人教版九年级数学上册专题07二次函数中特殊三角形存在性问题的三种考法(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册专题07二次函数中特殊三角形存在性问题的三种考法(原卷版+解析)，共63页。试卷主要包含了等腰三角形存在性问题，等腰直角三角形存在性问题等内容，欢迎下载使用。
例．如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点，点在抛物线上．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接，若点为直线上方抛物线上的点，过点作轴交于点，作轴交于点，若的面积为2，求点坐标；
(3)如图2，点为抛物线的顶点，当时，在抛物线上是否存在点使是等腰三角形？若能，请直接写出点的坐标；若不能，请说明理由．
【变式训练1】综合与探究
如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的一个动点．

(1)请直接写出点A，B，C的坐标；
(2)是否存在这样的点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点是直线上一点，是否存在点，使得以点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练2】如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，顶点为D，连接，P是第一象限内抛物线上的动点，连接，设点P的横坐标为t．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当t为何值时，的面积最大？并求出最大面积；
(3)M为直线上一点，求的最小值；
(4)过P点作轴，交于E点．是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练3】综合与实践
如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．是直线下方抛物线上一点，设点的横坐标为．过点作，交于点．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当的长度最大时，求线段的最大值，并写出此时点的坐标；
(3)连接，试探究，在点运动的过程中，是否存在点，使得是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
类型二、等腰直角三角形存在性问题
例．综合与探究：如图1，已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，直线与y轴相交于点D，交线段于点E且．
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)求直线的函数表达式；
(3)如图2，已知点M在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为，点P是该抛物线上位于第四象限的动点，且在直线l右侧，点Q是直线上的动点，试探究是否存在以点M为直角顶点的等腰直角三角形，若存在请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式训练1】综合与探究
如图，已知直线与x轴，y轴交于B，A两点，抛物线经过点A，B，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线于点M，设点P的横坐标为t．

(1)求抛物线解析式；
(2)当，t的值为___________；
(3)若点N到直线的距离为d，求d的最大值；
(4)在y轴上是否存在点Q，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练2】如图（1）所示，在平面直角坐标系中，平行于轴的直线与抛物线相交于，两点．设点的横坐标为．

(1)求的长（用含的代数式表示）；
(2)如图（2）所示，点在直线上，点的横坐标为．若，，求顶点在轴上且经过，两点的抛物线的顶点坐标；
(3)点在直线上，，过，，三点的抛物线的顶点为，其对应函数的二次项系数为．
①求的值；②当，为等腰直角三角形时，直接写出的值．
【变式训练3】如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．

(1)求b，c的值．
(2)点是抛物线上的动点
①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值；
②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
类型二、直角三角形存在性问题
例．如图所示，已知抛物线（）与轴交于点和点，与轴交点．

(1)求抛物线的解折式；
(2)点是线段上异于，的动点，过点作轴于点，交抛物线于点．当为直角三角形时，请直接写出点的坐标．
【变式训练1】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，B点坐标为．与y轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求的最大值；
(3)点D为抛物线对称轴上一点．当是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标．
【变式训练2】已知直线l与轴、轴分别相交于、两点，抛物线经过点，交轴正半轴于点．

(1)求直线的函数解析式和抛物线的函数解析式；
(2)在第一象限内抛物线上取点，连接、，求面积的最大值及点的坐标．
(3)抛物线上是否存在点使为直角三角形，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【变式训练3】如图，已知抛物线的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点，点P在所在直线下方的抛物线上，过点P作轴，交于点D．

备用图
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)连接，问是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练4】综合与实践
如图，抛物线与轴交于和两点（点在点的右侧），与轴交于点，抛物线的顶点是点．

(1)求点，，和点四点的坐标；
(2)如图1，连接，和，求的面积；
(3)点在抛物线的对称轴上运动，是以为直角边的直角三角形，借助图2，直接写出点的坐标．
课后训练
1．综合与探究
如图，直线分别与x轴，y轴交于点A，点B，过点B的抛物线的解析式为．抛物线上有一动点P，过点P作x轴的垂线，过点B作轴，两直线交于点D，点P不与点B，D重合．

