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    人教版七年级数学下册压轴题专项讲练专题5.3平行线中的常见模型(原卷版+解析)
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    人教版七年级数学下册压轴题专项讲练专题5.3平行线中的常见模型(原卷版+解析)

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    这是一份人教版七年级数学下册压轴题专项讲练专题5.3平行线中的常见模型(原卷版+解析),共47页。

    【典例1】如图1,AB//CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°,求∠APC的度数.小明的思路是:如图2,过P作PE//AB,通过平行线性质可求∠APC的度数.

    (1)请你按小明的思路,写出∠APC度数的求解过程;
    (2)如图3,AB//CD,点P在直线BD上运动,记∠PAB=∠α,∠PCD=∠β.
    ①当点P在线段BD上运动时,则∠APC与∠α、∠β之间有何数量关系?请说明理由;
    ②若点P不在线段BD上运动时,请直接写出∠APC与∠α、∠β之间的数量关系.
    【思路点拨】
    (1)过P作PE//AB,利用平行线的性质即可得出答案;
    (2)①过P作PE//AB,再利用平行线的性质即可得出答案;
    ②分P在BD延长线上和P在DB延长线上两种情况进行讨论,结合平行线的性质即可得出答案.
    【解题过程】
    解:(1)如图2,过P作PE//AB
    ∵AB//CD,
    ∴PE//AB//CD,
    ∴∠PAB+∠APE=180°,
    ∠PCD+∠CPE=180°,
    ∵∠PAB=130°,∠PCD=120°,
    ∴∠APE=50°,∠CPE=60°,
    ∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°.
    (2)①∠APC=∠α+∠β,
    理由:如图3,过P作PE//AB,
    ∵AB//CD,
    ∴AB//PE//CD,
    ∴∠α=∠APE,∠β=∠CPE,
    ∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β;
    ②∠APC=∠α−∠β.
    如备用图1,当P在BD延长线上时,∠APC=∠α−∠β;

    理由:如备用图1,过P作PG//AB,
    ∵AB//CD,
    ∴AB//PG//CD,
    ∴∠α=∠APG,∠β=∠CPG,
    ∴∠APC=∠APG−∠CPG=∠α−∠β;
    如备用图2所示,当P在DB延长线上时,∠APC=∠β−∠α;
    理由:如备用图2,过P作PG//AB,
    ∵AB//CD,
    ∴AB//PG//CD,
    ∴∠α=∠APG,∠β=∠CPG,
    ∴∠APC=∠CPG−∠APG=∠β−∠α;
    综上所述,∠APC=∠α−∠β.
    1.(2021·全国·九年级专题练习)在图中,若AB//CD,又得到什么结论?
    2.(2021春·广东东莞·七年级东莞市长安实验中学校考期中)如图,已知AB∥CD.
    (1)如图1所示,∠1+∠2= ;
    (2)如图2所示,∠1+∠2+∠3= ;并写出求解过程.
    (3)如图3所示,∠1+∠2+∠3+∠4= ;
    (4)如图4所示,试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n= .
    3.(2021春·广东河源·七年级河源市第二中学校考期中)已知直线l1//l2, A是l1上的一点,B是l2上的一点,直线l3和直线l1,l2交于C和D,直线CD上有一点P.
    (1)如果P点在C,D之间运动时,问∠PAC,∠APB,∠PBD有怎样的数量关系?请说明理由.
    (2)若点P在C,D两点的外侧运动时(P点与C,D不重合),试探索∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系又是如何?(请直接写出答案,不需要证明)
    4.(2022春·山东聊城·七年级统考阶段练习)已知直线AB//CD,EF是截线,点M在直线AB、CD之间.
    (1)如图1,连接GM,HM.求证:∠M=∠AGM+∠CHM;
    (2)如图2,在∠GHC的角平分线上取两点M、Q,使得∠AGM=∠HGQ.试判断∠M与∠GQH之间的数量关系,并说明理由.
    5.(2022春·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中)阅读下面内容,并解答问题.
    已知:如图1,AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F.∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G.
    (1)求证:EG⊥FG;
    (2)填空,并从下列①、②两题中任选一题说明理由.我选择 题.
    ①在图1的基础上,分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M,得到图2,则∠EMF的度数为 .
    ②如图3,AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F.点O在直线AB,CD之间,且在直线EF右侧,∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P,则∠EOF与∠EPF满足的数量关系为 .
    6.(2022春·广东茂名·七年级校考阶段练习)如图1,已知AB∥CD,∠B=30°,∠D=120°;
    (1)若∠E=60°,则∠F= ;
    (2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系?说明理由;
    (3)如图2,已知EP平分∠BEF,FG平分∠EFD,反向延长FG交EP于点P,求∠P的度数.
    7.(2021春·山西晋中·七年级统考期中)综合与探究
    【问题情境】
    王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动
    (1)如图1,EF//MN,点A、B分别为直线EF、MN上的一点,点P为平行线间一点,请直接写出∠PAF、∠PBN和∠APB之间的数量关系;

    【问题迁移】
    (2)如图2,射线OM与射线ON交于点O,直线m//n,直线m分别交OM、ON于点A、D,直线n分别交OM、ON于点B、C,点P在射线OM上运动,
    ①当点P在A、B(不与A、B重合)两点之间运动时,设∠ADP=∠α,∠BCP=∠β.则∠CPD,∠α,∠β之间有何数量关系?请说明理由.
    ②若点P不在线段AB上运动时(点P与点A、B、O三点都不重合),请你画出满足条件的所有图形并直接写出∠CPD,∠α,∠β之间的数量关系.
    8.(2022春·江苏南京·七年级南京市人民中学校联考期中)已知AB∥CD,∠ABE的角分线与∠CDE的角分线相交于点F.
    (1)如图1,若BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线,且∠BED=100°,求∠M的度数;
    (2)如图2,若∠ABM=13∠ABF,∠CDM=13∠CDF,∠BED=α°,求∠M的度数;
    (3)若∠ABM=1n∠ABF,∠CDM=1n∠CDF,请直接写出∠M与∠BED之间的数量关系.
    9.(2022春·江苏扬州·七年级校考阶段练习)已知直线AB∥CD,P为平面内一点,连接PA、PD.
    (1)如图1,已知∠A=50°,∠D=150°,求∠APD的度数;
    (2)如图2,判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 .
    (3)如图3,在(2)的条件下,AP⊥PD,DN平分∠PDC,若∠PAN+12∠PAB=∠APD,求∠AND的度数.
    10.(2022春·浙江杭州·七年级校考期中)如图1,已知AB//CD,P是直线AB,CD外的一点,PF⊥CD于点F,PE交AB于点E,满足∠FPE=60°.
