2023-2024学年新疆喀什地区喀什市高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年新疆喀什地区喀什市高二（下）期中数学试卷（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=15，a4+a6+a8=33，则a9=( )
A. 6B. 12C. 17D. 24
2.已知数列{an}的首项为a1=2，递推公式为an=2−1an−1(n≥2)，则a3=( )
A. 12B. 32C. 23D. 43
3.将4个不同的文件发往3个不同的邮箱地址，则不同的方法种数为( )
A. 34B. 43C. A43D. C43
4.函数f(x)=sinxx的导数是( )
A. xsinx+csxx2B. xcsx+sinxx2C. xsinx−csxx2D. xcsx−sinxx2
5.(3x+1x)8的展开式中常数项为( )
A. 28B. 56C. 70D. 76
6.已知函数f(x)=x3+ax2+x+b在x=1处取得极值5，则a−b=( )
A. −7B. −3C. 3D. 7
7.将甲、乙、丙、丁4个人全部分配到A，B，C三个地区工作，每个地区至少有1人，则不同的分配方案为( )
A. 36种B. 24种C. 18种D. 16种
8.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．如果墙足够厚，第n天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则n的值为( )
A. 5B. 4C. 3D. 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列 2，2， 6，2 2…，则下列说法正确的是( )
A. 此数列的通项公式是 2nB. 8是它的第32项
C. 此数列的通项公式是 n+1D. 8是它的第4项
10.已知定义域为[−3,5]的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)的图象如图所示，则( )
A. f(x)在(−2,2)上单调递减
B. f(x)有极小值f(2)
C. f(x)有3个极值点
D. f(x)在x=−3处取得最大值
11.下列组合数公式中恒成立的有( )
A. Cnm=Cnn−m
B. mCnm=nCn−1m−1
C. Cn+1m+1=Cnm+Cn+1m
D. (Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+…+(Cnn)2=C2nn
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线y=sinx在点T(2π,0)处的切线的方程是______．
13.已知数列{an}的前n项和Sn=3n2−4n，则数列{an}的通项公式为______．
14.如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果老板要收摊了，假设每次只取1串(挂在一列的只能先收下面的)，则将这些香蕉都取完的不同取法种数？______(结果用数字表示)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}满足an+1−an=2(n∈N*)，且a5，a6，a9成等比数列，
(1)求{an}的通项公式；
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值及此时n的值．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=(x2−4)(2x−1)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)求函数f(x)在[−2,2]上的最大值和最小值．
17.(本小题15分)
已知在(x22−1 x)n的展开式中，第9项为常数项.求：
(1)n的值；
(2)所有二项式系数的和；
(3)所有项的系数的和．
18.(本小题17分)
有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
(1)选5人排成一排；
(2)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
(3)全体排成一排，女生必须站在一起；
(4)全体排成一排，男生互不相邻．
19.(本小题17分)
已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6．
(1)求数列{an}的通项公式．
(2)设bn=−lg 3an，求数列{1bnbn+1}的前n项和Tn．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：等差数列{an}中，a1+a3+a5=3a3=15，解得a3=5，
又a4+a6+a8=3a6=33，所以a6=11，
又因为a3，a6，a9成等差数列，所以a9=2a6−a3=22−5=17．
故选：C．
根据等差数列的性质，结合题意，求解即可．
本题考查了等差数列的定义与性质应用问题，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：依题意，由an=2−1an−1(n≥2)及a1=2，
可得a2=2−1a1=2−12=32，
a3=2−1a2=2−132=43．
