.5D．3
【答案】B
【详解】解：延长BF交AC于点E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵BF⊥AD，
∴∠AFB=∠AFE=90°，
∵∠AFB=∠AFE=90°，AF=AF，∠BAD=∠CAD，
∴△ABF≌△AEF，
∴AB=AE=4，
∵FG∥AB，
∴∠BAF=∠AFG，
∴∠GAF=∠AFG，
∴AG=FG，
∵∠GAF+∠AEF=∠AFG+∠EFG=90°，
∴∠AEF=∠EFG，
∴EG=FG，
∴FG=AG=EG=12AE=2，
故选：B．

8．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知方程a1x2+b1x+c1=0(a≠0) 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）．
A．a1=b1B．a1=c1C．b1=c1D．a1=b1=c1
【答案】B
【详解】试题分析：∵方程有两个相等实数根，且a1+b1+c1=0，∴b12-4a1c1=0，b1=-a1-c1，
将b1=-a1-c1代入得：a12+2a1c1+c12-4a1c1=(a1-c1)2=0，则．故选B．
9．如图，点A，B，C，D是⊙O上的四点，AB为⊙O的直径，OC∥AD，CE⊥AB，垂足为E，则△ACE和和四边形ABCD的面积之比为（ ）

A．1:3B．1:2C．2:2D．2-1:1
【答案】B
【详解】解：如图，过点C作AD的垂线与AD的延长线交于点F，

∵点A，B，C，D是⊙O上的四点，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∵OC∥AD，
∴∠DAC=∠ACO，
∴∠DAC=∠ACO=∠CAO，
∴AC平分∠DAO，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
在△AEC和△AFC中，
∠AEC=∠AFC=90°∠DAC=∠CAOAC=AC，
∴△AEC≌△AFCAAS，
∴CE=CF，S△AEC=S△AFC，
∵∠CDF+∠ADC=180°，
∴∠CDF=∠ABC，
在△CDF和△CEB中，
CE=CF∠CFD=∠CEB=90°∠CDF=∠ABC，
∴△CDF≌△CEBAAS，
∴S△CDF=S△CEB，
∵S四边形ABCD=S△ACE+S△BCE+S△ACD，
∴S四边形ABCD=S△ACE+S△CDF+S△ACD=S△ACE+S△ACF=2S△ACE，
∴S△ACE:S四边形ABCD=S△ACE:2S△ACE=1:2，
∴△ACE和和四边形ABCD的面积之比为1:2．
故选：B．
10．若点B是直线y=-x+2上一点，已知A0,-2，则AB+OB的最小值是（ ）
A．4B．25C．23D．2
【答案】B
【详解】解：在y=-x+2中，当x=0时， y=2,当y=0时， 0=-x+2，解得x=2,
∴直线y=-x+2与x的交点为C(2.0)，与y轴的交点为D(0，2)，如图，
∴OC=OD=2,
∵OC⊥OD,:OC⊥OD,
∴△OCD是等腰直角三角形，
∴∠OCD=45°，
∴A(0,-2)，
∴OA=OC=2
连接AC，如图，
∵OA⊥OC,
∴△OCA是等腰直角三角形，
∴∠OCA= 45°，
∴∠ACD=∠OCA+∠OCD=90°，
∴.AC⊥CD,
延长AC到点E，使CE=AC,连接BE，作EF⊥轴于点F，
则点E与点A关于直线y= -x+2对称，∠EFO= ∠AOC=90，
点O、点B、点E三点共线时，OB+AB取最小值，最小值为OE的长,
在△CEF和△CAO中，
∠EFC=∠AOC∠ECF=∠ACOCE=AC
∴△CEF≌OCAO(AAS),
∴EF=OA=2，CF=OC=2
∴OF=OC+CF=4,
∴OE=OF2+EF2=42+22=25
即OB+AB的最小值为25．
故选:B
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．分解因式：3a2+6ab+3b2= ．
【答案】3（a+b）2
【详解】3a2+6ab+3b2=3（a2+2ab+b2）=3（a+b）2．
故答案为:3（a+b）2．
12．一组数据5，6，7，8，9的方差为 ．
【答案】2
【详解】解：这组数据的平均数为5+6+7+8+95=7，
∴这组数据的方差为15×5-72+6-72+7-72+8-72+9-72=2，
故答案为：2．
13．已知x是满足10【答案】5
【详解】解：∵x是满足10∴10<16<27或10<25<27
∴x=4或5，
当x=4时，2x-6=2是无理数，不符合题意舍；
当x=5时，2x-6=4=2是有理数，符合题意，
∴x=5，
故答案为：5．
