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初中数学第六章 实数6.3 实数优秀课后作业题
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这是一份初中数学第六章 实数6.3 实数优秀课后作业题，共14页。试卷主要包含了高度抽象性，严密逻辑性，广泛应用性，8的立方根是2等内容，欢迎下载使用。
1．高度抽象性：数学的抽象，在对象上、程度上都不同于其它学科的抽象，数学是借助于抽象建立起来并借助于抽象发展的。
2．严密逻辑性： 数学具有严密的逻辑性，任何数学结论都必须经过逻辑推理的严格证明才能被承认。任何一门科学，都要应用逻辑工具，都有它严谨的一面。
3．广泛应用性：数学作为一种工具或手段，几乎在任何一门科学技术及一切社会领域中都被运用。各门科学的“数学化”，是现代科学发展的一大趋势。
第六章 实数
6.4 《实数》章末复习（能力提升）
【要点梳理】
要点一：平方根和立方根
要点二：实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；
②有特殊意义的数，如π；
③有特定结构的数，如0.1010010001…
（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.
（4）实数和数轴上点是一一对应的.
2.实数与数轴上的点一 一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
3.实数的三个非负性及性质：
在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；
（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ().
非负数具有以下性质：
（1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
4.实数的运算：
数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
5.实数的大小的比较：
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.
【典型例题】
类型一、有关方根的问题
例1、一个正数的x的平方根是2a﹣3与5﹣a，求a和x的值．
【思路点拨】根据平方根的定义得出2a﹣3+5﹣a=0，进而求出a的值，即可得出x的值．
【答案与解析】
解：∵一个正数的x的平方根是2a﹣3与5﹣a，
∴2a﹣3+5﹣a=0，
解得：a=﹣2，
∴2a﹣3=﹣7，
∴x=（﹣7）2=49．
【总结升华】此题主要考查了平方根的定义，正确把握定义是解题关键．
举一反三：
【变式1】已知，求的平方根。
【答案】
解：由题意得：
解得＝2
∴＝3，，的平方根为±3.
【变式2】若和互为相反数,试求的值。
【答案】
解：∵和互为相反数,
∴3－7＋3＋4＝0
∴3（）＝3，＝1.
例2、已知M是满足不等式的所有整数的和，N是满足不等式的最大整数．求M＋N的平方根．
【答案与解析】
解：∵的所有整数有－1，0，1，2
所有整数的和M＝－1＋1＋0＋2＝2
∵≈2，N是满足不等式的最大整数．
∴N＝2
∴M＋N＝4，M＋N的平方根是±2.
【总结升华】先由已知条件确定M、N的值，再根据平方根的定义求出M＋N的平方根．
类型二、与实数有关的问题
例3、已知是的整数部分，是它的小数部分，求的值．
【思路点拨】一个数是由整数部分＋小数部分构成的.通过估算的整数部分是3，那么它的小数部分就是，再代入式子求值.
【答案与解析】
解：∵是的整数部分，是它的小数部分，
∴
∴.
【总结升华】可用夹挤法来确定，即看介于哪两个相邻的完全平方数之间，然后开平方.这个数减去它的整数部分后就是它的小数部分.
举一反三：
【变式】 若k＜＜k+1（k是整数），则k=（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D．
解：∵k＜＜k+1（k是整数），9＜＜10，∴k=9．
例4、阅读理解，回答问题.
在解决数学问题的过程中，有时会遇到比较两数大小的问题，解决这类问题的关键是根据命题的题设和结论特征，采用相应办法，其中巧用“作差法”是解决此类问题的一种行之有效的方法：若－＞0，则＞；若－＝0，则＝；若－＜0，则＜.
例如：在比较与的大小时，小东同学的作法是：
∵
∴
请你参考小东同学的作法，比较与的大小.
【思路点拨】仿照例题，做差后经过计算判断差与0的关系，从而比较大小.
【答案与解析】
解：∵
∴＜
【总结升华】实数比较大小常用的有作差法和作商法，根据具体情况加以选择.
