人教版九年级数学上册专题05二次函数中线段最值的三种考法(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册专题05二次函数中线段最值的三种考法(原卷版+解析)，共42页。试卷主要包含了单线段转化为二次函数最值问题，将军饮马型最值问题，胡不归最值问题等内容，欢迎下载使用。
例．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上；

(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得周长最小，若存在，求出P点的坐标及周长的最小值；
(3)若点M是直线下方的抛物线上的一动点，过M作y轴的平行线与线段交于点N，求线段的最大值．
【变式训练1】如图，已知抛物线：，抛物线与关于点中心对称，与相交于A，B两点，点M在抛物线上，且位于点A和点B之间；点N在抛物线上，也位于点A和点B之间，且轴．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求线段长度的最大值．
【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，且经过x轴上的两点A、B与y轴交于点C，直线的解析式为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为直线上方的抛物线上的一点，过点P作轴于M，交于Q，求的最大值；
(3)当取最大值时，求的面积．
类型二、将军饮马型最值问题
例．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是点关于轴的对称点．

(1)求抛物线与直线的解析式；
(2)点为直线上方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点的坐标．
(3)在（2）的条件下，当的面积最大时，在抛物线的对称轴上有一动点，在上有一动点，且，求的最小值；
【变式训练1】如图，已知抛物线与x轴相交于、两点，并与直线交于、两点，其中点是直线与轴的交点，连接．

(1)求、两点坐标以及抛物线的解析式；
(2)证明：为直角三角形；
(3)求抛物线的顶点的坐标，并求出四边形的面积；
(4)在抛物线的对称轴上有一点，当周长的最小时，直接写出点的坐标．
【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点P是位于直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值；
(3)若点D是y轴上的一点，且以B、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；
(4)若点E为抛物线的顶点，点是该抛物线上的一点，点M在x轴、点N在y轴上，是否存在点M、N使四边形的周长最小，若存在，请直接写出点M、点N的坐标；若不存在，请说明理由．
类型三、胡不归最值问题
例．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．

(1)直接写出点的坐标；
(2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值；
(3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标．
【变式训练1】如图，抛物线的图象经过，，三点，且一次函数的图象经过点．

(1)求抛物线和一次函数的解析式．
(2)点，为平面内两点，若以、、、为顶点的四边形是正方形，且点在点的左侧．这样的，两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：如果不存在，请说明理由．
(3)将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与轴交于，两点（点在点左侧）．点是抛物线上的一个动点且在直线下方．已知点的横坐标为．过点作于点．求为何值时，有最大值，最大值是多少？
【变式训练2】已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的解析式与顶点D的坐标；
(2)如图1，点P是抛物线上位于直线下方的一动点，连接与相交于点E，已知，求点E的坐标；
(3)如图2，抛物线的对称轴与x轴交于点N，在抛物线对称轴上有一个动点M，连接．求的最小值．
【变式训练3】已知抛物线过点，两点，与轴交于点，，

(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)点为抛物线上位于直线下方的一动点，当面积最大时，求点的坐标；
(3)若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
课后训练
1．如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)点P是该抛物线上的动点，设点P的横坐标为t（）．
①当时，求此时四边形的面积；
②如图2，过点P作轴于点D，作轴于点E，当时，求t的值；
③如图3，连接，过点P作于点D，求线段的长的最大值，并求出点P的坐标．
2．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线经过点B，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．

(1)填空：_________，_________，_________；
(2)如图1，连接，，，若是以为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
(3)如图2，若点P在直线上方的抛物线上，过点P作，垂足为Q，求的最大值．
3．如图，在平面直角坐标系中，绕原点O逆时针旋转得到，其中点A的坐标为．

(1)写出C点的坐标______，B点的坐标______；
(2)若二次函数经过A，B，C三点，求该二次函数的解析式；
(3)在（2）条件下，在二次函数的对称轴上是否存在一点P，使得最小？若P点存在，求出P点坐标；若P点不存在，请说明理由．
专题05 二次函数中线段最值的三种考法
类型一、单线段转化为二次函数最值问题
例．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上；

(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得周长最小，若存在，求出P点的坐标及周长的最小值；
(3)若点M是直线下方的抛物线上的一动点，过M作y轴的平行线与线段交于点N，求线段的最大值．
【答案】(1)
(2),
(3)
【分析】（1）将点A、D的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接交函数对称轴于点P，则点P为所求点，求出直线的表达式，进一步即可求解；
（3）先求出直线解析式，设N横坐标为x，用含x的代数式表示线段，再利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：将点、代入抛物线表达式得：，
解得：，
抛物线的表达式为：；
（2），令，则,
解得或，
令，则，
故点B、C的坐标分别为：、；
函数的对称轴为直线，

