2020年春北师大版九年级数学下册期末模拟测试卷（B卷）

这是一份2020年春北师大版九年级数学下册期末模拟测试卷（B卷），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（每小题3分，共36分）
1．下列函数：y=x（8﹣x），y=1﹣x2，y=，y=x2﹣，其中以x为自变量的二次函数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列说法中正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧相等 B．相等的圆心角所对的弧相等
C．相等的弦所对的弧相等 D．相等的弧所对的圆心角相等
3．如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=（ ）
A． B． C． D．
第3题 第4题
4．一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（ ）
A．米2 B．米2 C．（4+）米2 D．（4+4tanθ）米2
5．函数y=k（x﹣k）与y=kx2，y=（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为（ ）
A． B． C． D．2
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
8．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（ ）
A．y=60（300+20x） B．y=（60﹣x）（300+20x）
C．y=300（60﹣20x） D．y=（60﹣x）（300﹣20x）
9．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=40°，则∠ABD与∠AOD分
别等于（ ）
A．40°，80° B．50°，100° C．50°，80° D．40°，100°
10．设max{m，n}表示m，n（m≠n）两个数中的最大值．例如max{﹣1，2}=2，
max{12，8}=12，则max{2x，x2+2}的结果为（ ）
A．2x﹣x2﹣2 B．2x+x2+2 C．2x D．x2+2
11．如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（ ）
A．π B． C．3+π D．8﹣π
12．如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（1，0），直线x=﹣0.5与此抛物线交于点C，与x轴交于点M，在直线上取点D，使MD=MC，连接AC、BC、AD、BD，某同学根据图象写出下列结论：
①a﹣b=0； ②当﹣2＜x＜1时，y＞0；
③四边形ACBD是菱形； ④9a﹣3b+c＞0你认为其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③
二、填空题（每小题3分，共12分）
13．已知二次函数的图象的顶点为（1，4），且图象过点（﹣1，﹣4），则该二次函数的解析式为 ．
14．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=6，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是 ．
第14题 第15题 第16题
15．如图小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4 m，BC=10 m，CD与地面成30°角，且此时测得1 m杆的影子长为2 m，则电线杆的高度约为 m．（结果保留两位有效数字，≈1.41，≈1.73）
16．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为 ．
三、解答题（本部分共6题，合计52分）
17．（5分）计算：．
18．（6分）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．
（1）求斜坡CD的高度DE；
（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）
19．（7分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点（﹣1，8）并与x轴交于点A，B两点，且点B坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线与y轴交于点C，顶点为点P，求△CPB的面积．
20．（7分）如图所示，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC=∠A，OC⊥BD于点E．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD=12，EC=10，求AD的长．
21．（8分）某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？
（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？
22．（9分）如图，顶点为M的抛物线y=a（x+1）2﹣4分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由．
（3）抛物线上是否存在点N（点N与点M不重合），使得以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的⊙M的内接四边形，点A，B在x轴上，△MBC是边长为2的等边三角形，过点M作直线l与x轴垂直，交⊙M于点E，垂足为点M，且点D平分．（1）求过A，B，E三点的抛物线的解析式；
（2）求证：四边形AMCD是菱形；
（3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2020年春北师大版九年级数学下册期末模拟测试卷（B卷）答案
一、选择题
11.【解析】作DH⊥AE于H，
∵∠AOB=90°，OA=3，OB=2，∴AB==，
由旋转的性质可知，OE=OB=2，DE=EF=AB=，△DHE≌△BOA，
∴DH=OB=2，
阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积
=×5×2+×2×3+﹣=8﹣π，故选：D．
12.【解析】①∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（1，0），
∴该抛物线的对称轴为x=﹣=﹣0.5，∴a=b，a﹣b=0，①正确；
②∵抛物线开口向下，且抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）、B（1，0），
∴当﹣2＜x＜1时，y＞0，②正确；
③∵点A、B关于x=0.5对称，∴AM=BM，
又∵MC=MD，且CD⊥AB，∴四边形ACBD是菱形，③正确；
④当x=﹣3时，y＜0，即y=9a﹣3b+c＜0，④错误．
综上可知：正确的结论为①②③．故选D．
二、填空题
15.【解析】作DE⊥BC于E．则电线杆的高度分3部分进行求解．
BC对应的电线杆的高度：根据同一时刻物高与影长成比例，得10÷2=5；
在Rt△CDE中，根据30°所对的直角边是斜边的一半，得DE=2．再根据勾股定理，得CE=2；
