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    初中数学中考复习 专题04 规律探究之图形【考点精讲】(解析版)
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    初中数学中考复习 专题04 规律探究之图形【考点精讲】(解析版)

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    这是一份初中数学中考复习 专题04 规律探究之图形【考点精讲】(解析版),共12页。

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    题型精讲
    题型一:动点图形规律
    【例1】等边△ABC在数轴上的位置如图所示,点A、C对应的数分别为0和﹣1,若△ABC绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转,翻转1次后,点B所对应的数为1,则连续翻转2020次后,则数2020对应的点为( )
    A.点AB.点B
    C.点CD.无法判断
    【分析】根据随着翻转点的变化,可找出点的变化周期为3,结合2020为3的整数倍余1,可得出数2020对应的点为B.
    【解析】解:∵翻转1次后,数1对应的点为B,翻转2次后,数2对应的点为C,翻转3次后,数3对应的点为A,翻转4次后,数4对应的点为B,…,
    ∴点的变化周期为3.
    又∵2020÷3=673…1,
    ∴连续翻转2020次后,则数2020对应的点为B.
    故选:B.
    【例2】(2020常德)如图,将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处,按顺时针方向移动这枚跳棋2020次.移动规则是:第k次移动k个顶点(如第一次移动1个顶点,跳棋停留在B处,第二次移动2个顶点,跳棋停留在D处),按这样的规则,在这2020次移动中,跳棋不可能停留的顶点是( )
    A.C、EB.E、FC.G、C、ED.E、C、F
    【分析】设顶点A,B,C,D,E,F,G分别是第0,1,2,3,4,5,6格,因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k=12k(k+1),然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则,可得到不等式最后求得解.
    【解析】经实验或按下方法可求得顶点C,E和F棋子不可能停到.
    设顶点A,B,C,D,E,F,G分别是第0,1,2,3,4,5,6格,
    因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k=12k(k+1),应停在第12k(k+1)﹣7p格,
    这时P是整数,且使0≤12k(k+1)﹣7p≤6,分别取k=1,2,3,4,5,6,7时,
    12k(k+1)﹣7p=1,3,6,3,1,0,0,发现第2,4,5格没有停棋,
    若7<k≤2020,
    设k=7+t(t=1,2,3)代入可得,12k(k+1)﹣7p=7m+12t(t+1),
    由此可知,停棋的情形与k=t时相同,
    故第2,4,5格没有停棋,即顶点C,E和F棋子不可能停到.
    故选:D.
    题型训练
    1.将全体自然数按下面的方式进行排列,按照这样的排列规律,2020应位于( )
    A.位B.位C.位D.位
    【分析】观察图形不难发现,每4个数为一个循环组依次循环,因为2020是第2021个数,所以用2021除以4,再根据商和余数的情况确定2020所在的位置即可.
    【解析】解:由图可知,每4个数为一个循环组依次循环,
    ∵2020是第2021个数,
    ∴2021÷4=505余1,
    ∴2020应位于第506循环组的第1个数,在A位.
    故选:A.
    题型二:几何图形规律
    【例3】(2021·黑龙江)如图,菱形中,,,延长至,使,以为一边,在的延长线上作菱形,连接,得到;再延长至,使,以为一边,在的延长线上作菱形,连接,得到……按此规律,得到,记的面积为,的面积为……的面积为,则_____.
    【答案】
    【分析】
    由题意易得,则有为等边三角形,同理可得……. 都为等边三角形,进而根据等边三角形的面积公式可得,,……由此规律可得,然后问题可求解.
    【详解】
    解:∵四边形是菱形,
    ∴,,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴为等边三角形,
    同理可得……. 都为等边三角形,
    过点B作BE⊥CD于点E,如图所示:
    ∴,
    ∴,
    同理可得:,,……;
    ∴由此规律可得:,
    ∴;
    故答案为.
    【例4】(2021·山东东营市·中考真题)如图,正方形中,,AB与直线l所夹锐角为,延长交直线l于点,作正方形,延长交直线l于点,作正方形,延长交直线l于点,作正方形,…,依此规律,则线段________.
