浙教版七年级数学下册专题03平行线中的拐点问题压轴题三种模型全攻略(原卷版+解析)

这是一份浙教版七年级数学下册专题03平行线中的拐点问题压轴题三种模型全攻略(原卷版+解析)，共40页。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc16709" 【典型例题】 PAGEREF _Tc16709 \h 1
\l "_Tc5711" 【考点一 平行线中一个拐点问题】 PAGEREF _Tc5711 \h 1
\l "_Tc21104" 【考点二 平行线中两点及多点拐点问题】 PAGEREF _Tc21104 \h 3
\l "_Tc961" 【考点三 平行线中在生活上的拐点问题】 PAGEREF _Tc961 \h 6
\l "_Tc14438" 【过关检测】 PAGEREF _Tc14438 \h 9
【典型例题】
【考点一 平行线中一个拐点问题】
例题：（2022·四川南充·九年级期中）如图，，若，，则∠E=______．
【变式训练】
1．（2022·内蒙古·乌海市第二中学七年级期中）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠E满足的数量关系是______．
2．（2022·甘肃·凉州区洪祥镇九年制学校七年级期末）如图，若ABCD，则，，则______．
【考点二 平行线中两点及多点拐点问题】
例题：（2022·云南·弥勒市朋普中学七年级阶段练习）如图所示，、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____．
【变式训练】
1．（2022·浙江·兰溪市实验中学七年级期中）如图，直线 l1∥l2，若∠1=40°，∠2 比∠3 大 10°，则∠4=____．
2．（2022·辽宁·兴城市第二初级中学七年级阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____．
【考点三 平行线中在生活上的拐点问题】
例题：（2022·四川泸州·七年级期末）如图是三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，在岛的北偏西方向，则____________．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为______．
2．（2022·山东·济南市莱芜区雪野中心中学期中）幸福乡要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从A村沿北偏东60°的方向到B村，从B村沿北偏西30°方向到C村．若水渠从C村沿CD方向修建可以保持与AB的方向一致，则∠DCB的度数为_____°
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·四川达州·七年级校考期中）如图，直线ABCD，∠B＝25°，∠D＝37°，则∠E＝（ ）
A．25°B．37°C．62°D．12°
2．（2022秋·山东菏泽·七年级校考阶段练习）如图，，则等于（ ）
A．45°B．55°C．135°D．145°
3．（2022秋·甘肃兰州·七年级统考期末）如图，若ABCD，CDEF，那么∠BCE＝（ ）
A．180°－∠2＋∠1B．180°－∠1－∠2
C．∠2＝2∠1D．∠1＋∠2
4．（2022秋·广东深圳·七年级校考期中）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则的度数是 （ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．（2022秋·云南昭通·七年级统考期中）如图，，，，则的度数为___．
6．（2022秋·山西晋中·七年级统考期中）科技小制作的特点在于富含科技，结构简单、材料好找、加工容易、能够独立完成，特别适合于学生．如图所示，某科技制作小组制作的一艘航模船从A点出发，沿东北方向航行至B点，再从B点出发沿南偏东15°方向航行至C点，则等于______．
7．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）如图，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角，第二次拐的角，第三次拐的角为∠C，若MA与CN平行，则∠C的度数为_________.