(1)求A，B两点的坐标和抛物线的解析式．
(2)连接，当时，求的长．
(3)将绕点B逆时针旋转，得到，当点P的对应点落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．
2．如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交直线于点M，交直线于点E．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若平分时，试求Q点的坐标；
(3)在点P的运动过程中，是否存在点Q，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由．
3．综合与探究：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，过动点作平行于轴的直线，直线与抛物线相交于点，．

(1)求抛物线的表达式；
(2)求的取值范围；
(3)直线上是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
4．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，且，与轴交于点，抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点．

(1)求该抛物线的解析式，并直接写出顶点的坐标；
(2)如图1，点在线段上，作等腰，使得，且点落在直线上，若满足条件的点有且只有一个，求点的坐标．
(3)如图2，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴相交于，两点．
①求的度数；
②设直线与抛物线相交于两点（点在点的左侧），当直线与直线相交所成的一个角为时，求点的坐标．
5．如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．点P是直线上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点E，交直线于点Q．

(1)求抛物线的表达式；
(2)求线段的最大值；
(3)如图2，过点P作x轴的平行线交y轴于点M，连接．是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
专题07 二次函数中特殊三角形存在性问题的三种考法
类型一、等腰三角形存在性问题
例．如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点，点在抛物线上．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接，若点为直线上方抛物线上的点，过点作轴交于点，作轴交于点，若的面积为2，求点坐标；
(3)如图2，点为抛物线的顶点，当时，在抛物线上是否存在点使是等腰三角形？若能，请直接写出点的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，，
【分析】（1）把，抛物线，待定系数法求解析式即可求解；
（2）先求得，根据，得出，求得直线的解析式为：，设点，则，根据，建立方程，解方程即可求解；
（3）根据，画出图形，分两种情况讨论，①当时，则与点重合，则，②当时，如图所示，连接，作的垂直平分线交轴于点，的中点为，设与轴交于点，则， 求得直线的解析式为，联立抛物线解析式即可求解．
【详解】（1）解：把，抛物线
得： 解得：
∴该抛物线的解析式为
（2）把代入，得：，
∴
∵，
∴
∵轴，作轴
∴，，
∴
∴，
∴，
∴
设直线的解析式为，设直线的解析式为，把，代入得
解得
∴直线的解析式为：
设点，则
∴
解得：，
∴
∴
（3）解：∵
∴
①当时，则与点重合，则
②当时，如图所示，连接，作的垂直平分线交轴于点，的中点为，

∵，
∴，
∴，，
设与轴交于点，则，
则
∴
∴
设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为
联立
解得：或
∴，，
综上所述，，，
【点睛】本题考查了二次函数的性质，三角形面积问题，等腰三角形的性质，余弦的定义，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式训练1】综合与探究
如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的一个动点．

(1)请直接写出点A，B，C的坐标；
(2)是否存在这样的点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点是直线上一点，是否存在点，使得以点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或或或
【分析】（1）令，求出值，令，求出的值，进而得到点A，B，C的坐标；
（2）根据，得到点的横纵坐标之间的数量关系，再跟点在抛物线上，进行求解即可；
（3）分，三种情况进行讨论及求解即可；
【详解】（1）解：∵，
当时，，当时，，解得：，
∴；
（2）解：设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：（负值已舍掉）；
∴；
（3）存在，设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴；
设，
∵，，
∴，，，
当时：，解得：；
∴或；
当时：，解得：（舍去）或，
∴；
当时：，解得：，
∴，
综上：或或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．熟练掌握数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
【变式训练2】如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，顶点为D，连接，P是第一象限内抛物线上的动点，连接，设点P的横坐标为t．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当t为何值时，的面积最大？并求出最大面积；
(3)M为直线上一点，求的最小值；
(4)过P点作轴，交于E点．是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为：
(2)当时，的面积最大，最大面积为32
(3)
(4)存在，P点的坐标为，，
【分析】（1）利用待定系数法求解析式；
（2）利用抛物线的解析式求出点B的坐标，得到直线的解析式，过点P作轴，交x轴于点F，交于点G，利用求出解析式，利用函数性质解答即可；
（3）作O关于直线的对称点为，得到四边形为正方形，则，则，当A、M、三点共线时，最小，即为线段的长，勾股定理求出即可．
（4）分三种情况：当时，当时，当时，分别求出点P的坐标
【详解】（1）解：由题意得：，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）当时，得或，
∴，
设直线的解析式为，
则，
解得
∴直线的解析式为．
如图，过点P作轴，交x轴于点F，交于点G．