    【答案】
    【分析】
    利用tan30°计算出30°角所对直角边,乘以2得到斜边,计算3次,找出其中的规律即可.
    【详解】
    ∵AB与直线l所夹锐角为,正方形中,,
    ∴∠=30°,
    ∴=tan30°==1,
    ∴;
    ∵=1,∠=30°,
    ∴=tan30°=,
    ∴;
    ∴线段,
    故答案为:.
    题型训练
    1.(2020烟台)如图,△OA1A2为等腰直角三角形,OA1=1,以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3,再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4,…,按此规律作下去,则OAn的长度为( )
    A.()nB.()n﹣1C.()nD.()n﹣1
    【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长,依据规律即可得出答案.
    【解析】∵△OA1A2为等腰直角三角形,OA1=1,
    ∴OA2=2;
    ∵△OA2A3为等腰直角三角形,
    ∴OA3=2=(2)2;
    ∵△OA3A4为等腰直角三角形,
    ∴OA4=22=(2)3.
    ∵△OA4A5为等腰直角三角形,
    ∴OA5=4=(2)4,
    ……
    ∴OAn的长度为(2)n﹣1.
    故选:B.
    2.(2020盐城)把1~9这9个数填入3×3方格中,使其任意一行,任意一列及两条对角线上的数之和都相等,这样便构成了一个“九宫格”.它源于我国古代的“洛書”(图①),是世界上最早的“幻方”.图②是仅可以看到部分数值的“九宫格”,则其中x的值为( )
    A.1B.3C.4D.6
    【分析】根据任意一行,任意一列及两条对角线上的数之和都相等,可得第三行与第三列上的两个数之和相等,依此列出方程即可.
    【解析】由题意,可得8+x=2+7,
    解得x=1.
    故选:A.
    3.(2020•成都)如图,六边形ABCDEF是正六边形,曲线FA1B1C1D1E1F1…叫做“正六边形的渐开线”,FA1,A1B1,B1C1,C1D1,D1E1,E1F1,…的圆心依次按A,B,C,D,E,F循环,且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角.当AB=1时,曲线FA1B1C1D1E1F1的长度是 .
    【分析】利用弧长公式计算即可解决问题.
    【解析】FA1的长=60⋅π⋅1180=π3,
    A1B1的长=60⋅π⋅2180=2π3,
    B1C1的长=60⋅π⋅3180=3π3,
    C1D1的长=60⋅π⋅4180=4π3,
    D1E1的长=60⋅π⋅5180=5π3,
    E1F1的长=60⋅π⋅6180=6π3,
    ∴曲线FA1B1C1D1E1F1的长度=π3+2π3+⋯+6π3=21π3=7π,
    故答案为7π.
    提分作业
    1.(2020潍坊)如图,四边形ABCD是正方形,曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的.其中:DA1的圆心为点A,半径为AD;A1B1的圆心为点B,半径为BA1;B1C1的圆心为点C,半径为CB1;C1D1的圆心为点D,半径为DC1;⋯DA1,A1B1,B1C1,C1D1,…的圆心依次按点A,B,C,D循环.若正方形ABCD的边长为1,则A2020B2020的长是 .
    【分析】曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的,半径每次比前一段弧半径+1,到ADn﹣1=AAn=4(n﹣1)+1,BAn=BBn=4(n﹣1)+2,再计算弧长.
    【解析】由图可知,曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的,半径每次比前一段弧半径+1,AD=AA1=1,BA1=BB1=2,……,ADn﹣1=AAn=4(n﹣1)+1,BAn=BBn=4(n﹣1)+2,
    故A2020B2020的半径为BA2020=BB2020=4(2020﹣1)+2=8078,A2020B2020的弧长=90180×8078π=4039π.
    故答案为:4039π.