8．（2022秋·辽宁葫芦岛·七年级校考阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____．
三、解答题
9．（2022秋·黑龙江牡丹江·七年级校考期末）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
(1)如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；
(2)如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为______．
10．（2022春·吉林长春·七年级吉林大学附属中学校考期末）（1）问题背景：如图1，已知，点P的位置如图所示，连结，试探究与、之间的数量关系，以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：
解：过点P作
∵（已知），
∴（______），
∴，（______），
∴______＋______（等式的性质）．
即，，之间的数量关系是______．
（2）类比探究：如图2，已知，线段与相交于点E，点B在点A右侧．若，，则______．
（3）拓展延伸：如图3，若与的角平分线相交于点F，请直接写出与之间的数量关系______．
11．（2022春·吉林长春·七年级校考期末）【感知】如图①，，，，的度数为______．
【探究】如图②，，点P在射线上运动，，，
（1）当点P在线段上运动时，试探究，，之间的数量关系．
（2）当点P在线段C，D两点外侧运动时（点P与点C，D，O三点不重合），直接写出，，之间的数量关系为______．
12．（2022·全国·七年级专题练习）已知，的平分线与的平分线相交于点F．
(1)在图1中，求证：
①；
②；
(2)如图2，当，时，请你写出与之间的关系，并加以证明；
(3)当，，且时，请你直接写出的度数（用含m，n的式子表示）
13．（2021秋·贵州黔东南·七年级校考期末）阅读下在材料：彤彤遇到这样一个问题：已知：如图甲，ABCD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED，求证：∠BED=∠B+∠D．彤彤是这样想的：
过点E作EFAB，则有∠BEF=∠B，ABCD，∴EFCD，∴∠FED=∠D，∴∠BED=∠BEF+∠FED，
即∠BED=∠B+∠D．请参照彤彤思考问题的方法，解决下列问题：如图．
已知：直线，点A，B在直线上，点C，D在直线上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在直线交于点E．
(1)如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC=，∠ADC=，求∠BED的度数；
(2)如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ABC=，∠ADC=，直接写出∠BED的度数（用含有、的式子表示）
14．（2022秋·上海宝山·七年级校考阶段练习）已知AB∥CD，点M为平面内的一点，∠AMD＝90°．
(1)当点M在如图1的位置时，求∠MAB与∠D的数量关系（写出说理过程）；
(2)当点M在如图2的位置时，则∠MAB与∠D的数量关系是 （直接写出答案）；
(3)在（2）条件下，如图3，过点M作ME⊥AB，垂足为E，∠EMA与∠EMD的角平分线分别交射线EB于点F、G，回答下列问题（直接写出答案）：图中与∠MAB相等的角是 ，∠FMG＝ 度．
15．（2022春·八年级课时练习）（1）问题发现：如图①，直线ABCD，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C=∠BEC．
请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点E作EFAB，
∵ABDC（已知），EFAB（辅助线的作法），
∴EFDC（__________________）．
∴∠C=∠CEF．（__________________）
∵EFAB，∴∠B=∠BEF（同理），
∴∠B+∠C=_________（等量代换）
即∠B+∠C=∠BEC．
（2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，说明：∠B+∠C=360°−∠BEC．
（3）解决问题
如图③，ABDC，E、F、G是AB与CD之间的点，找出∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的数量关系，并说明理由．
专题03 平行线中的拐点问题压轴题三种模型全攻略
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc16709" 【典型例题】 PAGEREF _Tc16709 \h 1
\l "_Tc5711" 【考点一 平行线中一个拐点问题】 PAGEREF _Tc5711 \h 1
\l "_Tc21104" 【考点二 平行线中两点及多点拐点问题】 PAGEREF _Tc21104 \h 3
\l "_Tc961" 【考点三 平行线中在生活上的拐点问题】 PAGEREF _Tc961 \h 6
\l "_Tc14438" 【过关检测】 PAGEREF _Tc14438 \h 9
【典型例题】
【考点一 平行线中一个拐点问题】
例题：（2022·四川南充·九年级期中）如图，，若，，则∠E=______．
【答案】##66度
【分析】如图所示，过点E作，则，根据两直线平行内错角相等分别求出，则．
【详解】解：如图所示，过点E作，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线求出是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·内蒙古·乌海市第二中学七年级期中）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠E满足的数量关系是______．
【答案】