    (1)求∠AEP的度数;
    (2)如图2,射线PN从PE出发,以每秒10°的速度绕P点按逆时针方向匀速旋转,当PN到达PF时立刻返回至PE,然后继续按上述方式旋转;射线EM从EA出发,以相同的速度绕E点按顺时针方向旋转至EP后停止运动,此时射线PN也停止运动.若射线PN、射线EM同时开始运动,设运动时间为t秒.
    ①当射线PN平分∠EPF时,求∠MEP的度数(0°<∠MEP<180°);
    ②当直线EM与直线PN相交所成的锐角是60°时,则t= .
    11.(2022春·湖北武汉·七年级校联考阶段练习)如图1,MN∥PQ,点C、B分别在直线MN、PQ上,点A在直线MN、PQ之间.
    (1)求证:∠CAB=∠MCA+∠PBA;
    (2)如图2,CD∥AB,点E在PQ上,∠ECN=∠CAB,求证:∠MCA=∠DCE;
    (3)如图3,BF平分∠ABP,CG平分∠ACN,AF∥CG.若∠CAB=60°,求∠AFB的度数.
    12.(2021春·浙江·七年级期中)为更好地理清平行线与相关角的关系,小明爸爸为他准备了四根细直木条AB、BC,CD、DE,做成折线ABCDE,如图1,且在折点B、C、D处均可自由转出.
    (1)如图2,小明将折线调节成∠B=50°,∠C=75°,∠D=25°,判别AB是否平行于ED,并说明理由;
    (2)如图3,若∠C=∠D=25°,调整线段AB、BC使得AB//CD,求出此时∠B的度数,要求画出图形,并写出计算过程.
    (3)若∠C=85°,∠D=25°,AB//DE,求出此时∠B的度数,要求画出图形,直接写出度数,不要求计算过程.
    13.(2022春·广东珠海·七年级统考期中)已知AM//CN,点B为平面内一点,AB⊥BC于B.
    (1)如图1,点B在两条平行线外,则∠A与∠C之间的数量关系为______;
    (2)点B在两条平行线之间,过点B作BD⊥AM于点D.
    ①如图2,说明∠ABD=∠C成立的理由;
    ②如图3,BF平分∠DBC交DM于点F,BE平分∠ABD交DM于点E.若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE,求∠EBC的度数.
    14.(2021春·浙江杭州·七年级统考期中)已知,AB∥CD.点M在AB上,点N在CD上.
    (1)如图1中,∠BME、∠E、∠END的数量关系为: ;(不需要证明)
    如图2中,∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为: ;(不需要证明)
    (2)如图3中,NE平分∠FND,MB平分∠FME,且2∠E+∠F=180°,求∠FME的度数;
    (3)如图4中,∠BME=60°,EF平分∠MEN,NP平分∠END,且EQ∥NP,则∠FEQ的大小是否发生变化,若变化,请说明理由,若不变化,求出∠FEQ的度数.
    15.(2021秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末)已知,AB∥CD,点E在CD上,点G,F在AB上,点H在AB,CD之间,连接FE,EH,HG,∠AGH=∠FED,FE⊥HE,垂足为E.
    (1)如图1,求证:HG⊥HE;
    (2)如图2,GM平分∠HGB,EM平分∠HED,GM,EM交于点M,求证:∠GHE=2∠GME;
    (3)如图3,在(2)的条件下,FK平分∠AFE交CD于点K,若∠KFE:∠MGH=13:5,求∠HED的度数.
    16.(2021春·浙江宁波·七年级统考期中)如图,AB//CD,定点E,F分别在直线AB,CD上,在平行线AB,CD之间有一个动点P,满足0°<∠EPF<180°.
    (1)试问:∠AEP,∠EPF,∠PFC满足怎样的数量关系?
    解:由于点P是平行线AB,CD之间一动点,因此需对点P的位置进行分类讨论.如图1,当点P在EF的左侧时,易得∠AEP,∠EPF,∠PFC满足的数量关系为∠AEP+∠PFC=∠EPF;如图2,当点P在EF的右侧时,写出∠AEP,∠EPF,∠PFC满足的数量关系_________.
    (2)如图3,QE,QF分别平分∠PEB和∠PFD,且点P在EF左侧.
    ①若∠EPF=100°,则∠EQF的度数为______;
    ②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系,并说明理由;
    ③如图4,若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1,∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2,∠BEQ2与∠DFQ2的角平分线交于点Q3,以此类推,则∠EPF与∠EQ2020F满足怎样的数量关系?(直接写出结果)
    专题5.3 平行线中的常见模型
    【典例1】如图1,AB//CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°,求∠APC的度数.小明的思路是:如图2,过P作PE//AB,通过平行线性质可求∠APC的度数.

    (1)请你按小明的思路,写出∠APC度数的求解过程;
    (2)如图3,AB//CD,点P在直线BD上运动,记∠PAB=∠α,∠PCD=∠β.
    ①当点P在线段BD上运动时,则∠APC与∠α、∠β之间有何数量关系?请说明理由;
    ②若点P不在线段BD上运动时,请直接写出∠APC与∠α、∠β之间的数量关系.
    【思路点拨】
    (1)过P作PE//AB,利用平行线的性质即可得出答案;
    (2)①过P作PE//AB,再利用平行线的性质即可得出答案;
    ②分P在BD延长线上和P在DB延长线上两种情况进行讨论,结合平行线的性质即可得出答案.
    【解题过程】
    解:(1)如图2,过P作PE//AB
    ∵AB//CD,
    ∴PE//AB//CD,
    ∴∠PAB+∠APE=180°,
    ∠PCD+∠CPE=180°,
    ∵∠PAB=130°,∠PCD=120°,
    ∴∠APE=50°,∠CPE=60°,
    ∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°.
    (2)①∠APC=∠α+∠β,
    理由:如图3,过P作PE//AB,
    ∵AB//CD,
    ∴AB//PE//CD,
    ∴∠α=∠APE,∠β=∠CPE,
    ∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β;
    ②∠APC=∠α−∠β.
    如备用图1,当P在BD延长线上时,∠APC=∠α−∠β;

    理由:如备用图1,过P作PG//AB,
    ∵AB//CD,
    ∴AB//PG//CD,
    ∴∠α=∠APG,∠β=∠CPG,
    ∴∠APC=∠APG−∠CPG=∠α−∠β;
    如备用图2所示,当P在DB延长线上时,∠APC=∠β−∠α;
    理由:如备用图2,过P作PG//AB,
    ∵AB//CD,
    ∴AB//PG//CD,
    ∴∠α=∠APG,∠β=∠CPG,
    ∴∠APC=∠CPG−∠APG=∠β−∠α;
    综上所述,∠APC=∠α−∠β.
