人教版高中数学选择性必修第二册等比数列的前n项和公式(第2课时) 分层作业(含解析)

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这是一份人教版高中数学选择性必修第二册等比数列的前n项和公式(第2课时) 分层作业(含解析)，共7页。

eq \f(基础对点练,基础考点分组训练)
知识点1 等比数列前n项和的性质
1．(5分)设首项为1，公比为eq \f(2,3)的等比数列{an}的前n项和为Sn，则( )
A．Sn＝2an－1 B．Sn＝3an－2
C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2an
2．(5分)在等比数列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＝eq \f(15,8)，a2a3＝－eq \f(9,8)，则eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋eq \f(1,a3)＋eq \f(1,a4)等于( )
A．eq \f(3,5) B．eq \f(5,3)
C．－eq \f(3,5) D．－eq \f(5,3)
3.(5分)等比数列{an}共有2n项，它的全部项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________.
4.(5分)在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝1，a4＋a5＋a6＝－2，则该数列的前15项的和S15＝________.
知识点2 分组求和
5．(5分)数列eq \f(1,2)，eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)，eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,8)，…，eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2n)的前n项和为( )
A．n＋eq \f(1,2n) B．n－1＋eq \f(1,2n)
C．n－1＋eq \f(1,2n＋1) D．n＋eq \f(1,2n－1)
6．(5分)设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1＝0，cn＝an＋bn，若数列{cn}是1,1,2，…，则数列{cn}的前10项和为( )
A．978 B．557
C．467 D．979
知识点3 等差数列与等比数列的综合问题
7．(5分)已知数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1＋ab2＋…＋ab10＝( )
A．1 033 B．1 034
C．2 057 D．2 058
8．(5分)设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝( )
A．2 B．－2
C．eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
9．(5分)(多选)已知{an}为等比数列，Sn是其前n项和．若a2a3＝8a1，且a4与2a5的等差中项为20，则( )
A．a1＝－1 B．公比q＝－2
C．a4＝8 D．S5＝31
eq \f(能力提升练,能力考点拓展提升)10.(5分)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则eq \f(S10,S5)等于( )
A．－3 B．5
C．－31 D．33
11．(5分)设等比数列的前n项和、前2n项和、前3n项和分别为A，B，C，则( )
A．A＋B＝C B．B2＝AC
C．A＋B－C＝B2 D．A2＋B2＝A(B＋C)
12．(5分)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则数列{lg2an}的前12项和等于( )
A．66 B．55
C．45 D．6
13．(5分)已知{an}是等比数列，若a1＝1，a6＝8a3，数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))的前n项和为Tn，则T5＝( )
A．eq \f(31,16) B．31
C．eq \f(15,8) D．eq \f(15,4)
14.(5分)在等比数列{an}中，公比q＝2，前n项和为Sn，若S5＝1，则S10＝________.
15.(5分)若等比数列{an}的前n项和Sn＝2×3n＋r，则r＝________.
16.(12分)已知等差数列{an}(n∈N*)的前n项和为Sn，且a3＝5，S3＝9.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)等比数列{bn}(n∈N*)，若b2＝a2，b3＝a5，求数列{an＋bn}的前n项和Tn.
17.(13分)已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项的和，a1，a7，a4成等差数列，求证：2S3，S6，S12－S6成等比数列．
人教版高中数学选择性必修第二册等比数列的前n项和公式(第2课时) 分层作业(解析版)
(50分钟 100分)
eq \f(基础对点练,基础考点分组训练)
知识点1 等比数列前n项和的性质
1．(5分)设首项为1，公比为eq \f(2,3)的等比数列{an}的前n项和为Sn，则( )
A．Sn＝2an－1 B．Sn＝3an－2
C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2an
D 解析：在等比数列{an}中，Sn＝eq \f(a1－anq,1－q)＝eq \f(1－an×\f(2,3),1－\f(2,3))＝3－2an.
