人教版高中数学选择性必修第二册等差数列的概念(第1课时)分层作业(含解析)

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这是一份人教版高中数学选择性必修第二册等差数列的概念(第1课时)分层作业(含解析)，共8页。

eq \f(基础对点练,基础考点分组训练)
知识点1 等差数列及等差中项的概念
1．(5分)已知在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则B等于( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
2．(5分)已知等差数列的前4项分别是a，x，b,2x，则eq \f(a,b)等于( )
A．eq \f(1,4) B．eq \f(1,2)
C．eq \f(1,3) D．eq \f(2,3)
知识点2 等差数列的通项公式
3．(5分)已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是( )
A．15 B．30
C．31 D．64
4．(5分)在等差数列{an}中，已知a1＝eq \f(1,3)，a4＋a5＝eq \f(16,3)，ak＝33，则k＝( )
A．50 B．49
C．48 D．47
5．(5分)在等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在相邻两项之间各插入一个数，使之成等差数列，则新等差数列的公差为( )
A．eq \f(3,4) B．－eq \f(3,4)
C．－eq \f(6,7) D．－1
6．(5分)已知等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a4等于( )
A．15 B．23
C．7 D．29
7．(5分)已知数列{an}，a3＝2，a7＝1，若eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an＋1)))为等差数列，则a11＝( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(2,3)
C．1 D．2
8．(5分)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知A，B，C，D，E五人分5钱，A，B两人所得与C，D，E三人所得相同，且A，B，C，D，E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱．”(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中，E所得为( )
A．eq \f(2,3)钱 B．eq \f(4,3)钱
C．eq \f(5,6)钱 D．eq \f(3,2)钱
9．(5分)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝eq \f(3an,an＋3)，则a4＝( )
A．eq \f(3,4) B．1
C．eq \f(4,3) D．eq \f(3,2)
10．(5分)已知数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝( )
A．9 B．15
C．18 D．30
eq \f(能力提升练,能力考点拓展提升)
11.(5分)若等差数列{an}的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为( )

A．a8 B．a9
C．a10 D．a11
12．(5分)已知在等差数列{an}中，a1＝－1，公差d＝2，an－1＝15，则n的值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
13．(5分)等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝( )
A．8 B．12
C．16 D．24
14．(5分)已知数列{an}的各项均为正数，且满足a1＝1，eq \f(1,a\\al(2,n))－eq \f(1,a\\al(2,n－1))＝1(n≥2，n∈N*)，则a1 024＝( )
A．eq \f(\r(2),16) B．eq \f(1,16)
C．eq \f(\r(2),32) D．eq \f(1,32)
15.(5分)已知{an}是公差为d的等差数列，若3a6＝a3＋a4＋a5＋12，则d＝________.
16.(5分)若a，x1，x2，x3，b与a，y1，y2，y3，y4，y5，b均为等差数列，则eq \f(x3－x1,y3－y1)＝________.
17.(10分)在等差数列{an}中，已知a4＝70，a21＝－100.
(1)求首项a1与公差d，并写出通项公式；
(2)数列{an}中有多少项属于区间[－18,18]?
18.(10分)在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N*)．
(1)求证：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
人教版高中数学选择性必修第二册等差数列的概念(第1课时)分层作业(解析版)
(60分钟 100分)
eq \f(基础对点练,基础考点分组训练)
知识点1 等差数列及等差中项的概念
1．(5分)已知在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则B等于( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
B 解析：∵A，B，C成等差数列，
∴A＋C＝2B.又A＋B＋C＝180°，∴B＝60°.
2．(5分)已知等差数列的前4项分别是a，x，b,2x，则eq \f(a,b)等于( )
A．eq \f(1,4) B．eq \f(1,2)
C．eq \f(1,3) D．eq \f(2,3)
C 解析：∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＝a＋b，,2b＝3x，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝\f(3,2)x，,a＝\f(1,2)x.))
∴eq \f(a,b)＝eq \f(1,3).
知识点2 等差数列的通项公式
3．(5分)已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是( )
A．15 B．30
C．31 D．64
A 解析：数列{an}的首项为a1，设公差为d，则有
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋6d＋a1＋8d＝16，,a1＋3d＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－\f(17,4)，,d＝\f(7,4)，))
故a12＝a1＋11d＝15.
4．(5分)在等差数列{an}中，已知a1＝eq \f(1,3)，a4＋a5＝eq \f(16,3)，ak＝33，则k＝( )
A．50 B．49
C．48 D．47
A 解析：∵a4＋a5＝2a1＋7d＝eq \f(2,3)＋7d＝eq \f(16,3)，∴d＝eq \f(2,3).
∴ak＝a1＋(k－1)·d＝eq \f(1,3)＋(k－1)×eq \f(2,3)＝eq \f(2,3)k－eq \f(1,3)＝33.∴k＝50.
5．(5分)在等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在相邻两项之间各插入一个数，使之成等差数列，则新等差数列的公差为( )
A．eq \f(3,4) B．－eq \f(3,4)
C．－eq \f(6,7) D．－1
B 解析：新等差数列中，首项为8，第9项为2.
∴新公差d′＝eq \f(2－8,9－1)＝eq \f(－6,8)＝－eq \f(3,4).
6．(5分)已知等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a4等于( )
A．15 B．23
C．7 D．29
B 解析：∵a3＋a8＝2a1＋9d＝22，a6＝a1＋5d＝7，
∴a1＝47，d＝－8，∴a4＝a1＋3d＝23.
知识点3 等差数列的判定与证明
7．(5分)已知数列{an}，a3＝2，a7＝1，若eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an＋1)))为等差数列，则a11＝( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(2,3)
C．1 D．2
A 解析：设eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an＋1)))的公差为d.
∵eq \f(1,a3＋1)＝eq \f(1,3)，eq \f(1,a7＋1)＝eq \f(1,2)，∴4d＝eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＝eq \f(1,6)，
∴d＝eq \f(1,24)，∴eq \f(1,a11＋1)＝eq \f(1,3)＋8×eq \f(1,24)＝eq \f(2,3)，∴a11＝eq \f(1,2).
8．(5分)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知A，B，C，D，E五人分5钱，A，B两人所得与C，D，E三人所得相同，且A，B，C，D，E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱．”(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中，E所得为( )
A．eq \f(2,3)钱 B．eq \f(4,3)钱
C．eq \f(5,6)钱 D．eq \f(3,2)钱
A 解析：由题意，设A所得为a－4d，B所得为a－3d，C所得为a－2d，D所得为a－d，E所得为a，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5a－10d＝5，,2a－7d＝3a－3d，))解得a＝eq \f(2,3)，故E所得为eq \f(2,3)钱．
9．(5分)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝eq \f(3an,an＋3)，则a4＝( )
A．eq \f(3,4) B．1
C．eq \f(4,3) D．eq \f(3,2)
A 解析：依题意得eq \f(1,an＋1)＝eq \f(an＋3,3an)＝eq \f(1,an)＋eq \f(1,3)，eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝eq \f(1,3)，故数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是以eq \f(1,a1)＝eq \f(1,3)为首项，eq \f(1,3)为公差的等差数列，则eq \f(1,an)＝eq \f(1,3)＋eq \f(n－1,3)＝eq \f(n,3)，an＝eq \f(3,n)，所以a4＝eq \f(3,4).
10．(5分)已知数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝( )
A．9 B．15
C．18 D．30
C 解析：由an＋1－an＝2可得数列{an}是等差数列，公差d＝2.又a1＝－5，所以an＝2n－7，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＋|a6|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.
eq \f(能力提升练,能力考点拓展提升)
11.(5分)若等差数列{an}的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为( )