    1.(2021·全国·九年级专题练习)在图中,若AB//CD,又得到什么结论?
    【思路点拨】
    根据图①可得∠E=∠B+∠D,根据图②可得∠B+∠F+∠D=∠E+∠G,即可根据规律得出题目的结论.
    【解题过程】
    解:①如图:过点E作EF//AB,
    ∵AB//CD,EF//AB,
    ∴AB//EF//CD,
    ∴∠ABE=∠BEF,∠CDE=∠DEF,
    ∴∠E=∠B+∠D;
    ②如图,过E点作EH//AB,过F点作FJ//AB,过G点作GI//AB,
    ∵EH//AB,FJ//AB,GI//AB,AB//CD,
    ∴AB//EH//JF//GI//CD,
    ∴∠ABE=∠BEH,∠HEF=∠EFJ,∠JFG=∠FGI,∠IGD=∠GDC,
    ∴∠ABE+∠EFJ+∠JFG+∠GDC=∠BEH+∠HEF+∠FGI+∠IGD,
    即∠B+∠F+∠D=∠E+∠G;
    ③如图:

    根据以上规律可得:
    ∠B+∠F1+∠F2+⋅⋅⋅+∠Fn−1+∠D=∠E1+∠E2+⋅⋅⋅+∠En.
    2.(2021春·广东东莞·七年级东莞市长安实验中学校考期中)如图,已知AB∥CD.
    (1)如图1所示,∠1+∠2= ;
    (2)如图2所示,∠1+∠2+∠3= ;并写出求解过程.
    (3)如图3所示,∠1+∠2+∠3+∠4= ;
    (4)如图4所示,试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n= .
    【思路点拨】
    (1)由两直线平行,同旁内角互补,可得答案;
    (2)过点E作AB的平行线,转化成两个图1,同理可得答案;
    (3)过点E,点F分别作AB的平行线,转化成3个图1,可得答案;
    (4)由(2)(3)类比可得答案.
    【解题过程】
    解:(1)如图1,∵AB∥CD,
    ∴∠1+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补).
    故答案为:180°;
    (2)如图2,过点E作AB的平行线EF,
    ∵AB∥CD,
    ∴AB∥EF,CD∥EF,
    ∴∠1+∠AEF=180°,∠FEC+∠3=180°,
    ∴∠1+∠2+∠3=360°;
    (3)如图3,过点E,点F分别作AB的平行线,
    类比(2)可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°,
    故答案为:540°;
    (4)如图4由(2)和(3)的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=(n-1)×180°,
    故答案为:(n-1)×180°.
    3.(2021春·广东河源·七年级河源市第二中学校考期中)已知直线l1//l2, A是l1上的一点,B是l2上的一点,直线l3和直线l1,l2交于C和D,直线CD上有一点P.
    (1)如果P点在C,D之间运动时,问∠PAC,∠APB,∠PBD有怎样的数量关系?请说明理由.
    (2)若点P在C,D两点的外侧运动时(P点与C,D不重合),试探索∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系又是如何?(请直接写出答案,不需要证明)
    【思路点拨】
    (1)过点P作PE//l1,由“平行于同一条直线的两直线平行”可得出PE//l1//l2,再由“两直线平行,内错角相等”得出∠PAC=∠APE、∠PBD=∠BPE,再根据角与角的关系即可得出结论;
    (2)按点P的两种情况分类讨论:①当点P在直线l1上方时;②当点P在直线l2下方时,同理(1)可得∠PAC=∠APE、∠PBD=∠BPE,再根据角与角的关系即可得出结论.
    【解题过程】
    解:(1)∠PAC+∠PBD=∠APB.
    过点P作PE//l1,如图1所示.
    ∵PE//l1,l1//l2,
    ∴PE//l1//l2,
    ∴∠PAC=∠APE,∠PBD=∠BPE,
    ∵∠APB=∠APE+∠BPE,
    ∴∠PAC+∠PBD=∠APB.
    (2)结论:当点P在直线l1上方时,∠PBD−∠PAC=∠APB;当点P在直线l2下方时,∠PAC−∠PBD=∠APB.
    ①当点P在直线l1上方时,如图2所示.过点P作PE//l1.
    ∵PE//l1,l1//l2,
    ∴PE//l1//l2,
    ∴∠PAC=∠APE,∠PBD=∠BPE,
    ∵∠APB=∠BPE−∠APE,
    ∴∠PBD−∠PAC=∠APB.
    ②当点P在直线l2下方时,如图3所示.过点P作PE//l1.
    ∵PE//l1,l1//l2,
    ∴PE//l1//l2,
    ∴∠PAC=∠APE,∠PBD=∠BPE,
    ∵∠APB=∠APE−∠BPE,
    ∴∠PAC−∠PBD=∠APB.
    4.(2022春·山东聊城·七年级统考阶段练习)已知直线AB//CD,EF是截线,点M在直线AB、CD之间.
    (1)如图1,连接GM,HM.求证:∠M=∠AGM+∠CHM;
    (2)如图2,在∠GHC的角平分线上取两点M、Q,使得∠AGM=∠HGQ.试判断∠M与∠GQH之间的数量关系,并说明理由.
    【思路点拨】
    (1)过点M作MN∥AB,由AB∥CD,可知MN∥AB∥CD.由此可知:∠AGM=∠GMN,∠CHM=∠HMN,故∠AGM+∠CHM=∠GMN+∠HMN=∠M;
    (2)由(1)可知∠AGM+∠CHM=∠M.再由∠CHM=∠GHM,∠AGM=∠HGQ,可知 :∠M=∠HGQ+∠GHM,利用三角形内角和是180°,可得∠GQH=180°−∠M.
    【解题过程】
    (1)解:如图:过点M作MN∥AB,
    ∴MN∥AB∥CD,
    ∴∠AGM=∠GMN,∠CHM=∠HMN,
    ∵∠M=∠GMN+∠HMN,
    ∴∠M=∠AGM+∠CHM.
    (2)解:∠GQH=180°−∠M,理由如下:
    如图:过点M作MN∥AB,
    由(1)知∠M=∠AGM+∠CHM,
    ∵HM平分∠GHC,
    ∴∠CHM=∠GHM,
    ∵∠AGM=∠HGQ,
    ∴∠M=∠HGQ+∠GHM,
    ∵∠HGQ+∠GHM+∠GQH=180°,
    ∴∠GQH=180°−∠M.
