第17章勾股定理 期末综合复习训练题 2023-2024学年人教版八年级数学下册

这是一份第17章勾股定理 期末综合复习训练题 2023-2024学年人教版八年级数学下册，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．0.3，0.4，0.5B．6，8，10C．35，45，1D．4，5，6
2．直角三角形的两边长分别是5cm、6cm，第三边长是（ ）
A．41B．11C．61或11D．61
3．在平面直角坐标系中，点P−2,−3到原点的距离为（ ）
A．13B．10C．7D．5
4．如图，在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（ ）
A．6B．8C．9D．13
5．如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ）
A．64B．18C．36D．100
6．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，BD=3，则DE的长为（ ）
A．1B．1.5C．2D．3.5
7．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高（ ）
A．3mB．8mC．5mD．10m
8．如图，一个圆柱体笔筒的内部底面直径是5cm，一支铅笔长为18cm，当铅笔垂直放入圆柱体笔筒内，这支铅笔在笔筒外面部分长度为6cm．若这支铅笔斜放入圆柱体笔筒中，则这支铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ）
A．5cmB．33cmC．27cmD．26cm
二、填空题
9．若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足a−6+(b−8)2=0，则该直角三角形的斜边长为 ．
10．若a，b，c是△ABC的三边，且|a−8|+(b−15)2+c−17=0，则△ABC的面积为 ．
11．在△ABC中，AB=5，BC=6，BC边上的高AD的长为4，则边AC的长为 ．
12．如图，淇淇由A地沿北偏东50°方向骑行8km至B地，然后再沿北偏西40°方向骑行6km至C地，则A，C两地之间的距离为 km．
13．一块木板如图所示，已知AB=4，BC=3，DC=12，AD=13，∠B=90°，求此木板的面积 ．
14．如图，在四边形AOBC中，AC∥OB，若OD平分∠AOB交AC于点D，点A3,4，则D点的坐标是 ．
15．如图所示为一张直角三角形纸片，直角边AC=6cm，BC=8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则DB的长为 cm．
16．如图已知长方形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，则CE的长为 ．
三、解答题
17． 如图， 在 △ABC中， CD⊥AB于点 D， AC=15，BC=20，AD=9．
(1)求CD的长；
(2)求证：△ABC是直角三角形．
18．边长为1的正方形的顶点称为格点，如图1，图2中点A，B，C，D，E均为格点．
(1)在图1中，∠ACB的度数为______；
(2)如图1，请仅用无刻度直尺作图，在AB上取一点M，使∠ACM=45°；
(3)在图2中，请仅用无刻度直尺作图，作DF=8，EF=10，并直接写出△DEF的面积为______．
19．一架长2.5米的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米．
(1)此时梯子顶端A距离地面多高？
(2)若梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足B是否也外移0.4米？
20．吊车在作业过程中会对周围产生较大的噪声．如图，吊车在工地点C处，AB为附近的一条街道，已知点C与直线AB上两点A、B的距离分别为180m和240m，AB=300m，若吊车周围150m以内会受噪声影响．
(1)求∠ACB的度数；
(2)街道上的居民会受到噪声的影响吗？如果会受影响，求出受影响的居民的范围；如果不会受影响，请说明理由．
21．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，M，N是边BC上两点，已知∠MAN=45°．
(1)如图1，过点A作AD⊥AN，且AD=AN，连接BD，DM．
①证明：△ADM≌△ANM；
②若BC=12，MN=5，求BM的长．
(2)如图2，若点M在CB的延长线上，点N在线段BC上（与点B不重合），探索MN，BM，NC之间的数量关系，并加以证明．
22．【综合与实践学习】：
阅读下面的证明过程：如图1，△ACB、△ADC和△BEC都是直角三角形，其中AC=BC，且直角顶点都在直线l上，求证：△ACD≌△CBE．
证明：由题意，∠BCE+∠ACD=180°−90°=90°，∠DAC+∠ACD=90°．
∴∠DAC=∠BCE．
在△ACD和△CBE中，
∠ADC=∠CEB∠DAC=∠BCEAC=BC，
∴△ACD≌△CBE．
像这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索．
请结合以上阅读，解决下列问题：

(1)如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，过点A作直线AE，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，探索BD、DE、CE之间的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图3，在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为12米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为18米，高为4米的矮台B，请写出旗杆OM的高度是 ．（不必书写解题过程）
