人教A版高中数学必修第二册第10章10-1-1有限样本空间与随机事件学案

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10.1　随机事件与概率10.1.1　有限样本空间与随机事件观察下列试验，思考这类现象的共性是什么．(1)抛掷一枚硬币，观察正面、反面出现的情况；(2)抛掷一枚骰子，观察出现点数的情况．知识点1　随机试验1．定义：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，常用字母E来表示．2．特点：(1)试验可以在相同条件下重复进行；(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．知识点2　样本空间知识点3　事件的分类1．下列现象中，是随机现象的有________．(填序号)①在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆；②若a为整数，则a＋1为整数；③发射一枚炮弹，命中目标；④检查流水线上一件产品是合格品还是次品．[答案]　①③④2．从数字1，2，3中任取两个数字，则该试验的样本空间Ω＝________．[答案]　{(1，2)，(1，3)，(2，3)}3．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：①“在这200件产品中任意选9件，全部是一级品”；②“在这200件产品中任意选9件，全部都是二级品”；③“在这200件产品中任意选9件，不全是一级品”．其中________是随机事件；________是不可能事件．(填上事件的编号)[答案]　①③　② 类型1　事件类型的判断【例1】　下列事件中，随机事件是________．(填序号)(1)任取一个整数，被2整除；(2)李明在高一期末考试中数学成绩在120分以上；(3)甲、乙两人进行竞技比赛，甲的实力远胜于乙，在一次比赛中甲一定获胜；(4)当圆的半径变为原来的2倍时，圆的面积是原来的4倍．(1)(2)(3)　[(1)(2)(3)均是可能发生也可能不发生的事件，为随机事件，(4)是一定发生的事件，为必然事件．]　判断一个事件是哪类事件要看两点一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件． [跟进训练]1．下列事件中，必然事件是________；不可能事件是________；随机事件是________．(填序号)(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；(2)三角形的内角和为180°；(3)没有空气和水，人类可以生存下去；(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；(5)从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签．(2)　(3)　(1)(4)(5)　[(1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．(2)所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件．(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．(4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件．(5)任意抽取，可能得到1，2，3，4号标签中的任一张，所以是随机事件．] 类型2　确定试验的样本空间【例2】　抛掷一枚骰子，观察其朝上面的点数，该试验的样本空间含6个样本点．(1)若将一枚骰子先后抛掷两次，请列举出该试验的样本空间所包含的样本点；(2)“向上的点数之和大于8”包含几个样本点？[解]　(1)用(x，y)表示结果，其中x表示骰子第1次出现的点数，y表示骰子第2次出现的点数，则试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，共36个样本点．法一(列举法)：(2)“出现的点数之和大于8”包含以下10个样本点：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．法二(列表法)：如图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，样本点与所描点一一对应．(2)“点数之和大于8”包含10个样本点(已用虚线圈出)．法三(树状图法)：一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示．如图所示，(2)“点数之和大于8”包含10个样本点(已用“√”标出)．　样本点个数的三个探求方法(1)列举法：适用样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏．(2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法，列表法的优点是准确、全面、不易遗漏．(3)树状图法：适用较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举．[跟进训练]2．一个口袋内装有大小相同的4个球，其中2个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球．(1)共有多少个样本点？(2)2个球颜色不同包含几个样本点？[解]　分别记白球为1，2号，黑球为3，4号．(1)则有以下样本点：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6个样本点(其中(1，2)表示摸到1号、2号)．(2)“2个球颜色不同”包含(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)4个样本点． 类型3　随机事件的含义【例3】　柜子里有3双不同的鞋，随机抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚，指出下列随机事件的含义．(1)M＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}；(2)N＝{A1B1，B1C1，A1C1}；(3)P＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}．