    5.(2022春·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中)阅读下面内容,并解答问题.
    已知:如图1,AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F.∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G.
    (1)求证:EG⊥FG;
    (2)填空,并从下列①、②两题中任选一题说明理由.我选择 题.
    ①在图1的基础上,分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M,得到图2,则∠EMF的度数为 .
    ②如图3,AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F.点O在直线AB,CD之间,且在直线EF右侧,∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P,则∠EOF与∠EPF满足的数量关系为 .
    【思路点拨】
    (1)利用平行线的性质解决问题即可;
    (2)①利用基本结论∠EMF=∠BEM+∠MFD求解即可;②利用基本结论∠EOF=∠BEO+∠DFO,∠EPF=∠BEP+∠DFP,求解即可.
    【解题过程】
    (1)证明:如图,过G作GH∥AB,
    ∵AB∥CD,
    ∴AB∥GH∥CD,
    ∴∠BEG=∠EGH,∠DFG=∠FGH,
    ∴∠BEF+∠DFE=180°,
    ∵EG平分∠BEF,FG平分∠DFE,
    ∴∠GEB=12∠BEF,∠GFD=12∠DFE,
    ∴∠GEB+∠GFD=12∠BEF+12∠DFE=12(∠BEF+∠DFE)=90°,
    在ΔEFG中,∠GEF+∠GFE+∠G=180°,
    ∴∠EGF=∠GEB+∠GFD=90°,
    ∴EG⊥FG;
    (2)解:①如图2中,由题意,∠BEG+∠DFG=90°,
    ∵EM平分∠BEG,MF平分∠DFG,
    ∴∠BEM+∠MFD=12(∠BEG+∠DFG)=45°,
    ∴∠EMF=∠BEM+∠MFD=45°,
    故答案为:45°;
    ②结论:∠EOF=2∠EPF.
    理由:如图3中,由题意,∠EOF=∠BEO+∠DFO,∠EPF=∠BEP+∠DFP,
    ∵PE平分∠BEO,PF平分∠DFO,
    ∴∠BEO=2∠BEP,∠DFO=2∠DFP,
    ∴∠EOF=2∠EPF,
    故答案为:∠EOF=2∠EPF.
    6.(2022春·广东茂名·七年级校考阶段练习)如图1,已知AB∥CD,∠B=30°,∠D=120°;
    (1)若∠E=60°,则∠F= ;
    (2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系?说明理由;
    (3)如图2,已知EP平分∠BEF,FG平分∠EFD,反向延长FG交EP于点P,求∠P的度数.
    【思路点拨】
    (1)如图1,分别过点E,F作EM//AB,FN//AB,根据平行线的性质得到∠B=∠BEM=30°,∠MEF=∠EFN,∠D+∠DFN=180°,代入数据即可得到结论;
    (2)如图1,根据平行线的性质得到∠B=∠BEM=30°,∠MEF=∠EFN,由AB//CD,AB//FN,得到CD//FN,根据平行线的性质得到∠D+∠DFN=180°,于是得到结论;
    (3)如图2,过点F作FH//EP,设∠BEF=2x°,则∠EFD=(2x+30)°,根据角平分线的定义得到∠PEF=12∠BEF=x°,∠EFG=12∠EFD=(x+15)°,根据平行线的性质得到∠PEF=∠EFH=x°,∠P=∠HFG,于是得到结论.
    【解题过程】
    (1)解:如图1,分别过点E,F作EM//AB,FN//AB,
    ∴EM//AB//FN,
    ∴∠B=∠BEM=30°,∠MEF=∠EFN,
    又∵AB//CD,AB//FN,
    ∴CD//FN,
    ∴∠D+∠DFN=180°,
    又∵∠D=120°,
    ∴∠DFN=60°,
    ∴∠BEF=∠MEF+30°,∠EFD=∠EFN+60°,
    ∴∠EFD=∠MEF+60°
    ∴∠EFD=∠BEF+30°=90°;
    故答案为:90°;
    (2)解:如图1,分别过点E,F作EM//AB,FN//AB,
    ∴EM//AB//FN,
    ∴∠B=∠BEM=30°,∠MEF=∠EFN,
    又∵AB//CD,AB//FN,
    ∴CD//FN,
    ∴∠D+∠DFN=180°,
    又∵∠D=120°,
    ∴∠DFN=60°,
    ∴∠BEF=∠MEF+30°,∠EFD=∠EFN+60°,
    ∴∠EFD=∠MEF+60°,
    ∴∠EFD=∠BEF+30°;
    (3)解:如图2,过点F作FH//EP,
    由(2)知,∠EFD=∠BEF+30°,
    设∠BEF=2x°,则∠EFD=(2x+30)°,
    ∵EP平分∠BEF,GF平分∠EFD,
    ∴∠PEF=12∠BEF=x°,∠EFG=12∠EFD=(x+15)°,
    ∵FH//EP,
    ∴∠PEF=∠EFH=x°,∠P=∠HFG,
    ∵∠HFG=∠EFG−∠EFH=15°,
    ∴∠P=15°.
    7.(2021春·山西晋中·七年级统考期中)综合与探究
    【问题情境】
    王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动
    (1)如图1,EF//MN,点A、B分别为直线EF、MN上的一点,点P为平行线间一点,请直接写出∠PAF、∠PBN和∠APB之间的数量关系;

    【问题迁移】
    (2)如图2,射线OM与射线ON交于点O,直线m//n,直线m分别交OM、ON于点A、D,直线n分别交OM、ON于点B、C,点P在射线OM上运动,
    ①当点P在A、B(不与A、B重合)两点之间运动时,设∠ADP=∠α,∠BCP=∠β.则∠CPD,∠α,∠β之间有何数量关系?请说明理由.
    ②若点P不在线段AB上运动时(点P与点A、B、O三点都不重合),请你画出满足条件的所有图形并直接写出∠CPD,∠α,∠β之间的数量关系.
    【思路点拨】
    (1)作PQ∥EF,由平行线的性质,即可得到答案;
    (2)①过P作PE//AD交CD于E,由平行线的性质,得到∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,即可得到答案;
    ②根据题意,可对点P进行分类讨论:当点P在BA延长线时;当P在BO之间时;与①同理,利用平行线的性质,即可求出答案.
