人教版九年级数学上册专题06二次函数中面积问题的两种考法(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册专题06二次函数中面积问题的两种考法(原卷版+解析)，共32页。试卷主要包含了面积最值问题，求面积问题等内容，欢迎下载使用。

例．抛物线交x轴于点，交y轴于点．

(1)求抛物线的解析式，并直接写出抛物线的对称轴和另一个与x轴交点C的坐标；
(2)直接写出当时，x的取值范围．
(3)如图，点P是线段上方抛物线上一动点，当P点的坐标为_______时，的面积最大．
【变式训练1】如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点．

(1)求抛物线的对称轴及值；
(2)抛物线的对称轴上存在一点，使得的值最小，求此时点的坐标；
(3)点是抛物线上一动点，且在第三象限，当点运动到何处时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积．
【变式训练2】如图，抛物线与x轴交与，两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在第二象限内的抛物线上的是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出点P的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由．
【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．

(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，求周长的最小值；
(3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．
类型二、求面积问题
例．已知：，是方程的两个实数根，且，抛物线的图象经过点．

(1)求这个抛物线的解析式；
(2)设（1）中的抛物线与轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求的面积；
(3)是线段上的一点，过点作轴，与抛物线交于点，若直线把分成面积之比为的两部分，请求出点的坐标．
【变式训练1】如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为，连接．

(1)当时，求抛物线的顶点坐标；
(2)若，
①求m的值；
②点P是x轴上方的抛物线上的一动点，连结．设的面积为S．若S为正偶数，试求点P的坐标．
【变式训练2】如图，抛物线 与x轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在直线下方运动，且满足时，求点的坐标；
(3)设的面积为，当为某值时，满足条件的点有且只有三个，不妨设为，，，求的面积．
课后训练
1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，其中点在原点左侧，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)已知抛物线顶点为，点在第三象限的抛物线上，
①若直线与直线关于直线对称，求点的坐标；
②如图2，若直线与抛物线交于点，，，与抛物线线的对称轴交于点，若，连接，，求的取值范围．
2．已知：关于的函数．

(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则的值是___________；
(2)如图，若函数的图象为抛物线，与轴有两个公共点，，并与动直线交于点，连接，，，，其中交轴于点，交于点．设的面积为，的面积为．
①当点为抛物线顶点时，求的面积；
②探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
3．如图1，经过原点O的抛物线（a、b为常数，）与x轴相交于另一点．在第一象限内与直线交于点，抛物线的顶点为C点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在点D，使得？若存在，求出所有点D的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点E是点B关于抛物线对称轴的对称点，点F是直线OB下方的抛物线上的动点，EF与直线OB交于点G．设和的面积分别为和，求的最大值．
专题06 二次函数中面积问题的两种考法
类型一、面积最值问题
例．抛物线交x轴于点，交y轴于点．

(1)求抛物线的解析式，并直接写出抛物线的对称轴和另一个与x轴交点C的坐标；
(2)直接写出当时，x的取值范围．
(3)如图，点P是线段上方抛物线上一动点，当P点的坐标为_______时，的面积最大．
【答案】(1)；；对称轴直线
(2)或
(3)
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）根据函数图象即可得出结论；
（3）过点作轴交于点，设，则，则，再由此求解即可．
【详解】（1）将点，代入，
，
解得，
；
令，得
解得：
∴，
对称轴直线
（2）由（1）得：，
∴当或时，
（3）设直线的解析式为，
，
解得，
，
过点作轴交于点，

设，则，
，
，
当时，的面积有最大值，
此时，．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，胡不归求最短距离的方法是解题的关键．
【变式训练1】如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点．

