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人教版七年级下册第八章 二元一次方程组8.1 二元一次方程组课时训练
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这是一份人教版七年级下册第八章 二元一次方程组8.1 二元一次方程组课时训练，共10页。试卷主要包含了高度抽象性，严密逻辑性，广泛应用性等内容，欢迎下载使用。
1．高度抽象性：数学的抽象，在对象上、程度上都不同于其它学科的抽象，数学是借助于抽象建立起来并借助于抽象发展的。
2．严密逻辑性： 数学具有严密的逻辑性，任何数学结论都必须经过逻辑推理的严格证明才能被承认。任何一门科学，都要应用逻辑工具，都有它严谨的一面。
3．广泛应用性：数学作为一种工具或手段，几乎在任何一门科学技术及一切社会领域中都被运用。各门科学的“数学化”，是现代科学发展的一大趋势。
第八章 二元一次方程（组）
8.1 二元一次方程（组）的相关概念（能力提升）
【要点梳理】
知识点一、二元一次方程
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
要点诠释：二元一次方程满足的三个条件：
（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.
（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
要点二、二元一次方程的解
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解．
要点诠释：
(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如：．
(2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．
要点三、二元一次方程组
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
要点诠释：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如 也是二元一次方程组.
要点四、二元一次方程组的解
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
要点诠释：
（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成的形式．
(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个．
【典型例题】
类型一、二元一次方程
例1．已知方程（m﹣2）xn﹣1+2y|m﹣1|=m是关于x、y的二元一次方程，求m、n的值．
【答案与解析】
解：∵（m﹣2）xn﹣1+2y|m﹣1|=m是关于x、y的二元一次方程，
∴n﹣1=1，|m﹣1|=1，
解得：n=2，m=0或2，
若m=2，方程为2y=2，不合题意，舍去，
则m=0，n=2．
举一反三：
【变式1】已知方程是二元一次方程，则m= ，n= .
【答案】-2，
【变式2】方程，当时，它是一元一次方程．
【答案】；
类型二、二元一次方程的解
例2.已知是方程2x﹣6my+8=0的一组解，求m的值．
【答案与解析】
解：∵是方程2x﹣6my+8=0的一组解，
∴2×2﹣6m×（﹣1）+8=0，
解得m=﹣2．
举一反三：
【变式】已知方程2x-y+m-3=0的一个解是，求m的值.
【答案】
解：将代入方程2x-y+m-3=0得，解得.
答：m的值为3.
例3.写出二元一次方程的所有正整数解.
【答案与解析】
解：由原方程得，因为都是正整数，
所以当时，.
所以方程的所有正整数解为：， ， ， .
举一反三：
【变式1】已知是关于x、y的二元一次方程ax﹣（2a﹣3）y=7的解，求a的值．
【答案】
解：把代入方程ax﹣（2a﹣3）y=7，可得：
2a+3（2a﹣3）=7，
解得：a=2．
【变式2】在方程中，若分别取2、、0、－1、－4，求相应的的值.
【答案】将变形得.
把已知值依次代入方程的右边，计算相应值，如下表：
类型三、二元一次方程组及解
例4.甲、乙两人共同解方程组 由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为．乙看错了方程②中的b．得到方程组的解为．试计算：的值．
【答案与解析】
解：把代入②，得-12+b＝-2，所以b＝10．
把代入①，得5a+20＝15，所以a＝-1，
所以．
举一反三：
【变式】已知关于的二元一次方程组 ，
求．
【答案】
解：将代入原方程组得： ，解得 ，
所以．
【巩固练习】
一、选择题
1．一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为6，那么符合条件的两位数的个数有（ ）
A．5 个 B. 6 个 C.7 个 D.8 个
2.方程2x﹣=0，3x+y=0，2x+xy=1，3x+y﹣2x=0，x2﹣x+1=0中，二元一次方程的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3.已知x=2，y=﹣3是二元一次方程5x+my+2=0的解，则m的值为（ ）
A．4B．﹣4C．D．﹣
4.若5x-6y=0，且xy≠0，则的值等于（ ）
A． B. C.1 D. -1
5.若x、y 均为非负数，则方程6x=-7y 的解的情况是（ ）
A．无解 B.有唯一一个解 C.有无数多个解 D.不能确定
6.在早餐店里，王伯伯买5个馒头，3个包子，老板少拿2元，只要50元．李太太买了11个馒头，5个包子，老板以售价的九折优待，只要90元．若馒头每个x元，包子每个y元，则下列哪一个二元一次联立方程式可表示题目中的数量关系? ( )
A． B．
C． D．
二、填空题
7．已知方程是二元一次方程，则m＝________，n＝_________．
8．若方程组的解为，则点P（a，b）在第 象限．
9．在 ，，这四对数值中，是二元一次方程组的解的是________ ．
10. 方程2x+3y=10 中，当3x-6=0 时，y=_________；
11. 方程|a|+|b|=2 的自然数解是_____________；
12.若二元一次方程组的解中，则等于____________.
