人教版七年级数学下册压轴题专项讲练专题5.3平行线中的常见模型(原卷版+解析)
展开【典例1】如图1,AB//CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°,求∠APC的度数.小明的思路是:如图2,过P作PE//AB,通过平行线性质可求∠APC的度数.
(1)请你按小明的思路,写出∠APC度数的求解过程;
(2)如图3,AB//CD,点P在直线BD上运动,记∠PAB=∠α,∠PCD=∠β.
①当点P在线段BD上运动时,则∠APC与∠α、∠β之间有何数量关系?请说明理由;
②若点P不在线段BD上运动时,请直接写出∠APC与∠α、∠β之间的数量关系.
【思路点拨】
(1)过P作PE//AB,利用平行线的性质即可得出答案;
(2)①过P作PE//AB,再利用平行线的性质即可得出答案;
②分P在BD延长线上和P在DB延长线上两种情况进行讨论,结合平行线的性质即可得出答案.
【解题过程】
解:(1)如图2,过P作PE//AB
∵AB//CD,
∴PE//AB//CD,
∴∠PAB+∠APE=180°,
∠PCD+∠CPE=180°,
∵∠PAB=130°,∠PCD=120°,
∴∠APE=50°,∠CPE=60°,
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°.
(2)①∠APC=∠α+∠β,
理由:如图3,过P作PE//AB,
∵AB//CD,
∴AB//PE//CD,
∴∠α=∠APE,∠β=∠CPE,
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β;
②∠APC=∠α−∠β.
如备用图1,当P在BD延长线上时,∠APC=∠α−∠β;
理由:如备用图1,过P作PG//AB,
∵AB//CD,
∴AB//PG//CD,
∴∠α=∠APG,∠β=∠CPG,
∴∠APC=∠APG−∠CPG=∠α−∠β;
如备用图2所示,当P在DB延长线上时,∠APC=∠β−∠α;
理由:如备用图2,过P作PG//AB,
∵AB//CD,
∴AB//PG//CD,
∴∠α=∠APG,∠β=∠CPG,
∴∠APC=∠CPG−∠APG=∠β−∠α;
综上所述,∠APC=∠α−∠β.
1.(2021·全国·九年级专题练习)在图中,若AB//CD,又得到什么结论?
2.(2021春·广东东莞·七年级东莞市长安实验中学校考期中)如图,已知AB∥CD.
(1)如图1所示,∠1+∠2= ;
(2)如图2所示,∠1+∠2+∠3= ;并写出求解过程.
(3)如图3所示,∠1+∠2+∠3+∠4= ;
(4)如图4所示,试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n= .
3.(2021春·广东河源·七年级河源市第二中学校考期中)已知直线l1//l2, A是l1上的一点,B是l2上的一点,直线l3和直线l1,l2交于C和D,直线CD上有一点P.
(1)如果P点在C,D之间运动时,问∠PAC,∠APB,∠PBD有怎样的数量关系?请说明理由.
(2)若点P在C,D两点的外侧运动时(P点与C,D不重合),试探索∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系又是如何?(请直接写出答案,不需要证明)
4.(2022春·山东聊城·七年级统考阶段练习)已知直线AB//CD,EF是截线,点M在直线AB、CD之间.
(1)如图1,连接GM,HM.求证:∠M=∠AGM+∠CHM;
(2)如图2,在∠GHC的角平分线上取两点M、Q,使得∠AGM=∠HGQ.试判断∠M与∠GQH之间的数量关系,并说明理由.
5.(2022春·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中)阅读下面内容,并解答问题.
已知:如图1,AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F.∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G.
(1)求证:EG⊥FG;
(2)填空,并从下列①、②两题中任选一题说明理由.我选择 题.
①在图1的基础上,分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M,得到图2,则∠EMF的度数为 .
②如图3,AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F.点O在直线AB,CD之间,且在直线EF右侧,∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P,则∠EOF与∠EPF满足的数量关系为 .
6.(2022春·广东茂名·七年级校考阶段练习)如图1,已知AB∥CD,∠B=30°,∠D=120°;
(1)若∠E=60°,则∠F= ;
(2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系?说明理由;
(3)如图2,已知EP平分∠BEF,FG平分∠EFD,反向延长FG交EP于点P,求∠P的度数.
7.(2021春·山西晋中·七年级统考期中)综合与探究
【问题情境】
王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动
(1)如图1,EF//MN,点A、B分别为直线EF、MN上的一点,点P为平行线间一点,请直接写出∠PAF、∠PBN和∠APB之间的数量关系;
【问题迁移】
(2)如图2,射线OM与射线ON交于点O,直线m//n,直线m分别交OM、ON于点A、D,直线n分别交OM、ON于点B、C,点P在射线OM上运动,
①当点P在A、B(不与A、B重合)两点之间运动时,设∠ADP=∠α,∠BCP=∠β.则∠CPD,∠α,∠β之间有何数量关系?请说明理由.
②若点P不在线段AB上运动时(点P与点A、B、O三点都不重合),请你画出满足条件的所有图形并直接写出∠CPD,∠α,∠β之间的数量关系.
8.(2022春·江苏南京·七年级南京市人民中学校联考期中)已知AB∥CD,∠ABE的角分线与∠CDE的角分线相交于点F.
(1)如图1,若BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线,且∠BED=100°,求∠M的度数;
(2)如图2,若∠ABM=13∠ABF,∠CDM=13∠CDF,∠BED=α°,求∠M的度数;
(3)若∠ABM=1n∠ABF,∠CDM=1n∠CDF,请直接写出∠M与∠BED之间的数量关系.
9.(2022春·江苏扬州·七年级校考阶段练习)已知直线AB∥CD,P为平面内一点,连接PA、PD.
(1)如图1,已知∠A=50°,∠D=150°,求∠APD的度数;
(2)如图2,判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 .
(3)如图3,在(2)的条件下,AP⊥PD,DN平分∠PDC,若∠PAN+12∠PAB=∠APD,求∠AND的度数.
10.(2022春·浙江杭州·七年级校考期中)如图1,已知AB//CD,P是直线AB,CD外的一点,PF⊥CD于点F,PE交AB于点E,满足∠FPE=60°.