设点，．
∴．
∴，
∴当时，的面积最大，最大面积为32；
（3）作O关于直线的对称点为，连接，如图，

∵，，
∴四边形为正方形，则，
则，
当A、M、三点共线时，最小，即为线段的长，
∴最小值为．
（4）∵，
∴，

∵，
∴，
∵
∴，
∴，
，
，
当时，，解得或，
∴；
当时，则，
∴，
解得（舍去）或，
∴；
当时，则，
∴，
解得或（舍去），
∴，
综上，P点的坐标为，，．
【点睛】此题考查二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，勾股定理，轴对称问题，等腰三角形的性质，图形面积问题，综合掌握各知识点是解题的关键．
【变式训练3】综合与实践
如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．是直线下方抛物线上一点，设点的横坐标为．过点作，交于点．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当的长度最大时，求线段的最大值，并写出此时点的坐标；
(3)连接，试探究，在点运动的过程中，是否存在点，使得是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)线段的最大值为，此时
(3)或
【分析】（1）使用待定系数法求解即可；
（2）过点作轴的平行线，交于点，先证明，从而得到，利用待定系数法可得直线的函数表达式为，由得到，从而得到，据此可解；
（3）设，则，，，再分，，三种情况讨论得到关于t的方程，求出t的值后代入即可得解．
【详解】（1）解：将，分别代入中，
得解得
∴抛物线的函数表达式为；
（2）在中，令，得，
∴．
又∵，，
∴，，，
∴．
如图，过点作轴的平行线，交于点，

∵，∴．
∵，∴．
∵，，
∴，∴，即，∴．
设直线的函数表达式为，
将，代入，得，解得
∴直线的函数表达式为．
∵是直线下方抛物线上一点，点的横坐标为，，
∴，∴，∴，
∴，∴当时，有最大值，最大值为，
此时点的坐标为；
（3）存在点，点的坐标为或．
补充求解过程如下：
∵点D在线段上，由（2）得直线的解析式为，∴设
∵，，
∴，，，
①当时，
解得：(点C与点D重合，舍去)
将点代入得：
②当时，，解得：，
将点代入得：
③当时，，
解得：(点D不在线段上，舍去)，
将点代入得：
综上所述：存在点，点的坐标为或．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数得解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象与性质，等腰三角形的存在性问题等知识，掌握相关基础知识利用数形结合思想求解是解题的关键．第二问的解题技巧是过点P作x轴的平行线，从而将斜线的长度转化为横线的倍数来求解；第三问的解题技巧是设出点D的坐标，利用两点间的距离公式求出三条边的长度，再利用分类讨论思想解题．
类型二、等腰直角三角形存在性问题
例．综合与探究：如图1，已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，直线与y轴相交于点D，交线段于点E且．
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)求直线的函数表达式；
(3)如图2，已知点M在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为，点P是该抛物线上位于第四象限的动点，且在直线l右侧，点Q是直线上的动点，试探究是否存在以点M为直角顶点的等腰直角三角形，若存在请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)
(3)存在以点M为直角顶点的等腰直角三角形，点P的坐标为或
【分析】（1）将代入得到，解方程即可求出，，将代入即可求出；
（2）首先利用待定系数法求出直线的函数表达式为，过点E作轴于F，证明出，利用相似三角形的性质求出，然后得到，最后利用待定系数法求解即可；
（3）首先求出点M的坐标，根据题意分两种情况：点Q在直线l右侧和点Q在直线l左侧，然后分别设出点P的坐标，根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求解即可．
【详解】（1）由，得，
解，得，，
点A，B的坐标分别为，，
由，得，
点C的坐标为；
（2）如图，设直线的函数表达式为，
将点，代入，得，
，
直线的函数表达式为，
过点E作轴于F，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
将代入直线中，
得，
，
设直线的函数表达式为，
，
，
直线的函数表达式为；
（3）∵，
∴抛物线对称轴为，
∵点M在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为，
∴，
分两种情况：
①当点Q在直线l右侧时，
如图所示，过点P作于G，过点Q作于H，
∴设，
∴，，
∵，
∴，
∵是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵直线额函数表达式为，
∴，
解得或（舍去），
当时，，
∴；
②当点Q在直线l左侧时，
如图所示，
过点P作于G，过点Q作于H，设点，