三、解答题
13．请你写出一个二元一次方程组，使它的解是．
14．甲、乙二人共同解方程组由于看错了方程①中的m值，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的n的值，得到方程组的解为，试求代数式的值．
15．某球迷协会组织36名球迷租乘汽车赴比赛场地，为中国国家男子足球队呐喊助威，可租用的汽车有两种：一种是每辆车可乘8人，另一种是每辆车可乘4人．要求租用的车子不留空座，也不超载．
（1）请你给出三种不同的租车方案；
（2）若8个座位的车子租金是300元/天，4个座位的车子租金是200元/天，请你设计费用最少的租车方案，并简述你的理由．
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】B；
2. 【答案】D；
【解析】解：2x﹣=0是分式方程，不是二元一次方程；
3x+y=0是二元次方程；
2x+xy=1不是二元一次方程；
3x+y﹣2x=0是二元一次方程；
x2﹣x+1=0不是二元一次方程．
故选：D．
3.【答案】
【解析】把x=2，y=﹣3代入二元一次方程5x+my+2=0，得10﹣3m+2=0，解得m=4．
4. 【答案】A；
【解析】将5x＝6y代入后面的代数式化简即得答案．
5. 【答案】B；
【解析】可知：异号或均为0，所以不可能同时为正，只能同时为0.
6. 【答案】B；
【解析】根据题意知，x，y同时满足两个相等关系:①老板少拿2元，只要50元；②老板以售价的九折优待，只要90元，故选B．
二、填空题
7. 【答案】-2，；
【解析】由二元一次方程的定义可得：，所以
8.【答案】四
【解析】：将x=2，y=1代入方程组得：，解得：a=2，b=﹣3，则P（2，﹣3）在第四象限．
9. 【答案】；
【解析】把４组解分别代入方程组验证即可．
10．【答案】2；
【解析】将代入2x+3y=10中可得值．
11.【答案】；
12.【答案】－3∶4；
【解析】将代入中，得，即；将代入
，得，即，即.
三、解答题
13.【解析】
解：答案不唯一，
例如：∵，∴x+y=5, x-y=-1,
∴所求的二元一次方程组可以是．
14.【解析】
解：将代入②中，．
将代入①中-5m+4＝-6，m＝2．
∴ ．
15.【解析】
解：（1）设8个座位的车租x辆，4个座位的车租y辆．
则8x+4y＝36，即2x+y＝9．∵ x，y必须都为非负整数，
∴ x可取0，1，2，3，4，
∴ y的对应值分别为9，7，5，3，1．
因此租车方案有5种，任取三种即可．
（2）因为8个座位的车座位多，相对日租金较少，所以要使费用最少，必须尽量多租8个座位的车．所以符合要求的租车方案为8个座位的车租4辆．
4个座位的车租1辆，此时租车费用为4×300+1×200＝1400(元)．
2
0
－1
－4
－2
2
6
1．高度抽象性：数学的抽象，在对象上、程度上都不同于其它学科的抽象，数学是借助于抽象建立起来并借助于抽象发展的。
2．严密逻辑性： 数学具有严密的逻辑性，任何数学结论都必须经过逻辑推理的严格证明才能被承认。任何一门科学，都要应用逻辑工具，都有它严谨的一面。
3．广泛应用性：数学作为一种工具或手段，几乎在任何一门科学技术及一切社会领域中都被运用。各门科学的“数学化”，是现代科学发展的一大趋势。
第八章 二元一次方程（组）
8.1 二元一次方程（组）的相关概念（能力提升）
【要点梳理】
知识点一、二元一次方程
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
要点诠释：二元一次方程满足的三个条件：
（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.
（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
要点二、二元一次方程的解
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解．
要点诠释：
(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如：．
(2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．
要点三、二元一次方程组
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
要点诠释：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如 也是二元一次方程组.
要点四、二元一次方程组的解
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
要点诠释：
（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成的形式．
(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个．
【典型例题】
类型一、二元一次方程
例1．已知方程（m﹣2）xn﹣1+2y|m﹣1|=m是关于x、y的二元一次方程，求m、n的值．
【答案与解析】
解：∵（m﹣2）xn﹣1+2y|m﹣1|=m是关于x、y的二元一次方程，
∴n﹣1=1，|m﹣1|=1，
解得：n=2，m=0或2，
若m=2，方程为2y=2，不合题意，舍去，
则m=0，n=2．
举一反三：
【变式1】已知方程是二元一次方程，则m= ，n= .
【答案】-2，
【变式2】方程，当时，它是一元一次方程．
【答案】；
类型二、二元一次方程的解
例2.已知是方程2x﹣6my+8=0的一组解，求m的值．
【答案与解析】
解：∵是方程2x﹣6my+8=0的一组解，
∴2×2﹣6m×（﹣1）+8=0，
解得m=﹣2．
举一反三：
【变式】已知方程2x-y+m-3=0的一个解是，求m的值.
【答案】
解：将代入方程2x-y+m-3=0得，解得.
答：m的值为3.
例3.写出二元一次方程的所有正整数解.
【答案与解析】
解：由原方程得，因为都是正整数，
所以当时，.
所以方程的所有正整数解为：， ， ， .