2．(5分)在等比数列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＝eq \f(15,8)，a2a3＝－eq \f(9,8)，则eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋eq \f(1,a3)＋eq \f(1,a4)等于( )
A．eq \f(3,5) B．eq \f(5,3)
C．－eq \f(3,5) D．－eq \f(5,3)
D 解析：设等比数列{an}的公比为q，则a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝eq \f(15,8)，a2a3＝aeq \\al(2,1)q3＝－eq \f(9,8)，
∴eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋eq \f(1,a3)＋eq \f(1,a4)＝eq \f(1,a1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,q)＋\f(1,q2)＋\f(1,q3)))＝eq \f(q3＋q2＋q＋1,a1q3)＝eq \f(a1q3＋q2＋q＋1,a\\al(2,1)q3)＝eq \f(\f(15,8),－\f(9,8))＝－eq \f(5,3).
3.(5分)等比数列{an}共有2n项，它的全部项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________.
2 解析：设{an}的公比为q，由已知可得q≠1，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，
S2n＝eq \f(a11－q2n,1－q)，S奇＝eq \f(a1[1－q2n],1－q2).
由题意得eq \f(a11－q2n,1－q)＝eq \f(3a11－q2n,1－q2)，∴1＋q＝3，
∴q＝2.
4.(5分)在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝1，a4＋a5＋a6＝－2，则该数列的前15项的和S15＝________.
11 解析：∵S3＝1，S6－S3＝－2，∴S9－S6＝4，S12－S9＝－8，S15－S12＝16，∴S15＝S3＋S6－S3＋S9－S6＋S12－S9＋S15－S12＝1－2＋4－8＋16＝11.
知识点2 分组求和
5．(5分)数列eq \f(1,2)，eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)，eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,8)，…，eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2n)的前n项和为( )
A．n＋eq \f(1,2n) B．n－1＋eq \f(1,2n)
C．n－1＋eq \f(1,2n＋1) D．n＋eq \f(1,2n－1)
B 解析：∵数列的通项
an＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2n)＝eq \f(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))＝1－eq \f(1,2n)，
∴前n项和
Sn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2n)))
＝n－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(1,4)＋…＋\f(1,2n)))
＝n－1＋eq \f(1,2n).
6．(5分)设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1＝0，cn＝an＋bn，若数列{cn}是1,1,2，…，则数列{cn}的前10项和为( )
A．978 B．557
C．467 D．979
A 解析：设等比数列{an}的公比为q，等差数列{bn}的公差为d.
∵cn＝an＋bn，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋b1＝1，,a2＋b2＝1，,a3＋b3＝2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,d＝－1，,q＝2.))∴cn＝2n－1＋(1－n)．
∴{cn}的前10项和为eq \f(1－210,1－2)＋eq \f(10×0－9,2)＝978.
知识点3 等差数列与等比数列的综合问题
7．(5分)已知数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1＋ab2＋…＋ab10＝( )
A．1 033 B．1 034
C．2 057 D．2 058
A 解析：∵an＝n＋1，bn＝2n－1，
∴ab1＋ab2＋…＋ab10＝a1＋a2＋a4＋…＋a29
＝(1＋1)＋(2＋1)＋(22＋1)＋…＋(29＋1)
＝10＋(1＋2＋22＋…＋29)＝10＋eq \f(1－210,1－2)＝1 033.
8．(5分)设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝( )
A．2 B．－2
C．eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
D 解析：∵S1，S2，S4成等比数列，∴Seq \\al(2,2)＝S1·S4，
∴(2a1－1)2＝a1·(4a1－6)，∴a1＝－eq \f(1,2).
9．(5分)(多选)已知{an}为等比数列，Sn是其前n项和．若a2a3＝8a1，且a4与2a5的等差中项为20，则( )
A．a1＝－1 B．公比q＝－2
C．a4＝8 D．S5＝31
CD 解析：∵a2a3＝8a1，∴a1q3＝8，即a4＝8.
∵a4＋2a5＝40，∴a4(1＋2q)＝40，∴q＝2，a1＝1.
