人教版高中数学选择性必修第二册等比数列的概念(第1课时)分层作业(含解析)

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这是一份人教版高中数学选择性必修第二册等比数列的概念(第1课时)分层作业(含解析)，共9页。

eq \f(基础对点练,基础考点分组训练)
知识点1 等比数列的概念与通项公式
1．(5分)在等比数列{an}中，已知a1＝32，q＝－eq \f(1,2)，则a6等于( )
A．1 B．－eq \f(1,2)
C．－1 D．eq \f(1,2)
2．(5分)在等比数列{an}中，已知a1＝2，an＝16，q＝2，则n为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
3．(5分)下面四个数列中，一定是等比数列的是( )
A．q,2q,4q,6q
B．q，q2，q3，q4
C．q,2q,4q,8q
D．eq \f(1,q)，eq \f(1,q2)，eq \f(1,q3)，eq \f(1,q4)
4．(5分)在等比数列{an}中，a2 021＝－8a2 018，则公比q等于( )
A．2 B．－2
C．±2 D．eq \f(1,2)
5．(5分)在等比数列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为( )
A．16 B．27
C．36 D．81
知识点2 等比中项及应用
6．(5分)若a，b，c成等差数列，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))a，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))b，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))c一定( )
A．成等差数列
B．成等比数列
C．既成等差数列也成等比数列
D．既不成等差数列也不成等比数列
7．(5分)已知在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝9，则a3＝( )
A．±3 B．3
C．±5 D．5
8.(5分)在等比数列{an}中，若a1＝eq \f(1,8)，q＝2，则a4与a8的等比中项是________．
知识点3 等比数列的判断
9．(5分)(多选)已知数列{an}是等比数列，给出以下数列，其中一定是等比数列的是( )
A．{|an|}
B．{an－an＋1}
C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(a1,an)))
D．{kan}
10．(5分)设Sn是数列{an}的前n项和，若Sn＝2an－3，则Sn＝( )
A．2n＋1
B．2n＋1－1
C．3×2n－3
D．3×2n－1
11.(5分)在数列{an}中，已知a1＝3，且对任意正整数n都有2an＋1－an＝0，则an＝________.
12.(5分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则an＝________.
eq \f(能力提升练,能力考点拓展提升)
13.(5分)2＋eq \r(3)和2－eq \r(3)的等比中项是( )
A．1 B．－1
C．±1 D．2
14．(5分)由首项a1＝1，公比q＝2确定的等比数列{an}中，当an＝64时，序号n等于( )
A．4 B．5
C．6 D．7
15．(5分)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝eq \f(1,4)，则公比q＝( )
A．－eq \f(1,2) B．－2
C．2 D．eq \f(1,2)
16．(5分)若a，b，c成等差数列，而a＋1，b，c和a，b，c＋2都分别成等比数列，则b的值为( )
A．16 B．15
C．14 D．12
17.(5分)已知等比数列{an}，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝________.
18.(5分)已知数列{an}是首项a1＝4的等比数列，且4a1，a5，－2a3成等差数列，则其公比q等于________．
19.(5分)在两数1,16之间插入3个数，使它们成等比数列，则中间的数等于________．
20.(5分)已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，求a7.
21.(10分)已知数列{an}满足Sn＝4an－1(n∈N*)，求证：数列{an}是等比数列，并求出其通项公式．
22.(10分)已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.
人教版高中数学选择性必修第二册等比数列的概念(第1课时)分层作业(解析版)
(60分钟 120分)
eq \f(基础对点练,基础考点分组训练)
知识点1 等比数列的概念与通项公式
1．(5分)在等比数列{an}中，已知a1＝32，q＝－eq \f(1,2)，则a6等于( )
A．1 B．－eq \f(1,2)
C．－1 D．eq \f(1,2)
C 解析：a6＝32×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))5＝－1.故选C．
2．(5分)在等比数列{an}中，已知a1＝2，an＝16，q＝2，则n为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
C 解析：根据an＝a1qn－1，得16＝2×2n－1，解得n＝4.