点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接交函数对称轴于点P，则点P为所求点，
设直线的表达式为，
将点D、B的坐标代入一次函数表达式得：
，
解得：，
故BD的函数表达式为，
当时，，即点，
此时周长的最小值；
（3）如图，

设直线的解析式是，
把点，代入中
，
解得，
∴直线解析式为．
设N横坐标为x，则，，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，的最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到抛物线和直线的待定系数法求解析式，轴对称-最短问题，二次函数的最值等，解题关键是熟练掌握待定系数法求抛物线解析式．
【变式训练1】如图，已知抛物线：，抛物线与关于点中心对称，与相交于A，B两点，点M在抛物线上，且位于点A和点B之间；点N在抛物线上，也位于点A和点B之间，且轴．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求线段长度的最大值．
【答案】(1)；(2)8
【分析】（1）先求出抛物线：的顶点坐标为，然后求出点关于对称后的点坐标为，再抛物线的解析式为：；
（2）先求出A、B两点横坐标分别为和，设，其中，则，求出最大值即可．
【详解】（1）解：抛物线：的顶点坐标为，
点关于对称后的点坐标为，
∵抛物线与抛物线关于成中心对称，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：∵抛物线：与：交于A、B，
∴令，
解得：或，
则A、B两点横坐标分别为和，
设，，其中，
则，
∴当时，最大为8．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，中点坐标公式，二次函数的最值，解题的关键是数形结合，利用对称的特征，再根据顶点情况求解析式以及根据二次函数解析式求最大值．
【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，且经过x轴上的两点A、B与y轴交于点C，直线的解析式为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为直线上方的抛物线上的一点，过点P作轴于M，交于Q，求的最大值；
(3)当取最大值时，求的面积．
【答案】(1)；(2)1；(3)2
【分析】（1）先求出A、C的坐标，再根据二次函数的对称性求出点B的坐标 ，再利用待定系数法求解即可；
（2）设，则，则，由二次函数的性质求解即可；
（3）根据，进行求解即可．
【详解】（1）解：在中，令，则，令，则，
∴，
∵抛物线关于直线对称，且经过x轴上的两点A、B与y轴交于点C，
∴，
∴可设抛物线解析式为，
把代入中得，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：设，则，
∴
，
∵，∴当时，最大，最大值为1；
（3）解：由（2）得当最大时，，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，求二次函数解析式等等；灵活运用所学知识是解题的关键．
类型二、将军饮马型最值问题
例．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是点关于轴的对称点．

(1)求抛物线与直线的解析式；
(2)点为直线上方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点的坐标．
(3)在（2）的条件下，当的面积最大时，在抛物线的对称轴上有一动点，在上有一动点，且，求的最小值；
【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为；
(2)点的坐标为(，)；
(3)的最小值为；
【分析】（1）抛物线与轴交于，、，两点，由两点式即可得到抛物线的解析式，求得点的坐标，利用待定系数法即可求得直线的解析式；
（2）过点作轴于点，交直线于点，求得直线的解析式为，设点的坐标为，，则点的坐标为，，求得PE关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可求解；
（3）作点关于直线的对称点，求得点的坐标为，，过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点，则的最小值为的长，证明，利用相似三角形的性质即可求解；
【详解】（1）解：抛物线与轴交于，、，两点，
抛物线的解析式为，
令，则，
点，，
点是点关于轴的对称点，
点，，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为；
（2）解：过点作轴于点，交直线于点，

的面积，
当取得最大值时，的面积有最大值，
同理求得直线的解析式为，
设点的坐标为，，则点的坐标为，，
，
，
当时，有最大值，的面积有最大值，
此时点的坐标为，；
（3）解：抛物线的对称轴为直线，
作点关于直线的对称点，
点的坐标为，，
点的坐标为，，
过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点，
此时，根据垂线段最短知的最小值为的长，
过点作轴交直线于点，

则点的坐标为，，
，
，，，，
，，
，
轴，
，
，
，即，
，
的最小值为．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，平移的性质，熟练掌握所学知识并能够灵活运用是解题的关键．
【变式训练1】如图，已知抛物线与x轴相交于、两点，并与直线交于、两点，其中点是直线与轴的交点，连接．