∴，，
同理可得，
∴，，∴，
∵直线额函数表达式为，
∴，解得或（舍去），
当时，，∴，
∴综上所述，存在以点M为直角顶点的等腰直角三角形．
点P的坐标为，．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数，难度较大，解题时要理解题意，根据等腰直角三角形的性质构造全等三角形．
【变式训练1】综合与探究
如图，已知直线与x轴，y轴交于B，A两点，抛物线经过点A，B，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线于点M，设点P的横坐标为t．

(1)求抛物线解析式；
(2)当，t的值为___________；
(3)若点N到直线的距离为d，求d的最大值；
(4)在y轴上是否存在点Q，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)1；(3)
(4)存在，，，
【分析】（1）先求出一次函数与坐标轴的交点，然后代入二次函数求解即可；
（2）根据点，确定点，，得出，，根据题意代入求解即可；
（3）点N到直线的距离为d，求d的最大值即为求面积的最大值，连接，根据（2）中代入确定面积最大值，然后由等面积法求解即可；
（4）分两种情况分析：当时，当时，分别利用全等三角形的判定和性质及二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
∴点A的坐标为；
当时，，解得；，
∴点B的坐标为．
将，代入，
得：，
解得：，
∴这个抛物线的解析式为；
（2）点，则点，，
∴，，
∵，
∴，
解得：或（与点B重合，舍去），
故答案为：1；
（3）点N到直线的距离为d，求d的最大值即为求面积的最大值，
连接，如图所示：

∵点B的坐标为．
∴，，
由（2）得，
∴，
∴面积最大为：8，
∵，
∴，解得：；
（4）存在， ，，，理由如下：
当时，如图所示：，

过点N作轴，过点B作轴交延长线于点C，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，∴，∴，解得：，（负值舍去）
∴；
当时，如图所示：，

∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
∴或，
∵点Q在x轴下方，
∴，；
综上可得：，，．
【点睛】题目主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，线段及面积问题，特殊三角形的问题及全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
【变式训练2】如图（1）所示，在平面直角坐标系中，平行于轴的直线与抛物线相交于，两点．设点的横坐标为．

(1)求的长（用含的代数式表示）；
(2)如图（2）所示，点在直线上，点的横坐标为．若，，求顶点在轴上且经过，两点的抛物线的顶点坐标；
(3)点在直线上，，过，，三点的抛物线的顶点为，其对应函数的二次项系数为．
①求的值；②当，为等腰直角三角形时，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)①或；②或
【分析】（1）依据抛物线的对称性可求得点A的横坐标为，然后依据求解即可；
（2）先求得经过B、C且顶点在x轴上的抛物线的对称轴为，然后将代入可求得顶点的横坐标，然后依据x轴上各点的纵坐标为0求解即可；
（3）①当点D在点B的右侧时．先用含m的式子表示点B、D的坐标，然后可得到抛物线的对称轴为，设过点O、B、D三点的抛物线的解析式为．将代入求得k的值，得到抛物线的解析式，然后依据B、D两点的纵坐标相等可得到关于a、a1的等式于是可求得的值；同理可求得当点D在点B左侧时的值；②当点D在点B的右侧时．过点P作轴，交与点E．先求得的长，然后依据列出关系式，然后将代入可求得a的值；当点D在点B的左侧时，连接，交x轴与点E．先求得的长，然后依据列出关系式，然后将代入可求得a的值．
【详解】（1）解：∵点的横坐标为，点与点关于轴对称，
∴点的横坐标为．
∴；
（2）解：∵点和点关于经过，两点的抛物线的对称轴对称，
∴经过，且顶点在轴上的抛物线的对称轴为直线．
∵，
∴所求抛物线的对称轴为直线．
∴经过，两点且顶点在轴上的抛物线的顶点坐标为；
（3）解：①如图所示，当点在点的右侧时，

