压轴专题07圆中证明及存在性问题答案解析

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专题07 圆中证明及存在性问题


1.如图，已知⊙A的半径为4，EC是圆的直径，点B是⊙A的切线CB上一个动点，连接AB交⊙A于点D，弦EF∥AB，连接DF，AF.
（1）求证：△ABC≌△ABF；
（2）当∠CAB= 时，四边形ADFE为菱形；
（3）当AB= 时，四边形ACBF为正方形.

【分析】（1）由EF∥AB，得∠EFA=∠FAB，∠CAB=∠AEF，又∠AEF=∠AFE，得：∠BAC=∠BAF，又AB=AB，AC=AF，证得△ABC≌△ABF；（2）连接FC，根据ADFE为菱形，确定出∠CAB的度数；（3）由四边形ACBF是正方形，得AB=AC=4.
【解析】解：（1）∵EF∥AB，
∴∠EFA=∠FAB，∠CAB=∠AEF，
∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴∠BAC=∠BAF，
又AB=AB，AC=AF，
∴△ABC≌△ABF（SAS）；
（2）如图，连接FC，

∵四边形ADFE是菱形，
∴AE=EF=FD=AD，
∵CE=2AE，∠CFE=90°，
∴∠ECF=30°，∠CEF=60°，
∵EF∥AB，
∴∠AEF=∠CAB=60°，
故答案为：60°；
（3）由四边形ACBF是正方形，得AB=AC=4.
2.如图，在△ABD中，AB＝AD，AB是⊙O的直径，DA、DB分别交⊙O于点E、C，连接EC，OE，OC．
（1）当∠BAD是锐角时，求证：△OBC≌△OEC；
（2）填空：
①若AB＝2，则△AOE的最大面积为 ；
②当DA与⊙O相切时，若AB＝，则AC的长为 ．

【答案】（1）见解析；（2）；1.
【解析】解：（1）连接AC，

∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BD，
∵AD＝AB，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴BC＝EC，
又∵OB=OE，OC=OC，
∴△OBC≌△OEC（SSS），
（2）①∵AB＝2，
∴OA＝1，
设△AOE的边OA上的高为x，
∴S△AOE＝OA×h
＝h，
要使S△AOE最大，需h最大，
点E在⊙O上，h最大是半径，
即：h最大＝1
∴S△AOE最大为：；
②如图所示，

当DA与⊙O相切时，则∠DAB＝90°，
∵AD＝AB＝，
∴∠ABD＝45°，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AC＝BC＝AB=1.
3.如图，△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 与 BC 相交于点 D， 与 CA 的延长线相交于点 E，过点 D 作 DF⊥AC 于点 F．
（1）试说明 DF 是⊙O 的切线；
（2）①当∠C= °时，四边形 AODF 为矩形；
②当 tanC= 时，AC=3AE．

【答案】见解析.
【解析】解：（1）证明：连接OD，

∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，点D在⊙O上，
∴DF是⊙O的切线；
（2）45°，理由如下：
由四边形AODF为矩形，得∠BOD=90°，
∴∠B=45°，
∴∠C=∠B=45°，
故答案为：45°；
（3），理由如下，
连接BE，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∵AB=AC，AC=3AE，
∴AB=3AE，CE=4AE，
∴BE2=AB2－AE2 =8AE2，
即BE=AE，
在Rt△BEC中，tanC=.
故答案为：.
4.如图，在△ABC中，AB=AC=4，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，点P是AB的延长线上一点，且∠PDB=∠A，连接DE，OE．
（1）求证：PD是⊙O的切线．
（2）填空：①当∠P的度数为______时，四边形OBDE是菱形；
②当∠BAC=45°时，△CDE的面积为_________．

【答案】（1）见解析；（2）30；.
【解析】解：（1）连接OD，

∵OB=OD, ∠PDB=∠A，
∴∠ODB=∠ABD=90°－∠A=90°－∠PDB，
∴∠ODB+∠PDB=90°，
∴∠ODP=90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线.
（2）①30°，理由如下：
∠P=30°，则∠BOD=60°，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠ADP=30°，∠A=60°，
∴△AOE是等边三角形，即∠AOE=60°，
∴∠EOD=60°，
∴△ODE是等边三角形，
∴OB=BD=DE=OE，
即四边形OBDE是菱形；
②连接BE，AD，如上图，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∠AEB=90°，
∵AB=AC，
∴D为BC中点，
∴S△DCE=S△BCE，
∵∠BAC=45°，
∴AE=BE，△ABE是等腰直角三角形，
∵AB=AC=4，
∴AE=BE=，CE=4-，
∴S△DCE=S△BCE，
=×BE·CE
=×××（4-）
=.
5.如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是⊙O 上一点，AD 和过点 C 的切线互相垂直，垂足为 D，直线 DC 与 AB 的延长线相交于点 P．
（1）求证：AC2=AD·AB．
（2）点 E 是∠ACB 所对的弧上的一个动点（不包括 A，B 两点），连接 EC交直径 AB 于点 F，∠DAP=64°．
①当∠ECB= °时，△PCF 为等腰三角形；
②当∠ECB= °时，四边形 ACBE 为矩形．