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可直接得到答案．
【详解】如下图所示，过点C作，
∵，
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∵，，
∴，
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∴，
∴，
∴在原图中，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行直线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．
2．（2022·甘肃·凉州区洪祥镇九年制学校七年级期末）如图，若ABCD，则，，则______．
【答案】##20度
【分析】过点作，利用平行线的性质可得的度数，进而可得的度数，再结合可得，进而可得的度数．
【详解】解：如图，过点作，则，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，构造合适的辅助线是解题关键．
【考点二 平行线中两点及多点拐点问题】
例题：（2022·云南·弥勒市朋普中学七年级阶段练习）如图所示，、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____．
【答案】
【分析】连接BD，根据平行线的性质由AB∥CD得到∠ABD+∠CDB=180°，根据四边形的内角和得到∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，于是得到结论．
【详解】解：连接BD，如图，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB=180°，
∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，
∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB=540°，
即∠1+∠2+∠3+∠4=540°．
故答案为：540°．
【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
【变式训练】
1．（2022·浙江·兰溪市实验中学七年级期中）如图，直线 l1∥l2，若∠1=40°，∠2 比∠3 大 10°，则∠4=____．
【答案】30°##30度
【分析】过A点作AB直线l1，过C点作CD直线l2，由平行线的性质可得∠5=∠1=40°，∠4=∠8，∠6=∠7，结合∠2比∠3大10°可得∠5+∠6-∠7-∠8=10°，进而可求解．
【详解】解：过A点作AB直线l1，过C点作CD直线l2，
∴∠5=∠1=40°，∠4=∠8，
∵直线l1l2，
∴ABCD，
∴∠6=∠7，
∵∠2比∠3大10°，
∴∠2-∠3=10°，
∵∠5+∠6=∠2，∠7+∠8=∠3，
∴∠5+∠6-∠7-∠8=10°，
∴40°-∠4=10°，
解得∠4=30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，角的计算，作适当的辅助线是解题的关键．
2．（2022·辽宁·兴城市第二初级中学七年级阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____．
【答案】②③④
【分析】①过点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论；
②过点点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论；
③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G，由平行线的性质可得出180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC；
④过点P作PFAB，由平行线的性质可得出∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC．
【详解】解：①如图1，过点E作EFAB，
∵ABCD，
∴ABEFCD，
∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，
∴∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①错误；
②如图2，过点E作EFAB，
∵ABCD，
∴ABEFCD，
∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，
∴∠A+∠C=∠CEF+∠AEF=∠AEC，则②正确；
③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G，
∵ABEF，
∴ABEFCD，
∴∠DCF=∠EFC，
由②的结论可知∠GBH+∠HCD=∠BHC，
又∵，∠HCD=∠HCF-∠DCF
∴180°-∠ABH+∠HCF-∠DCF=∠BHC，
∴180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC，
∴，故③正确；
④如图4，过点P作PFAB，
∵ABCD，
∴ABPFCD，
∴∠A=∠APF，∠C=∠CPF，
∴∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④正确；
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
【考点三 平行线中在生活上的拐点问题】
例题：（2022·四川泸州·七年级期末）如图是三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，在岛的北偏西方向，则____________．
【答案】
【分析】根据方位角的概念，过点作辅助线，构造两组平行线，利用平行线的性质即可求解．