∵点的横坐标为，，，
∴．
∴点的横坐标为．
∴过点，，三点的抛物线的对称轴为直线三点的抛物线的对称轴为直线．
设过点，，三点的抛物线的解析式为．
将代入得．
∴抛物线的解析式为．
∵点为两抛物线的交点，
∴，整理得．
∵，
∴，即；
如图所示，当点在点左侧时．

∵点的横坐标为，，，
∴．
∴点的横坐标为．
∴过点，，三点的抛物线的对称轴为直线．
设过点，，三点的抛物线的解析式为：．
将代入得．
∴抛物线的解析式为．
∵点为两抛物线的交点，
∴，
整理得．
∴；
综上所述，的值为或；
②如图所示．当点在点的右侧时，
过作轴于，交于点．

∵点的横坐标为，由①可知，
过点，，三点的抛物线的解析式为：．
∴．
又∵，
∴．
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴．
又∵，，
∴，解得；
如图所示．当点在点的左侧时，连接，交轴于点．

由①可知，过点，，三点的把的解析式为．
∴．
又∵，∴．
∵为等腰直角三角形，
∴，即．
∵，，
∴，解得．
综上所述，的值为或．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的对称性、函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，由点B为两抛物线的交点即B的纵坐标相等列出a与的关系式是解答本题的关键．
【变式训练3】如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．

(1)求b，c的值．
(2)点是抛物线上的动点
①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值；
②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①当时，的面积由最大值，最大值为；
②当点的坐标为或时，为等腰直角三角形
【分析】（1）将将、代入抛物线即可求解；
（2）①由（1）可知：，得，可求得的解析式为，过点P作轴，交于点E，交轴于点，易得，根据的面积，可得的面积，即可求解；
②由题意可知抛物线的对称轴为，则，分两种情况：当点在对称轴左侧时，即时，当点在对称轴右侧时，即时，分别进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：将、代入抛物线中，
可得：，解得：，
即：，；
（2）①由（1）可知：，
当时，，即，
设的解析式为：，
将，代入中，
可得，解得：，
∴的解析式为：，
过点P作轴，交于点E，交轴于点，

∵，则，
∴点E的横坐标也为，则纵坐标为，
∴，
的面积
，
∵，
∴当时，的面积有最大值，最大值为；
②存在，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形．
理由如下：由①可知，
由题意可知抛物线的对称轴为直线，
∵轴，
∴，，则，
当点在对称轴左侧时，即时，

，当时，为等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合题意，舍去）
此时，即点；
当点在对称轴右侧时，即时，

，当时，为等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合题意，舍去）
此时：，即点；
综上所述，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形．
【点睛】本题二次函数综合题，考查了利用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及图象上的点的特点，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是表示出点的坐标，进行分类讨论．
类型二、直角三角形存在性问题
例．如图所示，已知抛物线（）与轴交于点和点，与轴交点．

(1)求抛物线的解折式；
(2)点是线段上异于，的动点，过点作轴于点，交抛物线于点．当为直角三角形时，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)或．
【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）如图，过作于，证明，可得，而轴，分两种情况讨论：当，当时，如图，再利用数形结合的方法即可解题．
【详解】（1）解：∵（）与轴交于点和点，
∴，解得：，
∴抛物线为：；
（2）如图，过作于，

由抛物线，当，则，
∴，而，
∴，
∴，而轴，
当，∴∴，
∵，，
设直线为，∴，解得：，∴直线为，
设，则，∴，，∴，
解得：，（不符合题意舍去）∴，
当时，如图，