举一反三：
【变式】实数在数轴上的位置如图所示，则的大小关系是： ；
【答案】；
类型三、实数综合应用
例5、已知、满足，解关于的方程。
【答案与解析】
解：∵
∴2＋8＝0, －＝0,解得＝－4, ＝，代入方程：
【总结升华】先由非负数和为0，则几个非负数分别为0解出、的值，再解方程.
举一反三：
【变式】设、、都是实数，且满足，
求代数式的值。
【答案】
解：∵
∴，解得
∴.
例6、阅读材料：
学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值.
小明的方法：
∵，设（）.∴.
∴.∴.解得 .∴.
问题：（1）请你依照小明的方法，估算的近似值；
（2）请结合上述具体实例，概括出估算的公式：已知非负整数、、，若，且，则_________________(用含、的代数式表示)；
（3）请用（2）中的结论估算的近似值.
【答案与解析】
解：（1）∵，设（）.
∴.
∴.∴.
解得 .
∴.
（2）∵，设（）.
∴.
∴.
∴.
对比，
∴
（3）
∴，
∴6.083.
【总结升华】此题比较新颖，关键是通过阅读材料快速掌握估值的方法.（2）问中要对比式子，找准和，表示出.
【巩固练习】
一.选择题
1．已知、是实数，下列命题结论正确的是（ ）
A．若＞，则＞B．若＞｜｜，则＞
C．若｜｜＞，则＞D．若＞，则＞
2.下列式子表示算术平方根的是 （ ）．
① ② ③
④ ⑤ ⑥
A．①②④ B．①④⑥ C．①⑤⑥ D．①②⑥
3. 下列说法正确的有（ ）
①无限小数不一定是无理数； ②无理数一定是无限小数；
③带根号的数不一定是无理数； ④不带根号的数一定是有理数.
A ①②③ B ②③④ C ①③④ D ①②④
4. 下列语句、式子中 ① 4是16的算术平方根，即②4是16的算术平方根，即③－7是49的算术平方根，即④7是的算术平方根，即其中正确的是（ ）
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④
5. 估计介于（ ）
A．0.4与0.5之间B．0.5与0.6之间C．0.6与0.7之间D．0.7与0.8之间
6.下列运算中正确的是（ ）
A. B.
C. D. ∣∣＝
7. 已知:＝（ ）
A.2360 B.－2360 C.23600 D.－23600
8. －27的立方根与的算术平方根的和是（ ）
A．0B．6
C．6或－12D．0或6
二.填空题
9. 下列命题中正确的有 (填序号)
(1)若那么; (2)两数的和大于等于这两数的差;
(3)若那么; (4)若 则;
(5)
(6)一个数越大,这个数的倒数越小;
(7)有理数加有理数一定是有理数;
(8)无理数加无理数一定是无理数;
(9)无理数乘无理数一定是无理数;
10.若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，则m﹣3n的立方根是 ．
11. 若，则＝ ，若，则＝ .
12. 已知 : .
13. 若有意义，则________.
14. 阅读下列材料：设…①，则…②，则由②－①得：，即.所以….根据上述提供的方法把下列两个数化成分数.
＝ ＝ ；
15. 方程 的解 ＝ _________ .
16. 若则的值等于_________.
三.解答题
17. （2015春•和平区期末）已知一个正数的两个平方根分别为a和2a﹣9
（1）求a的值，并求这个正数；
（2）求17﹣9a2的立方根．
18. 如图所示，已知A、B两点的坐标分别为，．
（1）求△OAB的面积和△ACB的面积（结果保留一位小数）；
（2）比较点A所表示的数与－2.4的大小．
19. 把下列无限循环小数化成分数：（1） （2） （3）
20．细心观察右图，认真分析各式，然后解答问题：
； ；
； ……，……；
（1）请用含n(n为正整数)的等式表示上述变化规律；
（2）观察总结得出结论：三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为：
；
（3）利用上面的结论及规律，请作出等于的长度；
（4）你能计算出的值吗？
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】B；
【解析】B答案表明，故＞.
2. 【答案】D；
【解析】算术平方根的专用记号是“”根号前没有“－”或“±”号.
3. 【答案】A；
4. 【答案】C；
【解析】算术平方根是平方根中符号为正的那个.
5.【答案】C．
【解析】∵2.235，∴﹣1≈1.235，∴≈0.617，∴介于0.6与0.7之间.