(1)求、两点坐标以及抛物线的解析式；
(2)证明：为直角三角形；
(3)求抛物线的顶点的坐标，并求出四边形的面积；
(4)在抛物线的对称轴上有一点，当周长的最小时，直接写出点的坐标．
【答案】(1)，，
(2)证明见解析
(3)，
(4)
【分析】（1）先由直线与x轴、y轴分别交于点B、点C求得B，C的坐标，再将其代入列方程组求出a、c的值，即可求解；
（2）先求得A的坐标，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形；
（3）连接，根据进行求解即可；
（4）因为的长为定值，所以当的值最小时，则的周长最小，当点P与点E重合时，的值最小，求出点E的坐标即可．
【详解】（1）解：在直线中，当时，，当时，，
∴，，
∵抛物线经过点和点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）证明：在中，当时，则，
解得，，
∴．
∵，，
∴，，，
∴，即．
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线的顶点的坐标是；
如图1，连接，

∴，
∴四边形的面积是．
（4）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为．
如图，设抛物线的对称轴：与直线交于点E，

点P是直线上的点，连接．
∵垂直平分，
∴，，
∴．
∵为定值，
∴当的值最小时，的周长最小．
∵，
∴当点P与点E重合时，，
∴此时最小．
∵直线，
当时，，
∴，
∴当的周长最小时，点P的坐标为．
【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数关系式、勾股定理及其逆定理的应用、轴对称的性质、两点之间线段最短等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点P是位于直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值；
(3)若点D是y轴上的一点，且以B、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；
(4)若点E为抛物线的顶点，点是该抛物线上的一点，点M在x轴、点N在y轴上，是否存在点M、N使四边形的周长最小，若存在，请直接写出点M、点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)D的坐标为或
(4)，
【分析】（1）把，分别代入，利用待定系数法求解；
（2）过点P作交于点H，根据得到关于点P的横坐标的二次函数关系式，进而求出二次函数的最值即可；
（3）由可知：要使与相似，则有或，分别求解即可；
（4）作点E关于y轴的对称点，作点关于x轴的对称点，由轴对称的性质可得四边形的周长，可知当，，M，N在一条直线上时，四边形的周长取最小值，直线与x轴、y轴的交点即为点M、N，由此可解．
【详解】（1）解：把，分别代入得：
，
解得，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：如图，过点P作交于点H，

令，得，
∴，
∴设直线的表达式为：，
将，代入，
得，
解得，
∴直线的表达式为，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，取最大值，最大值为，
即面积的最大值为；
（3）解：如图，

∵，，，
∴，，
∴，，
要使与相似，
则有或，
①当时，，
解得，
则，
∴；
② 当时，，
则，
∴，
即D的坐标为或；
（4）解：，
∵E为抛物线的顶点，
∴，
∵在抛物线上，
∴，
∴，
如图，作点E关于y轴的对称点，作点F关于x轴的对称点，

由轴对称的性质可知，，
∴四边形的周长，
∴当，，M，N在一条直线上时，四边形的周长取最小值，
因此，直线与x轴、y轴的交点即为点M、N，
设直线的解析式为：，将，代入，
得，
∴，
∴直线的解析式为：，
当时，；
当时，，
∴，．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查一次函数、二次函数、轴对称、相似三角形等知识点，综合性较强，难度较大，解题的关键是综合运用上述知识点，第四问的关键是利用轴对称的性质找出点M和点N的位置．
类型三、胡不归最值问题
例．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．

(1)直接写出点的坐标；
(2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值；
(3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)点，的最小值为
(3)
【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可；
（2）根据抛物线的对称性，得到，得到当三点共线时，的值最小，为的长，求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点的坐标，两点间的距离公式求出的长，即为的最小值；
（3）根据题意，补全图形，设，得到，，将的最大值转化为二次函数求最值，即可得解．
【详解】（1）解：∵点关于对称轴的对称点为点，对称轴为直线，
∴点为；
（2）当时，，∴，连接，

∵，∴，
∵点关于对称轴的对称点为点，∴，
∴当三点共线时，的值最小，为的长，
设直线的解析式为：，则：，解得：，∴，
∵点在抛物线的对称轴上，∴；∴点，的最小值为；
（3）过点作轴，垂足为，连接交于点，如图所示，