(3)如图4，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°，AC=BC，AE=DE，且点E在BC上，连接BD，思考：BD与CE之间有什么样的数量关系？请证明你的猜想．
参考答案
1．解：A、0.3，0.4，0.5这三个数都不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
B、∵62+82=36+64=100=102，
∴6，8，10是勾股数，符合题意；
C、35，45，1这三个数有不是正整数的数，不是勾股数，不符合题意；
D、∵42+52=16+25=41≠52，
∴4，5，6这三个数不是勾股数，不符合题意；
故选：B．
2．解：当两直角边长为5cm、6cm时，第三边长=52+62=61cm，
当斜边长为6cm，一直角边长为5cm时，第三边长=62−52=11cm，
故选：C．
3．解：点P−2,−3到原点的距离为−22+−32=13．
故选：A
4．解：∵ 在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1，
∴任意两个格点间的距离为22+22=8，32+12=10，9=3，
1，2，32+32=32，22+12=5，22+32=13．
∴任意两个格点间的距离不可能是6，
故选：A．
5．解：
如图，由勾股定理可得SA+SB=SC，
又∵SC=c2=102−82=36，
∴SA+SB=36，
即∴S阴影=36，
故选：C．
6．解：作EF⊥BC
∵CD是AB边上的高线，
∴∠BDE=∠BFE=90°
∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE=∠FBE
∵BE=BE
∴△DBE≌△FBEAAS
∴BD=BF=3，DE=EF，
∵BC=5，
∴CD=BC2−BD2=4，CF=2
设DE=EF=x，则CE=4−x
∵EF2+CF2=CE2，即x2+22=4−x2，解得：x=DE=1.5
故选：B．
7．解：如图所示，在Rt△ABC中，AB=3m，BC=4m，∠ABC=90°，
∴AC=AB2+BC2=5m，
∴AC+AB=8m，
∴树折断之前高8m，
故选：B．
8．解：如图所示，BC=5cm，
∴AB=18−6=12cm，
∴AC=AB2+BC2=122+52=13(cm)，
此时铅笔外面的长度为18−13=5cm，
∵斜放的铅笔底端放的位置不同，
∴0∴当铅笔垂直放入时，铅笔在外面的长度为6cm,
∴铅笔在外面部分的取值范围为5≤ℎ铅笔外部长<6，
∵26<5<27<33<6，
∴这支铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是26，
故选：D ．
9．解：∵a−6+(b−8)2=0，
∴a−6=0，b−8=0，
解得a=6，b=8，
∵直角三角形的两直角边长为a、b,
∴该直角三角形的斜边长=a2+b2=62+82=10．
故答案为：10．
10．60
【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，绝对值，偶次方，算术平方根等知识点，熟练掌握这些性质，得到三角形的三边长是解题的关键． 先根据非负数的性质得到△ABC的三边a、b、c的长，再根据勾股定理的逆定理可知△ABC为直角三角形，再根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵|a−8|+(b−15)2+c−17=0，
∴a−8=0，b−15=0，c−17=0，
解得a=8，b=15，c=17，
∵82+152=172，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积为12×8×15=60．
故答案为60．
11．解：如图1，在Rt△ABD中，AD=4,AB=5, AD2+BD2=AB2,
∴BD=AB2−AD2=52−42=3，

∵BC=6,
∴DC=BC−BD=6−3=3,
在Rt△ADC中，AC=AD2+DC2=42+32=5；
如图2，在Rt△ABD中，AD=4,AB=5, AD2+BD2=AB2,

∴BD=AB2−AD2=52−42=3，
∵BC=6,
∴DC=BC+BD=6+3=9,
在Rt△ADC中，AC=AD2+DC2=42+92=97；
综上，AC的长为5或97，
故答案为：5或97
12．解：如图，
根据题意，得AM∥BN，∠MAB=50°，∠NBC=40°，AB=8km，BC=6km，
∴∠ABN=180°−∠MAB=130°，
∴∠ABC=∠ABN−∠CBN=90°，
∴AC=AB2+BC2=10km，
故答案为：10．
13．解：如图所示，连接AC，
∵∠B=90°，BC=3，AB=4，
∴AC= AB2+BC2=5，
∵DC=12，AD=13，
∴ DC2+AC2=52+122=169=132，
∴△ADC是直角三角形，
∴ S木板=S△ADC−S△ABC=12×5×12−12×3×4=24．
故答案为：24．
14．解：延长DA交y轴于点E，
∵AC∥OB，
∴CE⊥y轴，A,D的纵坐标相同，∠ADO=∠DOB，
∵A3,4
∴AE=3,OE=4，
∴OA=AE2+OE2=5，
∵OD平分∠AOB，
∴∠DOB=∠AOD，
∴∠ADO=∠AOD，
∴AD=OA=5，
∴DE=8，
∴D8,4；
故答案为：8,4．
15．解：设DB=xcm，则DC=BC−BD=8−xcm，
由折叠可得：AD=BD=xcm，
∵∠C=90°，
∴在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2，
即62+8−x2=x2，
解得：x=254，
∴DB=254cm．
故答案为：254．
16．解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD=BC=10cm，CD=AB=8cm，