(1)求抛物线的对称轴及值；
(2)抛物线的对称轴上存在一点，使得的值最小，求此时点的坐标；
(3)点是抛物线上一动点，且在第三象限，当点运动到何处时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积．
【答案】(1)
(2)
(3)，最大，最大值为
【分析】（1）根据解析式可得抛物线的对称轴为直线，将点代入解析式，待定系数法即可求解；
（2）连接，交对称轴于点，根据两点之间，线段最短可得点即为所求，求得直线的解析式，令，即可求解；
（3）连接，如图1，设点坐标为，根据，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，
把代入
得，
；
（2）连接，交对称轴于点，
∵两点之间，线段最短，
∴的最小值为的长，则点即为所求

对于，令，则，解得，，
点坐标为，点坐标为，
设直线的关系式为：，
把，代入，得，解得，
直线的关系式为，
当时，，
点坐标为；
（3）连接，如图1，设点坐标为，

，
当时，最大，最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，面积问题，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式训练2】如图，抛物线与x轴交与，两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在第二象限内的抛物线上的是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出点P的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，；(3)存在，，的面积最大值是
【分析】（1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）根据题意可知，边的长是定值，要想的周长最小，即是最小所以此题的关键是确定点Q的位置，找到点A关于对称轴的对称点B，利用待定系数法求出直线的解析式，直线与对称轴的交点即是所求的点Q；
（3）首先求得的坐标，然后设P的横坐标是x，利用a表示出的面积，利用二次函数的性质求解；
【详解】（1）根据题意得：，解得，
则抛物线的解析式是；
（2）理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴对称，
∴直线与的交点即为Q点，此时周长最小，
对于，令，则，
故点，
设的解析式是，则，解得，
则的解析式是．时，，
∴点Q的坐标是；
（3）过点P作y轴的平行线交于点D，
设P的横坐标是x，则P的坐标是，对称轴与的交点D是．
则．
则，
∵，故的面积有最大值是．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及二次函数的性质，求最值问题一般是转化为函数最值问题求解
【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．

(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，求周长的最小值；
(3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为，将代入求解即可；
（2）作点O关于直线的对称点E，连接，根据点坐特点及正方形的判定得出四边形为正方形，，连接AE，交于点D，由对称性，此时有最小值为AE的长，再由勾股定理求解即可；
（3）由待定系数法确定直线的表达式为，直线的表达式为，设，然后结合图形及面积之间的关系求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为，
将代入上式得：，
所以抛物线的表达式为；
（2）作点O关于直线的对称点E，连接，
∵，，，
∴，
∵O、E关于直线对称，
∴四边形为正方形，
∴，
连接，交于点D，由对称性，
此时有最小值为的长，
∵的周长为，
，的最小值为10，
∴的周长的最小值为；

（3）由已知点，，，设直线的表达式为，
将，代入中，，解得，
∴直线的表达式为，
同理可得：直线的表达式为，
∵，∴设直线表达式为，
由（1）设，代入直线的表达式得：，
∴直线的表达式为：，
由，得，∴，
∵P，D都在第一象限，∴
，
∴当时，此时P点为.．

【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，周长最短问题及面积问题，理解题意，熟练掌握运用二次函数的综合性质是解题关键．
类型二、求面积问题
例．已知：，是方程的两个实数根，且，抛物线的图象经过点．

(1)求这个抛物线的解析式；
(2)设（1）中的抛物线与轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求的面积；
(3)是线段上的一点，过点作轴，与抛物线交于点，若直线把分成面积之比为的两部分，请求出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点或
【分析】（1）利用因式分解法求出一元二次方程的解，从而得到点的坐标，再代入抛物线解析式即可解答；
（2）令抛物线解析式中，可求得点坐标，利用公式法求出顶点的坐标，过点作轴的垂线，垂足为点，分别求出、梯形、的面积，利用=解答即可；
（3）先利用待定系数法求得直线的解析式，再设直线与相交于点，点，则点，从而求得，最后分两种情况讨论①当时或②当时，分别计算解答即可．
【详解】（1）解：
，是方程的两个实数根，且，
把点代入抛物线解析式得
，解得，
；
（2）解：
令
如图，过点作轴的垂线，垂足为点，