则关于抛物线的对称轴对称，，∴，
解得：，（不符合题意舍去）∴，综上：或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，抛物线的性质，清晰的分类讨论，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
【变式训练1】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，B点坐标为．与y轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求的最大值；
(3)点D为抛物线对称轴上一点．当是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)当时，的最大值为
(3)点D的坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）得的解析式为，先证明为等腰直角三角形，作轴于，轴交于，如图1，则为等腰直角三角形，，设，则，接着利用表示、，所以，然后利用二次函数的性质解决问题；
（3）如图2，抛物线的对称轴为直线，设，利用两点间的距离公式得到，，，讨论：当是以为直角边，为斜边的直角三角形时，；当是以为直角边，为斜边的直角三角形时，，分别解方程求出即可得到对应的点坐标；
【详解】（1）把，代入
得，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）由题意可得的解析式为，
直线与直线平行，
直线与直线垂直，
，
为等腰直角三角形，
作轴于，轴交于，如图1，为等腰直角三角形，，
设，则，
，，
，
，
当时，的最大值为；
（3）如图2，抛物线的对称轴为直线，
设，则，，，
当是以为直角边，为斜边的直角三角形时，
，即，
解得，
此时点坐标为；
当是以为直角边，为斜边的直角三角形时，
，即，
解得，
此时点坐标为；
综上所述，点坐标为或．

【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形的性质；会运用分类讨论的思想和数形结合的思想解决数学问题．
【变式训练2】已知直线l与轴、轴分别相交于、两点，抛物线经过点，交轴正半轴于点．

(1)求直线的函数解析式和抛物线的函数解析式；
(2)在第一象限内抛物线上取点，连接、，求面积的最大值及点的坐标．
(3)抛物线上是否存在点使为直角三角形，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)一次函数解析式为：，二次函数解析式为：
(2)，
(3)存在，点的坐标为或或或．
【分析】（1）先利用待定系数法求得直线的函数解析式，求得点B的坐标，从而可以求得抛物线的解析式；
（2）根据题意可以求得点A的坐标，然后根据题意和图形可以用含m的代数式表示出S，然后将其化为顶点式，再根据二次函数的性质即可解答本题；
（3）分三种情况讨论，分别当为斜边时，利用勾股定理列方程即可求解．
【详解】（1）解：设，
把，代入得：，
，，
一次函数解析式为：，
把代入，
，
，
二次函数解析式为：；
（2）解：连接，

把代入得，，
或3，
抛物线与轴的交点横坐标为和3，
设点，
在抛物线上，且在第一象限内，
，
的坐标为，
，
当时，取得最大值．
此时的坐标为；
（3）解：设点，
则，，，
当为斜边时，则，
解得（舍去）或，
∴点；
当为斜边时，则，
解得（舍去）或，
∴点；
当为斜边时，则，
解得（舍去）或（舍去）或或，
∴点的坐标为或；
综上，点的坐标为或或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查二次函数的最值、勾股定理，待定系数法求二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想和转化的数学思想解答．
【变式训练3】如图，已知抛物线的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点，点P在所在直线下方的抛物线上，过点P作轴，交于点D．

备用图
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)连接，问是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点P的坐标为或
【分析】（1）设抛物线解析式为顶点式，代入即可求解；
（2）由为锐角可知分两种情况：①当点P为直角顶点时，可得点与点B重合，求出点B坐标即可；②当点A为直角顶点时，证明、关于x轴对称，求出直线的解析式，设，则，根据关于x轴对称的点的坐标特征列方程求解即可．
【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为，
可设该抛物线的解析式为，
将代入得：，
解得，
抛物线的解析式为，即；
（2）由题意可知，为锐角，
需分点P为直角顶点和点A为直角顶点两种情况进行分析：
①当点P为直角顶点时，如图，点P、D分别在点、的位置．
，轴，
轴，
点A在x轴上，
点也在x轴上，
此时点与点B重合，
令，得，
解得，，
点A在点B的右侧，
，，此时点的坐标为；
②当点A为直角顶点时，如图，点P、D分别在点、的位置．
，，，
为等腰直角三角形，，
，
，平分，
又轴，
，、关于x轴对称，
设直线的解析式为，
将，代入得，解得，
直线的解析式为，
设，则，
，解得，（舍），
当时，，此时点的坐标为．
综上可得，存在点P，使得是直角三角形，点P的坐标为或．

【点睛】本题考查了待定系数法的应用，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题的关键．
【变式训练4】综合与实践
如图，抛物线与轴交于和两点（点在点的右侧），与轴交于点，抛物线的顶点是点．