[解]　(1)事件M的含义是“从3双不同的鞋中，随机抽取2只，取出的2只鞋不成双”．(2)事件N的含义是“从3双不同的鞋中，随机抽取2只，取出的2只鞋都是左脚的”．(3)事件P的含义是“从3双不同的鞋中，随机抽取2只，取到的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，且不成双”．　解答此类题目，应先理解事件中样本点的意义，再观察事件中样本点的规律，才能确定随机事件的含义．[跟进训练]3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)(不考虑指针落在分界线上的情况)．(1)写出这个试验的样本空间；(2)写出事件A：“x＋y＝5”和事件B：“x1”的集合表示；(3)说出事件C＝{(1，4)，(2，2)，(4，1)}，D＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)}所表示的含义．[解]　(1)这个试验的样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．(2)事件A＝{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}；事件B＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)}．(3)事件C表示“xy＝4”，事件D表示“x＝y”．1．(多选)下列事件是随机事件的是(　　)A．东边日出西边雨B．下雪不冷化雪冷C．清明时节雨纷纷D．梅子黄时日日晴ACD　[B是必然事件，其余都是随机事件．]2．从含有8件正品、2件次品的10件产品中，任意抽取3件，则必然事件是(　　)A．3件都是正品B．至少有1件次品C．3件都是次品D．至少有1件正品D　[将抽到正品记为1，次品记为0，则样本空间Ω＝{(1，1，0)，(1，0，0)，(1，1，1)}，因此至少有1件正品为必然事件．]3．依次投掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验的样本点是(　　)A．第一枚是3点，第二枚是1点B．第一枚是3点，第二枚是1点或第一枚是1点，第二枚是3点或两枚都是2点C．两枚都是4点D．两枚都是2点B　[依次投掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验的样本点是第一枚是3点，第二枚是1点或第一枚是1点，第二枚是3点或两枚都是2点．故选B.]4．一个家庭有两个小孩，则关于两个孩子的性别的随机事件的样本空间Ω＝________．[答案]　{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}回顾本节知识，自主完成以下问题：1．确定样本点个数的常用方法有哪些？书写样本点时常常注意哪些问题？[提示]　确定样本点个数的常用方法有：列举法、列表法、树状图法．书写样本点时常常注意以下问题：要按顺序写，特别要注意题目中的有关字眼，如“先后”“依次”“顺序”“放回”“不放回”等．2．如何写出试验的样本空间？[提示]　确定试验的样本空间就是写出试验的所有可能的结果，并写成Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}的形式．3．如何判断一个事件是否为随机事件、必然事件和不可能事件？[提示]　看结果是否发生，一定发生的是必然事件，一定不发生的是不可能事件，可能发生也可能不发生的是随机事件．课时分层作业(四十四)　有限样本空间与随机事件一、选择题1．下列现象中，不可能事件是(　　)A．三角形的内角和为180°B．a⊥α，b⊥α，a∥bC．锐角三角形中两内角和小于90°D．三角形中任意两边之和大于第三边C　[锐角三角形中两内角和大于90°.]2．试验E：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空间为(　　)A．{10，11，…，99}　 B．{1，2，…，18}C．{0，1，…，18} D．{1，2，…，10}[答案]　B3．某校高一年级要组建书法、乒乓球、机器人、篮球四个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则样本点共有(　　)A．3个　　 B．4个　　 C．5个　　 D．6个D　[该生选报的所有可能情况是：书法和乒乓球、书法和机器人、书法和篮球、乒乓球和机器人、乒乓球和篮球、机器人和篮球，所以样本点有6个．]4．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，观察选出的2人，设事件M为“甲被选中”，则事件M含有的样本点个数为(　　)A．2 B．4 C．6 D．8B　[设5名学生分别为甲、乙、丙、丁、戊，则M＝{甲乙，甲丙，甲丁，甲戊}，∴M含有4个样本点．]5．在一个袋子中装有分别标注1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外其他完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的样本点个数为(　　)A．2 B．4 C．6 D．8B　[从5个小球中任取2个，其中数字之差的绝对值为2或4的事件包含(1，3)，(1，5)，(2，4)，(3，5)，共4个样本点．故选B.]二、填空题6．投掷两枚骰子，点数之和为8所包含的样本点有______个．5　[样本点为(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，共5个．]7．下列试验中是随机事件的有________．①某收费站在一天内通过的车辆数；②一个平行四边形的对边平行且相等；③某运动员在下届奥运会上获得冠军；④某同学在回家的路上捡到100元钱；⑤没有水和阳光的条件下，小麦的种子发芽．①③④　[①③④都是随机事件，②是必然事件，⑤是不可能事件．]8．从1，2，3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为________，满足“它是偶数”样本点的个数为________．Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}　5　[样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，其中满足“它是偶数”样本点有：2，4，6，8，10，共有5个．]三、解答题9．已知集合M＝{－2，3}，N＝{－4，5，6}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标．(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个试验样本点的总数；(3)写出“第一象限内的点”所包含的样本点．[解]　(1)Ω＝{(－2，－4)，(－2，5)，(－2，6)，(3，－4)，(3，5)，(3，6)，(－4，－2)，(5，－2)，(6，－2)，(－4，3)，(5，3)，(6，3)}．(2)试验样本点的总数是12.(3)“第一象限内的点”所包含的样本点为：(3，5)，(3，6)，(5，3)，(6，3)．10．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不是随机事件的是(　　)A．3件都是正品 B．至少有1件次品C．3件都是次品 D．恰有1件正品C　[25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品，则“3件都是次品”不是随机事件．]11．(多选)给出关于满足A⊆B的非空集合A，B的四个命题，其中正确的命题是(　　)A．若任取x∈A，则x∈B是必然事件B．若任取x∉A，则x∈B是不可能事件C．若任取x∈B，则x∈A是随机事件D．若任取x∉B，则x∉A是必然事件ACD　[根据A⊆B的Venn图(图略)可知，对于A，集合A中的所有元素都在B中，故A正确；对于B，当集合B的范围比A大时，不在A中的元素，有可能在B中，故B错误，应为“若任取x∉A，则x∈B是随机事件”；对于C，因为A⊆B，所以在B中的元素有可能在A中，易知C正确；对于D，由于B包含A，故若所取元素不在B中，则必不在A中，故D正确．]12．将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，得到的点数依次记为a，b，设事件M为“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”，则事件M中含有样本点的个数为(　　)A．6 B．17 C．19 D．21C　[将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，得到的点数依次记为a和b，∵方程ax2＋bx＋1＝0(a＞0)有实数解，∴Δ＝b2－4a≥0，则M＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，5)，(6，6)}，共含19个样本点．]13．写出下列试验的样本空间：(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)________；(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数________．(1)Ω＝{胜，平，负}　(2)Ω＝{0，1，2，3，4}[(1)对于甲队来说，有胜、平、负三种结果．(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，其次品的个数可能为0，1，2，3，4，不能再有其他结果．]14．甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布)．(1)写出样本空间；(2)用集合表示事件“甲赢”；(3)用集合表示事件“平局”．[解]　(1)Ω＝{(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)}．(2)记“甲赢”为事件A，则A＝{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)}．(3)记“平局”为事件B，则B＝{(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}．15．设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S1，S2，…，S10共10站．若甲在S3站买票，乙在S6站买票．设试验的样本空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达的站的集合，B表示乙可能到达的站的集合．(1)写出该试验的样本空间Ω；(2)写出A，B包含的样本点；(3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？[解]　(1)Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}．(2)A＝{S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}；B＝{S7，S8，S9，S10}．(3)铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种，从S2站发车的车票共计8种，……，从S9站发车的车票1种，合计共9＋8＋…＋2＋1＝45(种)．学习任务1．结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义．(数学抽象)2．理解随机事件与样本点的关系．(数学建模)定义样本点随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，用ω表示样本点样本空间全体样本点的集合Ω称为试验E的样本空间有限样本空间如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间随机事件将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生必然事件Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，称Ω为必然事件不可能事件空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，称∅为不可能事件