14．在我市“创卫攻坚”行动中，某社区计划对面积为3600m2的区域进行绿化改造，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成的绿化面积是乙队每天能完成的绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为600m2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天．若甲队每天绿化的费用是1.2万元，乙队每天绿化的费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化 天．
【答案】32
【详解】设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，
根据题意得：
600x-6002x=6，
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100，
设甲工程队施工a天，乙工程队施工b天刚好完成绿化任务，
由题意得100a+50b=3600，
则a=72-b2=-12b+36，
根据题意得：1.2a+0.5b≤40，
∴1.2×-12b+36+0.5b≤40
解得：b≥32，
即至少应安排乙工程队绿化32天．
故答案为：32．
15．如图，在等腰梯形ABCD中，AB平行CD，对角线AC⊥BD于点O，AB+CD=24,BC=13，则S△ABDS△BCD= ．
【答案】717
【详解】解：如图，作BE⊥DC于点E，BF∥AC交DC延长线于点F，
∵AC⊥BD，
∴BF⊥BD，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
∵AB∥CD，BF∥AC，
∴四边形ACFB是平行四边形
∴AB=CF，AC=BF，
∴DF=CD+CF=CD+AB=24，AC=BD=BF
∵BF⊥BD，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴△BDE、△BFE是等腰直角三角形，
∴BE=DE=EF=12×24=12，
在Rt△BCE中，根据勾股定理得：
CE=BC2-BE2=132-122=5，
∵CE=12CD-AB=5，
∴CD-AB=10，又AB+CD=24，
∴CD=17,AB=7，
∵△ABD与△BCD等高，
∴S△ABDS△BCD=ABCD=717．
16．如图，直线y＝mx+n与双曲线y＝kx（k＞0，x＞0）相交于点A（2，4），与y轴相交于点B（0，2），点C在该反比例函数的图象上运动，当△ABC的面积超过5时，点C的横坐标t的取值范围是 ．
【答案】t>3+412或0【详解】解：如图，过C作CD∥y轴，交直线AB于点D．
∵双曲线y＝kx（k＞0，x＞0）过点A（2，4），
∴k＝2×4＝8，
∴y＝8x．
∵直线y＝mx+n过点A（2，4），B（0，2），
∴2m+n=4n=2，解得m=1n=2，
∴直线AB的解析式为y＝x+2．
设C（t，8t），则D（t，t+2），CD＝|t+2﹣8t|．
∵S△ABC＝12CD×2＝CD＝|t+2﹣8t|，
∴当△ABC的面积超过5时，|t+2﹣8t|＞5，
∴t+2﹣8t＞5或t+2﹣8t＜﹣5．
①如果t+2﹣8t＞5，那么t2-3t-8t＞0，
∵t＞0，
∴t2﹣3t﹣8＞0，
∴t＞3+412或t＜3-412（舍去）；
②如果t+2﹣8t＜﹣5，那么t2+7t-8t＜0，
∵t＞0，
∴t2+7t﹣8＜0，
∴﹣8＜t＜1，
∴0＜t＜1．
综上所述，当△ABC的面积超过5时，点C的横坐标t的取值范围是t＞3+412或0＜t＜1．
故答案为：t＞3+412或0＜t＜1．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）计算：π-20230-2cs30°-25+1-3；
（2）解不等式组：4x-3<2x+3①13x+2≥3-23x②；
（3）解方程：x2-5x-1=0．
【答案】解：（1）π-20230-2cs30°-25+1-3；
=1-2×32-5+3-1
=1-3-5+3-1
=-5；
（2）4x-3<2x+3①13x+2≥3-23x②
解不等式①得，x<92，
解不等式②得，x≥1，
将它们的解集在数轴上表示如下：
所以这个不等式组的解集是1≤x<92；
（3）x2-5x-1=0
∵a=1,b=-5,c=-1，
∴b2-4ac=-52-4×1×-1=29>0，
∴x=-b±b2-4ac2a=5±292，
∴x1=5+292,x2=5-292．
【分析】本题考查实数的混合运算、解一元一次不等式组、解一元二次方程，熟知计算方法是正确解决本题的关键．
（1）根据0次幂、特殊角的三角函数值、二次根式的运算法则计算即可；
（2）先解每一个不等式再确定公共部分即可；