6. 【答案】D；
7. 【答案】D；
【解析】2.868向右移动1位，23.6应向右移动3位得23600，考虑到符号，＝－23600.
8. 【答案】A；
【解析】，9的算术平方根是3，故选A.
二.填空题
9. 【答案】（1），（4），（5），（7）；
10.【答案】2.
【解析】若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，∴，解方程得：．
∴m﹣3n=2﹣3×（﹣2）=8．8的立方根是2．故答案为：2．
11.【答案】；；
【解析】正数的平方根有2个，实数有一个与它符号相同的立方根.
12.【答案】0.04858
【解析】23.6向左移动4位，4.858向左移动2位得0.04858.
13.【答案】1；
【解析】≥0，－≥0，得＝0，所以1.
14.【答案】；
【解析】设＝0.777……，10＝7.777……，9＝7, ＝.设＝1.333……，10＝13.333……，9＝12, ＝.
15.【答案】；
【解析】.
16.【答案】1996；
【解析】由得≥1996，原式＝－1995＋＝，＝1995，两边平方得＝1996.
三.解答题
17.【解析】
解：（1）由平方根的性质得，a+2a﹣9=0，
解得a=3，
∴这个正数为32=9；
（2）当a=3时，17﹣9a2=﹣64，
∵﹣64的立方根﹣4，
∴17﹣9a2的立方根为﹣4．
18.【解析】
解：（1）∵ ，，
∴ ，BC＝1，AC＝OA－OC＝．
∴ ．
．
（2）点A表示的实数为，．
∵ 2.24＜2.4，
∴ －2.24＞－2.4，
即
19.【解析】
解：(1) 设 ① 则10＝ ②
②－①得 9＝6
∴，即
(2) 设 ① 则 ②
②－①，得 99＝23
∴，即.
(3) 设 ① 则 ②
②－①，得 999＝107，
∴，即.
20.【解析】
解：（1）．
（2）直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．
（3）略．
类型
项目
平方根
立方根
被开方数
非负数
任意实数
符号表示
性质
一个正数有两个平方根，且互为相反数；
零的平方根为零；
负数没有平方根；
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根；
零的立方根是零；
重要结论
1．高度抽象性：数学的抽象，在对象上、程度上都不同于其它学科的抽象，数学是借助于抽象建立起来并借助于抽象发展的。
2．严密逻辑性： 数学具有严密的逻辑性，任何数学结论都必须经过逻辑推理的严格证明才能被承认。任何一门科学，都要应用逻辑工具，都有它严谨的一面。
3．广泛应用性：数学作为一种工具或手段，几乎在任何一门科学技术及一切社会领域中都被运用。各门科学的“数学化”，是现代科学发展的一大趋势。
第六章 实数
6.4 《实数》章末复习（能力提升）
【要点梳理】
要点一：平方根和立方根
要点二：实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；
②有特殊意义的数，如π；
③有特定结构的数，如0.1010010001…
（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.
（4）实数和数轴上点是一一对应的.
2.实数与数轴上的点一 一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
3.实数的三个非负性及性质：
在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；
（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ().
非负数具有以下性质：
（1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
4.实数的运算：
数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
5.实数的大小的比较：
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.
【典型例题】
类型一、有关方根的问题
例1、一个正数的x的平方根是2a﹣3与5﹣a，求a和x的值．
【思路点拨】根据平方根的定义得出2a﹣3+5﹣a=0，进而求出a的值，即可得出x的值．
【答案与解析】
解：∵一个正数的x的平方根是2a﹣3与5﹣a，
∴2a﹣3+5﹣a=0，
解得：a=﹣2，
∴2a﹣3=﹣7，
∴x=（﹣7）2=49．
【总结升华】此题主要考查了平方根的定义，正确把握定义是解题关键．
举一反三：
【变式1】已知，求的平方根。
【答案】
解：由题意得：
解得＝2
∴＝3，，的平方根为±3.
【变式2】若和互为相反数,试求的值。
【答案】
解：∵和互为相反数,
∴3－7＋3＋4＝0
∴3（）＝3，＝1.