    【解题过程】
    解:(1)作PQ∥EF,如图:
    ∵EF//MN,
    ∴EF//MN//PQ,
    ∴∠PAF+∠APQ=180°,∠PBN+∠BPQ=180°,
    ∵∠APB=∠APQ+∠BPQ
    ∴∠PAF+∠PBN+∠APB=360°;
    (2)①∠CPD=∠α+∠β;
    理由如下:如图,
    过P作PE//AD交CD于E,
    ∵AD//BC,
    ∴AD//PE//BC,
    ∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,
    ∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β;
    ②当点P在BA延长线时,如备用图1:
    ∵PE∥AD∥BC,
    ∴∠EPC=β,∠EPD=α,
    ∴∠CPD=∠β−∠α;
    当P在BO之间时,如备用图2:
    ∵PE∥AD∥BC,
    ∴∠EPD=α,∠CPE=β,
    ∴∠CPD=∠α−∠β.
    8.(2022春·江苏南京·七年级南京市人民中学校联考期中)已知AB∥CD,∠ABE的角分线与∠CDE的角分线相交于点F.
    (1)如图1,若BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线,且∠BED=100°,求∠M的度数;
    (2)如图2,若∠ABM=13∠ABF,∠CDM=13∠CDF,∠BED=α°,求∠M的度数;
    (3)若∠ABM=1n∠ABF,∠CDM=1n∠CDF,请直接写出∠M与∠BED之间的数量关系.
    【思路点拨】
    (1)首先作EG∥AB,FH∥AB,利用平行线的性质可得∠ABE+∠CDE=260°,再利用角平分线的定义得到∠ABF+∠CDF=130°,从而得到∠BFD的度数,再根据角平分线的定义可求∠M的度数;
    (2)先由已知得到∠ABE=6∠ABM,∠CDE=6∠CDM,由(1)得∠ABE+∠CDE=360°-∠BED,∠M=∠ABM+∠CDM,等量代换即可求解;
    (3)先由已知得到∠ABF=n∠ABM,∠CDF=n∠CDM,由(2)的方法可得到2n∠M+∠BED=360°.
    【解题过程】
    解:(1)如图1,作EG//AB,FH//AB,
    ∵AB∥CD,
    ∴EG∥AB∥FH∥CD,
    ∴∠ABF=∠BFH,∠CDF=∠DFH,∠ABE+∠BEG=180°,∠GED+∠CDE=180°,
    ∴∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE=360°,
    ∵∠BED=∠BEG+∠DEG=100°,
    ∴∠ABE+∠CDE=260°,
    ∵∠ABE的角平分线和∠CDE的角平分线相交于F,
    ∴∠ABF+∠CDF=130°,
    ∴∠BFD=∠BFH+∠DFH=130°,
    ∵BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线,
    ∴∠MBF=12∠ABF,∠MDF=12∠CDF,
    ∴∠MBF+∠MDF=65°,
    ∴∠BMD=130°−65°=65°;
    (2)如图2,∵∠ABM=13∠ABF,∠CDM=13∠CDF,
    ∴∠ABF=3∠ABM,∠CDF=3∠CDM,
    ∵∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F,
    ∴∠ABE=6∠ABM,∠CDE=6∠CDM,
    ∴6∠ABM+6∠CDM+∠BED=360°,
    ∵∠BMD=∠ABM+∠CDM,
    ∴6∠BMD+∠BED=360°,
    ∴∠BMD=360°−α°6;
    (3)∵∠ABM=1n∠ABF,∠CDM=1n∠CDF,
    ∴∠ABF=n∠ABM,∠CDF=n∠CDM,
    ∵∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F,
    ∴∠ABE=2n∠ABM,∠CDE=2n∠CDM,
    ∴2n∠ABM+2n∠CDM+∠BED=360°,
    ∵∠M=∠ABM+∠CDM,
    ∴2n∠M+∠BED=360°.
    9.(2022春·江苏扬州·七年级校考阶段练习)已知直线AB∥CD,P为平面内一点,连接PA、PD.
    (1)如图1,已知∠A=50°,∠D=150°,求∠APD的度数;
    (2)如图2,判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 .
    (3)如图3,在(2)的条件下,AP⊥PD,DN平分∠PDC,若∠PAN+12∠PAB=∠APD,求∠AND的度数.
    【思路点拨】
    (1)首先过点P作PQ∥AB,则易得AB∥PQ∥CD,然后由两直线平行,同旁内角互补以及内错角相等,即可求解;
    (2)作PQ∥AB,易得AB∥PQ∥CD,根据平行线的性质,即可证得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°;
    (3)先证明∠NOD=12∠PAB,∠ODN=12∠PDC,利用(2)的结论即可求解.
    【解题过程】
    解:(1)∵∠A=50°,∠D=150°,
    过点P作PQ∥AB,
    ∴∠A=∠APQ=50°,
    ∵AB∥CD,
    ∴PQ∥CD,
    ∴∠D+∠DPQ=180°,则∠DPQ=180°-150°=30°,
    ∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°;
    (2)∠PAB+∠CDP-∠APD=180°,
    如图,作PQ∥AB,
    ∴∠PAB=∠APQ,
    ∵AB∥CD,
    ∴PQ∥CD,
    ∴∠CDP+∠DPQ=180°,即∠DPQ=180°-∠CDP,
    ∵∠APD=∠APQ-∠DPQ,
    ∴∠APD=∠PAB-(180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°;
    ∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°;
    (3)设PD交AN于O,如图,
    ∵AP⊥PD,
    ∴∠APO=90°,
    由题知∠PAN+12∠PAB=∠APD,即∠PAN+12∠PAB=90°,
    又∵∠POA+∠PAN=180°-∠APO=90°,
    ∴∠POA=12∠PAB,
    ∵∠POA=∠NOD,
    ∴∠NOD=12∠PAB,
    ∵DN平分∠PDC,
    ∴∠ODN=12∠PDC,
    ∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°-12(∠PAB+∠PDC),
    由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°,
    ∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD,
    ∴∠AND=180°-12(∠PAB+∠PDC)
    =180°-12(180°+∠APD)
    =180°-12(180°+90°)
    =45°,
    即∠AND=45°.
    10.(2022春·浙江杭州·七年级校考期中)如图1,已知AB//CD,P是直线AB,CD外的一点,PF⊥CD于点F,PE交AB于点E,满足∠FPE=60°.
    (1)求∠AEP的度数;
    (2)如图2,射线PN从PE出发,以每秒10°的速度绕P点按逆时针方向匀速旋转,当PN到达PF时立刻返回至PE,然后继续按上述方式旋转;射线EM从EA出发,以相同的速度绕E点按顺时针方向旋转至EP后停止运动,此时射线PN也停止运动.若射线PN、射线EM同时开始运动,设运动时间为t秒.
    ①当射线PN平分∠EPF时,求∠MEP的度数(0°<∠MEP<180°);
    ②当直线EM与直线PN相交所成的锐角是60°时,则t= .