（3）用公式法即可求解．
18．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC的顶点均在格点上，M是AB与网格线的交点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，作△DBC，使△DBC与△ABC全等．
(2)在图②中，作点M关于BC的对称点N．
(3)在图③中，在BC边上找一点E，连结ME，使ME=MB．
【答案】（1）解：如图①所示，△DBC即为所求，
由图可知∶ CD=CA=4，∠DCB=∠ACB=45°，BC=BC，
∴△DBC≌△ABC．
（2）解∶ 如图②所示，作点A关于BC的对称点D，连接BD，交格线于N，
则点N即为所求，
由作图可知：点A、点D关于BC的对称，
∴BD与BA关于BC的对称，
∴BN=BM
∴点M与点N关于BC的对称．
（3）解：取格点P，连接AP交格线于F，连接NF交BC于E，
则点N即为所求，
由作图可知：AF=BN，AF∥BN，
∴四边形ABNF是平行四边形，
∴AB∥NF，
∴BEPE=AFFP=32
∵BMMA=32
∴BEPE=BMMA
∴ME∥AP
∴ME∥BN
∴四边形BNEM是平行四边形，
∵点M与点N关于BC的对称．
∴BM=BN
∴四边形BNEM是菱形形，
∴MB=ME．
【分析】（1）取格点D，连接BD，CD即可；
（2）作点A关于BC的对称点D，连接BD，交格线于N，则点N即为所求；
（3）在图②的基础上，如图③，取格点P，连接AP交格线于F，连接NF交BC于E，则点N即为所求．
19．“让我们携起手来，构建网络空间命运共同体，让互联网更好造福世界各国人民，共同创造人类更加美好的未来！”11月8日上午，国家主席习近平向2023年世界互联网大会乌镇峰会开幕式发表视频致辞，科学分析全球互联网发展治理面临的新形势新要求，为携手推动构建网络空间命运共同体提供了重要指引。与会人士纷纷表示，习近平主席的致辞凝聚合作共识、激发奋进力量，为共同推动构建网络空间命运共同体迈向新阶段进一步指明了方向。为了共同推动构建网络空间命运共同体发展，某高校计划在图书馆引进计算网络书籍，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型（A．网络安全，B．计算软件计算，C、计算数学，D．通信技术）数据后，绘制出两幅不完整的统计图．

(1)本次抽样调查的样本容量是_____；
(2)请补全条形统计图；
(3)求出扇形统计图中类型D所对应的扇形的圆心角的度数；
(4)请你估计该校参加调查的1000名学生中喜欢类型C的学生人数．
【答案】（1）解：100÷25%=400（人）
∴本次抽样调查的样本容量是400，
故答案为：400
（2）类型D的人数为400×10%=40（人），
类型B的人数为400-100-40-140=120（人），
补全统计图如下：

（3）360°×10%=36°，
∴扇形统计图中类型D所对应的扇形的圆心角的度数为36°；
（4）1000×140400=350（人）
∴估计该校参加调查的1000名学生中喜欢类型C的学生人数为350人．
【分析】此题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，还考查了样本估计总体等知识，读懂题意，正确计算是解题的关键．
（1）用类型A的人数除以对应的百分比即可得到答案；
（2）求出D类型和C类型的人数，再补全统计图即可；
（3）利用周角的度数乘以D类型的百分比即可得到答案；
（4）用总人数乘以样本中类型C的百分比即可得到答案．
20．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．

(1)求证：四边形ADBF是菱形；
(2)若AB=4，菱形ADBF的面积为20，求AC的长．
【答案】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFC=∠FCD，∠FAE=∠CDE，
∵点E是AD的中点，
∴AE=DE，
∴△FAE≌△CDE(AAS)，
∴AF=CD，
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，
∴AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴AD=BD=12BC，
∴四边形ADBF是菱形；
（2）解：∵四边形ADBF是菱形，
∴菱形ADBF的面积=2△ABD的面积，
∵点D是BC的中点，
∴△ABC的面积=2△ABD的面积，
∴菱形ADBF的面积=△ABC的面积=20，
∴ 12AB⋅AC=20，
∴ 12×4⋅AC=20，
∴AC=10，
∴AC的长为10．