3．(5分)下面四个数列中，一定是等比数列的是( )
A．q,2q,4q,6q
B．q，q2，q3，q4
C．q,2q,4q,8q
D．eq \f(1,q)，eq \f(1,q2)，eq \f(1,q3)，eq \f(1,q4)
D 解析：A项不符合等比数列定义；B，C两项中q不等于0时是等比数列，q＝0时不是等比数列；D项符合等比数列的定义，公比是eq \f(1,q).
4．(5分)在等比数列{an}中，a2 021＝－8a2 018，则公比q等于( )
A．2 B．－2
C．±2 D．eq \f(1,2)
B 解析：∵eq \f(a2 021,a2 018)＝q3＝－8，∴q＝－2.
5．(5分)在等比数列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为( )
A．16 B．27
C．36 D．81
B 解析：设等比数列{an}的公比为q，
∵a2＝1－a1，a4＝9－a3，
∴a1＋a2＝1，a3＋a4＝9.
∴eq \f(a4＋a3,a1＋a2)＝eq \f(a31＋q,a11＋q)＝q2＝9.∴q＝±3.
∵an>0，∴q＝3.
∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.
知识点2 等比中项及应用
6．(5分)若a，b，c成等差数列，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))a，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))b，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))c一定( )
A．成等差数列
B．成等比数列
C．既成等差数列也成等比数列
D．既不成等差数列也不成等比数列
B 解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
∴eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))b))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))c成立．
∴这三个数成等比数列．
7．(5分)已知在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝9，则a3＝( )
A．±3 B．3
C．±5 D．5
B 解析：设等比数列{an}的公比为q，
∵aeq \\al(2,3)＝a1·a5＝9，∴a3＝±3.
∵a3＝a1·q2>0，∴a3＝3.
8.(5分)在等比数列{an}中，若a1＝eq \f(1,8)，q＝2，则a4与a8的等比中项是________．
±4 解析：因为a6是a4与a8的等比中项，a6＝a1q6－1＝4，所以a4与a8的等比中项是±4.
知识点3 等比数列的判断
9．(5分)(多选)已知数列{an}是等比数列，给出以下数列，其中一定是等比数列的是( )
A．{|an|}
B．{an－an＋1}
C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(a1,an)))
D．{kan}
AC 解析：设等比数列{an}的公比为q，
∵eq \f(|an|,|an－1|)＝|q|，∴{|an|}是等比数列；
当{an}为常数列时，an－an＋1＝0，∴{an－an＋1}不是等比数列；
∵eq \f(\f(a1,an),\f(a1,an－1))＝eq \f(an－1,an)＝eq \f(1,q)，
∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(a1,an)))是等比数列；
当k＝0时，kan＝0，∴{kan}不是等比数列．
故只有AC一定是等比数列．
10．(5分)设Sn是数列{an}的前n项和，若Sn＝2an－3，则Sn＝( )
A．2n＋1
B．2n＋1－1
C．3×2n－3
D．3×2n－1
C 解析：∵Sn＝2an－3，∴a1＝2a1－3，∴a1＝3.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－3－(2an－1－3)＝2an－2an－1.
∴an＝2an－1，即eq \f(an,an－1)＝2.
∴{an}是等比数列，首项为3，公比为2.
∴an＝3×2n－1.∴Sn＝3×2n－3.
11.(5分)在数列{an}中，已知a1＝3，且对任意正整数n都有2an＋1－an＝0，则an＝________.
3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1 解析：∵2an＋1－an＝0，
∴eq \f(an＋1,an)＝eq \f(1,2).
∴{an}是等比数列，且公比q＝eq \f(1,2).
∴an＝a1·qn－1＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1.
12.(5分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则an＝________.
