考题猜想1-1 平面图形的认识（二）（压轴题，平行线的七大经典模型+三角板拼接问题）（原卷版+解析版）

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【考试题型1】平行线的七大经典模型
【类型一】铅笔头模型
1．（22-23七年级下·陕西西安·期中）如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是 ．
2．（19-20七年级下·天津滨海新·期末）如图①所示，四边形为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则 （度）；

（1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则 （度）；
（2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则 （度）；
（3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是 （度）．
3．（20-21七年级下·广东东莞·期中）如图，已知AB∥CD．
（1）如图1所示，∠1+∠2＝ ；
（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝ ；并写出求解过程．
（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ；
（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝ ．
【类型二】锯齿模型
4．（22-23七年级下·山东聊城·阶段练习）如图，已知直线，和分别交于点A、B、C、D，点P 在直线或上且不与点A、B、C、D重合，记．

(1)若点P在图（1）位置时，求证：；
(2)若点P在图（2）位置时，写出之间的关系并给予证明．
5．（21-22八年级上·河南平顶山·期末）（1）如图1，，，，直接写出的度数．
（2）如图2，，点为直线间的一点，平分，平分，写出与之间的关系并说明理由．
（3）如图3，与相交于点，点为内一点，平分，平分，若，，直接写出的度数．
6．（20-21七年级下·安徽滁州·期末）已知AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F．
（1）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答：
如图1，当点P在线段EF上时，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度数；
解：过点P作直线PH∥AB，
所以∠A＝∠APH，依据是 ；
因为AB∥CD，PH∥AB，
所以PH∥CD，依据是 ；
所以∠C＝（ ），
所以∠APC＝（ ）+（ ）＝∠A+∠C＝97°．
（2）当点P，Q在线段EF上移动时（不包括E，F两点）：
①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立吗？请说明理由；
②如图3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，请直接写出∠M，∠A与∠C的数量关系．
【类型三】翘脚模型
7．（23-24七年级上·吉林长春·期末）【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：．
【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明）
【结论应用】如图③，已知，，，则 °．
8．（23-24七年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）【感知探究】
如图①，已知，点M在上，点N在上，求证：
【类比迁移】
如图②，的数量关系为（不需要证明）
【结论应用】
如图③，已知，，则
【拓展延申】
如图④，已知，分别平分和，探究之间的关系，并说明理由
【类型四】骨折模型
9．（23-24七年级下·重庆綦江·期中）已知：直线与直线内部有一个点，连接．
(1)如图1，当点在直线上，连接，若，求证：；
(2)如图2，当点在直线与直线的内部，点在直线上，连接，若，求证：；
(3)如图3，在(2)的条件下，、分别是、的角平分线，和相交于点，和直线相交于点，当时，若，，求 的度数．
10．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，已知是直线间的一点，于点交于点．
(1)_________；
(2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动，若射线，射线同时开始运动，设运动时间为秒．
①当时，求的度数；
②当时，求的值．
11．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，如图，平分，平分，
(1)如图1，探究与的数量关系并证明．
(2)如图2，在（1）的条件下，过A作交于点H，平分，延长交于G，，求的度数．
【类型五】平行线+三角板综合
12．（23-24七年级下·福建三明·期中）在数学探究活动课中，老师要求同学们把一块直角三角板（图中的，）摆放在画有两条平行直线的纸面上进行操作探究．

(1)小明同学把三角板按如图1摆放，请你直接写出与，之间的数量关系；
(2)小明移动三角板按如图2摆放，当平分时，发现和存在特殊的数量关系，请写出这个数量关系并说明理由；
(3)小明继续移动三角板，使顶点A落在直线上，如图3，分别画出和的平分线相交于点E，多次移动三角板位置（保持顶点A在直线上），经度量并计算发现都等于，请问这个等式是否一定成立？如果成立，请你说明理由；如果不成立，请你画出一个符合条件且又不等于的图形．
13．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，直线，直线与、分别交于点、，．小安将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线、上，且在点、的右侧，，．
(1)填空： （填“＞”“＜”或“＝”）；
(2)若的平分线交直线于点，如图②．
①当，时，求的度数；
②小安将三角板保持并向左平移，在平移的过程中求的度数（用含的式子表示）．
14．（23-24七年级下·北京·期中）直线，一副三角板（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．

