2023-2024学年新疆喀什地区巴楚一中高二（上）期末数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年新疆喀什地区巴楚一中高二（上）期末数学试卷(含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知向量a=(3,−2,1)，b=(−2,43,m)，若a//b，则实数m的值为( )
A. 6B. 83C. 3D. −23
2.已知向量a=(1,2,3)，b=(−1,0,−2)，则(a+b)⋅b=( )
A. −2B. 2C. −12D. 12
3.直线 3x+y−1=0的倾斜角是( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
4.已知点A(1,1)，B(5,3)，则以线段AB为直径的圆的标准方程为( )
A. (x−2)2+(y−3)2=5B. (x−2)2+(y−3)2=1
C. (x−3)2+(y−2)2=5D. (x−3)2+(y−2)2=1
5.已知直线l1:3x+4y−12=0,l2:6x+8y+11=0，则l1与l2之间的距离为
( )
A. 235B. 2310C. 7D. 72
6.下列说法中正确的是( )
A. 若直线l1与l2的斜率相等，则l1//l2
B. 若直线l1与l2互相平行，则它们的斜率相等
C. 在直线l1与l2中，若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则l1与l2定相交
D. 若直线l1与l2的斜率都不存在，则l1//l2
7.斜率为−3，在x轴上的截距为2的直线的一般式方程是( )
A. 3x+y+6=0B. 3x−y+2=0C. 3x+y−6=0D. 3x−y−2=0
8.双曲线x2a2−y2b2=1(a,b>0)的一条渐近线方程为x−2y=0，则其离心率为( )
A. 3B. 32C. 5D. 52
9.已知直线x+y+a=0与圆(x−2)2+(y+3)2=2相切，那么a的值为( )
A. 3或−1B. 1±2 2C. −3或−7D. −5±2 2
10.已知椭圆C：x29+y27=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且|PF1|=2，则|PF2|=( )
A. 4B. 6C. 2 7−2D. 2 2−2
11.圆x2+y2−2x=0的圆心坐标和半径分别为( )
A. (1,0)，1B. (0,1)，1C. (-1,0)，1D. (1,0)，2
12.抛物线y2=4x上有两个点A，B，焦点F，已知|AF|+|BF|=5，则线段AB的中点到y轴的距离是( )
A. 1B. 32C. 2D. 52
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.圆C1：x2+y2−2x+10y−24=0与圆C2：x2+y2+2x+2y−6=0的公共弦所在直线方程为______．
14.已知点A(3,3a+3)与点B(a,3)之间的距离为5，则实数a的值为______．
15.若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 32，短半轴长为2，则该椭圆的长半轴长为______．
16.已知两定点F1(0,5)，F2(0,−5)，曲线上的点P到F1、F2的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为______．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知点A(−1,1)，B(2,3)，直线l：2x+y+3=0．
(1)求线段AB的中点坐标及直线AB的斜率；
(2)若直线l′过点B，且与直线l平行，求直线l′的方程．
18.(本小题12分)
如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．
(1)求证：EF,AP,AD共面；
(2)求证：EF⊥CD．
19.(本小题12分)
椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其中F2( 2,0)，O为原点．椭圆上任意一点到F1，F2距离之和为2 3．
(1)求椭圆的标准方程及离心率；
(2)过点P(0,2)的斜率为2的直线l交椭圆于A、B两点．求△OAB的面积．
20.(本小题12分)
已知直线l：3x−2y−6=0．
