2020年春北师大版九年级数学下册期末模拟测试卷（A卷）

这是一份2020年春北师大版九年级数学下册期末模拟测试卷（A卷），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（每小题3分，共36分）
1．下列函数中，不是二次函数的是（ ）
A．y=1﹣x2 B．y=2（x﹣1）2+4
C．y=（x﹣1）（x+4） D．y=（x﹣2）2﹣x2
2．Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，AC=2，则sinA=（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法：①弧分为优弧和劣弧；②半径相等的圆是等圆；③过圆心的线段是直径；④长度相等的弧是等弧；⑤半径是弦，其中错误的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，
则tanA的值是（ ）
A． B． C．2 D．
5．在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有（ ）
①设正方那的边长为x面积为y，则y与x有函数关系；
②x个球队参加比赛，每两个队之间比赛一场，则比赛的场次数y与x之间有函数关系；
③设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x有函数关系；
④若一辆汽车以120km/h的速度匀速行驶，那么汽车行驶的里程y（km）与行驶时间x（h）有函数关系．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∠ABD=60°，CD=2，则阴影部分
的面积为（ ）
A． B．π C．2π D．4π
7．二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（ ）
A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x﹣1）2+3
C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣2）2+4
8．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=160°，则∠BCD=（ ）
A．160° B．100° C．80° D．20°
10．一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足下面函数关系式：
h=﹣5（t﹣1）2+6，则小球距离地面的最大高度是（ ）
A．1米 B．5米 C．6米 D．7米
第9题图 第11题图
11．如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（ ）
A． B．2 C． D．
12．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标
为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2； ②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；
③3a+c＞0 ④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3
⑤当x＜0时，y随x增大而增大；其中结论正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（每小题3分，共12分）
13．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则AB的长为 ．
第13题图 第14题图
14．如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为 ．
15．初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列了如下表格：
根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax2+bx+c在x=3时，y= ．
16．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，
若AC=2，则tanD= ．
三、解答题（本部分共6题，合计52分）
17．（5分）计算：．
18．（6分）如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60米的点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）．
19．（7分）如图，抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E
（1）求直线BC的解析式；
（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．
20．（7分）某宾馆有客房50间，当每间客房每天的定价为220元时，客房会全部住满；当每间客房每天的定价增加10元时，就会有一间客房空闲，设每间客房每天的定价增加x元时，客房入住数为y间．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（2）如果每间客房入住后每天的各种支出为40元，不考虑其他因素，则该宾馆每间客房每天的定价为多少时利润最大？
21．（8分）已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形
（1）求证：△DFB是等腰三角形；
（2）若DA=AF，求证：CF⊥AB．
22．（9分）如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）求证：△ABC是直角三角形；
（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（10分）如图1，在平面直径坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣3，0）．B（1，0），与y轴交于点C
（1）直接写出抛物线的函数解析式；
（2）以OC为半径的⊙O与y轴的正半轴交于点E，若弦CD过AB的中点M，试求出DC的长；
（3）将抛物线向上平移个单位长度（如图2）若动点P（x，y）在平移后的抛物线上，且点P在第三象限，请求出△PDE的面积关于x的函数关系式，并写出△PDE面积的最大值．
2020年春北师大版九年级数学下册期末模拟测试卷（A卷）答案
一、选择题
11.【解析】作直径CD，在Rt△OCD中，CD=6，OC=2，则OD==4，tan∠CDO==，
由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO，则tan∠OBC=，故选：C．
12.【解析】∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，所以②正确；