故选：D．
根据题干递推公式及a1=2逐项代入即可计算出a3的值．
本题主要考查数列由递推公式求某项的值，迭代法，属基础题．
3.【答案】A
【解析】解：每个文件可以发3个邮箱地址，则4个不同的文件可以发3×3×3×3=34，
故选：A．
利用分步计数原理进行计算即可．
本题主要考查简单计算问题，利用分步计数原理是解决本题的关键，是基础题．
4.【答案】D
【解析】解：∵y=sinxx∴y′=x(sinx)′−x′sinxx2=xcsx−sinxx2
故选：D．
根据分式函数和正弦函数导数公式，以及导数的运算法则可得答案．
本题主要考查导数的运算法则．属基础题，求导公式一定要熟练掌握．
5.【答案】A
【解析】解：根据 (3x+1x)8的展开式的通项公式为Tr+1=C8r(3x)8−r⋅(1x)r=C8r⋅x8−4r3，令8−4r3=0，解得r=2，
故(3x+1x)2的展开式中常数项为28．
故选：A．
直接利用二项式的展开式和组合数求出结果．
本题考查的知识要点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：函数f(x)=x3+ax2+x+b，
则f′(x)=3x2+2ax+1，
因为f(x)在x=1处取极值5，
所以f′(1)=3+2a+1=0f(1)=1+a+1+b=5，解得：a=−2b=5，
经检验满足题意．
故a−b=−7．
故选：A．
求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可．
本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用，是基础题．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意，将甲、乙、丙、丁4个人全部分配到A，B，C三个地区工作，每个地区至少有1人，
则A，B，C三个地区中必有一个地区有2人，
可以先先把4个人按2：1：1分成3组，再将3组分配到A，B，C三个地区即可，
共有C42A33=36种．
故选：A．
根据题意，先把4个人按2：1：1分成3组，再分配到三个不同地区即可．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查等比数列的前n项和公式，要认真审题，属于中档题．
依题意可得1×(1−2n)1−2=4×1×(1−2−n)1−12，解出n即可．
【解答】
解：依题意可得1×(1−2n)1−2=4×1×(1−2−n)1−12，
整理可得2n+82n−9=0，
设2n=t，
则t+8t−9=0，
解得t=1或t=8，
当t=1时，2n=1，解得n=0，舍去，
当t=8时，2n=8，则n=3，
故选：C．
9.【答案】AB
【解析】解：数列 2，2， 6，2 2…，即 2， 4， 6， 8，⋅⋅⋅，
则此数列的通项公式为 2n，故A正确，C错误，
令 2n=8，解得n=32，
故8是它的第32项，故B正确，D错误．
故选：AB．
根据已知条件，结合数列中数字的规律，求出通项公式，即可依次求解．
本题主要考查数列的概念及简单表示法，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：由f′(x)的图象可知x∈(−2,2)时，f′(x)<0，
则f(x)单调递减，故A正确；又x∈(2,4)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，
所以当x=2时，f(x)有极小值f(2)，故B正确；
由f′(x)的图象可知x=−2，2，4时，f(x)有极值，所以f(x)有3个极值点，故C正确；
当x∈(−3,−2)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，所以f(−3)则f(x)在x=−3处不能取得最大值，故D错误．
故选：ABC．
首先分析给定图像，由f′(x)的图象可知x∈(−2,2)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，进一步分析其他选项，由f′(x)的图象可知当x=−2，2，4时，f(x)有极值，所以f(x)有3个极值点，再找出最大值和极小值即可．
本题考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：(1)由组合数的性质可得：∁nm=∁nn−m(0≤m≤n)，A正确；
mCnm=m×n!m!(n−m)!=n(n−1)!(m−1)![(n−1)−(m−1)]!=nCn−1m−1，故B正确；
由组合数的性质可得：∁n+1m+1=∁nm+Cnm+1(1≤k≤n)，故C错误；
由于(1+x)n⋅(1+x)n=(1+x)2n，
两边展开可得，(Cn0+Cn1x+…+Cnnxn)⋅(Cn0+Cn1x+…+Cnnxn)=C2n0+C2n1x+…+C2n2nx2n，
比较两边xn的系数可得，Cn0⋅Cnn+Cn1⋅Cnn−1+…+Cnn⋅Cn0=(Cn0)2+(Cn1)2+…+(Cnn)2=C2nn，故D正确．
故选：ABD．
由组合数的性质分别检验各选项即可判断出结论．
本题考查组合数的计算公式，注意组合数公式的形式，属于中档题．
12.【答案】x−y−2π=0
【解析】解：y′=(sinx)′=csx，
所以曲线y=sinx在点T(2π,0)处的切线的斜率为k=cs2π=1，
所以曲线y=sinx在点T(2π,0)处的切线的方程是y−0=1×(x−2π)，即x−y−2π=0．
