中考数学二轮复习 重难点06 相交线与平行线的5种模型（三线八角、铅笔头、锯齿型、翘脚、三角板拼接型）（2份打包，原卷版+解析版）

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目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc155795834" 题型01 三线八角模型
\l "_Tc155795835" 题型02 铅笔头模型
\l "_Tc155795836" 题型03 锯齿型模型
\l "_Tc155795837" 题型04 翘脚模型
\l "_Tc155795838" 题型05 三角板拼接模型
题型01 三线八角模型
模型介绍：三条直线相交组成八个角，去讨论它们之间的关系.
【快速判断同位角、内错角与同旁内角】
【针对训练】
例1（2018·广东广州·中考真题）如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（ ）
A．∠4，∠2B．∠2，∠6C．∠5，∠4D．∠2，∠4
变式1（2021·广西贺州·统考中考真题）如图，下列两个角是同旁内角的是（ ）
A．与B．与C．与D．与
变式2（2021·广西百色·统考中考真题）如图，与∠1是内错角的是（ ）
A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5
例2（2022·陕西·统考中考真题）如图，．若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
变式1（2022·浙江杭州·统考中考真题）如图，已知，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
变式2（2022·四川德阳·统考中考真题）如图，直线，，，则（ ）
A．B．C．D．
变式3（2022·辽宁·统考中考真题）如图，直线mn，AC⊥BC于点C，∠1＝30°，则∠2的度数为（ ）
A．140°B．130°C．120°D．110°
题型02 铅笔头模型
【针对训练】
例3如图，已知：，求证：．
变式1如图，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝ °．
变式2 问题情境：如图1，，，，求的度数．
思路点拨：
小明的思路是：如图2，过P作，通过平行线性质，可分别求出、的度数，从而可求出的度数；
小丽的思路是：如图3，连接，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出的度数；
小芳的思路是：如图4，延长交的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出的度数．
问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的的度数为 °；
问题迁移：
（1）如图5，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、间的数量关系．
变式3 如图，已知AB∥CD．
（1）如图1所示，∠1+∠2＝ ；
（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝ ；并写出求解过程．
（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ；
（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝ ．
变式4（1）如图1，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3＝______．（直接写出结果）
（2）如图2，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝_____．（直接写出结果）
（3）如图3，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝_______．（直接写出结果）
（4）如图4，l1∥l2，求∠A1+∠A2+…+∠An＝_______．（直接写出结果）

题型03 锯齿型模型
【针对训练】
例4（2020·湖南·中考真题）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）
A．70°B．65°C．35°D．5°
变式1（2023·北京西城·统考一模）下面是解答一道几何题时两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
变式2（2023·甘肃陇南·校考一模）如图，直线，，则 ．
变式3 问题情境：如图1，已知∥，．求的度数．

经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得．
问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动， ，．
(1)当点P在A、B两点之间运动时， 、、之间有何数量关系？请说明理由．
(2)如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、之间的数量关系．
(3)问题拓展：如图4，∥，是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 ．
变式4．如图1，四边形 SKIPIF 1 < 0 为一张长方形纸片．
（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（ SKIPIF 1 < 0 ），则 SKIPIF 1 < 0 __________°．
（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（ SKIPIF 1 < 0 ），则 SKIPIF 1 < 0 __________°．
（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（ SKIPIF 1 < 0 ），则 SKIPIF 1 < 0 ___________°．
（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪 SKIPIF 1 < 0 刀，剪出 SKIPIF 1 < 0 个角，那么这 SKIPIF 1 < 0 个角的和是____________°．
变式5（1）如图1，AM∥CN，求证：

①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；
②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；
（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．
题型04 翘脚模型
【针对训练】
例5（2023·重庆大渡口·统考模拟预测）在数学课上老师提出了如下问题：
如图，，当与满足什么关系时，?
小明认为时，他解答这个问题的思路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
解：用直尺和圆规，在的右侧找一点M，使（只保留作图痕迹）．
∵，
∴①_____________
∵
∴②_________，
∵，
∴③__________，
∴④_____________
∴．
所以满足的关系为：当时，．
变式1（2023·云南·校考一模）如图，AB∥CD，，，则 ．
变式2（2021·全国·九年级专题练习）如图，如果AB∥EF，EF∥CD，则∠1，∠2，∠3的关系式 ．
变式3 ①如图1， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；②如图2， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；③如图3， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；④如图4，直线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 EF，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 ．以上结论正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
变式4．①如图1，AB SKIPIF 1 < 0 CD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如图2，AB SKIPIF 1 < 0 CD，则∠E＝∠A＋∠C；③如图3，AB SKIPIF 1 < 0 CD，则∠A＋∠E－∠1＝180°；④如图4，AB SKIPIF 1 < 0 CD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④
变式5．已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；
（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 ．
（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+ SKIPIF 1 < 0 ∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．
题型05 三角板拼接模型
【解题方法】通过一副三角板我们能拼出以下特殊角，如：60°、75°、90°，依据平行线的性质，我们可以得到同位角、内错角、同旁内角之间的关系，从而求出对应角度数..
【针对训练】
例6（2022·广东深圳·统考中考真题）将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
变式1（2022·江苏扬州·统考中考真题）将一副直角三角板如图放置，已知，，，则 °．
变式2（2021·湖北宜昌·统考中考真题）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，其中，，，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
变式3（2021·贵州黔西·中考真题）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．95°B．100°C．105°D．110°
变式4（2022·山东淄博·统考一模）一副三角板按如图所示叠放，其中，，，且，则 度．
变式5．（2022·江苏镇江中考真题）一副三角板如图放置，，，，则
变式6（2023·福建厦门·厦门市第十一中学校考二模）一副三角板如图方式摆放，点在直线上，且，则 度．
变式7（2023·浙江温州·校考三模）一副直角三角板如图放置，点E在边的延长线上，，则的度数为 ．
已知
图示
结论（性质）
直线AB、CD被直线EF所截，且AB与CD不平行
1）同位角有4组，如：∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8；
2）内错角有2组，如：∠3与∠5、∠6与∠8；
3）同旁内角有2组，如：∠3与∠6、∠4与∠5；
4）对顶角有4组，如：∠1与∠3、∠2与∠4、∠5与∠7、∠6与∠8.
直线AB、CD被直线EF所截，且AB∥CD
1）同位角相等：∠1=∠5、∠2=∠6、∠3=∠7、∠4=∠8；
2）内错角相等：∠3=∠5、∠6=∠8；
3）同旁内角互补：∠3+∠6=180°、∠4+∠5=180°；
4）对顶角相等：∠1=∠3、∠2=∠4、∠5=∠7、∠6=∠8.
已知
图示
结论（性质）
证明方法
AB∥DE
∠B+∠C+∠E = 360°
遇拐点做平行线（方法不唯一）
AB∥DE
∠B+∠M+∠N+∠E= 540°
a∥b
∠A1+∠A2+...+∠An-1+∠An=180°×（n-1）=180°×（拐点数+1）
已知
图示
结论（性质）
证明方法
AB∥DE
∠B+∠E=∠C
遇拐点做平行线（方法不唯一）
AB∥DE
∠B+∠M+∠E=∠C+∠N
a∥b
所有朝左角之和等于所有朝右角的和
已知：如图，．
求证：
方法一
证明：如图，过点E作
方法二
证明：如图，延长，交于点F．
已知
图示
结论（性质）
证明方法
AB∥DE
∠1=∠2+∠3
遇拐点做平行线（方法不唯一）
AB∥DE
∠1+∠3-∠2=180°