【答案】见解析.
【解析】解：（1）连接OC，

∵CD是切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠ACO=∠CAD，
∵OA=OC，
∴∠ACO =∠CAO，
∴∠CAD=∠CAO，
∵AB为直径，
∴∠ACB=∠D=90°，
∴△ACD∽△ABC，
∴,
即：AC2=AD·AB．
（2）①45；②58，理由如下：
①∵∠DAP=64°，
∴∠P=26°，∠CAB=∠DAC=32°，
∵∠CFP是△ACF的外角，
∴∠CFP>32°，即∠CFP≠∠P，
由∠PCB=∠CAB=32°，知∠FCP>∠PCB≠∠P，
由△PCD为等腰三角形，得PC=PF,
∴∠CFP=77°，
∴∠ACF=45°，∠ECB=90°－∠ACF=45°，
故答案为：45；
②由ACBE是矩形，得F与O重合，
∴∠ECB=90°－∠ACO=90°－32°=58°，
故答案为：58.
6.如图，△ABC 内接于⊙O，过点 B 的切线 BE∥AC，点 P 是优弧AC 上一动点（不与 A，C 重合），连接 PA，PB，PC，PB 交 AC 于 D．
（1）求证：PB 平分∠APC；
（2）当 PD=3，PB=4 时，求 AB 的长．

【答案】见解析.
【解析】解：（1）证明：连接OB，

则OB⊥BE，
∵BE∥AC，
∴OB⊥AC，
∴弧AB=弧BC，
∴∠APB=∠BPC，
∴PB平分∠APC；
（2）由（1）知，∠APB=∠BPC，
∵∠BAC=∠BPC，
∴∠BAC=∠APB，
∵∠ABD=∠PBA，
∴△ABD∽△PBA，
∴,
即
∴AB=2，即AB的长为2.

7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB交于点D，过D作⊙O的切线交CB于E.
（1）求证：EB=EC；
（2）若以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由.

【答案】见解析.
【解析】解：
（1）证明：连接OD，

∵AC为直径，∠ACB=90°，
∴BC为⊙O的切线，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE=CE，∠ODE=90°，
∴∠ODA+∠EDB=90°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠OAD+∠B=90°，
∴∠B=∠EDB，
∴DE=BE，
∴EB=EC；
（2）△ABC是等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形ODEC是正方形，
∴∠DEB=90°，
由（1）知CE=BE，
∴△BED是等腰直角三角形，
∠B=45°，
∴∠A=45°，
即AC=BC，
又∵∠ACB=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形.
8.如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O与斜边AC交于点D，E为BC边的中点，连接DE，OE．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）填空：①当∠CAB=　 　时，四边形AOED是平行四边形；②连接OD，在①的条件下探索四边形OBED的形状为　 　.

【答案】（1）见解析；（2）45；正方形.
【解析】（1）连接OD，BD，

∵AB为直径，
∴∠BDC=∠ADB=90°，
∵E为BC的中点，
∴DE=BE=CE，
∵OD=OB，OE=OE，
∴△ODE≌△OBE，
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∴OD⊥DE，
即DE是⊙O的切线.
（2）①若四边形AOED是平行四边形，则DE∥AB，
∴∠A=∠CDE，
∵∠CDE=∠C，
∴∠A=∠C，
∵∠ABC=90°，
∴∠A=45°；
②由∠A=45°，得∠ADO=45°，即∠DOB=90°，
∵∠EBO=∠ODE=90°，
∴四边形OBED是矩形，
∵四边形AOED是平行四边形，
∴∠EOB=∠A=45°，
∴∠EOB=∠OEB=45°，
∴OB=BE，
∴四边形OBED是正方形.
9.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，CD平分∠ACB交AB于点D，点O在AC上，以CO为半径的圆经过点D，AE切⊙O于E．
（1）求证：AD=AE．
（2）填空：
①当∠ACB=_______时，四边形ADOE是正方形；
②当BC=__________时，四边形ADCE是菱形．