【详解】如图，作，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了方位角的概念，解答题目的关键是作辅助线，构造平行线．两直线平行，内错角相等．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为______．
【答案】##60度
【分析】如图所示，过点O作，则，根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图所示，过点O作，
∵光线，都是水平线，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
2．（2022·山东·济南市莱芜区雪野中心中学期中）幸福乡要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从A村沿北偏东60°的方向到B村，从B村沿北偏西30°方向到C村．若水渠从C村沿CD方向修建可以保持与AB的方向一致，则∠DCB的度数为_____°
【答案】90度##90°
【分析】根据CD与AB的方向一致，可得，即有∠DCB=∠CBA，根据，可得∠A+∠ABN=180°，即有∠ABC=90°，则有∠DCB=90°，问题得解．
【详解】如图，设置点M、N，
根据题意有：，
∵CD与AB的方向一致，
∴，
∴∠DCB=∠CBA，
∵，
∴∠A+∠ABN=180°，
∵∠A=60°，∠ABN=∠ABC+∠CBN，∠CBN=30°，
∴∠ABC=90°，
∴∠DCB=90°，
故答案为：90°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、方位角的应用，明确题意，灵活运用平行线的性质是解答本题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·四川达州·七年级校考期中）如图，直线ABCD，∠B＝25°，∠D＝37°，则∠E＝（ ）
A．25°B．37°C．62°D．12°
【答案】C
【分析】首先过点E作EFAB，由ABCD，可得ABEFCD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案．
【详解】解：过点E作EFAB，
∵ABCD，
∴ABEFCD，
∵∠B＝25°，∠D＝37°，
∴∠1＝∠B＝25°，∠2＝∠D＝37°，
∴∠BED＝∠1＋∠2＝25°＋37°＝62°．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质．用到的性质是：两直线平行，内错角相等．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．
2．（2022秋·山东菏泽·七年级校考阶段练习）如图，，则等于（ ）
A．45°B．55°C．135°D．145°
【答案】C
【分析】过点作，可得，根据平行线的性质可得，根据已知求得，进而即可求解．
【详解】解：如图，过点作，
∴，
∴,
∵，
∴，
．
故选C．
【点睛】本题考查了平行公理的推论，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
3．（2022秋·甘肃兰州·七年级统考期末）如图，若ABCD，CDEF，那么∠BCE＝（ ）
A．180°－∠2＋∠1B．180°－∠1－∠2
C．∠2＝2∠1D．∠1＋∠2
【答案】A
【分析】先利用平行线的性质说明∠3、∠1、∠4、∠2间关系，再利用角的和差关系求出∠BCE．
【详解】解：如图，
∵ABCD，CDEF，
∴∠1＝∠3，∠2+∠4＝180°，
∴∠4＝180°－∠2，
∴∠BCE＝∠4+∠3＝180°﹣∠2＋∠1．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解决本题的关键．
4．（2022秋·广东深圳·七年级校考期中）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则的度数是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】延长交于，依据，，可得，再根据三角形外角性质，即可得到．
【详解】解：如图，延长交于，
∵，，
，
又，，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
二、填空题
5．（2022秋·云南昭通·七年级统考期中）如图，，，，则的度数为___．
【答案】125°或125度
【分析】过点C做的直线，得，根据两直线平行，同旁内角相等，即可求出的度数．
【详解】∵
∴过点C做
∴
∴；
又∵，
∴；
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
6．（2022秋·山西晋中·七年级统考期中）科技小制作的特点在于富含科技，结构简单、材料好找、加工容易、能够独立完成，特别适合于学生．如图所示，某科技制作小组制作的一艘航模船从A点出发，沿东北方向航行至B点，再从B点出发沿南偏东15°方向航行至C点，则等于______．
【答案】60°##60度
【分析】根据题意可得，，从而利用平行线的性质可求出的度数，然后进行计算即可解答．
【详解】解：如下图：
由题意得：
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了方向角，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
7．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）如图，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角，第二次拐的角，第三次拐的角为∠C，若MA与CN平行，则∠C的度数为_________.
【答案】140°##140度
【分析】作，如图，利用平行线的传递性得到，再根据平行线的性质由得到∠ABD=∠A=120°，则∠DBC=40°，然后利用求出∠C．
【详解】解：作，如图，
∵，,
∴，
∵,
∴∠ABD=∠A=110°，
∴∠DBC=150°−110°=40°，
∵，
∴∠C+∠DBC=180°，
∴∠C=180°−40°=140°.