因为DE⊥BC，则DE对应的电线杆高度和DE相等，CE对应的电线杆高度同样根据：同一时刻物高与影长成比例，是2÷2=．故电线杆的高度是5+2+≈8.7．
16.【解析】过点0作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．
∵AB、BC是⊙O的切线，∴点E、F是切点，∴OE、OF是⊙O的半径；∴OE=OF；
在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，∴由勾股定理，得BC=4；
又∵D是BC边的中点，∴S△ABD=S△ACD，
又∵S△ABD=S△ABO+S△BOD，
∴AB•OE+BD•OF=CD•AC，即5×OE+2×0E=2×3，
解得OE=，∴⊙O的半径是．故答案为：．
三、解答题
17.【解析】解：原式=（）2+1﹣（3﹣3）+（﹣8×0.125）3
=+1﹣3+3﹣1
=3﹣3．
18. 【解析】（1）在Rt△DCE中，DC=4米，∠DCE=30°，∠DEC=90°，∴DE=DC=2米；
（2）过D作DF⊥AB，交AB于点F，
∵∠BFD=90°，∠BDF=45°，∴∠BFD=45°，即△BFD为等腰直角三角形，
设BF=DF=x米，∵四边形DEAF为矩形，
∴AF=DE=2米，即AB=（x+2）米，
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，∴BC====米，
BD=BF=x米，DC=4米，∵∠DCE=30°，∠ACB=60°，∴∠DCB=90°，
在Rt△BCD中，根据勾股定理得：2x2=+16，解得：x=4+4，
则AB=（6+4）米．
19. 【解析】（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点（﹣1，8）与点B（3，0），∴解得：
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3
（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴P（2，﹣1）
过点P作PH⊥Y轴于点H，过点B作BM∥y轴交直线PH于点M，
过点C作CN⊥y轴叫直线BM于点N，如下图所示：
S△CPB=S矩形CHMN﹣S△CHP﹣S△PMB﹣S△CNB
=3×4﹣×2×4﹣﹣=3即：△CPB的面积为3
20. 【解析】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠D=90°，∠A+∠ABD=90°．∵∠DBC=∠A，∴∠DBC+∠ABD=90°，
即∠ABC=90°．∴AB⊥BC．∴BC是⊙O的切线．
（2）解：∵OC⊥BD，∴∠OEB=90°，∴OE∥AD，∴BE=ED=BD=6．
∵∠BEC=∠D=90°，∠DBC=∠A，∴△BEC∽△ADB，∴，∴．∴AD=7.2．
21. 【解析】（1）y=300+30（60﹣x）=﹣30x+2100．
（2）设每星期利润为W元，
W=（x﹣40）（﹣30x+2100）=﹣30（x﹣55）2+6750．∴x=55时，W最大值=6750．
∴每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元．
（3）由题意（x﹣40）（﹣30x+2100）≥6480，解得52≤x≤58，
当x=52时，销售300+30×8=540，
当x=58时，销售300+30×2=360，
∴该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件．
22. 【解析】（1）∵抛物线y=a（x+1）2﹣4与y轴相交于点C（0，﹣3）．
∴﹣3=a﹣4，∴a=1，
∴抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4=x2+2x﹣3，
（2）△BCM是直角三角形。理由：由（1）有，抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4，
∵顶点为M的抛物线y=a（x+1）2﹣4，∴M（﹣1，﹣4），
由（1）抛物线解析式为y=x2+2x﹣3，令y=0，
∴x2+2x﹣3=0，∴x1=﹣3，x2=1，
∴A（1，0），B（﹣3，0），
∴BC2=9+9=18，CM2=1+1=2，BM2=4+14=20，
∴BC2+CM2=BM2，∴△BCM是直角三角形，
（3）存在，N（﹣1+，）或N（﹣1﹣，），
∵以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等，
且点M是抛物线的顶点，
∴①点N在x轴上方的抛物线上，如图，
由（2）有△BCM是直角三角形，BC2=18，CM2=2，
∴BC=3，CM=，
∴S△BCM=BC×CM=×3×=3，设N（m，n），
∵以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等，
∴S△ABN+S△ABC=S△BCM+S△ABC，∴S△ABN=S△BCM=3，
∵A（1，0），B（﹣3，0），∴AB=4，
∴S△ABN=×AB×n=×4×n=2n=3，∴n=，
∵N在抛物线解析式为y=x2+2x﹣3的图象上，∴m2+2m﹣3=，
∴m1=﹣1+，m2=﹣1﹣，∴N（﹣1+，）或N（﹣1﹣，）．
②如图2，点N在x轴下方的抛物线上，
∵点C在对称轴的右侧，
∴点N在对称轴右侧不存在，只有在对称轴的左侧，
过点M作MN∥BC，交抛物线于点N，∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴直线BC解析式为y=﹣x﹣3，设MN的解析式为y=﹣x+b
∵抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4①，∴M（﹣1，﹣4），
∴直线MN解析式为y=﹣x﹣5②，联立①②得（舍），，∴N（﹣2，﹣3），
即：N（﹣1+，）或N（﹣1﹣，）或N（﹣2，﹣3）．
23. 【解析】（1）解：由题意可知，△MBC为等边三角形，
点A，B，C，E均在⊙M上，
则MA=MB=MC=ME=2，
又∵CO⊥MB，∴MO=BO=1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），E（﹣1，﹣2），
抛物线顶点E的坐标为（﹣1，﹣2），
设函数解析式为y=a（x+1）2﹣2（a≠0）
把点B（1，0）代入y=a（x+1）2﹣2，解得：a=，
故二次函数解析式为：y=（x+1）2﹣2；
（2）证明：连接DM，
∵△MBC为等边三角形，∴∠CMB=60°，∴∠AMC=120°，
∵点D平分弧AC，∴∠AMD=∠CMD=∠AMC=60°，
∵MD=MC=MA，∴△MCD，△MDA是等边三角形，∴DC=CM=MA=AD，
∴四边形AMCD为菱形（四条边都相等的四边形是菱形）；
（3）解：存在．理由如下：设点P的坐标为（m，n）
∵S△ABP=AB|n|，AB=4∴×4×|n|=5，
即2|n|=5，解得：n=±，
当时，（m+1）2﹣2=，解此方程得：m1=2，m2=﹣4即点P的坐标为（2，），（﹣4，），
当n=﹣时，（m+1）2﹣2=﹣，此方程无解，故所求点P坐标为（2，），（﹣4，）．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
D
D
D
C
D
B
B
B
D
D
D
13
14
15
16
y=﹣2（x﹣1）2+4
12
8.7