根据题意得：Rt△ADE≌Rt△AFE，
∴∠AFE=90°，AF=AD=10cm，EF=DE，
设CE=xcm，则DE=EF=CD−CE8−xcm，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，
即82+BF2=102，
∴BF=6cm，
∴CF=BC−BF=10−6=4cm，
在Rt△ECF中，由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，
即8−x2=x2+42，
∴64−16x+x2=x2+16，
∴x=3cm，
即CE=3cm．
故答案为：3cm．
17．解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠CDB=90°，
在Rt△ACD中，AC=15，AD=9，
∴CD=AC2−AD2=152−92=12，
∴CD的长为12；
（2）证明：在Rt△CDB中，BC=20，
∴BD=BC2−CD2=202−122=16，
∵AD=9，BD=16，
∴AB=AD+BD=9+16=25，
∵AC2+BC2=152+202=625，AB2=252=625，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形．
18．（1）解：∵ AC2=12+22=5，CB2=22+42=20，AB2=25，
∴5+20=25，即：AC2+CB2=AB2，
∴∠ACB=90°，
故答案为：90°．
（2）取个点E，连接AE、AC，AE与AB相交于M，
∵AC2=AE2=12+22=5，CE2=12+32=10，
∴AC2+AE2=CE2，AC=AE，
∴∠CAE=90°，
∴∠ACM=45°，
如图所示，点M即为所求：
（3）DF=22+22=8，EF=12+32=10，则：
如图所示，△DEF即为所求：
S△DEF=2×3−122×2+1×1+1×3=2，
故答案为：2．
19．解：（1）根据题意得：AB=2.5m，BC=0.7m，
∴AC=AB2−BC2=2.4m，
答：梯子顶端A距离地面有2.4m；
（2）∵AE=0.4m，
∴CE=2m，
∵ED=AB=2.5m，
∴CD=ED2−EC2=1.5m，BD=CD−BC=0.8m，
∴梯足B外移了0.8米．
20．（1）解：∵ AC=180m，BC=240m，AB=300m，
∴ AC2+BC2=1802+2402=90000，AB2=3002=90000，
∴ AC2+BC2=AB2
∴ △ABC是直角三角形，
∴ ∠ACB=90°；
（2）街道上的居民会受到噪声的影响，
理由如下：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
由（1）得∠ACB=90°，
∴ 12AC⋅BC=12CD⋅AB，
∴ 12×180×240=12×300·CD，
解得：CD=144m，
∵吊车周围150m以内会受到噪声的影响，
∴街道上的居民会受到噪声的影响．
当EC=150m，FC=150时，此范围内的居民会受影响．
∴ ED=EC2−CD2=1502−1442=42m，
∴ DF=ED=42m，
即会影响位于吊车垂直位置左右42m街道上的居民，即EF范围内的居民会受影响．（说法合理即可）
21．（1）①证明：∵ ∠MAN=45°，AD⊥AN，
∴∠DAM=∠NAM．
在△ADM和△ANM中，
AM=AM∠DAM=∠NAMAD=AN，
∴△ADM≌△ANM(SAS)；
②由①中△ADM≌△ANM，
得DM=MN．
∵ ∠BAD+∠BAM=∠CAN+∠BAM=45°，
∴∠BAD=∠CAN，
又AB=AC，AD=AN，
∴△ABD≌△ACN(SAS)，
∴ ∠ABD=∠ACN=45°，BD=CN，
∴∠DBM=90°，
即△BDM是直角三角形，
∴ BD2+BM2=DM2，
则BM2+CN2=MN2．
设BM=a，
则CN=12−5−a=7−a，
∴a2+(7−a)2=52，
解得a=3或4，
∴ BM的长为3或4；
（2）证明：MN2=BM2+CN2．过程如下：
如图，过点A作AD⊥AN，在射线AD上截取AD=AN，连接BD，DM．
易知∠DAM=∠MAN=45°，AD=AN，AM=AM，
∴ △ADM≌△ANM，
则NM=DM．
∵ ∠DAN=∠BAC=90°，
∴∠DAN−∠BAN=∠BAC−∠BAN，
∴∠DAB=∠NAC，
又AD=AN，AB=AC，
∴△ADB≌△ANC，
∴ BD=CN，∠ABD=∠ACN=45°，
则∠DBC=∠DBM=90°，
∴ △BDM是直角三角形，
∴ DM2=BM2+BD2，
即MN2=BM2+CN2．
22．（1）解：BD=CE+DE，理由如下：
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA=∠AEC=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
∵AB=AC，
∴△ABD≌△CAEAAS，
∴AD=CE，BD=AE，
∴BD=AE=AD+DE=CE+DE；
（2）过A作AE⊥OM，过B作BF⊥OM，如图：
同理可证△AOE≌△OBF，
∴AE=OF，OE=BF，
由题意知AC=12m，BD=4m，
∴EF=8m，
∵AE+BF=18，即OE+EF+BF=18，
∴2OE=10，
∴OE=5，
∴OM=OE+ME=OE+AC=5+12=17（米）．
（3）证明：过D作DF⊥CB交CB的延长线于点F，如图：
∵∠ACB=∠AED=∠EFD=90°，
∴∠CEA+∠FED=90°，∠CEA+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠FED，而AE=DE，
∴△ACE≌△EFDAAS，
∴AC=EF=BC，CE=DF，
∴CE=BF=DF，
∴BD=2DF，
∵CE=DF，
∴BD=2CE．