∵，
设抛物线的解析式为：，
∵，∴，∴，∴，
设，则：，
由（2）知：直线：，∴，
∴，
∵，∴，，
∴，∴，∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，此时．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用抛物线的对称性以及数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
【变式训练1】如图，抛物线的图象经过，，三点，且一次函数的图象经过点．

(1)求抛物线和一次函数的解析式．
(2)点，为平面内两点，若以、、、为顶点的四边形是正方形，且点在点的左侧．这样的，两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：如果不存在，请说明理由．
(3)将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与轴交于，两点（点在点左侧）．点是抛物线上的一个动点且在直线下方．已知点的横坐标为．过点作于点．求为何值时，有最大值，最大值是多少？
【答案】(1)，
(2)满足条件的E、F两点存在，，，
(3)当时，的最大值为
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）①当为正方形的边长时，分别过点点作，，使，，连接、，证明，得出，，则同理可得，；②以为正方形的对角线时，过的中点作，使与互相平分且相等，则四边形为正方形，过点作轴于点，过点作于点，证明，得出，在中，，解得或4，进而即可求解；
（3）得出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，则，点在抛物线上，且横坐标为得出，进而可得，则，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：把，，代入
得
解得
∴
把代入得
∴
（2）满足条件的、两点存在，，，
解：①当为正方形的边长时，分别过点点作，，使，，连接、.

过点作轴于.
∵，
又，
∴，
∴，
∴
同理可得，
②以为正方形的对角线时，过的中点作，使与互相平分且相等，则四边形为正方形，
过点作轴于点，过点作于点

∵，
又
∴
∴，
∵
∴
∴
在中，
∴
解得或4
当时，，此时点在点右侧故舍去；
当时，.
综上所述：，，
（3）∵向右平移8个单位长度得到抛物线
当，即
解得：
∴，
∵过，，三点
∴
在直线下方的抛物线上任取一点，作轴交于点，过点作轴于点

∵，
∴
∴是等腰直角三角形
∵，
∴
又
∴是等腰直角三角形
∴
∵点在抛物线上，且横坐标为
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴当时，的最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，正方形的性质，二次函数的性质，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式训练2】已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的解析式与顶点D的坐标；
(2)如图1，点P是抛物线上位于直线下方的一动点，连接与相交于点E，已知，求点E的坐标；
(3)如图2，抛物线的对称轴与x轴交于点N，在抛物线对称轴上有一个动点M，连接．求的最小值．
【答案】(1)，
(2)点E的坐标为：或
(3)
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由，则，由，得到，进而求解；
（3）过点B作于点H，则，则此时为最小，进而求解．
【详解】（1）∵抛物线与x轴交于两点，
∴设抛物线的解析式为，
把点代入得，，
解得，
故抛物线的表达式为：；
（2）连接,
∵，则，
过点A作轴交于点N，过点P作轴交于点H，
则，
则，
设直线的表达式为，
把代入得：，
解得，，
∴直线的表达式为：，
当时，，，
则，
设点，则点，
则，
解得：或2，
即点或，
同理，由点A、P的坐标得，直线的表达式为：或，
联立和得：，
解得：，则点；
联立和得：，
解得：，则点，
即点E的坐标为：或；
（3）连接，
由点D的坐标知，，
则，则，
过点B作于点H，
则，
则此时为最小，
则，
则，则，
即的最小值为．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏
【变式训练3】已知抛物线过点，两点，与轴交于点，，

(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)点为抛物线上位于直线下方的一动点，当面积最大时，求点的坐标；
(3)若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)解析式为，顶点的坐标为
(2)点的坐标为
(3)最小值为
【分析】（1）根据题意设抛物线的交点式，然后代入点的坐标，求解即可；
（2）作轴，交于点，通过设和的坐标，利用“割补法”表示出，从而利用二次函数的性质求解最值即可；
（3）将直线绕着点逆时针旋转，并过点作其垂线，垂足为，分别连接，，，构造出含角的直角三角形，然后转换为求得最小值，继而确定当、、三点共线时，满足取得最小值，此时利用含角的直角三角形的性质分段求解再相加即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意，设抛物线解析式为，其中，
∵，∴点的坐标为，
将代入，解得：，∴，
∴抛物线的解析式为，
∵对称轴为直线，∴将代入，得：，
∴顶点的坐标为；
（2）解：∵，，∴直线的解析式为：，
∵点在抛物线上，且位于直线下方，∴设，其中，，
如图所示，作轴，交于点，∴，∴，
∵，，，
∴，
∴，
整理可得：，其中，
∵，∴当时，取得最大值，
将代入，得：，∴此时点的坐标为；