(1)若直线l1过点M(1,−2)，且l1⊥l，求直线l1的方程；
(2)若直线l2//l，且直线l2与直线l之间的距离为 13，求直线l2的方程．
21.(本小题12分)
已知抛物线C：y2=2px(p>0)的准线方程为x=−12，F为抛物线的焦点．
(Ⅰ)求抛物线C的方程；
(Ⅱ)若P是抛物线C上一点，点A的坐标为(72,2)，求|PA|+|PF|的最小值．
22.(本小题12分)
已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为 2，且过点P(−4,− 10)，点M(3,m)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：MF1⋅MF2=0．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵向量a=(3,−2,1)，b=(−2,43,m)，且a//b，
∴−23=43−2=m1，解得m=−23，
故选：D．
利用空间向量平行的坐标关系求解．
本题主要考查了空间向量平行的坐标关系，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：∵a=(1,2,3)，b=(−1,0,−2)，
∴a+b=(0,2,1)，
则(a+b)⋅b=0×(−1)+2×0+1×(−2)=−2．
故选：A．
由已知求得a+b的坐标，再由空间向量数量积的坐标运算求解．
本题考查空间向量的坐标运算，是基础题．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用．
求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可．
【解答】
解：因为直线 3x+y−1=0的斜率为：− 3，
设直线的倾斜角为：α．
所以tanα=− 3，
α=120°
故选：C．
4.【答案】C
【解析】解：由题意，圆心为AB的中点(3,2)，直径为 (5−1)2+(3−1)2=2 5，
∴半径为 5，
所以，圆的标准方程为(x−3)2+(y−2)2=5，
故选：C．
由题意先求出圆心和半径，可得圆的标准方程，
本题考查圆的标准方程，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查平行线间的距离计算，属于基础题．
根据题意，将l1的方程变形可得6x+8y−24=0，由平行线间距离公式计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，直线l1：3x+4y−12=0，即6x+8y−24=0，
又由l2：6x+8y+11=0，
则l1与l2之间的距离d=|11−24| 62+82=3510=72；
故选D．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查直线与直线的位置关系，是基础题．
根据题意，判断各个选项的正误即可．
【解答】
解：对于A，若直线l1与l2的斜率相等，则l1//l2或l1与l2重合，所以A不正确；
对于B，若直线l1与l2互相平行，则它们的斜率相等或者斜率都不存在，所以B不正确；
对于C，在直线l1与l2中，若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，两条直线不平行，则l1与l2定相交，正确；
对于D，若直线l1与l2的斜率都不存在，则l1//l2或l1与l2重合，所以D不正确；
故选：C．
7.【答案】C
【解析】解：在x轴上的截距为2的直线经过点(2,0)，
又斜率为−3，
点斜式可得直线的方程为：y−0=−3(x−2)，
即3x+y−6=0，
故选：C．
由已知条件知，直线经过点(2,0)，又斜率为−3，可用点斜式写出直线方程，并化为一般式．
本题考查直线方程的求法，先找出直线经过的点的坐标，再根据斜率，点斜式斜直线方程．
8.【答案】D
【解析】解：双曲线x2a2−y2b2=1(a,b>0)的一条渐近线方程为x−2y=0，
可得ba=12，
所以双曲线的离心率为：e=ca= a2+b2a2= 52．
故选：D．
利用双曲线的渐近线方程，求解a，b关系，然后求解离心率即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的应用，离心率的求法，是基础题．
9.【答案】A
【解析】解：圆(x−2)2+(y+3)2=2
其圆心为(2,−3)，半径为 2，
因为直线与圆相切，则圆心到切线的距离等于圆的半径，