(1)求∠AEP的度数;
(2)如图2,射线PN从PE出发,以每秒10°的速度绕P点按逆时针方向匀速旋转,当PN到达PF时立刻返回至PE,然后继续按上述方式旋转;射线EM从EA出发,以相同的速度绕E点按顺时针方向旋转至EP后停止运动,此时射线PN也停止运动.若射线PN、射线EM同时开始运动,设运动时间为t秒.
①当射线PN平分∠EPF时,求∠MEP的度数(0°<∠MEP<180°);
②当直线EM与直线PN相交所成的锐角是60°时,则t= .
11.(2022春·湖北武汉·七年级校联考阶段练习)如图1,MN∥PQ,点C、B分别在直线MN、PQ上,点A在直线MN、PQ之间.
(1)求证:∠CAB=∠MCA+∠PBA;
(2)如图2,CD∥AB,点E在PQ上,∠ECN=∠CAB,求证:∠MCA=∠DCE;
(3)如图3,BF平分∠ABP,CG平分∠ACN,AF∥CG.若∠CAB=60°,求∠AFB的度数.
12.(2021春·浙江·七年级期中)为更好地理清平行线与相关角的关系,小明爸爸为他准备了四根细直木条AB、BC,CD、DE,做成折线ABCDE,如图1,且在折点B、C、D处均可自由转出.
(1)如图2,小明将折线调节成∠B=50°,∠C=75°,∠D=25°,判别AB是否平行于ED,并说明理由;
(2)如图3,若∠C=∠D=25°,调整线段AB、BC使得AB//CD,求出此时∠B的度数,要求画出图形,并写出计算过程.
(3)若∠C=85°,∠D=25°,AB//DE,求出此时∠B的度数,要求画出图形,直接写出度数,不要求计算过程.
13.(2022春·广东珠海·七年级统考期中)已知AM//CN,点B为平面内一点,AB⊥BC于B.
(1)如图1,点B在两条平行线外,则∠A与∠C之间的数量关系为______;
(2)点B在两条平行线之间,过点B作BD⊥AM于点D.
①如图2,说明∠ABD=∠C成立的理由;
②如图3,BF平分∠DBC交DM于点F,BE平分∠ABD交DM于点E.若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE,求∠EBC的度数.
14.(2021春·浙江杭州·七年级统考期中)已知,AB∥CD.点M在AB上,点N在CD上.
(1)如图1中,∠BME、∠E、∠END的数量关系为: ;(不需要证明)
如图2中,∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为: ;(不需要证明)
(2)如图3中,NE平分∠FND,MB平分∠FME,且2∠E+∠F=180°,求∠FME的度数;
(3)如图4中,∠BME=60°,EF平分∠MEN,NP平分∠END,且EQ∥NP,则∠FEQ的大小是否发生变化,若变化,请说明理由,若不变化,求出∠FEQ的度数.
15.(2021秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末)已知,AB∥CD,点E在CD上,点G,F在AB上,点H在AB,CD之间,连接FE,EH,HG,∠AGH=∠FED,FE⊥HE,垂足为E.
(1)如图1,求证:HG⊥HE;
(2)如图2,GM平分∠HGB,EM平分∠HED,GM,EM交于点M,求证:∠GHE=2∠GME;
(3)如图3,在(2)的条件下,FK平分∠AFE交CD于点K,若∠KFE:∠MGH=13:5,求∠HED的度数.
16.(2021春·浙江宁波·七年级统考期中)如图,AB//CD,定点E,F分别在直线AB,CD上,在平行线AB,CD之间有一个动点P,满足0°<∠EPF<180°.
(1)试问:∠AEP,∠EPF,∠PFC满足怎样的数量关系?
解:由于点P是平行线AB,CD之间一动点,因此需对点P的位置进行分类讨论.如图1,当点P在EF的左侧时,易得∠AEP,∠EPF,∠PFC满足的数量关系为∠AEP+∠PFC=∠EPF;如图2,当点P在EF的右侧时,写出∠AEP,∠EPF,∠PFC满足的数量关系_________.
(2)如图3,QE,QF分别平分∠PEB和∠PFD,且点P在EF左侧.
①若∠EPF=100°,则∠EQF的度数为______;
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系,并说明理由;
③如图4,若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1,∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2,∠BEQ2与∠DFQ2的角平分线交于点Q3,以此类推,则∠EPF与∠EQ2020F满足怎样的数量关系?(直接写出结果)
专题5.3 平行线中的常见模型
【典例1】如图1,AB//CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°,求∠APC的度数.小明的思路是:如图2,过P作PE//AB,通过平行线性质可求∠APC的度数.
(1)请你按小明的思路,写出∠APC度数的求解过程;
(2)如图3,AB//CD,点P在直线BD上运动,记∠PAB=∠α,∠PCD=∠β.
①当点P在线段BD上运动时,则∠APC与∠α、∠β之间有何数量关系?请说明理由;
②若点P不在线段BD上运动时,请直接写出∠APC与∠α、∠β之间的数量关系.
【思路点拨】
(1)过P作PE//AB,利用平行线的性质即可得出答案;
(2)①过P作PE//AB,再利用平行线的性质即可得出答案;
②分P在BD延长线上和P在DB延长线上两种情况进行讨论,结合平行线的性质即可得出答案.
【解题过程】
解:(1)如图2,过P作PE//AB
∵AB//CD,
∴PE//AB//CD,
∴∠PAB+∠APE=180°,
∠PCD+∠CPE=180°,
∵∠PAB=130°,∠PCD=120°,
∴∠APE=50°,∠CPE=60°,
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°.
(2)①∠APC=∠α+∠β,
理由:如图3,过P作PE//AB,
∵AB//CD,
∴AB//PE//CD,
∴∠α=∠APE,∠β=∠CPE,
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β;
②∠APC=∠α−∠β.
如备用图1,当P在BD延长线上时,∠APC=∠α−∠β;
理由:如备用图1,过P作PG//AB,
∵AB//CD,
∴AB//PG//CD,
∴∠α=∠APG,∠β=∠CPG,
∴∠APC=∠APG−∠CPG=∠α−∠β;
如备用图2所示,当P在DB延长线上时,∠APC=∠β−∠α;
理由:如备用图2,过P作PG//AB,
∵AB//CD,
∴AB//PG//CD,
∴∠α=∠APG,∠β=∠CPG,
∴∠APC=∠CPG−∠APG=∠β−∠α;
综上所述,∠APC=∠α−∠β.