(1)求点，，和点四点的坐标；
(2)如图1，连接，和，求的面积；
(3)点在抛物线的对称轴上运动，是以为直角边的直角三角形，借助图2，直接写出点的坐标．
【答案】(1)，，，
(2)
(3)或者
【分析】（1）令，则有：，即可得，，令，则有：，可得，将化为顶点式为：，即可得顶点D的坐标；
（2）过点D作于K点，根据（1）所求的点坐标可得，，，，，根据即可作答；
（3）先求出抛物线对称轴为：，即设E点坐标为：，结合，，可得，，，再根据勾股定理，分类讨论即可作答．
【详解】（1）令，则有：，
解得：，，
∴，，
令，则有：，
∴，
将化为顶点式为：，
∴顶点D的坐标为：；
（2）过点D作于K点，如图，

∵，，，，
∴，，，，，
即：，
∴，，，
∵，
∴；
（3）如图，

∵，，
∴抛物线对称轴为：，
即设E点坐标为：，
∵，，
∴，，，
∵是以为直角边的直角三角形，
即分类讨论：
当为斜边时，有：，
∴，
解得：，
∴此时点的坐标，
当为斜边时，有：，
∴，
解得：，
∴此时点的坐标，
综上：点的坐标为或者．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线对称轴，二次函数与一元二次方程，勾股定理等知识，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
课后训练
1．综合与探究
如图，直线分别与x轴，y轴交于点A，点B，过点B的抛物线的解析式为．抛物线上有一动点P，过点P作x轴的垂线，过点B作轴，两直线交于点D，点P不与点B，D重合．

(1)求A，B两点的坐标和抛物线的解析式．
(2)连接，当时，求的长．
(3)将绕点B逆时针旋转，得到，当点P的对应点落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)，或，
【分析】（1）先根据一次函数表达式，求出点、的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）设，分别表示出的三边，根据勾股定理列出方程，求出值，可得结果；
（3）分点落在轴和轴两种情况计算即可．①当点落在轴上时，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，交于点，先利用互余和旋转角相等得出是等腰直角三角形，根据，建立方程即可；②根据等腰直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：直线分别与轴、轴交于点与点，
令，得，令，得，
，，
抛物线经过点，
，
抛物线解析式为；
（2）如图，当时，设，

，，，
，，，
在中，，
，解得，
；
（3）①当点落在轴上时，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，交于点，

设点的坐标为，
，
轴，，
轴，
由旋转得，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
同理，
，
，
整理得，
解得或（舍去），
当时，，
点的坐标为，；
②当点落在轴上时，如图，
过点作轴，交于，过点作轴，交的延长线于点，

设点的坐标为，
，
由旋转得，
是等腰直角三角形，
，
，
解得或0（舍去），
当时，，
点的坐标为，；
综上所述，点的坐标为，或，．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是构造直角三角形．
2．如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交直线于点M，交直线于点E．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若平分时，试求Q点的坐标；
(3)在点P的运动过程中，是否存在点Q，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）首先求出直线和的表达式，然后得到，，，进而表示出，，最后利用平分列方程求解即可；
（3）首先根据题意表示出，，，然后分两种情况讨论，分别根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）将，代入得，
，解得
∴；
（2）当时，
∴
∵点D与点C关于x轴对称，
∴
∴设直线的表达式为
∴，解得
∴直线的表达式为
同理可得直线的表达式为
∵
∴，，
∴，
∵平分
∴
∴
∴解得，（舍去）
∴；
（3）∵，，
∴，，
当时，

∴
∴
∴解得或（舍去），
∴；
当时，

∴
∴
∴解得或（舍去）
∴
综上所述，点Q的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用自变量与函数值的对应关系；解（2）的关键是利用对称得出D点坐标，又利用了待定系数法求函数解析式；解（3）的关键是利用勾股定理得出关于m的方程，并分类讨论，以防遗漏．
3．综合与探究：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，过动点作平行于轴的直线，直线与抛物线相交于点，．