【答案】见解析.
【解析】解：（1）证明：连接OE，

∵CD平分∠ACB，
∴∠OCD=∠BCD，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ODC=∠BCD，
∴OD∥BC，
∵∠B=90°，
∴∠ADO=90°，
∴AD是圆O的切线，
∵AE是圆O的切线，
∴AD=AE.
（2）①45；②2，理由如下：
①∵ADOE是正方形，
∴OD=AD，
∴∠OAD=45°，
∴∠ACB=45°；
②四边形ADCE为菱形，
∴AD=CD，∠CAD=∠ACD，
∵∠BCD=∠ACD，
∴∠CDB=60°，∠BCD=30°，
∴CD=2BD，
∵AB=6，
∴BD=2，BC=2,
故答案为：45；2.
10.如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数．

【答案】见解析.
【解析】解：（1）证明：连结OB，

∵CE=CB，
∴∠CBE=∠CEB，
∵CD⊥OA，
∴∠DAE+∠AED=90°，
∵∠CEB=∠AED，
∴∠DAE+∠CBE=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠OBA+∠CBE=90°，即∠OBC=90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连结OF，OF交AB于H，（见上图）
∵DF⊥OA，AD=OD，
∴FA=FO，
∵OF=OA，
∴△OAF为等边三角形，
∴∠AOF=60°，
∴∠ABF=∠AOF=30°．
11.如图，在△ACE中，AC＝CE，⊙O经过点A，C，且与边AE，CE分别交于点D，F，点B是劣弧AC上的一点，且弧BC=弧DF，连接AB，BC，CD．
求证：△CDE≌△ABC．

【答案】见解析.
【解析】证明：连接DF，

∵AC＝CE，
∴∠CAE＝∠E，
∵四边形ACFD内接于⊙O，
∴∠CAE+∠CFD=180°，
∵∠CFD+∠DFE=180°，
∴∠CAE＝∠DFE，
∴∠DFE＝∠E，
∴DF＝DE，
∵弧BC=弧DF，
∴BC＝DF，
∴BC＝DE，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
同理可得：∠B＝∠CDE，
在△CDE和△ABC中，
∵AC=CE，∠ABC=∠CDE，BC=DE，
∴△CDE≌△ABC．
12.如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的动点，PC∥AB，点M是OP中点．
（1）求证：四边形OBCP是平行四边形；
（2）填空：
①当∠BOP＝ 时，四边形AOCP是菱形；
②连接BP，当∠ABP＝ 时，PC是⊙O的切线．

【答案】（1）见解析；（2）120；45．
【解析】（1）证明：∵PC∥AB，
∴∠PCM＝∠OAM，∠CPM＝∠AOM．
∵点M是OP的中点，
∴OM＝PM，
∴△CPM≌△AOM，
∴PC＝OA．
∵OA＝OB，
∴PC＝OB．
∵PC∥AB，
∴四边形OBCP是平行四边形．
（2）解：①∵四边形AOCP是菱形，
∴OA＝PA，
∵OA＝OP，
∴OA＝OP＝PA，
∴△AOP是等边三角形，
∴∠A＝∠AOP＝60°，
∴∠BOP＝120°；
②∵PC是⊙O的切线，
∴OP⊥PC，∠OPC＝90°，
∵PC∥AB，
∴∠BOP＝90°，
∵OP＝OB，
∴∠ABP＝∠OPB＝45°.
13.如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．
（1）求证：AC∥DE；
（2）连接AD、CD、OC．填空
①当∠OAC的度数为 时，四边形AOCD为菱形；②当OA＝AE＝2时，四边形ACDE的面积为 ．

【答案】（1）见解析；（2）30；2．
【解析】（1）证明：∵F为弦AC的中点，
∴AF＝CF，OF过圆心O
∴FO⊥AC，
即∠OFA=90°，
∵DE是⊙O切线，
∴OD⊥DE
即∠EDO=90°，
∴DE∥AC.
（2）①当∠OAC＝30°时，四边形AOCD是菱形，理由如下：
连接CD，AD，OC，

∵∠OAC＝30°，OF⊥AC
∴∠AOF＝60°
∵AO＝DO，∠AOF＝60°
∴△ADO是等边三角形
∵AF⊥DO
∴DF＝FO，AF＝CF，
∴四边形AOCD是平行四边形
∵AO＝CO
∴四边形AOCD是菱形.
②连接CD，

∵AC∥DE, OA=AE=2，
∴OD＝2OF，DE＝2AF
∵AC＝2AF
∴DE＝AC，且DE∥AC
∴四边形ACDE是平行四边形
∵OA＝AE＝OD＝2
∴OF＝DF＝1，OE＝4
在Rt△ODE中，由勾股定理得：DE＝2，
∴S四边形ACDE＝DE×DF
＝2×1
＝2
答案为：2.
14.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F．
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）若AB＝，E是半圆AGF上一动点，连接AE，AD，DE．
填空：
①当弧AE的长度是 时，四边形ABDE是菱形；
②当弧AE的长度是 时，△ADE是直角三角形．