1.(2021·全国·九年级专题练习)在图中,若AB//CD,又得到什么结论?
【思路点拨】
根据图①可得∠E=∠B+∠D,根据图②可得∠B+∠F+∠D=∠E+∠G,即可根据规律得出题目的结论.
【解题过程】
解:①如图:过点E作EF//AB,
∵AB//CD,EF//AB,
∴AB//EF//CD,
∴∠ABE=∠BEF,∠CDE=∠DEF,
∴∠E=∠B+∠D;
②如图,过E点作EH//AB,过F点作FJ//AB,过G点作GI//AB,
∵EH//AB,FJ//AB,GI//AB,AB//CD,
∴AB//EH//JF//GI//CD,
∴∠ABE=∠BEH,∠HEF=∠EFJ,∠JFG=∠FGI,∠IGD=∠GDC,
∴∠ABE+∠EFJ+∠JFG+∠GDC=∠BEH+∠HEF+∠FGI+∠IGD,
即∠B+∠F+∠D=∠E+∠G;
③如图:
,
根据以上规律可得:
∠B+∠F1+∠F2+⋅⋅⋅+∠Fn−1+∠D=∠E1+∠E2+⋅⋅⋅+∠En.
2.(2021春·广东东莞·七年级东莞市长安实验中学校考期中)如图,已知AB∥CD.
(1)如图1所示,∠1+∠2= ;
(2)如图2所示,∠1+∠2+∠3= ;并写出求解过程.
(3)如图3所示,∠1+∠2+∠3+∠4= ;
(4)如图4所示,试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n= .
【思路点拨】
(1)由两直线平行,同旁内角互补,可得答案;
(2)过点E作AB的平行线,转化成两个图1,同理可得答案;
(3)过点E,点F分别作AB的平行线,转化成3个图1,可得答案;
(4)由(2)(3)类比可得答案.
【解题过程】
解:(1)如图1,∵AB∥CD,
∴∠1+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补).
故答案为:180°;
(2)如图2,过点E作AB的平行线EF,
∵AB∥CD,
∴AB∥EF,CD∥EF,
∴∠1+∠AEF=180°,∠FEC+∠3=180°,
∴∠1+∠2+∠3=360°;
(3)如图3,过点E,点F分别作AB的平行线,
类比(2)可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°,
故答案为:540°;
(4)如图4由(2)和(3)的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=(n-1)×180°,
故答案为:(n-1)×180°.
3.(2021春·广东河源·七年级河源市第二中学校考期中)已知直线l1//l2, A是l1上的一点,B是l2上的一点,直线l3和直线l1,l2交于C和D,直线CD上有一点P.
(1)如果P点在C,D之间运动时,问∠PAC,∠APB,∠PBD有怎样的数量关系?请说明理由.
(2)若点P在C,D两点的外侧运动时(P点与C,D不重合),试探索∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系又是如何?(请直接写出答案,不需要证明)
【思路点拨】
(1)过点P作PE//l1,由“平行于同一条直线的两直线平行”可得出PE//l1//l2,再由“两直线平行,内错角相等”得出∠PAC=∠APE、∠PBD=∠BPE,再根据角与角的关系即可得出结论;
(2)按点P的两种情况分类讨论:①当点P在直线l1上方时;②当点P在直线l2下方时,同理(1)可得∠PAC=∠APE、∠PBD=∠BPE,再根据角与角的关系即可得出结论.
【解题过程】
解:(1)∠PAC+∠PBD=∠APB.
过点P作PE//l1,如图1所示.
∵PE//l1,l1//l2,
∴PE//l1//l2,
∴∠PAC=∠APE,∠PBD=∠BPE,
∵∠APB=∠APE+∠BPE,
∴∠PAC+∠PBD=∠APB.
(2)结论:当点P在直线l1上方时,∠PBD−∠PAC=∠APB;当点P在直线l2下方时,∠PAC−∠PBD=∠APB.
①当点P在直线l1上方时,如图2所示.过点P作PE//l1.
∵PE//l1,l1//l2,
∴PE//l1//l2,
∴∠PAC=∠APE,∠PBD=∠BPE,
∵∠APB=∠BPE−∠APE,
∴∠PBD−∠PAC=∠APB.
②当点P在直线l2下方时,如图3所示.过点P作PE//l1.
∵PE//l1,l1//l2,
∴PE//l1//l2,
∴∠PAC=∠APE,∠PBD=∠BPE,
∵∠APB=∠APE−∠BPE,
∴∠PAC−∠PBD=∠APB.
4.(2022春·山东聊城·七年级统考阶段练习)已知直线AB//CD,EF是截线,点M在直线AB、CD之间.
(1)如图1,连接GM,HM.求证:∠M=∠AGM+∠CHM;
(2)如图2,在∠GHC的角平分线上取两点M、Q,使得∠AGM=∠HGQ.试判断∠M与∠GQH之间的数量关系,并说明理由.
【思路点拨】
(1)过点M作MN∥AB,由AB∥CD,可知MN∥AB∥CD.由此可知:∠AGM=∠GMN,∠CHM=∠HMN,故∠AGM+∠CHM=∠GMN+∠HMN=∠M;
(2)由(1)可知∠AGM+∠CHM=∠M.再由∠CHM=∠GHM,∠AGM=∠HGQ,可知 :∠M=∠HGQ+∠GHM,利用三角形内角和是180°,可得∠GQH=180°−∠M.
【解题过程】
(1)解:如图:过点M作MN∥AB,
∴MN∥AB∥CD,
∴∠AGM=∠GMN,∠CHM=∠HMN,
∵∠M=∠GMN+∠HMN,
∴∠M=∠AGM+∠CHM.
(2)解:∠GQH=180°−∠M,理由如下:
如图:过点M作MN∥AB,
由(1)知∠M=∠AGM+∠CHM,
∵HM平分∠GHC,
∴∠CHM=∠GHM,
∵∠AGM=∠HGQ,
∴∠M=∠HGQ+∠GHM,
∵∠HGQ+∠GHM+∠GQH=180°,
∴∠GQH=180°−∠M.