故答案为：140°
【点睛】本题考查平行线的判定及性质，已知两条直线平行，找截线，才会有同位角、内错角相等，同旁内角互补.如果没有截线，那就要做辅助线，构造截线，本题的解题关键在于作，成功构造出了截线AB和BC．
8．（2022秋·辽宁葫芦岛·七年级校考阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____．
【答案】②③④
【分析】①过点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论；
②过点点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论；
③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G，由平行线的性质可得出180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC；
④过点P作PFAB，由平行线的性质可得出∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC．
【详解】解：①如图1，过点E作EFAB，
∵ABCD，
∴ABEFCD，
∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，
∴∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①错误；
②如图2，过点E作EFAB，
∵ABCD，
∴ABEFCD，
∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，
∴∠A+∠C=∠CEF+∠AEF=∠AEC，则②正确；
③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G，
∵ABEF，
∴ABEFCD，
∴∠DCF=∠EFC，
由②的结论可知∠GBH+∠HCD=∠BHC，
又∵，∠HCD=∠HCF-∠DCF
∴180°-∠ABH+∠HCF-∠DCF=∠BHC，
∴180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC，
∴，故③正确；
④如图4，过点P作PFAB，
∵ABCD，
∴ABPFCD，
∴∠A=∠APF，∠C=∠CPF，
∴∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④正确；
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
三、解答题
9．（2022秋·黑龙江牡丹江·七年级校考期末）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
(1)如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；
(2)如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为______．
【答案】(1)∠APD=80°
(2)∠PAB+∠CDP-∠APD=180°
【分析】（1）过点P作PQAB，利用平行线的性质求出∠A=∠APQ=50°，∠DPQ=180°-150°=30°，即可求出∠APD的度数；
（2）过点P作PEAB，得到∠A+∠APE=180°，由ABCD，得到PECD，推出∠CDP=∠APD+180°-∠PAB，即可得到结论∠PAB+∠CDP-∠APD=180°．
（1）
过点P作PQAB，
∵∠A=50°，∠D=150°，
∴∠A=∠APQ=50°，
∵ABCD，
∴PQCD，
∴∠D+∠DPQ=180°，则∠DPQ=180°-150°=30°，
∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°；
（2）
如图，过点P作PEAB，
∴∠A+∠APE=180°，
∵ABCD，
∴PECD，
∴∠CDP=∠DPE=∠APD+∠APE=∠APD+180°-∠PAB，
∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，
故答案为∠PAB+∠CDP-∠APD=180°．
【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质定理和判定定理是解题的关键．
10．（2022春·吉林长春·七年级吉林大学附属中学校考期末）（1）问题背景：如图1，已知，点P的位置如图所示，连结，试探究与、之间的数量关系，以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：
解：过点P作
∵（已知），
∴（______），
∴，（______），
∴______＋______（等式的性质）．
即，，之间的数量关系是______．
（2）类比探究：如图2，已知，线段与相交于点E，点B在点A右侧．若，，则______．
（3）拓展延伸：如图3，若与的角平分线相交于点F，请直接写出与之间的数量关系______．
【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；；；；（2）；（3）
【分析】（1）结合图形利用平行线的性质填空即可；
（2）如图2，过E点作，根据平行线的性质可得，，结合对顶角的性质可求解；
（3）由（2）知：，如图3，过F点作，利用平行线的性质可得，由角平分线的定义即可求解．