    【思路点拨】
    (1)根据平行线的性质及三角形外角性质可得答案;
    (2)①由角平分线的定义得∠EPN=30°,再根据三角形外角性质可得答案;
    ②利用三角形外角性质列出方程,通过解方程即可得到问题的答案.
    【解题过程】
    解:(1)如图1,∵AB//CD,PF⊥CD,
    ∴PF⊥AB,
    ∴∠AMP=90°,
    ∵∠FPE=60°,
    ∴∠AEP=∠FPE +∠AMP =150°;
    (2)如图2,①当PN平分∠EPF时,∠EPN=30°时,
    运动时间t=3010 =3(秒),此时ME也运动了3秒,
    ∴∠AEM=3×10°=30°,
    ∴∠MEP=150°﹣30°=120°;
    PN继续运动至PF时,返回时,当PN平分∠EPF时,运动时间至6010+3010 =9(秒)时,此时ME也运动了9秒,
    ∴∠AEM=9×10°=90°,
    ∴∠MEP=150°﹣90°=60°;
    当第二次PE运动至PF时,当PN平分∠EPF时,运动了6010×2+3010=15(秒)
    ∴∠AEM=15×10°=150°,
    ∴∠MEP=150°﹣150°=0°,不符合题意;
    综上所述,∠MEP的度数为60°或120°;
    ②如图3,
    当0≤t≤6时,此时∠EPN=∠AEM=10t,∠NEH=10t,∠PEN=30°,
    ∠PHE=180°﹣∠HPE﹣∠PEH=180°﹣10t﹣30°﹣10t=150°﹣20t,
    当150°﹣20t=120°时,t=32 ,
    当150°﹣20t=60°时,t=92 ;
    当6<t≤12时,此时∠EPN=120°﹣10t,∠NEH=∠AEM=10t,∠PEN=30°,
    ∠PHE=30°,不成立,
    当12<t≤15时,此时∠EPN=10t﹣120°,∠NEH=∠AEM=10t,∠PEN=30°,
    ∠PHE=270°﹣20t,
    ∠PHE=270°﹣20t=60°时,t=212 (不合题意),∠PHE=270°﹣20t=120°,t=152 (不合题意)
    故答案为:32或92.
    11.(2022春·湖北武汉·七年级校联考阶段练习)如图1,MN∥PQ,点C、B分别在直线MN、PQ上,点A在直线MN、PQ之间.
    (1)求证:∠CAB=∠MCA+∠PBA;
    (2)如图2,CD∥AB,点E在PQ上,∠ECN=∠CAB,求证:∠MCA=∠DCE;
    (3)如图3,BF平分∠ABP,CG平分∠ACN,AF∥CG.若∠CAB=60°,求∠AFB的度数.
    【思路点拨】
    (1)过点A作AD∥MN,根据两直线平行,内错角相等得到∠MCA=∠DAC,∠PBA=∠DAB,根据角的和差等量代换即可得解;
    (2)由两直线平行,同旁内角互补得到∴、∠CAB+∠ACD=180°,由邻补角定义得到∠ECM+∠ECN=180°,再等量代换即可得解;
    (3)由平行线的性质得到,∠FAB=120°﹣∠GCA,再由角平分线的定义及平行线的性质得到∠GCA﹣∠ABF=60°,最后根据三角形的内角和是180°即可求解.
    【解题过程】
    解:(1)证明:如图1,过点A作AD∥MN,
    ∵MN∥PQ,AD∥MN,
    ∴AD∥MN∥PQ,
    ∴∠MCA=∠DAC,∠PBA=∠DAB,
    ∴∠CAB=∠DAC+∠DAB=∠MCA+∠PBA,
    即:∠CAB=∠MCA+∠PBA;
    (2)如图2,∵CD∥AB,
    ∴∠CAB+∠ACD=180°,
    ∵∠ECM+∠ECN=180°,
    ∵∠ECN=∠CAB
    ∴∠ECM=∠ACD,
    即∠MCA+∠ACE=∠DCE+∠ACE,
    ∴∠MCA=∠DCE;
    (3)∵AF∥CG,
    ∴∠GCA+∠FAC=180°,
    ∵∠CAB=60°
    即∠GCA+∠CAB+∠FAB=180°,
    ∴∠FAB=180°﹣60°﹣∠GCA=120°﹣∠GCA,
    由(1)可知,∠CAB=∠MCA+∠ABP,
    ∵BF平分∠ABP,CG平分∠ACN,
    ∴∠ACN=2∠GCA,∠ABP=2∠ABF,
    又∵∠MCA=180°﹣∠ACN,
    ∴∠CAB=180°﹣2∠GCA+2∠ABF=60°,
    ∴∠GCA﹣∠ABF=60°,
    ∵∠AFB+∠ABF+∠FAB=180°,
    ∴∠AFB=180°﹣∠FAB﹣∠FBA
    =180°﹣(120°﹣∠GCA)﹣∠ABF
    =180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF
    =120°.
    12.(2021春·浙江·七年级期中)为更好地理清平行线与相关角的关系,小明爸爸为他准备了四根细直木条AB、BC,CD、DE,做成折线ABCDE,如图1,且在折点B、C、D处均可自由转出.
    (1)如图2,小明将折线调节成∠B=50°,∠C=75°,∠D=25°,判别AB是否平行于ED,并说明理由;
    (2)如图3,若∠C=∠D=25°,调整线段AB、BC使得AB//CD,求出此时∠B的度数,要求画出图形,并写出计算过程.
    (3)若∠C=85°,∠D=25°,AB//DE,求出此时∠B的度数,要求画出图形,直接写出度数,不要求计算过程.
    【思路点拨】
    (1)过点C作CF∥AB,利用平行线的判定和性质解答即可;
    (2)分别画图3和图4,根据平行线的性质可计算∠B的度数;
    (3)分别画图,根据平行线的性质计算出∠B的度数.
    【解题过程】
    解:(1)AB∥DE,理由是:
    如下图,过点C作CF∥AB,
    ∴∠B=∠BCF=50°,
    ∵∠BCD=75°,
    ∴∠DCF=25°,
    ∵∠D=25°,
    ∴∠D=∠DCF=25°,
    ∴CF∥DE,
    ∴AB∥DE;
    (2)如下图,
    ∵AB∥CD,
    ∴∠B=∠BCD=25°;
    如图4:
    ∵AB∥CD,
    ∴∠B+∠BCD=180°,
    ∴∠ABC=180°-25°=155°;
    (3)由(1)得:∠B=85°-25°=60°;
    如图5,过C作CF∥AB,则AB∥CF∥CD,
    ∴∠FCD=∠D=25°,
    ∵∠BCD=85°,
    ∴∠BCF=85°-25°=60°,
    ∵AB∥CF,
    ∴∠B+∠BCF=180°,
    ∴∠B=120°;
    如图6,∵∠C=85°,∠D=25°,
    ∴∠CFD=180°-85°-25°=70°,
    ∵AB∥DE,
    ∴∠B=∠CFD=70°,
    如图7,同理得:∠B=25°+85°=110°,
    综上所述,∠B的度数为60°或120°或70°或110°.