∴S5＝eq \f(1－25,1－2)＝31.
eq \f(能力提升练,能力考点拓展提升)10.(5分)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则eq \f(S10,S5)等于( )

A．－3 B．5
C．－31 D．33
D 解析：设{an}的公比为q，
∵S3＝eq \f(a1·1－q3,1－q)＝2，
S6＝eq \f(a1·1－q6,1－q)＝18，
∴1＋q3＝9，∴q＝2，
∴eq \f(S10,S5)＝eq \f(1－q10,1－q5)＝1＋q5＝33.
11．(5分)设等比数列的前n项和、前2n项和、前3n项和分别为A，B，C，则( )
A．A＋B＝C B．B2＝AC
C．A＋B－C＝B2 D．A2＋B2＝A(B＋C)
D 解析：∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，
∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
即(B－A)2＝A(C－B)，
∴A2＋B2＝A(B＋C)．
12．(5分)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则数列{lg2an}的前12项和等于( )
A．66 B．55
C．45 D．6
A 解析：∵Sn＝2n－1，∴Sn－1＝2n－1－1(n≥2)，两式相减得an＝2n－1(n≥2)．
又a1＝S1＝1，∴an＝2n－1.
∴lg2an＝n－1.
∴{lg2an}是等差数列，首项为0，公差为1.
∴前12项和为66.
13．(5分)已知{an}是等比数列，若a1＝1，a6＝8a3，数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))的前n项和为Tn，则T5＝( )
A．eq \f(31,16) B．31
C．eq \f(15,8) D．eq \f(15,4)
A 解析：∵a1＝1，a6＝8a3，∴q＝2.
∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是等比数列，首项为1，公比为eq \f(1,2)，
∴T5＝eq \f(1×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,25))),1－\f(1,2))＝eq \f(31,16).
14.(5分)在等比数列{an}中，公比q＝2，前n项和为Sn，若S5＝1，则S10＝________.
33 解析：∵S5＝eq \f(a11－25,1－2)＝1，∴a1＝eq \f(1,31).
∴S10＝eq \f(a11－210,1－2)＝eq \f(1,31)×1 023＝33.
15.(5分)若等比数列{an}的前n项和Sn＝2×3n＋r，则r＝________.
－2 解析：∵Sn＝2×3n＋r，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2×3n－2×3n－1＝4×3n－1.
当n＝1时，a1＝S1＝6＋r.
∵{an}为等比数列，∴6＋r＝4.∴r＝－2.
16.(12分)已知等差数列{an}(n∈N*)的前n项和为Sn，且a3＝5，S3＝9.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)等比数列{bn}(n∈N*)，若b2＝a2，b3＝a5，求数列{an＋bn}的前n项和Tn.
解：(1)由S3＝9，得3a2＝9，所以a2＝3.
又因为a3＝5，所以公差d＝2.
从而an＝a2＋(n－2)d＝2n－1.
(2)由(1)可得b2＝a2＝3，b3＝a5＝9，所以公比q＝3.
从而bn＝b2qn－2＝3n－1，则an＋bn＝(2n－1)＋3n－1，
分组求和可得Tn＝n2＋eq \f(1,2)(3n－1).
17.(13分)已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项的和，a1，a7，a4成等差数列，求证：2S3，S6，S12－S6成等比数列．
证明：∵a1，a7，a4成等差数列，∴2a7＝a1＋a4，
∴2q6＝1＋q3，∴q3＝－eq \f(1,2)或q3＝1.
若q3＝1，则2S3＝6a1，S6＝6a1，S12－S6＝6a1.
∴2S3，S6，S12－S6成等比数列．
若q3＝－eq \f(1,2)，
则2S3＝eq \f(3a1,1－q)，S6＝eq \f(\f(3,4)a1,1－q)，S12－S6＝eq \f(\f(3,16)a1,1－q).
∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\f(3,4)a1,1－q)))2＝eq \f(3a1,1－q)·eq \f(\f(3,16)a1,1－q)，即Seq \\al(2,6)＝2S3·(S12－S6)，
∴2S3，S6，S12－S6成等比数列．