2022-2023 数学鲁教版新中考精讲精练 考点04 一次方程（组）

考点04 一次方程（组）

考点总结

一、方程和方程的解的概念

1．等式的性质

（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式．

（2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式．

2．方程:含有未知数的等式叫做方程．

3．方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方程．

二、一元一次方程及其解法

1．一元一次方程:只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为． 注意：x前面的系数不为0．

2．一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．

3．一元一次方程的求解步骤

注意：解方程时移项容易忘记改变符号而出错，要注意解方程的依据是等式的性质，在等式两边同时加上或减去一个代数式时，等式仍然成立，这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项，此时该项在方程一边是0，而另一边是它改变符号后的项，所以移项必须变号．

三、二元一次方程（组）及解的概念

1．二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．

2．二元一次方程的解:使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．

3．二元一次方程组:由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为．

4．解二元一次方程组的基本思想

解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程．

5．二元一次方程组的解法

（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．

（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．

四、一次方程（组）的应用

1．列方程（组）解应用题的一般步骤

（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；

（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）．

2．一次方程（组）常见的应用题型

（1）销售打折问题：利润售价-成本价；利润率=×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．

（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．

（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．

（4）行程问题：路程=速度×时间．

（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．

（6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．

（7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．

（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．

真题演练

一．选择题（共10小题）

1．（2021•无棣县一模）疫情期间，小区的王阿姨和张妈妈通过外卖订购了两包蔬菜．王阿姨订购的一包蔬菜包括西葫芦、茄子、青椒各1千克，共花费11.8元；张妈妈订购的一包蔬菜包括西葫芦2千克，茄子1.5千克，共花费13元．已知青椒每千克4.2元，则西葫芦和茄子的价格是（　　）

A．3.6元/千克，4元/千克 

B．4.4元/千克，3.2元/千克 

C．3.2元/千克，4.4元/千克 

D．4元/千克，3.6元/千克

2．（2021•东昌府区一模）已知是二元一次方程组的解，则5a﹣3b的值为（　　）

A．﹣1 B．1 C．2 D．3

3．（2021•广饶县一模）根据如图提供的信息，小红去商店买一只水瓶和一只杯子应付（　　）

A．30元 B．32元 C．31元 D．34元

4．（2020•黑龙江）学校计划用200元钱购买A、B两种奖品（两种都要买），A种每个15元，B种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（　　）

A．2种 B．3种 C．4种 D．5种

5．（2021•聊城）若﹣3＜a≤3，则关于x的方程x+a＝2解的取值范围为（　　）

A．﹣1≤x＜5 B．﹣1＜x≤1 C．﹣1≤x＜1 D．﹣1＜x≤5

6．（2021•台儿庄区模拟）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．则此人第四天走的路程为（　　）

A．96里 B．48里 C．24里 D．12里

7．（2021•商河县校级模拟）甲车队有汽车100辆，乙车队有汽车68辆，根据情况需要甲车队的汽车是乙车队的汽车的两倍，则需要从乙队调x辆汽车到甲队，由此可列方程为（　　）

A．100﹣x＝2（68+x） B．2（100﹣x）＝68+x 

C．100+x＝2（68﹣x） D．2（100+x）＝68﹣x

8．（2016•南宁）超市店庆促销，某种书包原价每个x元，第一次降价打“八折”，第二次降价每个又减10元，经两次降价后售价为90元，则得到方程（　　）

A．0.8x﹣10＝90 B．0.08x﹣10＝90 

C．90﹣0.8x＝10 D．x﹣0.8x﹣10＝90

9．（2021•沂水县一模）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量牵”问题；“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长1托；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短1托．设绳索长x托，则符合题意的方程是（　　）

A．2x＝（x﹣1）﹣1 B．2x＝（x+1）+1 

C．x＝（x+1）+1 D．x＝（x﹣1）﹣1

10．（2021•利津县一模）如图，“●、■、▲”分别表示三种不同的物体，已知前两架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡，如果在？处只放“■”那么应放“■”（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

二．填空题（共5小题）

11．（2021•天桥区二模）若代数式与x﹣3互为相反数，则x＝　   　．

12．（2021•德城区二模）我们知道写成小数形式即0.，反过来，无限循环小数0.写成分数形式即．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．以无限循环小数0.为例：设0.＝x，由0.＝0.777…可知，10x＝7.777…，所以10x﹣x＝7，解方程，得x＝，于是0.＝．

运用以上方法，可求得0.写成分数形式为　   　．

13．（2021•历城区模拟）当x＝　   　时，整式与x﹣5的值互为相反数．

14．（2021•台儿庄区模拟）已知x、y满足方程组，则x+y的值为　   　．

15．（2021•崂山区一模）“绿水青山就是金山银山”，某区根据实际情况，推进“退耕还林”行动，将某一部分耕地改为林地，改变后，林地面积和耕地面积共有270平方千米，耕地面积恰好为林地面积的30%．为求改变后林地面积和耕地面积各多少平方千米，设改变后耕地面积为x平方千米，林地面积为y平方千米，根据题意，列出方程组为　   　．

三．解答题（共3小题）

16．（2021•商河县校级模拟）列方程解应用题：

甲列车从A地开往B地，每小时行驶60千米，乙列车同时从B地开往A地，每小时行驶90千米．已知A，B两地相距200km．

（1）经过多长时间两车相遇；

（2）两车相遇的地方离A地多远？

17．（2021•市中区三模）2020年5月，全国两会召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力．某社区拟建A，B两类摊位以激活“地摊经济”，1个A类摊位和2个B类摊位共占地面积14平方米，2个A类摊位和3个B类摊位共占地面积24平方米，建一个A类摊的费用为50元，建一个B类摊位的费用为40元．

（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？

（2）该社区拟建A，B两类摊位共100个，且B类摊位的数量不多于A类摊位数量的3倍，求如何建造这100个摊位可以使费用最少？最少费用是多少？

18．（2021•商河县校级模拟）解二元一次方程组：

（1）；

（2）．