故答案为：x−y−2π=0．
利用导数的几何意义即可求解．
本题考查利用导函数求切线方程，属于中档题．
13.【答案】an=6n−7，n∈N*
【解析】解：由Sn=3n2−4n，可得a1=S1=3−4=−1，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=3n2−4n−3(n−1)2+4(n−1)=6n−7，
上式对n=1也成立，
所以an=6n−7，n∈N*．
故答案为：an=6n−7，n∈N*．
由数列的通项与前n项和的关系，化简可得所求．
本题考查数列的通项与前n项和的关系，考查运算能力，属于基础题．
14.【答案】60
【解析】解：依题意，6串香蕉任意收取有A66种方法，
其中中间一列按从下往上有1种，占1A22，
最右一列按从下往上只有1种，占1A33，
所以不同取法数是A66×1A22×1A33=A66A22A33=60(种)．
故答案为：60．
根据给定条件，6串香蕉任意收取有A66种方法，再利用倍缩法列式计算作答．
本题考查排列组合的应用，属于中档题．
15.【答案】解：(1)∵an+1−an=2，
∴{an}是以公差为d=2的等差数列，
又∵a5，a6，a9成等比数列，
∴a62=a5a9，即(a1+10)2=(a1+8)(a1+16)，
解得a1=−7，又d=2，
所以{an}的通项公式为an=2n−9；
(2)由(1)得Sn=n(−7+2n−9)2=n2−8n=(n−4)2−16，
所以当n=4时，Sn取得最小值，且最小值为−16．
【解析】(1){an}为等差数列，公差为2，根据题目条件得到方程，求出首项，得到通项公式；
(2)求出Sn，再结合二次函数的图象与性质即可求出Sn的最小值及此时的n值．
本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于中档题．
16.【答案】解：(1)f′(x)=2x(2x−1)+2(x2−4)=6x2−2x−8=(2x+2)(3x−4)，
令f′(x)>0，解得x<−1或x>43，令f′(x)<0，解得−1所以函数f(x)在(−∞,−1),(43,+∞)上单调递增，在(−1,43)上单调递减；
(2)由(1)知，f(x)在(−2,−1)，(43,2)上单调递增，在(−1,43)上单调递减，
又f(−2)=f(2)=0，f(−1)=9，f(43)=−10027，
故所求最大值为9，最小值为−10027．
【解析】(1)求导，分别由导函数大于0和导函数小于0求得原函数的单调区间；
(2)由(1)可得函数f(x)在[−2,2]上的单调性，进而求得最大值和最小值．
本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求函数的最值，是中档题．
17.【答案】解：二项展开式的通项为Tk+1=Cnk(x22)n−k⋅(−1 x)k=(−1)k(12)n−kCnkx2n−52k．
(1)因为第9项为常数项，
即当k=8时，2n−52k=0，
即2n−20=0，解得n=10；
(2)210=1024；
(3)令x=1，得(−12)10=11024．
【解析】(1)根据通项结合第9项为常数项即可求解；
(2)由所有二项式系数的和为2n即可求解；
(3)由赋值法即可求解．
本题主要考查二项式定理的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)从7人中选5人排列，有A75=7×6×5×4×3=2520(种)；
(2)先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66=3600(种)；
(3)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44⋅A44=576(种)；
(4)(插空法)先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A53种方法，共有A44⋅A53=1440(种)．
【解析】(1)由排列数公式分析可得答案；
(2)根据题意，先分析甲的排法，再分析剩下6人的排法，由分步计数原理计算可得答案；
(3)根据题意，先将4名女生看成一个整体，再将这个整体与3名男生全排列，由分步计数原理计算可得答案；
(4)根据题意，先排4名女生，排好后有5个空位，在5个人空位中任选3个，安排3名男生，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
19.【答案】解：(1)设数列{an}的公比为q，则q>0，
因为2a1+3a2=1，a32=9a2a6，
所以2a1+3a1q=1，(a1q2)2=9a1q⋅a1q5，
解得a1=q=13，
所以an=a1qn−1=13n．
(2)bn=−lg 3an=−lg 313n=lg3123n=2n，
所以1bnbn+1=14n(n+1)=14(1n−1n+1)，
所以Tn=14[(1−12)+(12−13)+…+(1n−1n+1)]=14(1−1n+1)=n4(n+1)．
【解析】(1)利用等比数列的通项公式，可得关于首项a1和公比q的方程组，解之即可；
(2)根据对数的运算法则，可得bn=2n，再采用裂项求和法，得解．
本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等比数列的通项公式，裂项求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．