(1)求抛物线的表达式；
(2)求的取值范围；
(3)直线上是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，2或4．
【分析】（1）把点和点代入，求解即可；
（2）将抛物线解析式化成顶点式，求得的最小值为．由直线与抛物线有两个交点，即可得出；
（3）分两种情况：①当，时，②如图，当，时，分别 求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点，
∴
解得
∴抛物线的表达式为．
（2）解：
∴的最小值为．
∵直线与抛物线有两个交点，
∴．
（3）解：存在．
当时，．
∴点的坐标为．
①如图，当，时，过点作轴于，
∴．
∵，，
∴．

在和中，
∴．
∴．
∵，
∴．
延长至使得，此时也是等腰直角三角形．
易得，此时．（不合题意，舍去）
②如图，当，时，过点作轴于，

∵，，，
∴．
∴．
∴．
∴．
延长，使得，此时也是等腰直角三角形．
同理可得， ．（不合题意，舍去）
综上所述，直线上存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形．
的值为2或4．
【点睛】本题属二次函数综合题目，主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，二次函数图象与直线交点问题，全等三角形判定与性质，等腰直角 三角形性质，属中考常考试题目，要求学生熟练掌握相关性质并能灵活运用是解题的关键，注意（3）问要分类讨论，以免漏解．
4．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，且，与轴交于点，抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点．

(1)求该抛物线的解析式，并直接写出顶点的坐标；
(2)如图1，点在线段上，作等腰，使得，且点落在直线上，若满足条件的点有且只有一个，求点的坐标．
(3)如图2，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴相交于，两点．
①求的度数；
②设直线与抛物线相交于两点（点在点的左侧），当直线与直线相交所成的一个角为时，求点的坐标．
【答案】(1)；顶点的坐标为
(2)
(3①；②或
【分析】（1）由可设)，)，代入抛物线解析式即得到关于、的二元方程，解方程求出即求得抛物线解析式，配方即得到顶点的坐标．
（2）以点为圆心，长为半径的，由于满足即点在上且点在直线上的点有且只有一个，即与直线只有一个公共点，所以直线与相切于点．由得点、坐标可知直线与夹角为，为等腰直角三角形，．设点纵坐标为，用表示和的长并列得方程即可求的值．由于点在线段上，故的值为负数，舍去正数解．
（3）①取点，连接，过点作轴，于点，则，进而证明是等腰直角三角形，即可得出结论；
②依题意，直线过定点，得出，，进而根据平行线的性质得出直线的解析式为或，联立抛物线，解方程组，根据点在点的左侧，取舍方程组的解即可．
【详解】（1）∵抛物线与轴交于，两点，且，
设，则，，
∴ ，
解得：，
∴，，
∴抛物线解析式为，
∴顶点的坐标为；
（2）如图，过点作于点，以点为圆心、为半径作圆

，
点在上
有且只有一个点在上又在直线上
与直线相切于点
，
由，当，则，即，，
由得：，，，
，，即，
，
为等腰直角三角形
，
,
设，，
，,
，
解得：，舍去，
点坐标为，；
（3）①如图所示，取点，连接，过点作轴，于点

由，当时，，则，，
则关于轴对称，点在轴上，
∴
∴
由得：，，，
则，
在与中，
∴
∴，，
∵
∴
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
②∵，当时，则直线过定点，
由①可得直线或
∵，，，，
设直线的解析式为，直线的解析式为,
∴，
解得：
∴，
∴直线的解析式为或
联立
解得：或
∵点在点的左侧
∴，
联立
解得：或
∵点在点的左侧
∴，
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数综合，切线的性质，等腰直角三角形的判定，灵活运用所学知识是解题的关键．
5．如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．点P是直线上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点E，交直线于点Q．

(1)求抛物线的表达式；
(2)求线段的最大值；
(3)如图2，过点P作x轴的平行线交y轴于点M，连接．是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)3
(3)存在一点P，当点P的横坐标为时，为等腰三角形
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点C的坐标，进而求出直线的解析式，设，则，则，由此即可求出答案；
（3）先证明，则当为等腰三角形，只存在这一种情况，设，则，则，解方程即可．
【详解】（1）解：把，代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
在中，当时，，
∴，
把，代入中得，
∴，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
（3）解：∵轴，轴，
∴，
∴当为等腰三角形，只存在这一种情况，
设，则，
同理可得，
又∵，
∴，
解得或，
∴存在一点P，当点P的横坐标为时，为等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的定义等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．