高中人教A版 (2019)4.3 等比数列第1课时课后练习题

这是一份高中人教A版 (2019)4.3 等比数列第1课时课后练习题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第四章　4.3　4.3.1　第1课时

A组·素养自测
一、选择题
1．已知{an}是等比数列，a3＝2，a6＝，则公比q＝(　D　)
A．－　　　 B．－2
C．2　　 D．
[解析]　由条件得，
∵a1≠0，q≠0，∴q3＝，∴q＝.故选D．
2．数列m，m，m，…一定(　C　)
A．是等差数列，但不是等比数列
B．是等比数列，但不是等差数列
C．是等差数列，但不一定是等比数列
D．既是等差数列，又是等比数列
[解析]　当m＝0时，数列是等差数列，但不是等比数列．当m≠0时，数列既是等差数列，又是等比数列．故选C．
3．(2022·湖南武冈二中高二月考)在等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是(　A　)
A．±4　　 B．4
C．±　　 D．
[解析]　由题意，得a4＝a1q3＝×23＝1，
a8＝a1q7＝×27＝16，
设G为a4与a8的等比中项，则G2＝a4·a8＝16，故G＝±4，故选A．
4．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为(　C　)
A．na(1－b%)　　 B．a(1－nb%)
C．a(1－b%)n　　 D．a[1－(b%)n]
[解析]　依题意可知第一年后的价值为a(1－b%)，第二年后的价值为a(1－b%)2，依此类推形成首项为a(1－b%)，公比为1－b%的等比数列，则可知n年后这批设备的价值为a(1－b%)n.故选C．
5．已知等比数列{an}的公比为q，若a2，a5的等差中项为4，a5，a8的等差中项为8，则q的值为(　A　)
A．－　　 B．
C．－2　　 D．2
[解析]　由已知得，
∴，
解得q＝，∴q＝＝log2－12＝－.
6．(2022·北京市东城区月考)若数列{an}是公比为的正项等比数列，则是(　A　)
A．公比为2的等比数列
B．公比为的等比数列
C．公差为2的等差数列
D．公差为的等差数列
[解析]　数列{an}是公比为的正项等比数列，则＝(n≥2)，设bn＝·a2n，则＝＝·()2＝2(n≥2)，即{·a2n}是公比为2的等比数列．
二、填空题
7．已知等比数列前3项为，－，，则其第8项是__－__．
[解析]　∵a1＝，a2＝a1q＝q＝－，
∴q＝－，∴a8＝a1q7＝×＝－.
8．正项等比数列{an}，若3a1，a3，2a2成等差数列，则{an}的公比q＝__3__．
[解析]　因为正项等比数列{an}，3a1，a3，2a2成等差数列，
所以，
解得q＝3.所以{an}的公比q＝3.
三、解答题
9．已知数列{an}为等比数列，an＞0，a1＝2，2a2＋a3＝30.
(1)求an；
(2)若数列{bn}满足bn＋1＝bn＋an，b1＝a2，求b5.
[解析]　(1)设公比为q，由题意得2a1q＋a1q2＝30，
∴4q＋2q2＝30，
∴q2＋2q－15＝0，
∴q＝3或－5.
∵an＞0，∴q＝3.
∴an＝a1qn－1＝2·3n－1.
(2)∵b1＝a2，∴b1＝6.
又bn＋1＝bn＋an，∴bn＋1＝bn＋2·3n－1.
∴b2＝b1＋2×30＝6＋2＝8，
b3＝b2＋2×31＝8＋6＝14，
b4＝b3＋2×32＝14＋18＝32，
b5＝b4＋2×33＝32＋54＝86.
10．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2an，设bn＝.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式．
[解析]　(1)由条件可得an＋1＝an.
将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4.
将n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12.
从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2)数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下：
由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，
所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
B组·素养提升
一、选择题
1．在如下表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为(　D　)
1
2


0.5
1



a




b




c
A．1　　　　　 B．2
C．3　　　　　 D．
[解析]　按题意要求，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列填表如图，
1
2
3
4
0.5
1
1.5
2
0.25
0.5
0.75
1
0.125
0.25
0.375
0.5
0.062 5
0.125
0.187 5
0.25
故a＝，b＝，c＝，则a＋b＋c＝.故选D.
2．(多选题)(2022·山东枣庄期中)如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　BC　)
A．b＝3　　 B．b＝－3
C．ac＝9　　 D．ac＝－9
[解析]　∵b是－1，－9的等比中项，∴b2＝9，b＝±3.
由等比数列奇数项符号相同，得b<0，故b＝－3，
而b又是a，c的等比中项，故b2＝ac，即ac＝9.
3．(多选题)已知{an}是公比为q的等比数列，a3＝4，且a2，a3＋1，a4成等差数列，则q的值可能为(　AC　)
A．　　 B．1
C．2　　 D．3
[解析]　因为a2，a3＋1，a4成等差数列，所以2(a3＋1)＝a2＋a4，即10＝4，所以q＋＝，解得q＝2或q＝.
4．已知{an}是公比为q(q≠1)的等比数列，an>0，m＝a5＋a6，k＝a4＋a7，则m与k的大小关系是(　C　)
A．m>k
B．m＝k
C．m D．m与k的大小随q的值而变化
[解析]　m－k＝(a5＋a6)－(a4＋a7)
＝(a5－a4)－(a7－a6)
＝a4(q－1)－a6(q－1)
＝(q－1)(a4－a6)
＝(q－1)·a4·(1－q2)
＝－a4(1＋q)(1－q)2<0(∵an>0，q≠1)．
二、填空题
5．一个各项均为正数的等比数列，其任何项都是后面两项的和，则其公比是____．
[解析]　由已知得an＝an＋1＋an＋2，
即a1qn－1＝a1qn＋a1qn＋1，
∴q2＋q＝1，解得q＝.
又q>0，∴q＝.
6．(2022·吉林高二检测)长久以来，人们一直认为黄金分割比例是最美的，人们都不约而同地使用黄金分割，如果一个矩形的宽与长的比例是黄金比例，这样的矩形称为黄金矩形，黄金矩形有一个特点：如果在黄金矩形中不停地分割出正方形，那么余下的部分也依然是黄金矩形，已知图中最小正方形的边长为1，则矩形ABCD的长为____．(指数幂形式)

[解析]　根据题意，如图：若图中最小正方形的边长为1，即HP＝1，则矩形HPLJ中，LP＝HJ＝＝，则在矩形HJIF中，HF＝＝，

同理：FC＝，DC＝，
则BC＝.
三、解答题
7．(2020·全国卷Ⅲ)设等比数列{an}满足a1＋a2＝4，a3－a1＝8.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为数列{log3an}的前n项和，若Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，求m.
[解析]　(1)设{an}的公比为q，则an＝a1qn－1.
由已知得解得
所以{an}的通项公式为an＝3n－1.
(2)由(1)知log3an＝n－1.故Sn＝.
由Sm＋Sm＋1＝Sm＋3得，m(m－1)＋(m＋1)m
＝(m＋3)(m＋2)，
即m2－5m－6＝0.
解得m＝－1(舍去)或m＝6.
8．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解析]　(1)证明：由已知，有a1＋a2＝4a1＋2，∴a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3.
又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)
＝4an＋1－4an，
于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，
即bn＋1＝2bn.
因此数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．
(2)由(1)知等比数列{bn}中，b1＝3，公比q＝2，
所以an＋1－2an＝3×2n－1.
于是－＝，
因此数列是首项为，公差为的等差数列，＝＋(n－1)×＝n－.
所以an＝(3n－1)·2n－2.