即 2=|2−3+a| 2，
解得a=3或−1．
故选：A．
找出圆心坐标与半径r，由圆心到切线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式，即可解得a的值．
此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：由椭圆C：x29+y27=1知：a=3，
由椭圆定义得：|PF1|+|PF2|=2a=6，
又|PF1|=2，所以|PF2|=4．
故选：A．
根据椭圆定义求解即可．
本题考查了椭圆的性质，属于基础题．
11.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查圆的标准方程的特征，属于基础题．
把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径．
【解答】
解：把圆x2+y2−2x=0化成标准方程为(x−1)2+y2=1，
表示以(1,0)为圆心、半径为1的圆，
故答案选：A．
12.【答案】B
【解析】解：抛物线的准线方程为x=−1，
分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为M，N，则|AM|+|BN|=|AF|+|BF|=5，
设AB的中点为D，过D作准线的垂线交y轴于P，交准线于E，则DE=|AM|+|BN|2=52，|EP|=1，
∴|DP|=|DE|−|PE|=32．
故选：B．
分别过A，B向准线作垂线，利用梯形的中位线性质计算距离．
本题考查了抛物线的简单性质，属于基础题．
13.【答案】2x−4y+9=0
【解析】解：圆C1：x2+y2−2x+10y−24=0与圆C2：x2+y2+2x+2y−6=0，
故两圆相减得：2x−4y+9=0．
故答案为：2x−4y+9=0．
直接利用圆与圆的位置关系求出结果．
本题考查的知识要点：圆与圆的位置关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
14.【答案】−1或58
【解析】解：∵A(3,3a+3)与点B(a,3)之间的距离为5，
∴|AB|= (3−a)2+(3a+3−3)2=5，
解得a=85或a=−1．
故答案为：−1或85．
由已知条件直接利用两点间距离公式能求出a的值．
本题考查两点间距离公式的应用，是基础题．
15.【答案】4
【解析】解：由题意得，b=2，ca= 32，又a2=b2+c2，
解得a2=16，则a=4，∴椭圆的长半轴长为4．
故答案为：4．
由题意可得关于a，b，c的方程组，求解得答案．
本题考查椭圆的简单性质，是基础题．
16.【答案】y29−x216=1
【解析】解：因为||PF1|−|PF2||=6<|F1F2|，
所以曲线的轨迹是以F1(0,5)，F2(0,−5)为焦点，实轴长为6的双曲线，
所以c=5，a=3，b2=c2−a2=16，
所以曲线的方程为y29−x216=1．
故答案为：y29−x216=1．
根据双曲线的定义进行求解．
本题双曲线标准方程的求解，属于基础题．
17.【答案】解：(1)根据题意，设AB的中点坐标为(x′,y′)，
又由点A(−1,1)，B(2,3)，
则x′=(−1)+22=12，y′=1+32=2，
故AB中点的坐标为(12,2)；
直线AB的斜率k=3−12−(−1)=23；
(2)设直线l′的方程为2x+y+m=0，
又由直线l′经过点B(2,3)，
则有2×2+3+m=0，则m=−7；
即直线l′的方程为2x+y−7=0．
【解析】【试题解析】
本题考查直线的点斜式方程以及中点坐标公式，涉及直线的斜率计算，属于基础题．
(1)根据题意，设AB的中点坐标为(x′,y′)，由中点坐标公式和直线的斜率公式计算可得答案；
(2)根据题意，设直线l′的方程为2x+y+m=0，将B的坐标代入其方程计算可得m的值，即可得答案．
18.【答案】证明：(1)如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系A−xyz，
设AB=2a，BC=2b，PA=2c，
则：A(0,0,0)，B(2a,0,0)，C(2a,2b,0)，
D(0,2b,0)，P(0,0,2c)，
∵E为AB的中点，F为PC的中点，
∴E(a,0,0)，F(a,b,c)，
∵EF=(0,b,c)，AP=(0,0,2c)，AD=(0,2b,0)，
∴EF=12AP+12AD，
∴EF,AP,AD共面．
(2)∵CD=(−2a,0,0)，EF=(0,b,c)，