5.(2022春·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中)阅读下面内容,并解答问题.
已知:如图1,AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F.∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G.
(1)求证:EG⊥FG;
(2)填空,并从下列①、②两题中任选一题说明理由.我选择 题.
①在图1的基础上,分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M,得到图2,则∠EMF的度数为 .
②如图3,AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F.点O在直线AB,CD之间,且在直线EF右侧,∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P,则∠EOF与∠EPF满足的数量关系为 .
【思路点拨】
(1)利用平行线的性质解决问题即可;
(2)①利用基本结论∠EMF=∠BEM+∠MFD求解即可;②利用基本结论∠EOF=∠BEO+∠DFO,∠EPF=∠BEP+∠DFP,求解即可.
【解题过程】
(1)证明:如图,过G作GH∥AB,
∵AB∥CD,
∴AB∥GH∥CD,
∴∠BEG=∠EGH,∠DFG=∠FGH,
∴∠BEF+∠DFE=180°,
∵EG平分∠BEF,FG平分∠DFE,
∴∠GEB=12∠BEF,∠GFD=12∠DFE,
∴∠GEB+∠GFD=12∠BEF+12∠DFE=12(∠BEF+∠DFE)=90°,
在ΔEFG中,∠GEF+∠GFE+∠G=180°,
∴∠EGF=∠GEB+∠GFD=90°,
∴EG⊥FG;
(2)解:①如图2中,由题意,∠BEG+∠DFG=90°,
∵EM平分∠BEG,MF平分∠DFG,
∴∠BEM+∠MFD=12(∠BEG+∠DFG)=45°,
∴∠EMF=∠BEM+∠MFD=45°,
故答案为:45°;
②结论:∠EOF=2∠EPF.
理由:如图3中,由题意,∠EOF=∠BEO+∠DFO,∠EPF=∠BEP+∠DFP,
∵PE平分∠BEO,PF平分∠DFO,
∴∠BEO=2∠BEP,∠DFO=2∠DFP,
∴∠EOF=2∠EPF,
故答案为:∠EOF=2∠EPF.
6.(2022春·广东茂名·七年级校考阶段练习)如图1,已知AB∥CD,∠B=30°,∠D=120°;
(1)若∠E=60°,则∠F= ;
(2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系?说明理由;
(3)如图2,已知EP平分∠BEF,FG平分∠EFD,反向延长FG交EP于点P,求∠P的度数.
【思路点拨】
(1)如图1,分别过点E,F作EM//AB,FN//AB,根据平行线的性质得到∠B=∠BEM=30°,∠MEF=∠EFN,∠D+∠DFN=180°,代入数据即可得到结论;
(2)如图1,根据平行线的性质得到∠B=∠BEM=30°,∠MEF=∠EFN,由AB//CD,AB//FN,得到CD//FN,根据平行线的性质得到∠D+∠DFN=180°,于是得到结论;
(3)如图2,过点F作FH//EP,设∠BEF=2x°,则∠EFD=(2x+30)°,根据角平分线的定义得到∠PEF=12∠BEF=x°,∠EFG=12∠EFD=(x+15)°,根据平行线的性质得到∠PEF=∠EFH=x°,∠P=∠HFG,于是得到结论.
【解题过程】
(1)解:如图1,分别过点E,F作EM//AB,FN//AB,
∴EM//AB//FN,
∴∠B=∠BEM=30°,∠MEF=∠EFN,
又∵AB//CD,AB//FN,
∴CD//FN,
∴∠D+∠DFN=180°,
又∵∠D=120°,
∴∠DFN=60°,
∴∠BEF=∠MEF+30°,∠EFD=∠EFN+60°,
∴∠EFD=∠MEF+60°
∴∠EFD=∠BEF+30°=90°;
故答案为:90°;
(2)解:如图1,分别过点E,F作EM//AB,FN//AB,
∴EM//AB//FN,
∴∠B=∠BEM=30°,∠MEF=∠EFN,
又∵AB//CD,AB//FN,
∴CD//FN,
∴∠D+∠DFN=180°,
又∵∠D=120°,
∴∠DFN=60°,
∴∠BEF=∠MEF+30°,∠EFD=∠EFN+60°,
∴∠EFD=∠MEF+60°,
∴∠EFD=∠BEF+30°;
(3)解:如图2,过点F作FH//EP,
由(2)知,∠EFD=∠BEF+30°,
设∠BEF=2x°,则∠EFD=(2x+30)°,
∵EP平分∠BEF,GF平分∠EFD,
∴∠PEF=12∠BEF=x°,∠EFG=12∠EFD=(x+15)°,
∵FH//EP,
∴∠PEF=∠EFH=x°,∠P=∠HFG,
∵∠HFG=∠EFG−∠EFH=15°,
∴∠P=15°.
7.(2021春·山西晋中·七年级统考期中)综合与探究
【问题情境】
王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动
(1)如图1,EF//MN,点A、B分别为直线EF、MN上的一点,点P为平行线间一点,请直接写出∠PAF、∠PBN和∠APB之间的数量关系;
【问题迁移】
(2)如图2,射线OM与射线ON交于点O,直线m//n,直线m分别交OM、ON于点A、D,直线n分别交OM、ON于点B、C,点P在射线OM上运动,
①当点P在A、B(不与A、B重合)两点之间运动时,设∠ADP=∠α,∠BCP=∠β.则∠CPD,∠α,∠β之间有何数量关系?请说明理由.
②若点P不在线段AB上运动时(点P与点A、B、O三点都不重合),请你画出满足条件的所有图形并直接写出∠CPD,∠α,∠β之间的数量关系.
【思路点拨】
(1)作PQ∥EF,由平行线的性质,即可得到答案;
(2)①过P作PE//AD交CD于E,由平行线的性质,得到∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,即可得到答案;
②根据题意,可对点P进行分类讨论:当点P在BA延长线时;当P在BO之间时;与①同理,利用平行线的性质,即可求出答案.