    2.(2020徐州)如图,∠MON=30°,在OM上截取OA1=.过点A1作A1B1⊥OM,交ON于点B1,以点B1为圆心,B1O为半径画弧,交OM于点A2;过点A2作A2B2⊥OM,交ON于点B2,以点B2为圆心,B2O为半径画弧,交OM于点A3;按此规律,所得线段A20B20的长等于 .
    【分析】利用三角形中位线定理证明A2B2=2A1B1,A3B3=2A2B2=22•A1B1,寻找规律解决问题即可.
    【解析】∵B1O=B1A1,B1A1⊥OA2,
    ∴OA1=A1A2,
    ∵B2A2⊥OM,B1A1⊥OM,
    ∴B1A1∥B2A2,
    ∴B1A1=12A2B2,
    ∴A2B2=2A1B1,
    同法可得A3B3=2A2B2=22•A1B1,…,
    由此规律可得A20B20=219•A1B1,
    ∵A1B1=OA1•tan30°=3×33=1,
    ∴A20B20=219,
    故答案为219.
    3.(2020辽阳)如图,四边形ABCD是矩形,延长DA到点E,使AE=DA,连接EB,点F1是CD的中点,连接EF1,BF1,得到△EF1B;点F2是CF1的中点,连接EF2,BF2,得到△EF2B;点F3是CF2的中点,连接EF3,BF3,得到△EF3B;…;按照此规律继续进行下去,若矩形ABCD的面积等于2,则△EFnB的面积为 .(用含正整数n的式子表示)
    【分析】先求得△EF1D的面积为1,再根据等高的三角形面积比等于底边的比可得EF1F2的面积,EF2F3的面积,…,EFn﹣1Fn的面积,以及△BCFn的面积,再根据面积的和差关系即可求解.
    【解析】∵AE=DA,点F1是CD的中点,矩形ABCD的面积等于2,
    ∴△EF1D和△EAB的面积都等于1,
    ∵点F2是CF1的中点,
    ∴△EF1F2的面积等于12,
    同理可得△EFn﹣1Fn的面积为12n−1,
    ∵△BCFn的面积为2×12n÷2=12n,
    ∴△EFnB的面积为2+1﹣1−12−⋯−12n−1−12n=2﹣(1−12n)=2n+12n.
    故答案为:2n+12n.
    4.(2020•湘西州)观察下列结论:
    (1)如图①,在正三角形ABC中,点M,N是AB,BC上的点,且AM=BN,则AN=CM,∠NOC=60°;
    (2)如图2,在正方形ABCD中,点M,N是AB,BC上的点,且AM=BN,则AN=DM,∠NOD=90°;
    (3)如图③,在正五边形ABCDE中点M,N是AB,BC上的点,且AM=BN,则AN=EM,∠NOE=108°;

    根据以上规律,在正n边形A1A2A3A4…An中,对相邻的三边实施同样的操作过程,即点M,N是A1A2,A2A3上的点,且A1M=A2N,A1N与AnM相交于O.也会有类似的结论,你的结论是 .
    【分析】根据已知所给得到规律,进而可得在正n边形A1A2A3A4…An中,对相邻的三边实施同样的操作过程会有类似的结论.
    【解析】∵(1)如图①,在正三角形ABC中,点M,N是AB,BC上的点,且AM=BN,则AN=CM,∠NOC=(3−2)×180°3=60°;
    (2)如图2,在正方形ABCD中,点M,N是AB,BC上的点,且AM=BN,则AN=DM,∠NOD=(4−2)×180°4=90°;
    (3)如图③,在正五边形ABCDE中点M,N是AB,BC上的点,且AM=BN,则AN=EM,∠NOE=(5−2)×180°5=108°;

    根据以上规律,在正n边形A1A2A3A4…An中,
    对相邻的三边实施同样的操作过程,即点M,N是A1A2,A2A3上的点,
    且A1M=A2N,A1N与AnM相交于O.
    也有类似的结论是A1N=AnM,∠NOAn=(n−2)×180°n.
    故答案为:A1N=AnM,∠NOAn=(n−2)×180°n.
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