【详解】解：（1）过点P作，
∵（已知），
∴（平行于同一条直线的两条直线平行），
∴，（两直线平行，内错角相等），
∴（等式的性质）．
即，，之间的数量关系是．
故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；；；；
（2）如图2，过E点作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
；
故答案为：；
（3）由（2）知：，
如图3，过F点作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴．
即．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，利用类比方式推理是解题的关键．
11．（2022春·吉林长春·七年级校考期末）【感知】如图①，，，，的度数为______．
【探究】如图②，，点P在射线上运动，，，
（1）当点P在线段上运动时，试探究，，之间的数量关系．
（2）当点P在线段C，D两点外侧运动时（点P与点C，D，O三点不重合），直接写出，，之间的数量关系为______．
【答案】感知：；探究：（1）；（2）或．
【分析】感知：过点P作直线，根据平行线性质知两直线平行同旁内角互补可以求出，和即可；
探究：（1）如图，过点P作直线，而，可得，可得，，从而可得答案；
（2）当在的左侧时，如图，过点P作直线，而，可得，可得，，当在的右边时，如图，过点P作直线，而，，，，再利用角的和差可得答案．
【详解】解：感知：过点P作直线，
∵，
∴．
∴，，
∵，，
∴，，
∴．
∴的度数为．
故答案为：105°；
探究：（1）如图，当点P在线段上运动时，
过点P作直线，而，
∴，
∴，，
∴．
（2）当在的左侧时，如图，过点P作直线，而，
∴，
∴，，
∴．
当在的右边时，如图，过点P作直线，而，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，作出辅助线构建平行线探究角与角之间的联系是解本题的关键．
12．（2022·全国·七年级专题练习）已知，的平分线与的平分线相交于点F．
(1)在图1中，求证：
①；
②；
(2)如图2，当，时，请你写出与之间的关系，并加以证明；
(3)当，，且时，请你直接写出的度数（用含m，n的式子表示）
【答案】(1)证明见详解；
(2)，证明见详解；
(3)
【分析】（1）①根据平行线的性质可得：，
②根据平行线的性质可得：，
（2）设，，则，，，根据（1）和四边形内角和得等式可得结论；
（3）同（2）将3倍换为n倍，同理可得结论；
【详解】（1）证明：①如图１，过点作
，
，
，
，
证明：②如图１，过点作
，
，
即
（2）解：关系式为，
证明：设，
，时，且平分，平分，
，

由（１）得，
，
，
，
即，
，
（3）解：设则
，，
由（１）可得
，
，
，
，
，
即的度数（用含m，n的式子表示）表示为
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线、n等分线及四边形的内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意类比思想的运用．
13．（2021秋·贵州黔东南·七年级校考期末）阅读下在材料：彤彤遇到这样一个问题：已知：如图甲，ABCD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED，求证：∠BED=∠B+∠D．彤彤是这样想的：
过点E作EFAB，则有∠BEF=∠B，ABCD，∴EFCD，∴∠FED=∠D，∴∠BED=∠BEF+∠FED，
即∠BED=∠B+∠D．请参照彤彤思考问题的方法，解决下列问题：如图．
已知：直线，点A，B在直线上，点C，D在直线上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在直线交于点E．
(1)如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC=，∠ADC=，求∠BED的度数；
(2)如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ABC=，∠ADC=，直接写出∠BED的度数（用含有、的式子表示）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点E作EFAB，当点B在点A的左侧时，根据∠ABC=60°，∠ADC=70°，参照彤彤思考问题的方法即可求∠BED的度数；
（2）过点E作EFAB，当点B在点A的右侧时，∠ABC=α，∠ADC=β，参照彤彤思考问题的方法即可求∠BED的度数．
（1）
如图1，过点作，

，


， ，，
，
（2）
过点E作EFAB，如图2，
则∠BEF+∠EBA=180°，
∴∠BEF=180°-∠EBA，
∵ABCD，
∴EFCD，
∴∠FED=∠EDC，
∴∠BEF+∠FED=180°-∠EBA+∠EDC，即∠BED=180°-∠EBA+∠EDC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠EBA=∠ABC=α，∠EDC=∠ADC=β，
∴∠BED=180°-∠EBA+∠EDC=180°-α+β．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题关键是熟练掌握平行线的判定和性质．