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，n＝1，,\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))n－2，n≥2)) 解析：∵Sn＝2an＋1，
∴a1＝2a2，∴a2＝eq \f(1,2).
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an，
∴3an＝2an＋1，即eq \f(an＋1,an)＝eq \f(3,2).
∵eq \f(a2,a1)＝eq \f(1,2)≠eq \f(3,2)，∴an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，n＝1，,\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))n－2，n≥2.))
eq \f(能力提升练,能力考点拓展提升)
13.(5分)2＋eq \r(3)和2－eq \r(3)的等比中项是( )
A．1 B．－1
C．±1 D．2
C 解析：根据等比中项的定义有G＝±eq \r(2＋\r(3)×2－\r(3))＝±1.
14．(5分)由首项a1＝1，公比q＝2确定的等比数列{an}中，当an＝64时，序号n等于( )
A．4 B．5
C．6 D．7
D 解析：∵an＝a1·qn－1＝2n－1＝64，∴n＝7.
15．(5分)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝eq \f(1,4)，则公比q＝( )
A．－eq \f(1,2) B．－2
C．2 D．eq \f(1,2)
D 解析：∵eq \f(a5,a2)＝q3＝eq \f(1,8)，∴q＝eq \f(1,2).
16．(5分)若a，b，c成等差数列，而a＋1，b，c和a，b，c＋2都分别成等比数列，则b的值为( )
A．16 B．15
C．14 D．12
D 解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
∵a＋1，b，c与a，b，c＋2都分别成等比数列，
∴b2＝(a＋1)·c，b2＝a·(c＋2)．
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2b＝a＋c，,b2＝a＋1c，,b2＝ac＋2，))解得b＝12.
17.(5分)已知等比数列{an}，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝________.
3×2n－3 解析：设等比数列{an}的公比为q，
∵a3＝3，a10＝384，∴q7＝eq \f(a10,a3)＝128.
∴q＝2，∴an＝a3·qn－3＝3×2n－3.
18.(5分)已知数列{an}是首项a1＝4的等比数列，且4a1，a5，－2a3成等差数列，则其公比q等于________．
±1 解析：∵4a1，a5，－2a3成等差数列，
∴2a5＝4a1－2a3，即a5＝2a1－a3，
∴4q4＝8－4q2.∴q4＋q2－2＝0.
∴q2＝1或q2＝－2(舍)．
∴q＝±1.
19.(5分)在两数1,16之间插入3个数，使它们成等比数列，则中间的数等于________．
4 解析：设插入的三个数为a，b，c，
则有b2＝1×16＝16.又∵b与1同号，∴b＝4.
20.(5分)已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，求a7.
解：设等比数列{an}的公比为q，
∵eq \f(a2＋a3,a1＋a2)＝eq \f(a21＋q,a11＋q)＝q＝2，
∴a1＋2a1＝3a1＝3，∴a1＝1.
∴a7＝a1q6＝64.
21.(10分)已知数列{an}满足Sn＝4an－1(n∈N*)，求证：数列{an}是等比数列，并求出其通项公式．
证明：依题意，得当n≥2时，Sn－1＝4an－1－1，
所以an＝Sn－Sn－1＝(4an－1)－(4an－1－1)，
即3an＝4an－1，所以eq \f(an,an－1)＝eq \f(4,3)，故数列{an}是公比为eq \f(4,3)的等比数列．
因为S1＝4a1－1，即a1＝4a1－1，所以a1＝eq \f(1,3)，
故数列{an}的通项公式是an＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))n－1.
22.(10分)已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.
解：∵a1a3＝aeq \\al(2,2)，∴a1a2a3＝aeq \\al(3,2)＝8，
∴a2＝2.
从而eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a3＝5，,a1a3＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1,a3＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝4，,a3＝1.))
当a1＝1时，q＝2；当a1＝4时，q＝eq \f(1,2).
故an＝2n－1或an＝23－n.