∵x=﹣=1，即b=﹣2a，而x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，∴a+2a+c=0，所以③错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．故选B．
二、填空题
三、解答题
17.【解析】原式=﹣4+（﹣1）+4+1﹣2+
=﹣4+3﹣+3+
=2．
18. 【解析】：如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M．
在RT△BDN中，BD=30，BN：ND=1：，∴BN=15，DN=15，
∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°，∴四边形CMBN是矩形，
∴CM=BM=15，BM=CN=60﹣15=45，
在RT△ABM中，tan∠ABM==，
∴AM=60，
∴AC=AM+CM=15+60．
19. 【解析】（1）∵抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，
∴令y=0，可得x=或x=，∴A（，0），B（，0）；令x=0，则y=，
∴C点坐标为（0，），设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有，，解得：，
∴直线BC的解析式为：y=x；
（2）设点D的横坐标为m，则坐标为（m，），∴E点的坐标为（m，m），
设DE的长度为d，∵点D是直线BC下方抛物线上一点，则d=m+﹣（m2﹣3m+），
整理得，d=﹣m2+m，
∵a=﹣1＜0，∴当m==时，d最大===，
∴D点的坐标为（，）．
20. 【解析】（1）由题意可得，y=50﹣=，
即y与x的函数关系式是：y=﹣x+50；
（2）当每间客房每天的定价增加x元时，设宾馆的利润为w元，
则w=（﹣x+50）（220+x﹣40）
=﹣，
当x=﹣=160时，w有最大值，
故这一天宾馆每间客房的定价为：220+160=380（元），
即当宾馆每间客房的定价为380元时，宾馆利润最大．
21. 【解析】（1）∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，
∵△AEF为等边三角形，
∴∠CAB=∠EFA=60°，∴∠B=30°，
∵∠EFA=∠B+∠FDB，
∴∠B=∠FDB=30°，
∴△DFB是等腰三角形；
（2）过点A作AM⊥DF于点M，设AF=2a，
∵△AEF是等边三角形，∴FM=EM=a，AM=a，
在Rt△DAM中，AD=AF=2a，AM=，
∴DM=5a，∴DF=BF=6a，∴AB=AF+BF=8a，
在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=4a，
∵AE=EF=AF=2a，∴CE=AC﹣AE=2a，∴∠ECF=∠EFC，
∵∠AEF=∠ECF+∠EFC=60°，∴∠CFE=30°，
∴∠AFC=∠AFE+∠EFC=60°+30°=90°，∴CF⊥AB．
22. 【解析】（1）∵顶点坐标为（1，1），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+1，
又抛物线过原点，∴0=a（0﹣1）2+1，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+1，
即y=﹣x2+2x，
联立抛物线和直线解析式可得，解得或，
∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；
（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，
则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，
∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形；
（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，﹣x2+2x），
∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|，
由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB=，BC=3，
∵MN⊥x轴于点N∴∠ABC=∠MNO=90°，
∴当△ABC和△MNO相似时有=或=，
①当=时，则有=，即|x||﹣x+2|=|x|，
∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，∴x≠0，
∴|﹣x+2|=，即﹣x+2=±，解得x=或x=，此时N点坐标为（，0）或（，0）；
②当=时，则有=，即|x||﹣x+2|=3|x|，
∴|﹣x+2|=3，即﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1，此时N点坐标为（﹣1，0）或（5，0），
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．
23.【解析】（1）将点A（﹣3，0）、B（1，0）代入y=ax2+bx﹣2中，
得：，解得：，∴抛物线的函数解析式为y=x2+x﹣2．
（2）令y=x2+x﹣2中x=0，则y=﹣2，∴C（0，﹣2），∴OC=2，CE=4．
∵A（﹣3，0），B（1，0），点M为线段AB的中点，
∴M（﹣1，0），∴CM==．
∵CE为⊙O的直径，∴∠CDE=90°，∴△COM∽△CDE，∴，∴DC=．
（3）将抛物线向上平移个单位长度后的解析式为y=x2+x﹣2+=x2+x﹣，
令y=x2+x﹣中y=0，即x2+x﹣=0，解得：x1=，x2=．
∵点P在第三象限，∴＜x＜0．过点P作PP′⊥y轴于点P′，过点D作DD′⊥y轴于点D′，如图所示．
在Rt△CDE中，CD=，CE=4，∴DE==，sin∠DCE==，
在Rt△CDD′中，CD=，∠CD′D=90°，∴DD′=CD•sin∠DCE=，CD′==，
OD′=CD′﹣OC=，∴D（﹣，），D′（0，），
∵P（x，x2+x﹣），∴P′（0，x2+x﹣）．
∴S△PDE=S△DD′E+S梯形DD′P′P﹣S△EPP′=DD′•ED′+（DD′+PP′）•D′P′﹣PP′•EP′
=﹣﹣x+2（＜x＜0），
∵S△PDE=﹣﹣x+2=﹣+，＜﹣＜0，
∴当x=﹣时，S△PDE取最大值，最大值为．
故：△PDE的面积关于x的函数关系式为S△PDE=﹣﹣x+2（＜x＜0），
且△PDE面积的最大值为．x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣4
﹣2
…
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
C
C
D
C
A
B
B
B
C
C
B
13
14
15
16
3+
61°
﹣4
2