    13.(2022春·广东珠海·七年级统考期中)已知AM//CN,点B为平面内一点,AB⊥BC于B.
    (1)如图1,点B在两条平行线外,则∠A与∠C之间的数量关系为______;
    (2)点B在两条平行线之间,过点B作BD⊥AM于点D.
    ①如图2,说明∠ABD=∠C成立的理由;
    ②如图3,BF平分∠DBC交DM于点F,BE平分∠ABD交DM于点E.若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE,求∠EBC的度数.
    【思路点拨】
    (1)根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可;
    (2)①过点B作BG∥DM,根据平行线找角的联系即可求解;②先过点B作BG∥DM,根据角平分线的定义,得出∠ABF=∠GBF,再设∠DBE=α,∠ABF=β,根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°,可得2α+β+3α+3α+β=180°,根据AB⊥BC,可得β+β+2α=90°,最后解方程组即可得到∠ABE=15°,进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°.
    【解题过程】
    解:(1)如图1,AM与BC的交点记作点O,
    ∵AM∥CN,
    ∴∠C=∠AOB,
    ∵AB⊥BC,
    ∴∠A+∠AOB=90°,
    ∴∠A+∠C=90°;
    (2)①如图2,过点B作BG∥DM,
    ∵BD⊥AM,
    ∴DB⊥BG,
    ∴∠DBG=90°,
    ∴∠ABD+∠ABG=90°,
    ∵AB⊥BC,
    ∴∠CBG+∠ABG=90°,
    ∴∠ABD=∠CBG,
    ∵AM∥CN,BG∥DM,
    ∴BG//CN,
    ∴∠C=∠CBG,
    ∠ABD=∠C;
    ②如图3,过点B作BG∥DM,
    ∵BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,
    ∴∠DBF=∠CBF,∠DBE=∠ABE,
    由(2)知∠ABD=∠CBG,
    ∴∠ABF=∠GBF,
    设∠DBE=α,∠ABF=β,
    则∠ABE=α,∠ABD=2α=∠CBG,
    ∠GBF=∠AFB=β,
    ∠BFC=3∠DBE=3α,
    ∴∠AFC=3α+β,
    ∵∠AFC+∠NCF=180°,∠FCB+∠NCF=180°,
    ∴∠FCB=∠AFC=3α+β,
    △BCF中,由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得:
    2α+β+3α+3α+β=180°,
    ∵AB⊥BC,
    ∴β+β+2α=90°,
    ∴α=15°,
    ∴∠ABE=15°,
    ∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°.
    14.(2021春·浙江杭州·七年级统考期中)已知,AB∥CD.点M在AB上,点N在CD上.
    (1)如图1中,∠BME、∠E、∠END的数量关系为: ;(不需要证明)
    如图2中,∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为: ;(不需要证明)
    (2)如图3中,NE平分∠FND,MB平分∠FME,且2∠E+∠F=180°,求∠FME的度数;
    (3)如图4中,∠BME=60°,EF平分∠MEN,NP平分∠END,且EQ∥NP,则∠FEQ的大小是否发生变化,若变化,请说明理由,若不变化,求出∠FEQ的度数.
    【思路点拨】
    (1)过E作EH∥AB,易得EH∥AB∥CD,根据平行线的性质可求解;过F作FH∥AB,易得FH∥AB∥CD,根据平行线的性质可求解;
    (2)根据(1)的结论及角平分线的定义可得2(∠BME+∠END)+∠BMF-∠FND=180°,可求解∠BMF=60°,进而可求解;
    (3)根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ=12∠BME,进而可求解.
    【解题过程】
    解:(1)过E作EH∥AB,如图1,
    ∴∠BME=∠MEH,
    ∵AB∥CD,
    ∴HE∥CD,
    ∴∠END=∠HEN,
    ∴∠MEN=∠MEH+∠HEN=∠BME+∠END,
    即∠BME=∠MEN﹣∠END.
    如图2,过F作FH∥AB,
    ∴∠BMF=∠MFK,
    ∵AB∥CD,
    ∴FH∥CD,
    ∴∠FND=∠KFN,
    ∴∠MFN=∠MFK﹣∠KFN=∠BMF﹣∠FND,
    即:∠BMF=∠MFN+∠FND.
    故答案为∠BME=∠MEN﹣∠END;∠BMF=∠MFN+∠FND.
    (2)由(1)得∠BME=∠MEN﹣∠END;∠BMF=∠MFN+∠FND.
    ∵NE平分∠FND,MB平分∠FME,
    ∴∠FME=∠BME+∠BMF,∠FND=∠FNE+∠END,
    ∵2∠MEN+∠MFN=180°,
    ∴2(∠BME+∠END)+∠BMF﹣∠FND=180°,
    ∴2∠BME+2∠END+∠BMF﹣∠FND=180°,
    即2∠BMF+∠FND+∠BMF﹣∠FND=180°,
    解得∠BMF=60°,
    ∴∠FME=2∠BMF=120°;
    (3)∠FEQ的大小没发生变化,∠FEQ=30°.
    由(1)知:∠MEN=∠BME+∠END,
    ∵EF平分∠MEN,NP平分∠END,
    ∴∠FEN=12∠MEN=12(∠BME+∠END),∠ENP=12∠END,
    ∵EQ∥NP,
    ∴∠NEQ=∠ENP,
    ∴∠FEQ=∠FEN﹣∠NEQ=12(∠BME+∠END)﹣12∠END=12∠BME,
    ∵∠BME=60°,
    ∴∠FEQ=12×60°=30°.
    15.(2021秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末)已知,AB∥CD,点E在CD上,点G,F在AB上,点H在AB,CD之间,连接FE,EH,HG,∠AGH=∠FED,FE⊥HE,垂足为E.
    (1)如图1,求证:HG⊥HE;
    (2)如图2,GM平分∠HGB,EM平分∠HED,GM,EM交于点M,求证:∠GHE=2∠GME;
    (3)如图3,在(2)的条件下,FK平分∠AFE交CD于点K,若∠KFE:∠MGH=13:5,求∠HED的度数.