=
；
（3）解：如图，

设直线的解析式为，代入点得，
设直线与相交于点，点
则点
直线把分成面积之比为的两部分，分两种情况讨论：
①当时
，
（舍去），
②当时
，
综上所述，点或．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，涉及待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、配方法求二次函数顶点坐标、解析法求线段的长等知识，利用等高三角形面积比等于底边比，掌握相关知识是解题关键．
【变式训练1】如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为，连接．

(1)当时，求抛物线的顶点坐标；
(2)若，
①求m的值；
②点P是x轴上方的抛物线上的一动点，连结．设的面积为S．若S为正偶数，试求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)①；②或或．
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）①根据题意得到，，，然后表示出，，，根据利用勾股定理列方程求解即可；
②过点P作轴于H，交于点Q，先求出的解析式，设点，则点，由三角形面积公式可得，由二次函数的性质可求解．
【详解】（1）解：∵点，在抛物线图象上，，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：,
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）①解：当时，即
∴设
∵
∴
∴
∴，
当时，
∴
∴
∴，，
∵
∴，
∴
∴整理得，
将代入得，
可得，，
∴将代入，得
∴解得或0（舍去）
∴；
②∵
∴，，抛物线解析式为，
∴设直线的解析式为，代入B、C坐标得，
解得：，
∴直线的解析式为，
过点P作轴于点H，交于点Q，如图，

设，则，
∴，
∴
；
∵，
∴抛物线开口向下，
∴
∵S为正偶数
∴或4，
∴当时，即，解得
∴或；
当时，即，解得
∴
综上所述，点P的坐标为或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，两点距离公式，利用参数列方程是本题的关键．
【变式训练2】如图，抛物线 与x轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在直线下方运动，且满足时，求点的坐标；
(3)设的面积为，当为某值时，满足条件的点有且只有三个，不妨设为，，，求的面积．
【答案】(1)
(2)的坐标为
(3)
【分析】（1）待定系数法求解析式；
（2）作关于轴的对称点，连接，根据，关于轴对称，则，结合已知条件得出'，得出，求得直线的解析式为，直线解析式为，联立抛物线解析式，进而即可求解．
（3）过点作轴交直线于点，过作轴交于，求得直线解析式为，设，则，当在下方时，，此时，当在上方时，，得出，进而求得直线解析式为，得出，则，进而根据三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）作关于轴的对称点，连接，如图：

在中，令得，
，
，关于轴对称，
，，
，
'，
，
由，，
设直线的解析式为，
则，
解得：
直线的解析式为，
设直线解析式为，把，代入得：
，
直线解析式为，
联立得：
或，
的坐标为；
（3）过点作轴交直线于点，过作轴交于，如图：

由，，，
设直线的解析式为，
则
解得：
直线解析式为
设，则
当在下方时，，
，
，
当时，取最大值，
此时；
当在上方时，
，
解得或

设直线的解析式为，
，
解得：，
直线解析式为，
在，令得，
，
，
的面积为，
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，角度问题，面积问题，扎实的计算是解题的关键．
课后训练
1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，其中点在原点左侧，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)已知抛物线顶点为，点在第三象限的抛物线上，
①若直线与直线关于直线对称，求点的坐标；
②如图2，若直线与抛物线交于点，，，与抛物线线的对称轴交于点，若，连接，，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)①②
【分析】（1）根据点可求出，根据点可求出，即可求解；（2）①先求出直线的解析式，根据题意即可得出直线的解析式，进而可求出点的坐标；②建立与的关系即可求解．
【详解】（1）解：由，可得抛物线的对称轴为：直线
又对称轴为：直线
故，解得
又抛物线与轴交于点
所以抛物线的解析式为：
（2）①解：令，则
解得：
故
设直线的解析式为：
故有：，解得：
所以直线的解析式为：
因为直线与直线关于直线对称
所以直线的解析式为：
联立直线与抛物线的解析式：
解得：
当
故点
②解：由题意得：，解得
故
因为直线与抛物线对称轴交于点
结合（1）可得：
因为点，点关于抛物线对称轴对称
故的横坐标
解得：
【点睛】本题以二次函数作为背景，综合考查了二次函数的对称性、一次函数的解析式等相关知识点．最后一小问的数学建模思想是学生应该具备的能力．
2．已知：关于的函数．