14．（2022秋·上海宝山·七年级校考阶段练习）已知AB∥CD，点M为平面内的一点，∠AMD＝90°．
(1)当点M在如图1的位置时，求∠MAB与∠D的数量关系（写出说理过程）；
(2)当点M在如图2的位置时，则∠MAB与∠D的数量关系是 （直接写出答案）；
(3)在（2）条件下，如图3，过点M作ME⊥AB，垂足为E，∠EMA与∠EMD的角平分线分别交射线EB于点F、G，回答下列问题（直接写出答案）：图中与∠MAB相等的角是 ，∠FMG＝ 度．
【答案】(1)∠MAB+∠D＝90°；见解析
(2)∠MAB﹣∠D＝90°
(3)∠MAB＝∠EMD；45
【分析】（1）在题干的基础上，通过平行线的性质可得结论；
（2）仿照（1）的解题思路，过点M作MN∥AB，由平行线的性质可得结论；
（3）利用（2）中的结论，结合角平分线的性质可得结论．
（1）
解：如图①，过点M作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴MN∥AB∥CD（如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么它和另一条也平行）．
∴∠D＝∠NMD．
∵MN∥AB，
∴∠MAB+∠NMA＝180°．
∴∠MAB+∠AMD+∠DMN＝180°．
∵∠AMD＝90°，
∴∠MAB+∠DMN＝90°．
∴∠MAB+∠D＝90°；
（2）
解：如图②，过点M作MN∥AB，
∵MN∥AB，
∴∠MAB+∠AMN＝180°．
∵AB∥CD，
∴MN∥AB∥CD．
∴∠D＝∠NMD．
∵∠AMD＝90°，
∴∠AMN＝90°﹣∠NMD．
∴∠AMN＝90°﹣∠D．
∴90°﹣∠D+∠MAB＝180°．
∴∠MAB﹣∠D＝90°．
即∠MAB与∠D的数量关系是：∠MAB﹣∠D＝90°．
故答案为：∠MAB﹣∠D＝90°．
（3）
解：如图③，
∵ME⊥AB，
∴∠E＝90°．
∴∠MAE+∠AME＝90°
∵∠MAB+∠MAE＝180°，
∴∠MAB﹣∠AME＝90°．
即∠MAB＝90°+∠AME．
∵∠AMD＝90°，
∴∠MAB＝∠AMD+∠AME＝∠EMD．
∵MF平分∠EMA，
∴∠FME＝∠FMA＝∠EMA．
∵MG平分∠EMD，
∴∠EMG＝∠GMD＝∠EMD．
∵∠FMG＝∠EMG﹣∠EMF，
∴∠FMG＝∠EMD﹣∠EMA＝（∠EMD﹣∠EMA）．
∵∠EMD﹣∠EMA＝90°，
∴∠FMG＝45°．
故答案为：∠MAB＝∠EMD；45．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点M作MN∥AB是解题的关键．
15．（2022春·八年级课时练习）（1）问题发现：如图①，直线ABCD，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C=∠BEC．
请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点E作EFAB，
∵ABDC（已知），EFAB（辅助线的作法），
∴EFDC（__________________）．
∴∠C=∠CEF．（__________________）
∵EFAB，∴∠B=∠BEF（同理），
∴∠B+∠C=_________（等量代换）
即∠B+∠C=∠BEC．
（2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，说明：∠B+∠C=360°−∠BEC．
（3）解决问题
如图③，ABDC，E、F、G是AB与CD之间的点，找出∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行内错角相等；∠BEF+∠CEF；（2） 见解析；（3）
【分析】（1）过点E作EFAB，利用平行于同一条直线的两直线平行和平行线的性质得到∠C=∠CEF，∠B=∠BEF，则∠B+∠C=∠CEF+∠BEF=∠BEC；
（2）利用（1）中的方法和两直线平行，同旁内角互补得到∠B+∠C=360°-∠BEC；
（3）作FHAB，利用（1）的结论得到∠1+∠EFH=∠2，∠HFG+∠5=∠4，从而得到．
【详解】解：（1）证明：过点E作EFAB，
∵ABDC（已知），EFAB（辅助线的作法），
∴EFDC（平行于同一条直线的两直线平行）．
∴∠C=∠CEF．（两直线平行，内错角相等）
∵EFAB，
∴∠B=∠BEF（同理），
∴∠B+∠C=∠BEF+∠CEF（等量代换）
即∠B+∠C=∠BEC．
故答案为：平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠BEF+∠CEF；
（2）如图②，过点E作EFAB，
∵ABDC（已知），EFAB（辅助线的作法），
∴EFDC（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠C+∠CEF=180°，∠B+∠BEF=180°，
∴∠B+∠C+∠BEC=360°，
∴∠B+∠C=360°−∠BEC；
（3）．理由如下：
如图③，过点F作FHAB，
∵ABDC（已知），FHAB（辅助线的作法），
∴FHDC（平行于同一直线的两直线平行），
由（1）得∠1+∠EFH=∠2，∠HFG+∠5=∠4，
∴∠1+∠EFH+∠HFG+∠5=∠2+∠4，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：①两直线平行，内错角相等，②两直线平行，同位角相等，③两直线平行，同旁内角互补．