举一反三：
【变式1】已知是关于x、y的二元一次方程ax﹣（2a﹣3）y=7的解，求a的值．
【答案】
解：把代入方程ax﹣（2a﹣3）y=7，可得：
2a+3（2a﹣3）=7，
解得：a=2．
【变式2】在方程中，若分别取2、、0、－1、－4，求相应的的值.
【答案】将变形得.
把已知值依次代入方程的右边，计算相应值，如下表：
类型三、二元一次方程组及解
例4.甲、乙两人共同解方程组 由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为．乙看错了方程②中的b．得到方程组的解为．试计算：的值．
【答案与解析】
解：把代入②，得-12+b＝-2，所以b＝10．
把代入①，得5a+20＝15，所以a＝-1，
所以．
举一反三：
【变式】已知关于的二元一次方程组 ，
求．
【答案】
解：将代入原方程组得： ，解得 ，
所以．
【巩固练习】
一、选择题
1．一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为6，那么符合条件的两位数的个数有（ ）
A．5 个 B. 6 个 C.7 个 D.8 个
2.方程2x﹣=0，3x+y=0，2x+xy=1，3x+y﹣2x=0，x2﹣x+1=0中，二元一次方程的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3.已知x=2，y=﹣3是二元一次方程5x+my+2=0的解，则m的值为（ ）
A．4B．﹣4C．D．﹣
4.若5x-6y=0，且xy≠0，则的值等于（ ）
A． B. C.1 D. -1
5.若x、y 均为非负数，则方程6x=-7y 的解的情况是（ ）
A．无解 B.有唯一一个解 C.有无数多个解 D.不能确定
6.在早餐店里，王伯伯买5个馒头，3个包子，老板少拿2元，只要50元．李太太买了11个馒头，5个包子，老板以售价的九折优待，只要90元．若馒头每个x元，包子每个y元，则下列哪一个二元一次联立方程式可表示题目中的数量关系? ( )
A． B．
C． D．
二、填空题
7．已知方程是二元一次方程，则m＝________，n＝_________．
8．若方程组的解为，则点P（a，b）在第 象限．
9．在 ，，这四对数值中，是二元一次方程组的解的是________ ．
10. 方程2x+3y=10 中，当3x-6=0 时，y=_________；
11. 方程|a|+|b|=2 的自然数解是_____________；
12.若二元一次方程组的解中，则等于____________.
三、解答题
13．请你写出一个二元一次方程组，使它的解是．
14．甲、乙二人共同解方程组由于看错了方程①中的m值，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的n的值，得到方程组的解为，试求代数式的值．
15．某球迷协会组织36名球迷租乘汽车赴比赛场地，为中国国家男子足球队呐喊助威，可租用的汽车有两种：一种是每辆车可乘8人，另一种是每辆车可乘4人．要求租用的车子不留空座，也不超载．
（1）请你给出三种不同的租车方案；
（2）若8个座位的车子租金是300元/天，4个座位的车子租金是200元/天，请你设计费用最少的租车方案，并简述你的理由．
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】B；
2. 【答案】D；
【解析】解：2x﹣=0是分式方程，不是二元一次方程；
3x+y=0是二元次方程；
2x+xy=1不是二元一次方程；
3x+y﹣2x=0是二元一次方程；
x2﹣x+1=0不是二元一次方程．
故选：D．
3.【答案】
【解析】把x=2，y=﹣3代入二元一次方程5x+my+2=0，得10﹣3m+2=0，解得m=4．
4. 【答案】A；
【解析】将5x＝6y代入后面的代数式化简即得答案．
5. 【答案】B；
【解析】可知：异号或均为0，所以不可能同时为正，只能同时为0.
6. 【答案】B；
【解析】根据题意知，x，y同时满足两个相等关系:①老板少拿2元，只要50元；②老板以售价的九折优待，只要90元，故选B．
二、填空题
7. 【答案】-2，；
【解析】由二元一次方程的定义可得：，所以
8.【答案】四
【解析】：将x=2，y=1代入方程组得：，解得：a=2，b=﹣3，则P（2，﹣3）在第四象限．
9. 【答案】；
【解析】把４组解分别代入方程组验证即可．
10．【答案】2；
【解析】将代入2x+3y=10中可得值．
11.【答案】；
12.【答案】－3∶4；
【解析】将代入中，得，即；将代入
，得，即，即.
三、解答题
13.【解析】
解：答案不唯一，
例如：∵，∴x+y=5, x-y=-1,
∴所求的二元一次方程组可以是．
14.【解析】
解：将代入②中，．
将代入①中-5m+4＝-6，m＝2．
∴ ．
15.【解析】
解：（1）设8个座位的车租x辆，4个座位的车租y辆．
则8x+4y＝36，即2x+y＝9．∵ x，y必须都为非负整数，
∴ x可取0，1，2，3，4，
∴ y的对应值分别为9，7，5，3，1．
因此租车方案有5种，任取三种即可．
（2）因为8个座位的车座位多，相对日租金较少，所以要使费用最少，必须尽量多租8个座位的车．所以符合要求的租车方案为8个座位的车租4辆．
4个座位的车租1辆，此时租车费用为4×300+1×200＝1400(元)．
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