(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则的值是___________；
(2)如图，若函数的图象为抛物线，与轴有两个公共点，，并与动直线交于点，连接，，，，其中交轴于点，交于点．设的面积为，的面积为．
①当点为抛物线顶点时，求的面积；
②探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)0或2或
(2)①6，②存在，
【分析】（1）根据函数与坐标轴交点情况，分情况讨论函数为一次函数和二次函数的时候，按照图像的性质以及与坐标轴交点的情况即可求出值．
（2）①根据和的坐标点即可求出抛物线的解析式，即可求出顶点坐标，从而求出长度，再利用和的坐标点即可求出的直线解析式，结合即可求出点坐标，从而求出长度，最后利用面积法即可求出的面积．
②观察图形，用值表示出点坐标，再根据平行线分线段成比例求出长度，利用割补法表示出和，将二者相减转化成关于的二次函数的顶点式，利用取值范围即可求出的最小值．
【详解】（1）解：函数的图象与坐标轴有两个公共点，
，
，
，
当函数为一次函数时，，
．
当函数为二次函数时，
，
若函数的图象与坐标轴有两个公共点，即与轴，轴分别只有一个交点时，
，
．
当函数为二次函数时，函数的图象与坐标轴有两个公共点， 即其中一点经过原点，
，
，
．
综上所述，或0．
故答案为：0或2或．
（2）解：①如图所示，设直线与交于点，直线与交于点．

依题意得：，解得：
抛物线的解析式为：．
点为抛物线顶点时，，，
，，
由，得直线的解析式为，
在直线上，且在直线上，则的横坐标等于的横坐标，
，
，，
，
．
故答案为：6．
②存在最大值，理由如下：
如图，设直线交轴于．
由①得：，，，，，
，
，，
，
，
即，
，，
，
，
，，
当时，有最大值，最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到函数与坐标轴交点问题，二次函数与面积问题，平行线分线段成比例，解题的关键在于分情况讨论函数与坐标轴交点问题，以及二次函数最值问题．
3．如图1，经过原点O的抛物线（a、b为常数，）与x轴相交于另一点．在第一象限内与直线交于点，抛物线的顶点为C点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在点D，使得？若存在，求出所有点D的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点E是点B关于抛物线对称轴的对称点，点F是直线OB下方的抛物线上的动点，EF与直线OB交于点G．设和的面积分别为和，求的最大值．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）先求得点，再利用待定系数法即可求解；
（2）分点D在直线下方、上方两种情况，分别求解即可；
（3）如图，分别过点E，F作y轴的平行线，交直线于点M，N，则，，设，可表达，再利用二次函数的性质可得出结论．
【详解】（1）解：∵直线经过点，
∴，
∴点，
∵抛物线经过点和点以及原点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵抛物线，
∴顶点C的坐标为，
设直线的解析式为：，
则将，代入得，
，解得，
∴直线的解析式为：．
①当点D在直线的下方时，过点B作轴，交x轴于点F，延长，交于G，设交x轴于点E，如图，

∵，
∴，即，，
∵，
∴，
∴，
∴．
在中，当时，，得：，
∴，
则，
∴，
同理求得直线的解析式为：，
联立：，解得或（舍去），
∴；
②当点D在直线的上方时，

∵，
∴，
∵直线的解析式为：，
∴直线的解析式为：，
联立：，解得：或（舍去），
∴．
综上，当点D的坐标为或时，使得；
（3）解：∵点与点E关于对称轴直线对称，
∴，
如图，分别过点E，F作y轴的平行线，交直线于点M，N，

∴，，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴当时，的最大值为．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积和全等三角形的判定及性质，解题的关键正确表达两个三角形面积的比．