【分析】（1）利用平行线的性质可得∠AFC=∠FCD，∠FAE=∠CDE，利用中点的定义可得AE=DE，从而证明△FAE≌△CDE，然后利用全等三角形的性质可得AF=CD，再根据D是BC的中点，可得AF=BD，从而可证四边形AFBD是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得BD=AD，从而利用菱形的判定定理即可解答；
（2）利用（1）的结论可得菱形ADBF的面积=2△ABD的面积，再根据点D是BC的中点，可得△ABC的面积=2△ABD的面积，进而可得菱形ADBF的面积=△ABC的面积，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键．
本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键．
21．某企业投入59万元（只计入第一年成本）生产某种电子产品，按订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y=24-x，第一年除59万元外其他成本为8元/件．
(1)求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式；
(2)该产品第一年利润为5万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．
①求该产品第一年的售价；
②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？
【答案】（1）解：由题意可得，
w=x-824-x-59=-x2+32x-251，
即w=-x2+32x-251；
（2）解：①∵该产品第一年利润为5万元，
∴5=-x2+32x-251，
解得x=16，
答：该产品第一年的售价是16元/件；
②∵第二年产品售价不超过第一年的售价，销售量不超过13万件，
∴x≤1624-x≤13，
解得11≤x≤16，
设第二年利润是w'万元，
则w'=x-8-224-x-5=-x2+30x-147，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=15，
又∵11≤x≤16，
∴x=11时，w'有最小值，最小值为11-6×24-11-5=60(万元)，
答：第二年的利润至少为60万元．
【分析】（1）根据总利润=每件利润×销售量-投资成本，列出式子即可求解；
（2）①构建方程即可求出该产品第一年的售价；②根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数性质解答即可求解；
本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或函数解决问题．
22．如图，反比例函数y=kxx>0的图象与直线AB交于A32,4，B3,m两点，已知∠ACO=90°，D0,1，连接AD，BD，BC．
(1)求直线AB与双曲线的解析式；
(2)△ABC和△ABD的面积分别为S1，S2，求32s1-s2的值．
【答案】（1）解：把A32,4代入反比例函数解析式y=kx得，4=k32，
∴k=6，
∴双曲线的解析式为y=6x，
把B3,m代入y=6x得，m=63=2，
∴B3,2，
设直线AB的解析式为y=nx+b，把A32,4、B3,2代入得，
4=32n+b2=3n+b，
解得n=-43b=6，
∴直线AB解析式为y=-43x+6；
（2）解：由A32,4可得，AC=4，点B到AC的距离为3-32=32，
∴S1=12×4×32=3，
设直线AB与y轴的交点为E，则E0,6，
∴DE=6-1=5，
∴S2=S△BDE-S△ADE=12×5×3-12×5×32=154，
∴32S1-S2=32×3-154=34．
【分析】（1）先将点A32,4代入反比例函数解析式中求出k的值，进而得到点B的坐标，再利用待定系数法即可求出直线AB的表达式；
（2）利用三角形的面积公式以及割补法分别求出S1，S2的值，即可求出32s1-s2的值；
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及三角形的面积，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
23．如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A0,3，B1,0，其对称轴为直线l:x=2，过点A作AC∥x轴，交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值．