【解题过程】
解:(1)作PQ∥EF,如图:
∵EF//MN,
∴EF//MN//PQ,
∴∠PAF+∠APQ=180°,∠PBN+∠BPQ=180°,
∵∠APB=∠APQ+∠BPQ
∴∠PAF+∠PBN+∠APB=360°;
(2)①∠CPD=∠α+∠β;
理由如下:如图,
过P作PE//AD交CD于E,
∵AD//BC,
∴AD//PE//BC,
∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β;
②当点P在BA延长线时,如备用图1:
∵PE∥AD∥BC,
∴∠EPC=β,∠EPD=α,
∴∠CPD=∠β−∠α;
当P在BO之间时,如备用图2:
∵PE∥AD∥BC,
∴∠EPD=α,∠CPE=β,
∴∠CPD=∠α−∠β.
8.(2022春·江苏南京·七年级南京市人民中学校联考期中)已知AB∥CD,∠ABE的角分线与∠CDE的角分线相交于点F.
(1)如图1,若BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线,且∠BED=100°,求∠M的度数;
(2)如图2,若∠ABM=13∠ABF,∠CDM=13∠CDF,∠BED=α°,求∠M的度数;
(3)若∠ABM=1n∠ABF,∠CDM=1n∠CDF,请直接写出∠M与∠BED之间的数量关系.
【思路点拨】
(1)首先作EG∥AB,FH∥AB,利用平行线的性质可得∠ABE+∠CDE=260°,再利用角平分线的定义得到∠ABF+∠CDF=130°,从而得到∠BFD的度数,再根据角平分线的定义可求∠M的度数;
(2)先由已知得到∠ABE=6∠ABM,∠CDE=6∠CDM,由(1)得∠ABE+∠CDE=360°-∠BED,∠M=∠ABM+∠CDM,等量代换即可求解;
(3)先由已知得到∠ABF=n∠ABM,∠CDF=n∠CDM,由(2)的方法可得到2n∠M+∠BED=360°.
【解题过程】
解:(1)如图1,作EG//AB,FH//AB,
∵AB∥CD,
∴EG∥AB∥FH∥CD,
∴∠ABF=∠BFH,∠CDF=∠DFH,∠ABE+∠BEG=180°,∠GED+∠CDE=180°,
∴∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE=360°,
∵∠BED=∠BEG+∠DEG=100°,
∴∠ABE+∠CDE=260°,
∵∠ABE的角平分线和∠CDE的角平分线相交于F,
∴∠ABF+∠CDF=130°,
∴∠BFD=∠BFH+∠DFH=130°,
∵BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线,
∴∠MBF=12∠ABF,∠MDF=12∠CDF,
∴∠MBF+∠MDF=65°,
∴∠BMD=130°−65°=65°;
(2)如图2,∵∠ABM=13∠ABF,∠CDM=13∠CDF,
∴∠ABF=3∠ABM,∠CDF=3∠CDM,
∵∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F,
∴∠ABE=6∠ABM,∠CDE=6∠CDM,
∴6∠ABM+6∠CDM+∠BED=360°,
∵∠BMD=∠ABM+∠CDM,
∴6∠BMD+∠BED=360°,
∴∠BMD=360°−α°6;
(3)∵∠ABM=1n∠ABF,∠CDM=1n∠CDF,
∴∠ABF=n∠ABM,∠CDF=n∠CDM,
∵∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F,
∴∠ABE=2n∠ABM,∠CDE=2n∠CDM,
∴2n∠ABM+2n∠CDM+∠BED=360°,
∵∠M=∠ABM+∠CDM,
∴2n∠M+∠BED=360°.
9.(2022春·江苏扬州·七年级校考阶段练习)已知直线AB∥CD,P为平面内一点,连接PA、PD.
(1)如图1,已知∠A=50°,∠D=150°,求∠APD的度数;
(2)如图2,判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 .
(3)如图3,在(2)的条件下,AP⊥PD,DN平分∠PDC,若∠PAN+12∠PAB=∠APD,求∠AND的度数.
【思路点拨】
(1)首先过点P作PQ∥AB,则易得AB∥PQ∥CD,然后由两直线平行,同旁内角互补以及内错角相等,即可求解;
(2)作PQ∥AB,易得AB∥PQ∥CD,根据平行线的性质,即可证得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°;
(3)先证明∠NOD=12∠PAB,∠ODN=12∠PDC,利用(2)的结论即可求解.
【解题过程】
解:(1)∵∠A=50°,∠D=150°,
过点P作PQ∥AB,
∴∠A=∠APQ=50°,
∵AB∥CD,
∴PQ∥CD,
∴∠D+∠DPQ=180°,则∠DPQ=180°-150°=30°,
∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°;
(2)∠PAB+∠CDP-∠APD=180°,
如图,作PQ∥AB,
∴∠PAB=∠APQ,
∵AB∥CD,
∴PQ∥CD,
∴∠CDP+∠DPQ=180°,即∠DPQ=180°-∠CDP,
∵∠APD=∠APQ-∠DPQ,
∴∠APD=∠PAB-(180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°;
∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°;
(3)设PD交AN于O,如图,
∵AP⊥PD,
∴∠APO=90°,
由题知∠PAN+12∠PAB=∠APD,即∠PAN+12∠PAB=90°,
又∵∠POA+∠PAN=180°-∠APO=90°,
∴∠POA=12∠PAB,
∵∠POA=∠NOD,
∴∠NOD=12∠PAB,
∵DN平分∠PDC,
∴∠ODN=12∠PDC,
∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°-12(∠PAB+∠PDC),
由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°,
∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD,
∴∠AND=180°-12(∠PAB+∠PDC)
=180°-12(180°+∠APD)
=180°-12(180°+90°)
=45°,
即∠AND=45°.
10.(2022春·浙江杭州·七年级校考期中)如图1,已知AB//CD,P是直线AB,CD外的一点,PF⊥CD于点F,PE交AB于点E,满足∠FPE=60°.
(1)求∠AEP的度数;
(2)如图2,射线PN从PE出发,以每秒10°的速度绕P点按逆时针方向匀速旋转,当PN到达PF时立刻返回至PE,然后继续按上述方式旋转;射线EM从EA出发,以相同的速度绕E点按顺时针方向旋转至EP后停止运动,此时射线PN也停止运动.若射线PN、射线EM同时开始运动,设运动时间为t秒.