例2、已知M是满足不等式的所有整数的和，N是满足不等式的最大整数．求M＋N的平方根．
【答案与解析】
解：∵的所有整数有－1，0，1，2
所有整数的和M＝－1＋1＋0＋2＝2
∵≈2，N是满足不等式的最大整数．
∴N＝2
∴M＋N＝4，M＋N的平方根是±2.
【总结升华】先由已知条件确定M、N的值，再根据平方根的定义求出M＋N的平方根．
类型二、与实数有关的问题
例3、已知是的整数部分，是它的小数部分，求的值．
【思路点拨】一个数是由整数部分＋小数部分构成的.通过估算的整数部分是3，那么它的小数部分就是，再代入式子求值.
【答案与解析】
解：∵是的整数部分，是它的小数部分，
∴
∴.
【总结升华】可用夹挤法来确定，即看介于哪两个相邻的完全平方数之间，然后开平方.这个数减去它的整数部分后就是它的小数部分.
举一反三：
【变式】 若k＜＜k+1（k是整数），则k=（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D．
解：∵k＜＜k+1（k是整数），9＜＜10，∴k=9．
例4、阅读理解，回答问题.
在解决数学问题的过程中，有时会遇到比较两数大小的问题，解决这类问题的关键是根据命题的题设和结论特征，采用相应办法，其中巧用“作差法”是解决此类问题的一种行之有效的方法：若－＞0，则＞；若－＝0，则＝；若－＜0，则＜.
例如：在比较与的大小时，小东同学的作法是：
∵
∴
请你参考小东同学的作法，比较与的大小.
【思路点拨】仿照例题，做差后经过计算判断差与0的关系，从而比较大小.
【答案与解析】
解：∵
∴＜
【总结升华】实数比较大小常用的有作差法和作商法，根据具体情况加以选择.
举一反三：
【变式】实数在数轴上的位置如图所示，则的大小关系是： ；
【答案】；
类型三、实数综合应用
例5、已知、满足，解关于的方程。
【答案与解析】
解：∵
∴2＋8＝0, －＝0,解得＝－4, ＝，代入方程：
【总结升华】先由非负数和为0，则几个非负数分别为0解出、的值，再解方程.
举一反三：
【变式】设、、都是实数，且满足，
求代数式的值。
【答案】
解：∵
∴，解得
∴.
例6、阅读材料：
学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值.
小明的方法：
∵，设（）.∴.
∴.∴.解得 .∴.
问题：（1）请你依照小明的方法，估算的近似值；
（2）请结合上述具体实例，概括出估算的公式：已知非负整数、、，若，且，则_________________(用含、的代数式表示)；
（3）请用（2）中的结论估算的近似值.
【答案与解析】
解：（1）∵，设（）.
∴.
∴.∴.
解得 .
∴.
（2）∵，设（）.
∴.
∴.
∴.
对比，
∴
（3）
∴，
∴6.083.
【总结升华】此题比较新颖，关键是通过阅读材料快速掌握估值的方法.（2）问中要对比式子，找准和，表示出.
【巩固练习】
一.选择题
1．已知、是实数，下列命题结论正确的是（ ）
A．若＞，则＞B．若＞｜｜，则＞
C．若｜｜＞，则＞D．若＞，则＞
2.下列式子表示算术平方根的是 （ ）．
① ② ③
④ ⑤ ⑥
A．①②④ B．①④⑥ C．①⑤⑥ D．①②⑥
3. 下列说法正确的有（ ）
①无限小数不一定是无理数； ②无理数一定是无限小数；
③带根号的数不一定是无理数； ④不带根号的数一定是有理数.
A ①②③ B ②③④ C ①③④ D ①②④
4. 下列语句、式子中 ① 4是16的算术平方根，即②4是16的算术平方根，即③－7是49的算术平方根，即④7是的算术平方根，即其中正确的是（ ）
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④
5. 估计介于（ ）
A．0.4与0.5之间B．0.5与0.6之间C．0.6与0.7之间D．0.7与0.8之间
6.下列运算中正确的是（ ）
A. B.
C. D. ∣∣＝
7. 已知:＝（ ）
A.2360 B.－2360 C.23600 D.－23600
8. －27的立方根与的算术平方根的和是（ ）
A．0B．6
C．6或－12D．0或6
二.填空题
9. 下列命题中正确的有 (填序号)
(1)若那么; (2)两数的和大于等于这两数的差;
(3)若那么; (4)若 则;
(5)
(6)一个数越大,这个数的倒数越小;
(7)有理数加有理数一定是有理数;
(8)无理数加无理数一定是无理数;
(9)无理数乘无理数一定是无理数;
10.若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，则m﹣3n的立方根是 ．
11. 若，则＝ ，若，则＝ .