（3）解：存在最小值，理由如下：
如下图所示，将直线绕着点逆时针旋转，并过点作其垂线，垂足为，
分别连接，，，则，，

∴在中，，
∴随着点的运动，总有，∴，
要使得取得最小值，即要使得取得最小值，
如下图，当、、三点共线时，满足取得最小值，

此时，，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴存在最小值，最小值为．
【点睛】本题考查求二次函数解析式，二次函数综合面积问题，以及利用“胡不归”模型构造三角形求线段和最值问题，掌握二次函数的基本性质，熟练运用函数思想解决图形面积问题是解题关键．
课后训练
1．如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．

(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)点P是该抛物线上的动点，设点P的横坐标为t（）．
①当时，求此时四边形的面积；
②如图2，过点P作轴于点D，作轴于点E，当时，求t的值；
③如图3，连接，过点P作于点D，求线段的长的最大值，并求出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)①②③，
【分析】（1）根据抛物线与轴的两个交点坐标，直接利用两点式写出函数解析式即可；
（2）①先求出点的坐标，利用四边形的面积，进行求解即可；②根据题意，可得此时点坐标为，代入抛物线解析式，进行求解即可；③过点作轴，交于点，推出，进而得到当最大时，的值最大，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，
则：抛物线的解析式为：，
即：；
（2）①∵，当时，，当时，，
∴当时，点坐标为，，
∴，
∵，
∴，
连接，

则：四边形的面积
；
②∵轴于点D，轴于点E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：（负值已舍掉），
∴；
③设直线的解析式为，
则：，解得：，
∴；
∵，
∴，
∴，
过点作轴，交于点，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值最大为2，此时，
∵，轴，
∴，
又，
∴，
在中，，
∴当最大时，值最大，
∵的最大值为2，
∴值最大为，此时．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．属于中考常考压轴题．
2．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线经过点B，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．

(1)填空：_________，_________，_________；
(2)如图1，连接，，，若是以为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
(3)如图2，若点P在直线上方的抛物线上，过点P作，垂足为Q，求的最大值．
【答案】(1)，，3；
(2)
(3)
【分析】（1）分别把代入抛物线解析式和一次函数的解析式，即可求解；
（2）作轴于点，根据题意可得，从而得到，，再根据，可求出m，即可求解；
（3）作轴交于点，过点作轴于点，则，再根据，可得，，然后根据，可得，从而得到，在根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：∵在抛物线上，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴，（舍），
∴．
∵在直线上，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为．
故答案为：，，3；
（2）如图，作轴于点，

对于，令x=0，则y=-6，
∴点，即，
∵，
∴，
∵点P的横坐标为m．
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴（舍），，
∴，
∴点．
（3）如图，作轴交于点，过点作轴于点，

∵，
∴点，
∴，
∵轴，
∴轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵轴，
∴轴，
∴，
∴，即
∴，
∴，
∴，
∴当时，的最大值是．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键，是中考的压轴题．
3．如图，在平面直角坐标系中，绕原点O逆时针旋转得到，其中点A的坐标为．

(1)写出C点的坐标______，B点的坐标______；
(2)若二次函数经过A，B，C三点，求该二次函数的解析式；
(3)在（2）条件下，在二次函数的对称轴上是否存在一点P，使得最小？若P点存在，求出P点坐标；若P点不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）根据旋转的性质结合点A的坐标、的长度，即可找出的值，进而即可得出点B、C的坐标；
（2）根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；
（3）根据抛物线的对称性可得知：连接交对称轴于点P，点P是所求的点．利用二次函数的性质可找出抛物线对称轴为直线，根据点B、C的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标．
【详解】（1）解：∵绕原点O逆时针旋转得到，点A的坐标为，
∴，
∴，
∴点C的坐标为，点B的坐标为．
故答案为：；．
（2）将代入，得：
，
解得：，
∴该二次函数的解析式为．
（3）由抛物线的对称性可以得出点A、B关于抛物线的对称轴对称，
∴连接交对称轴于点P，则点P是所求的点．
∵，
∴对称轴为直线，
∴P点的横坐标为1．
设直线的解析式为，
将代入，得：，解得：，
∴直线的解析式为，
∴当时，，∴点P的坐标为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、旋转的性质以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是：（1）根据旋转的性质求出的值；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（3）利用两点之间线段最短，确定点P的位置．