①当射线PN平分∠EPF时,求∠MEP的度数(0°<∠MEP<180°);
②当直线EM与直线PN相交所成的锐角是60°时,则t= .
【思路点拨】
(1)根据平行线的性质及三角形外角性质可得答案;
(2)①由角平分线的定义得∠EPN=30°,再根据三角形外角性质可得答案;
②利用三角形外角性质列出方程,通过解方程即可得到问题的答案.
【解题过程】
解:(1)如图1,∵AB//CD,PF⊥CD,
∴PF⊥AB,
∴∠AMP=90°,
∵∠FPE=60°,
∴∠AEP=∠FPE +∠AMP =150°;
(2)如图2,①当PN平分∠EPF时,∠EPN=30°时,
运动时间t=3010 =3(秒),此时ME也运动了3秒,
∴∠AEM=3×10°=30°,
∴∠MEP=150°﹣30°=120°;
PN继续运动至PF时,返回时,当PN平分∠EPF时,运动时间至6010+3010 =9(秒)时,此时ME也运动了9秒,
∴∠AEM=9×10°=90°,
∴∠MEP=150°﹣90°=60°;
当第二次PE运动至PF时,当PN平分∠EPF时,运动了6010×2+3010=15(秒)
∴∠AEM=15×10°=150°,
∴∠MEP=150°﹣150°=0°,不符合题意;
综上所述,∠MEP的度数为60°或120°;
②如图3,
当0≤t≤6时,此时∠EPN=∠AEM=10t,∠NEH=10t,∠PEN=30°,
∠PHE=180°﹣∠HPE﹣∠PEH=180°﹣10t﹣30°﹣10t=150°﹣20t,
当150°﹣20t=120°时,t=32 ,
当150°﹣20t=60°时,t=92 ;
当6<t≤12时,此时∠EPN=120°﹣10t,∠NEH=∠AEM=10t,∠PEN=30°,
∠PHE=30°,不成立,
当12<t≤15时,此时∠EPN=10t﹣120°,∠NEH=∠AEM=10t,∠PEN=30°,
∠PHE=270°﹣20t,
∠PHE=270°﹣20t=60°时,t=212 (不合题意),∠PHE=270°﹣20t=120°,t=152 (不合题意)
故答案为:32或92.
11.(2022春·湖北武汉·七年级校联考阶段练习)如图1,MN∥PQ,点C、B分别在直线MN、PQ上,点A在直线MN、PQ之间.
(1)求证:∠CAB=∠MCA+∠PBA;
(2)如图2,CD∥AB,点E在PQ上,∠ECN=∠CAB,求证:∠MCA=∠DCE;
(3)如图3,BF平分∠ABP,CG平分∠ACN,AF∥CG.若∠CAB=60°,求∠AFB的度数.
【思路点拨】
(1)过点A作AD∥MN,根据两直线平行,内错角相等得到∠MCA=∠DAC,∠PBA=∠DAB,根据角的和差等量代换即可得解;
(2)由两直线平行,同旁内角互补得到∴、∠CAB+∠ACD=180°,由邻补角定义得到∠ECM+∠ECN=180°,再等量代换即可得解;
(3)由平行线的性质得到,∠FAB=120°﹣∠GCA,再由角平分线的定义及平行线的性质得到∠GCA﹣∠ABF=60°,最后根据三角形的内角和是180°即可求解.
【解题过程】
解:(1)证明:如图1,过点A作AD∥MN,
∵MN∥PQ,AD∥MN,
∴AD∥MN∥PQ,
∴∠MCA=∠DAC,∠PBA=∠DAB,
∴∠CAB=∠DAC+∠DAB=∠MCA+∠PBA,
即:∠CAB=∠MCA+∠PBA;
(2)如图2,∵CD∥AB,
∴∠CAB+∠ACD=180°,
∵∠ECM+∠ECN=180°,
∵∠ECN=∠CAB
∴∠ECM=∠ACD,
即∠MCA+∠ACE=∠DCE+∠ACE,
∴∠MCA=∠DCE;
(3)∵AF∥CG,
∴∠GCA+∠FAC=180°,
∵∠CAB=60°
即∠GCA+∠CAB+∠FAB=180°,
∴∠FAB=180°﹣60°﹣∠GCA=120°﹣∠GCA,
由(1)可知,∠CAB=∠MCA+∠ABP,
∵BF平分∠ABP,CG平分∠ACN,
∴∠ACN=2∠GCA,∠ABP=2∠ABF,
又∵∠MCA=180°﹣∠ACN,
∴∠CAB=180°﹣2∠GCA+2∠ABF=60°,
∴∠GCA﹣∠ABF=60°,
∵∠AFB+∠ABF+∠FAB=180°,
∴∠AFB=180°﹣∠FAB﹣∠FBA
=180°﹣(120°﹣∠GCA)﹣∠ABF
=180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF
=120°.
12.(2021春·浙江·七年级期中)为更好地理清平行线与相关角的关系,小明爸爸为他准备了四根细直木条AB、BC,CD、DE,做成折线ABCDE,如图1,且在折点B、C、D处均可自由转出.
(1)如图2,小明将折线调节成∠B=50°,∠C=75°,∠D=25°,判别AB是否平行于ED,并说明理由;
(2)如图3,若∠C=∠D=25°,调整线段AB、BC使得AB//CD,求出此时∠B的度数,要求画出图形,并写出计算过程.
(3)若∠C=85°,∠D=25°,AB//DE,求出此时∠B的度数,要求画出图形,直接写出度数,不要求计算过程.
【思路点拨】
(1)过点C作CF∥AB,利用平行线的判定和性质解答即可;
(2)分别画图3和图4,根据平行线的性质可计算∠B的度数;
(3)分别画图,根据平行线的性质计算出∠B的度数.