12. 已知 : .
13. 若有意义，则________.
14. 阅读下列材料：设…①，则…②，则由②－①得：，即.所以….根据上述提供的方法把下列两个数化成分数.
＝ ＝ ；
15. 方程 的解 ＝ _________ .
16. 若则的值等于_________.
三.解答题
17. （2015春•和平区期末）已知一个正数的两个平方根分别为a和2a﹣9
（1）求a的值，并求这个正数；
（2）求17﹣9a2的立方根．
18. 如图所示，已知A、B两点的坐标分别为，．
（1）求△OAB的面积和△ACB的面积（结果保留一位小数）；
（2）比较点A所表示的数与－2.4的大小．
19. 把下列无限循环小数化成分数：（1） （2） （3）
20．细心观察右图，认真分析各式，然后解答问题：
； ；
； ……，……；
（1）请用含n(n为正整数)的等式表示上述变化规律；
（2）观察总结得出结论：三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为：
；
（3）利用上面的结论及规律，请作出等于的长度；
（4）你能计算出的值吗？
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】B；
【解析】B答案表明，故＞.
2. 【答案】D；
【解析】算术平方根的专用记号是“”根号前没有“－”或“±”号.
3. 【答案】A；
4. 【答案】C；
【解析】算术平方根是平方根中符号为正的那个.
5.【答案】C．
【解析】∵2.235，∴﹣1≈1.235，∴≈0.617，∴介于0.6与0.7之间.
6. 【答案】D；
7. 【答案】D；
【解析】2.868向右移动1位，23.6应向右移动3位得23600，考虑到符号，＝－23600.
8. 【答案】A；
【解析】，9的算术平方根是3，故选A.
二.填空题
9. 【答案】（1），（4），（5），（7）；
10.【答案】2.
【解析】若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，∴，解方程得：．
∴m﹣3n=2﹣3×（﹣2）=8．8的立方根是2．故答案为：2．
11.【答案】；；
【解析】正数的平方根有2个，实数有一个与它符号相同的立方根.
12.【答案】0.04858
【解析】23.6向左移动4位，4.858向左移动2位得0.04858.
13.【答案】1；
【解析】≥0，－≥0，得＝0，所以1.
14.【答案】；
【解析】设＝0.777……，10＝7.777……，9＝7, ＝.设＝1.333……，10＝13.333……，9＝12, ＝.
15.【答案】；
【解析】.
16.【答案】1996；
【解析】由得≥1996，原式＝－1995＋＝，＝1995，两边平方得＝1996.
三.解答题
17.【解析】
解：（1）由平方根的性质得，a+2a﹣9=0，
解得a=3，
∴这个正数为32=9；
（2）当a=3时，17﹣9a2=﹣64，
∵﹣64的立方根﹣4，
∴17﹣9a2的立方根为﹣4．
18.【解析】
解：（1）∵ ，，
∴ ，BC＝1，AC＝OA－OC＝．
∴ ．
．
（2）点A表示的实数为，．
∵ 2.24＜2.4，
∴ －2.24＞－2.4，
即
19.【解析】
解：(1) 设 ① 则10＝ ②
②－①得 9＝6
∴，即
(2) 设 ① 则 ②
②－①，得 99＝23
∴，即.
(3) 设 ① 则 ②
②－①，得 999＝107，
∴，即.
20.【解析】
解：（1）．
（2）直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．
（3）略．
类型
项目
平方根
立方根
被开方数
非负数
任意实数
符号表示
性质
一个正数有两个平方根，且互为相反数；
零的平方根为零；
负数没有平方根；
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根；
零的立方根是零；
重要结论
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