(3)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在；直接写出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）设抛物线与x轴的另一个交点为D，
∵抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A0,3、B1,0，其对称轴为直线l:x=2，
∴1+xD2=2，
解得xD=3，
故D3,0，
设抛物线解析式为y=ax-1x-3，
把A0,3代入解析式，得
3=a0-10-3，
解得a=1，
故抛物线解析式为y=x-1x-3=x2-4x+3=x-22-1；
（2）∵OE平分∠AOB，且∠AOB=90°，
∴∠AOE=∠BOE=12∠AOB=45°，
∵AC∥x轴，交抛物线于点C，
∴∠AEO=∠BOE=45°，
∴∠AOE=∠BOE=∠AEO=45°，
∴AE=AO，
∵点A0,3，
∴AE=AO=3，
∴点E3,3，
∴S△AOE=12AE⋅AO=92，
设OE的解析式为y=kx，
∴3=3k，
解得k=1，
∴OE的解析式为y=x，
过点P作PF∥y轴交直线OE于点F，
设Pm，m2-4m+3，则Fm，m，
则FP=m-m2+4m-3=-m2+5m-3，
∴S△POE=S△POF+S△PEF
=12PFxP-xO+12PFxE-xP
=12PF⋅xE-xO
=12PF×3-0=32PF
=-32m2+152m-92，
∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE=-32m2+152m，
=-32m-522+758，
∴当m=52时，四边形AOPE面积最大，最大值为758．
（3）①当P在对称轴的左边，过P作MN⊥y轴，交l于N，
∵OP=PF，∠OPF=90°，
∴∠MPO=90°-∠NPF=∠NFP，
在Rt△MPO和Rt△NFP中，
∵∠OMP=∠PNF∠MPO=∠NFPPO=FP，
∴Rt△MPO≌Rt△NFPAAS，
∴OM=PN，
∵Pm，m2-4m+3，
则m2-4m+3=2-m，
∴m2-4m+3=2-m或m2-4m+3=m-2
∴m2-3m+1=0或m2-5m+5=0，
解得m1=3+52（舍去），m2=3-52或m3=5+52（舍去），m4=5-52，
∵m<2，
∴m2=3-52或m4=5-52，
∴P的坐标为3-52,5+12或5-52,1-52；
②当P在对称轴的右边，如图4，过P作MN⊥x轴于N，
同理得Rt△ONP≌Rt△PMFAAS，
∴FM=PN，
∵Pm，m2-4m+3，
则m2-4m+3=m-2，
∴m2-4m+3=m-2或m2-4m+3=2-m
∴m2-5m+5=0或m2-3m+1=0，
解得m1=3+52，m2=3-52（舍去）或m3=5+52，m4=5-52（舍去），
∵m>2，
∴m1=3+52或m3=5+52，
∴P的坐标为3+52,1-52或5+52,1+52；
综上所述，点P的坐标是：3-52,5+12或5-52,1-52或3+52,1-52或5+52,1+52．
【分析】（1）设抛物线与x轴的另一个交点为D，利用对称思想求得点D的坐标，设出抛物线的交点式，解答即可；
（2）过点P作PF∥y轴交直线OE于点F，设Pm，m2-4m+3，则Fm，m，
则FP=m-m2+4m-3=-m2+5m-3，把不规则四边形切割成几个三角形，利用三角形面积之和，求四边形面积．
（3）根据等腰直角三角形的定义，分类解答即可．
24．如图，已知AD，EF是⊙O的直径，AD=62，⊙O与▱OABC的边AB，OC分别交于点E，M，连接CD并延长，与AF的延长线交于点G，∠AFE=∠OCD．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若GF=1，求cs∠AEF的值；
(3)在（2）的条件下，若∠ABC的平分线BH交CO于点H，连接AH交⊙O于点N，求ABNH的值．
【答案】（1）证明：如图，连接DF，
∵EF是⊙O的直径，
∴∠AFE=∠OCD．
∴DF∥AE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥OC．
∴DF∥OC．
∴∠FDA=∠DOC．
∵OF=OA，
∴∠FAD=∠AFE．
∵∠AFE=∠OCD，
∴∠FAD=∠OCD．
∵∠FDA+∠FAD=90°，
∴∠DOC+∠OCD=90°．
∴∠ODC=90°．
∴OD⊥CD．
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ADG=∠GFD=90°，
∴∠G+∠FDG=∠G+∠FAD=90°．
∴∠FDG=∠FAD．
∴△FDG∽△FAD．
∴FDFA=FGFD．
∵GF=1，
∴FD2=FG⋅FA．
设FD=x，则AF=x2．
由勾股定理得AF2+DF2=AD2，