【解题过程】
解:(1)AB∥DE,理由是:
如下图,过点C作CF∥AB,
∴∠B=∠BCF=50°,
∵∠BCD=75°,
∴∠DCF=25°,
∵∠D=25°,
∴∠D=∠DCF=25°,
∴CF∥DE,
∴AB∥DE;
(2)如下图,
∵AB∥CD,
∴∠B=∠BCD=25°;
如图4:
∵AB∥CD,
∴∠B+∠BCD=180°,
∴∠ABC=180°-25°=155°;
(3)由(1)得:∠B=85°-25°=60°;
如图5,过C作CF∥AB,则AB∥CF∥CD,
∴∠FCD=∠D=25°,
∵∠BCD=85°,
∴∠BCF=85°-25°=60°,
∵AB∥CF,
∴∠B+∠BCF=180°,
∴∠B=120°;
如图6,∵∠C=85°,∠D=25°,
∴∠CFD=180°-85°-25°=70°,
∵AB∥DE,
∴∠B=∠CFD=70°,
如图7,同理得:∠B=25°+85°=110°,
综上所述,∠B的度数为60°或120°或70°或110°.
13.(2022春·广东珠海·七年级统考期中)已知AM//CN,点B为平面内一点,AB⊥BC于B.
(1)如图1,点B在两条平行线外,则∠A与∠C之间的数量关系为______;
(2)点B在两条平行线之间,过点B作BD⊥AM于点D.
①如图2,说明∠ABD=∠C成立的理由;
②如图3,BF平分∠DBC交DM于点F,BE平分∠ABD交DM于点E.若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE,求∠EBC的度数.
【思路点拨】
(1)根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可;
(2)①过点B作BG∥DM,根据平行线找角的联系即可求解;②先过点B作BG∥DM,根据角平分线的定义,得出∠ABF=∠GBF,再设∠DBE=α,∠ABF=β,根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°,可得2α+β+3α+3α+β=180°,根据AB⊥BC,可得β+β+2α=90°,最后解方程组即可得到∠ABE=15°,进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°.
【解题过程】
解:(1)如图1,AM与BC的交点记作点O,
∵AM∥CN,
∴∠C=∠AOB,
∵AB⊥BC,
∴∠A+∠AOB=90°,
∴∠A+∠C=90°;
(2)①如图2,过点B作BG∥DM,
∵BD⊥AM,
∴DB⊥BG,
∴∠DBG=90°,
∴∠ABD+∠ABG=90°,
∵AB⊥BC,
∴∠CBG+∠ABG=90°,
∴∠ABD=∠CBG,
∵AM∥CN,BG∥DM,
∴BG//CN,
∴∠C=∠CBG,
∠ABD=∠C;
②如图3,过点B作BG∥DM,
∵BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,
∴∠DBF=∠CBF,∠DBE=∠ABE,
由(2)知∠ABD=∠CBG,
∴∠ABF=∠GBF,
设∠DBE=α,∠ABF=β,
则∠ABE=α,∠ABD=2α=∠CBG,
∠GBF=∠AFB=β,
∠BFC=3∠DBE=3α,
∴∠AFC=3α+β,
∵∠AFC+∠NCF=180°,∠FCB+∠NCF=180°,
∴∠FCB=∠AFC=3α+β,
△BCF中,由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得:
2α+β+3α+3α+β=180°,
∵AB⊥BC,
∴β+β+2α=90°,
∴α=15°,
∴∠ABE=15°,
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°.
14.(2021春·浙江杭州·七年级统考期中)已知,AB∥CD.点M在AB上,点N在CD上.
(1)如图1中,∠BME、∠E、∠END的数量关系为: ;(不需要证明)
如图2中,∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为: ;(不需要证明)
(2)如图3中,NE平分∠FND,MB平分∠FME,且2∠E+∠F=180°,求∠FME的度数;
(3)如图4中,∠BME=60°,EF平分∠MEN,NP平分∠END,且EQ∥NP,则∠FEQ的大小是否发生变化,若变化,请说明理由,若不变化,求出∠FEQ的度数.
【思路点拨】
(1)过E作EH∥AB,易得EH∥AB∥CD,根据平行线的性质可求解;过F作FH∥AB,易得FH∥AB∥CD,根据平行线的性质可求解;
(2)根据(1)的结论及角平分线的定义可得2(∠BME+∠END)+∠BMF-∠FND=180°,可求解∠BMF=60°,进而可求解;
(3)根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ=12∠BME,进而可求解.
【解题过程】
解:(1)过E作EH∥AB,如图1,
∴∠BME=∠MEH,
∵AB∥CD,
∴HE∥CD,
∴∠END=∠HEN,
∴∠MEN=∠MEH+∠HEN=∠BME+∠END,
即∠BME=∠MEN﹣∠END.
如图2,过F作FH∥AB,
∴∠BMF=∠MFK,
∵AB∥CD,
∴FH∥CD,
∴∠FND=∠KFN,
∴∠MFN=∠MFK﹣∠KFN=∠BMF﹣∠FND,
即:∠BMF=∠MFN+∠FND.
故答案为∠BME=∠MEN﹣∠END;∠BMF=∠MFN+∠FND.
(2)由(1)得∠BME=∠MEN﹣∠END;∠BMF=∠MFN+∠FND.
∵NE平分∠FND,MB平分∠FME,
∴∠FME=∠BME+∠BMF,∠FND=∠FNE+∠END,
∵2∠MEN+∠MFN=180°,
∴2(∠BME+∠END)+∠BMF﹣∠FND=180°,
∴2∠BME+2∠END+∠BMF﹣∠FND=180°,
即2∠BMF+∠FND+∠BMF﹣∠FND=180°,
解得∠BMF=60°,
∴∠FME=2∠BMF=120°;
(3)∠FEQ的大小没发生变化,∠FEQ=30°.
由(1)知:∠MEN=∠BME+∠END,
∵EF平分∠MEN,NP平分∠END,
∴∠FEN=12∠MEN=12(∠BME+∠END),∠ENP=12∠END,
∵EQ∥NP,
∴∠NEQ=∠ENP,
∴∠FEQ=∠FEN﹣∠NEQ=12(∠BME+∠END)﹣12∠END=12∠BME,
∵∠BME=60°,
∴∠FEQ=12×60°=30°.
15.(2021秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末)已知,AB∥CD,点E在CD上,点G,F在AB上,点H在AB,CD之间,连接FE,EH,HG,∠AGH=∠FED,FE⊥HE,垂足为E.
(1)如图1,求证:HG⊥HE;
(2)如图2,GM平分∠HGB,EM平分∠HED,GM,EM交于点M,求证:∠GHE=2∠GME;
(3)如图3,在(2)的条件下,FK平分∠AFE交CD于点K,若∠KFE:∠MGH=13:5,求∠HED的度数.