(1)求的度数
(2)若将三角板绕点B以每秒3度的速度按顺时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t秒（）．
①在旋转过程中，若边，如图②所示，求t的值．
②若三角板绕点B旋转的同时，三角板绕点E以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）请直接写出当边时t的值．
【类型六】平行线+角平分线综合
15．（2019九年级·全国·专题练习）如图所示，，与的角平分线相交于点，
（1），，求与之间的数量关系；
（2），，设，直接用含有，的代数式表示写出∠M=____.
16．（23-24七年级下·北京·期中）如图，已知分别在上，点在之间，连接．
(1)当平分平分时：
①如图1，若，则的度数为______；
②如图2，在的下方有一点平分平分，求的度数；
(2)如图3，在的上方有一点，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系．
17．（23-24七年级下·湖北咸宁·阶段练习）如图1，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线、之间的一点，．
(1)求证：；
(2)如图2，作，与的角平分线交于点F．若，求的度数；
(3)如图3，平分，平分，，请直接写出与的数量关系．
【类型七】与平行线有关的折叠问题
18．（22-23七年级下·山西太原·期中）综合与实践
问题情境：
数学课上，同学们以“长方形纸带的折叠”为主题开展数学活动，已知长方形纸带的边，将纸片沿折痕折叠，点，分别为点，，线段与交于点（说明：折叠后纸带的边始终成立）

操作探究：
(1)如图，若，则的度数为______°．
(2)如图，改变折痕的位置，其余条件不变，小彬发现图中始终成立，请说明理由；
(3)改变折痕的位置，使点恰好落在线段上，然后继续沿折痕折叠纸带，点，分别在线段和上．
①如图，点的对应点与点重合，点的对应点为点若，直接写出的度数．
②如图，点，的对应点分别为点，，点，均在上方，若，，当时，直接写出与之间的数量关系．
19．（22-23七年级下·河南南阳·期末）如图，已知四边形纸片的边，是边上任意一点，沿折叠，点落在点的位置．

(1)观察发现：如图①所示：，，则______．
(2)拓展探究：如图②，点落在四边形的内部，探究，，之间的数量关系，并证明；
(3)迁移应用：如图③，点落在边的上方，则（2）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们的数量关系并证明．
20．（22-23七年级下·江西南昌·期中）如图1，现有一张纸条，，将纸条沿折叠，点C落在处，点D落在处，交于点G．

(1)①若，则 ；
②若，则 ；
(2)如图2，在图1的基础上将纸条沿MN维续折叠，点A落在处，点B落在处，已知，．求证：；
(3)如图3，在图1的基础上将纸条沿BC继续折叠，点落在处，点落在处，，设，求的度数．（用含x的式子表示）
【考试题型2】三角形拼接模型
【解题方法】通过一副三角板我们能拼出以下特殊角，如：60°、75°、90°，依据平行线的性质，我们可以得到同位角、内错角、同旁内角之间的关系，从而求出对应角度数..
21．（23-24七年级下·江西南昌·期中）如图1，将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，．
(1)求此时的度数；
(2)若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数；
(3)在（2）的前提下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况？若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由．
22．（23-24七年级下·广东佛山·期中）将两块直角三角尺的直角顶点C重合，并按如图方式叠放在一起，其中，
(1)①若，则的度数为 ；
②若，则的度数为 ；
(2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由：
(3)当且点E在直线的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在请直接写出角度所有可能的值（不用说明理由）：若不存在，请说明理由．
23．（23-24七年级下·河北沧州·期中）将三角板与三角板摆放在一起，与重合（如图1），，，．固定三角板不动，将三角板绕点顺时针旋转后停止，设旋转得．
(1)当边落在内时（如图2），求的度数；
(2)设三角板绕点旋转的速度为每秒5度，旋转时间为．若的一边与三角板的某边平行（不包含重合情况），请写出所有符合条件的的值．
已知
图示
结论（性质）
证明方法
AB∥DE
∠B+∠C+∠E = 360°
遇拐点做平行线（方法不唯一）
AB∥DE
∠B+∠M+∠N+∠E= 540°
a∥b
∠A1+∠A2+...+∠An-1+∠An=180°×（n-1）=180°×（拐点数+1）
已知
图示
结论（性质）
证明方法
AB∥DE
∠B+∠E=∠C
遇拐点做平行线（方法不唯一）
AB∥DE
∠B+∠M+∠E=∠C+∠N
a∥b
所有朝左角之和等于所有朝右角的和
已知
图示
结论（性质）
AB∥DE
∠1=∠2+∠3
AB∥DE
∠1+∠3-∠2=180°