A．a8 B．a9
C．a10 D．a11
B 解析：an＝a1＋(n－1)d＝70＋(n－1)×(－9)＝79－9n，
∴a8＝7，a9＝－2，a10＝－11，故绝对值最小的一项为a9.
12．(5分)已知在等差数列{an}中，a1＝－1，公差d＝2，an－1＝15，则n的值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
D 解析：an－1＝a1＋(n－2)d＝－1＋2(n－2)＝2n－5＝15，∴n＝10.
13．(5分)等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝( )
A．8 B．12
C．16 D．24
C 解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则由a2＝2，a5＝8，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋d＝2，,a1＋4d＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝0，,d＝2，))
所以a9＝a1＋8d＝16.故选C．
14．(5分)已知数列{an}的各项均为正数，且满足a1＝1，eq \f(1,a\\al(2,n))－eq \f(1,a\\al(2,n－1))＝1(n≥2，n∈N*)，则a1 024＝( )
A．eq \f(\r(2),16) B．eq \f(1,16)
C．eq \f(\r(2),32) D．eq \f(1,32)
D 解析：∵数列{an}的各项均为正数，且满足a1＝1，eq \f(1,a\\al(2,n))－eq \f(1,a\\al(2,n－1))＝1(n≥2，n∈N*)，
∴数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,a\\al(2,n))))是等差数列，公差为1，首项为1.
∴eq \f(1,a\\al(2,n))＝1＋(n－1)＝n，解得an＝eq \f(1,\r(n)).
∴a1 024＝eq \f(1,\r(1 024))＝eq \f(1,32).故选D．
15.(5分)已知{an}是公差为d的等差数列，若3a6＝a3＋a4＋a5＋12，则d＝________.
2 解析：∵3a6＝a3＋a4＋a5＋12＝3a4＋12，
∴a6－a4＝4，即2d＝4，∴d＝2.
16.(5分)若a，x1，x2，x3，b与a，y1，y2，y3，y4，y5，b均为等差数列，则eq \f(x3－x1,y3－y1)＝________.
eq \f(3,2) 解析：设两等差数列的公差分别为d1，d2，
则有b－a＝4d1＝6d2，∴d1＝eq \f(3,2)d2.
∴eq \f(x3－x1,y3－y1)＝eq \f(2d1,2d2)＝eq \f(d1,d2)＝eq \f(3,2).
17.(10分)在等差数列{an}中，已知a4＝70，a21＝－100.
(1)求首项a1与公差d，并写出通项公式；
(2)数列{an}中有多少项属于区间[－18,18]?
解：(1)∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a4＝a1＋3d＝70，,a21＝a1＋20d＝－100，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝100，,d＝－10.))
∴an＝a1＋(n－1)d＝100＋(n－1)×(－10)＝－10n＋110.
(2)令－18≤an≤18，即－18≤－10n＋110≤18，
得9.2≤n≤12.8.∵n∈N*，∴n＝10,11,12.
∴有3项在[－18,18]之间.
18.(10分)在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N*)．
(1)求证：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明：由3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)，
整理得eq \f(1,an)－eq \f(1,an－1)＝3(n≥2)，
所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是以1为首项，以3为公差的等差数列．
(2)解：由(1)可得eq \f(1,an)＝1＋3(n－1)＝3n－2，
所以an＝eq \f(1,3n－2).