【思路点拨】
(1)根据平行线的性质和判定解答即可;
(2)过点H作HP∥AB,根据平行线的性质解答即可;
(3)过点H作HP∥AB,根据平行线的性质解答即可.
【解题过程】
证明:(1)∵AB∥CD,
∴∠AFE=∠FED,
∵∠AGH=∠FED,
∴∠AFE=∠AGH,
∴EF∥GH,
∴∠FEH+∠H=180°,
∵FE⊥HE,
∴∠FEH=90°,
∴∠H=180°﹣∠FEH=90°,
∴HG⊥HE;
(2)过点M作MQ∥AB,
∵AB∥CD,
∴MQ∥CD,
过点H作HP∥AB,
∵AB∥CD,
∴HP∥CD,
∵GM平分∠HGB,
∴∠BGM=∠HGM=12∠BGH,
∵EM平分∠HED,
∴∠HEM=∠DEM=12∠HED,
∵MQ∥AB,
∴∠BGM=∠GMQ,
∵MQ∥CD,
∴∠QME=∠MED,
∴∠GME=∠GMQ+∠QME=∠BGM+∠MED,
∵HP∥AB,
∴∠BGH=∠GHP=2∠BGM,
∵HP∥CD,
∴∠PHE=∠HED=2∠MED,
∴∠GHE=∠GHP+∠PHE=2∠BGM+2∠MED=2(∠BGM+∠MED),
∴∠GHE=∠2GME;
(3)过点M作MQ∥AB,过点H作HP∥AB,
由∠KFE:∠MGH=13:5,设∠KFE=13x,∠MGH=5x,
由(2)可知:∠BGH=2∠MGH=10x,
∵∠AFE+∠BFE=180°,
∴∠AFE=180°﹣10x,
∵FK平分∠AFE,
∴∠AFK=∠KFE=12 ∠AFE,
即12(180°−10x)=13x,
解得:x=5°,
∴∠BGH=10x=50°,
∵HP∥AB,HP∥CD,
∴∠BGH=∠GHP=50°,∠PHE=∠HED,
∵∠GHE=90°,
∴∠PHE=∠GHE﹣∠GHP=90°﹣50°=40°,
∴∠HED=40°.
16.(2021春·浙江宁波·七年级统考期中)如图,AB//CD,定点E,F分别在直线AB,CD上,在平行线AB,CD之间有一个动点P,满足0°<∠EPF<180°.
(1)试问:∠AEP,∠EPF,∠PFC满足怎样的数量关系?
解:由于点P是平行线AB,CD之间一动点,因此需对点P的位置进行分类讨论.如图1,当点P在EF的左侧时,易得∠AEP,∠EPF,∠PFC满足的数量关系为∠AEP+∠PFC=∠EPF;如图2,当点P在EF的右侧时,写出∠AEP,∠EPF,∠PFC满足的数量关系_________.
(2)如图3,QE,QF分别平分∠PEB和∠PFD,且点P在EF左侧.
①若∠EPF=100°,则∠EQF的度数为______;
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系,并说明理由;
③如图4,若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1,∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2,∠BEQ2与∠DFQ2的角平分线交于点Q3,以此类推,则∠EPF与∠EQ2020F满足怎样的数量关系?(直接写出结果)
【思路点拨】
(1)过点P作PH//AB,利用平行线的性质即可求解;
(2)根据(1)的结论结合角平分线的定义,平角的定义,运用整体思想即可求解.
【解题过程】
解:(1)如图2,当点P在EF的右侧时,过点P作PM//AB,则PM//CD,
∴∠AEP+∠EPM=180°,∠PFC+∠MPF=180°,
∴∠AEP+∠EPM+∠PFC+∠MPF=360°,
即:∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°;
故答案为:∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°;
(2)①由(1)得:∠DFQ+∠BEQ=∠EQF,∠PEA+∠PFC=∠EPF,
∵∠EPF=100°,
∴∠PEA+∠PFC=100°,
∵QE,QF分别平分∠PEB和∠PFD,
∴∠DFP=2∠DFQ,∠BEP=2∠BEQ,
∵∠PFC+∠DFP=180°,∠PEA+∠BEP=180°,
∴∠PFC+2∠DFQ=180°,∠PEA+2∠BEQ=180°,
∴∠PFC+2∠DFQ+∠PEA+2∠BEQ=360°,
∴100°+2∠DFQ+2∠BEQ=360°,
∴∠DFQ+∠BEQ=130°,
∴∠EQF=∠DFQ+∠BEQ=130°,
故答案为:130°;
②∠EPF+2∠EQF=360°,理由如下:
∵QE,QF分别平分∠PEB和∠PFD,
∴∠DFP=2∠DFQ,∠BEP=2∠BEQ,
∵∠PFC+∠DFP=180°,∠PEA+∠BEP=180°,
∴∠PFC+2∠DFQ=180°,∠PEA+2∠BEQ=180°,
∴∠PFC+2∠DFQ+∠PEA+2∠BEQ=360°,
∴∠PFC+∠PEA +2(∠DFQ +∠BEQ)=360°,
∵由(1)得:∠DFQ+∠BEQ=∠EQF,∠PEA+∠PFC=∠EPF,
∴∠EPF +2∠EQF=360°;
③∵Q1E,Q1F分别平分∠QEB和∠QFD,
∴∠DFP=2∠DFQ=22∠DFQ1,∠BEP=2∠BEQ=22∠BEQ1,
∵∠PFC+∠DFP=180°,∠PEA+∠BEP=180°,
∴∠PFC+22∠DFQ1=180°,∠PEA+22∠BEQ1=180°,
∴∠PFC+22∠DFQ1+∠PEA+22∠BEQ1=360°,
∴∠PFC+∠PEA +22(∠DFQ1 +∠BEQ1)=360°,
∵由(1)得:∠DFQ1+∠BEQ1=∠EQ1F,∠PEA+∠PFC=∠EPF,
∴∠EPF +22∠EQ1F=360°;
同理可得:∠EPF +23∠EQ2F=360°,∠EPF +24∠EQ3F=360°,……
∴∠EPF+22021∠EQ2020F=360°.
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