    【思路点拨】
    (1)根据平行线的性质和判定解答即可;
    (2)过点H作HP∥AB,根据平行线的性质解答即可;
    (3)过点H作HP∥AB,根据平行线的性质解答即可.
    【解题过程】
    证明:(1)∵AB∥CD,
    ∴∠AFE=∠FED,
    ∵∠AGH=∠FED,
    ∴∠AFE=∠AGH,
    ∴EF∥GH,
    ∴∠FEH+∠H=180°,
    ∵FE⊥HE,
    ∴∠FEH=90°,
    ∴∠H=180°﹣∠FEH=90°,
    ∴HG⊥HE;
    (2)过点M作MQ∥AB,
    ∵AB∥CD,
    ∴MQ∥CD,
    过点H作HP∥AB,
    ∵AB∥CD,
    ∴HP∥CD,
    ∵GM平分∠HGB,
    ∴∠BGM=∠HGM=12∠BGH,
    ∵EM平分∠HED,
    ∴∠HEM=∠DEM=12∠HED,
    ∵MQ∥AB,
    ∴∠BGM=∠GMQ,
    ∵MQ∥CD,
    ∴∠QME=∠MED,
    ∴∠GME=∠GMQ+∠QME=∠BGM+∠MED,
    ∵HP∥AB,
    ∴∠BGH=∠GHP=2∠BGM,
    ∵HP∥CD,
    ∴∠PHE=∠HED=2∠MED,
    ∴∠GHE=∠GHP+∠PHE=2∠BGM+2∠MED=2(∠BGM+∠MED),
    ∴∠GHE=∠2GME;
    (3)过点M作MQ∥AB,过点H作HP∥AB,
    由∠KFE:∠MGH=13:5,设∠KFE=13x,∠MGH=5x,
    由(2)可知:∠BGH=2∠MGH=10x,
    ∵∠AFE+∠BFE=180°,
    ∴∠AFE=180°﹣10x,
    ∵FK平分∠AFE,
    ∴∠AFK=∠KFE=12 ∠AFE,
    即12(180°−10x)=13x,
    解得:x=5°,
    ∴∠BGH=10x=50°,
    ∵HP∥AB,HP∥CD,
    ∴∠BGH=∠GHP=50°,∠PHE=∠HED,
    ∵∠GHE=90°,
    ∴∠PHE=∠GHE﹣∠GHP=90°﹣50°=40°,
    ∴∠HED=40°.
    16.(2021春·浙江宁波·七年级统考期中)如图,AB//CD,定点E,F分别在直线AB,CD上,在平行线AB,CD之间有一个动点P,满足0°<∠EPF<180°.
    (1)试问:∠AEP,∠EPF,∠PFC满足怎样的数量关系?
    解:由于点P是平行线AB,CD之间一动点,因此需对点P的位置进行分类讨论.如图1,当点P在EF的左侧时,易得∠AEP,∠EPF,∠PFC满足的数量关系为∠AEP+∠PFC=∠EPF;如图2,当点P在EF的右侧时,写出∠AEP,∠EPF,∠PFC满足的数量关系_________.
    (2)如图3,QE,QF分别平分∠PEB和∠PFD,且点P在EF左侧.
    ①若∠EPF=100°,则∠EQF的度数为______;
    ②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系,并说明理由;
    ③如图4,若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1,∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2,∠BEQ2与∠DFQ2的角平分线交于点Q3,以此类推,则∠EPF与∠EQ2020F满足怎样的数量关系?(直接写出结果)
    【思路点拨】
    (1)过点P作PH//AB,利用平行线的性质即可求解;
    (2)根据(1)的结论结合角平分线的定义,平角的定义,运用整体思想即可求解.
    【解题过程】
    解:(1)如图2,当点P在EF的右侧时,过点P作PM//AB,则PM//CD,

    ∴∠AEP+∠EPM=180°,∠PFC+∠MPF=180°,
    ∴∠AEP+∠EPM+∠PFC+∠MPF=360°,
    即:∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°;
    故答案为:∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°;
    (2)①由(1)得:∠DFQ+∠BEQ=∠EQF,∠PEA+∠PFC=∠EPF,
    ∵∠EPF=100°,
    ∴∠PEA+∠PFC=100°,
    ∵QE,QF分别平分∠PEB和∠PFD,
    ∴∠DFP=2∠DFQ,∠BEP=2∠BEQ,
    ∵∠PFC+∠DFP=180°,∠PEA+∠BEP=180°,
    ∴∠PFC+2∠DFQ=180°,∠PEA+2∠BEQ=180°,
    ∴∠PFC+2∠DFQ+∠PEA+2∠BEQ=360°,
    ∴100°+2∠DFQ+2∠BEQ=360°,
    ∴∠DFQ+∠BEQ=130°,
    ∴∠EQF=∠DFQ+∠BEQ=130°,
    故答案为:130°;
    ②∠EPF+2∠EQF=360°,理由如下:
    ∵QE,QF分别平分∠PEB和∠PFD,
    ∴∠DFP=2∠DFQ,∠BEP=2∠BEQ,
    ∵∠PFC+∠DFP=180°,∠PEA+∠BEP=180°,
    ∴∠PFC+2∠DFQ=180°,∠PEA+2∠BEQ=180°,
    ∴∠PFC+2∠DFQ+∠PEA+2∠BEQ=360°,
    ∴∠PFC+∠PEA +2(∠DFQ +∠BEQ)=360°,
    ∵由(1)得:∠DFQ+∠BEQ=∠EQF,∠PEA+∠PFC=∠EPF,
    ∴∠EPF +2∠EQF=360°;
    ③∵Q1E,Q1F分别平分∠QEB和∠QFD,
    ∴∠DFP=2∠DFQ=22∠DFQ1,∠BEP=2∠BEQ=22∠BEQ1,
    ∵∠PFC+∠DFP=180°,∠PEA+∠BEP=180°,
    ∴∠PFC+22∠DFQ1=180°,∠PEA+22∠BEQ1=180°,
    ∴∠PFC+22∠DFQ1+∠PEA+22∠BEQ1=360°,
    ∴∠PFC+∠PEA +22(∠DFQ1 +∠BEQ1)=360°,
    ∵由(1)得:∠DFQ1+∠BEQ1=∠EQ1F,∠PEA+∠PFC=∠EPF,
    ∴∠EPF +22∠EQ1F=360°;
    同理可得:∠EPF +23∠EQ2F=360°,∠EPF +24∠EQ3F=360°,……
    ∴∠EPF+22021∠EQ2020F=360°.
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