【答案】（1）见解析；（2）；或π．
【解析】（1）证明：连接OD，

在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴AB＝BC，
∵D是斜边BC的中点，
∴BD＝BC，
∴AB＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODB＝∠BAO＝90°，
即OD⊥BC，
∴BD是⊙O的切线．
（2）①若四边形ABDE是菱形，连接OE，

则AB∥DE，
∵∠BAC=90°，
∴DE⊥AC，
得：AD＝BD＝AB＝CD＝BC＝，
∴△ABD是等边三角形，OD＝1，
∴∠ADB＝60°，
∵∠CDE＝60°，
∴∠ADE＝180°﹣∠ADB﹣∠CDE＝60°，
∴∠AOE＝2∠ADE＝120°，
∴弧AE的长度为：=；
故答案为：；
②∵AD为弦（不是直径），
∴∠AED≠90°，
（i）若∠ADE＝90°，则点E与点F重合，弧AE的长度为：＝π；
（ii）若∠DAE＝90°，则DE是直径，则∠AOE＝2∠ADO＝60°，
弧AE的长度为：=π；
故答案为：π或π．
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A，交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线交⊙A于点F，连接AF，BF，DF．
（1）求证：△ABC≌△ABF；
（2）填空：
①当∠CAB＝　 　°时，四边形ADFE为菱形；
②在①的条件下，BC＝　 　cm时，四边形ADFE的面积是6cm2．

【答案】（1）见解析；（2）①60；②6．
【解析】（1）证明：∵EF∥AB，
∴∠E＝∠CAB，∠EFA＝∠FAB，
∵AE=AF，
∴∠E＝∠EFA，
∴∠FAB＝∠CAB，
又∵AF=CA，AB=AB，
∴△ABC≌△ABF；
（2）①当∠CAB＝60°时，四边形ADFE为菱形．
由∠CAB＝60°，得∠FAD＝∠EAF＝60°，
∴EF＝AD＝AE=DF，
∴四边形ADFE是菱形．
②∵四边形AEFD是菱形，∠AEF＝∠CAB＝60°，
∴，
∴AE＝，
∴AC=，
∴BC=AC=6.
16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角边BC为直径作⊙O，交AB于点D，E为AC的中点，连接DE.
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）已知BC＝4．填空：
①当DE＝　 时，四边形DOCE为正方形；
②当DE＝　 　时，△BOD为等边三角形．

【答案】（1）见解析；（2）2；2 .
【解析】（1）证明：连接CD，OE，

∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∵DE为Rt△ADC的斜边AC上的中线，
∴DE=CE=AE，
∵OD＝CC，OE＝OE，
∴△COE≌△DOE，
∴∠OCE＝∠ODE＝90°，
即DE为⊙O的切线；
（2）解：①若四边形DOCE为正方形，则OC＝OD＝DE＝CE，
∵BC＝4，
∴DE＝2．
②若△BOD为等边三角形，则∠BOD＝60°，
∴∠COD＝180°﹣∠BOD＝120°，∠DOE＝60°，
∴DE＝OD=2．
故答案为：2，2．
17.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D，过点 D 作 DE⊥AC，分别交 AC，AB 的延长线于点 E，F．
（1）求证：EF 是⊙O 的切线．
（2）①当∠BAC 的度数为 时，四边形 ACDO 为菱形；
②若⊙O 的半径为 5，AC=3CE，则 BC 的长为 ．

【答案】（1）见解析；（2）60；8.
【解析】（1）连接OD，

∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD 平分∠EAF，
∴∠DAE＝∠DAO，
∴∠DAE＝∠ADO，
∴OD∥AE，
∵AE⊥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O 的切线；
（2）连接 CD，
①当∠BAC=60°时，四边形 ACDO 为菱形；
∵∠BAC＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝30°，∠CAD＝30°，
∵OD∥AE，
∴∠OAD＝∠ADC＝30°，∠CAO＝∠ADC＝30°，
∴AC＝CD，
∵AD＝AD，
∴△ACD≌△AOD，
∴AC＝AO，
∴AC＝AO＝CD＝OD，
∴四边形ACDO 为菱形；
②设 OD 与 BC 交于 G，
∵AB 为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DE⊥AC，可得四边形CEDG是矩形，
∴DG＝CE，
∵AC＝3CE，
∴OG＝AC＝1.5CE，OD＝2.5CE＝5，
∴CE＝2，AC＝6，
∵AB＝10，
由勾股定理得：BC＝8．