∴CD⋅EF=(−2a,0,0)⋅(0,b,c)=0，
∴CD⊥EF，
∴EF⊥CD．
【解析】本题考查三个空间向量共面的证明，考查两直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，是基础题．
(1)以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系A−xyz，设AB=2a，BC=2b，PA=2c，求出EF=(0,b,c)，AP=(0,0,2c)，AD=(0,2b,0)，从而EF=12AP+12AD，由此能证明EF,AP,AD共面；
(2)求出CD=(−2a,0,0)，EF=(0,b,c)，由CD⋅EF=0，能证明EF⊥CD．
19.【答案】(1)由题意可得c= 2,2a=2 3，∴a= 3,b2=a2−c2=1，
所以椭圆的标准方程为x23+y2=1，离心率为e= 63．
(2)直线l的方程为y=2x+2，代入椭圆方程得13x2+24x+9=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则Δ=108>0,x1+x2=−2413,x1x2=913，
∴|AB|= 1+22|x1−x2|= 5× (x1+x2)2−4x1x2= 5×6 313，
又∵点O到直线AB的距离d=2 1+22=2 5，
∴S△AA=12×d×|AB|=12×2 5× 5×6 313=6 313，
即△OAB的面积为6 313．
【解析】(1)根据题意和椭圆的定义可知a，c，再根据b2=a2−c2，即可求出b，由此即可求出椭圆的方程和离心率；
(2)求出直线l的方程，将其与椭圆方程联立，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，求出x1+x2，x1x2，根据弦长公式求出|AB|的长度，再根据点到直线的距离公式求出点O到直线AB的距离，再根据面积公式即可求出结果．
本题主要考查椭圆方程的求解，椭圆离心率的求解，椭圆中的面积问题，直线与椭圆的位置关系等知识，属于中等题．
20.【答案】解：(1)因为直线l 的方程为3x−2y−6=0，
所以直线l 的斜率为32．
因为l1⊥l，
所以直线l1的斜率为−23．
因为直线l1 过点M(1,−2)，
所以直线l1的方程为y+2=−23(x−1)，即2x+3y+4=0．
(2)因为直线l2//l，且直线l2与直线l之间的距离为 13，
所以可设直线l2的方程为3x−2y+m=0，
所以|m+6| 32+(−2)2= 13，解得m=7或m=−19．
故直线l2的方程为3x−2y+7=0或3x−2y−19=0．
【解析】本题考查两直线平行、垂直与斜率的关系，属于中档题．
(1)由直线l的方程求出斜率，再由l1⊥l可得l1的斜率，由点斜式求出直线l1的方程；
(2)直线l2//l可设l2的方程，再由平行线之间的距离公式求出参数的值，即求出的l2的方程．
21.【答案】解：(Ⅰ)抛物线C：y2=2px(p>0)的准线方程为x=−12，
即−p2=−12，得p=1，
则抛物线C的方程为y2=2x；
(Ⅱ)过点P作准线的垂线，垂足为B，则|PB|=|PF|，
|PA|+|PF|=|PA|+|PB|≥|AB|=72+12=4，
当P，A，B三点共线时，|PA|+|PF|取得最小值4．

【解析】本题考查抛物线的定义和方程、性质，属于基础题．
(Ⅰ)由抛物线的准线方程x=−p2，由题意可得p=1，进而得到抛物线方程；
(Ⅱ)过点P作准线的垂线，垂足为B，运用抛物线的定义和三点共线取得最值的性质，可得所求最小值．
22.【答案】解：(1)因为双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e= 2，
不妨设双曲线方程为x2−y2=λ(λ≠0)，
因为双曲线过点P(−4,− 10)，
所以16−10=λ，
解得λ=6，
则双曲线方程为x26−y26=1；
(2)证明：由(1)知a=b= 6，
所以c= a2+b2= 6+6=2 3，
此时F1(−2 3,0)，F2(2 3,0)，
因为M(3,m)，
所以kMF1=m3+2 3,kMF2=m3−2 3，
此时kMF1kMF2=m3+2 3×m3−2 3=−m23，
因为点M(3,m)在双曲线x26−y26=1上，
所以326−m26=1，
解得m2=3，
则kMF1kMF2=−m23=−1，
所以MF1⊥MF2，
故MF1⋅MF2=0．
【解析】(1)由题意，根据双曲线的离心率先设出双曲线的方程，将点P代入双曲线方程中，进而即可求解；
(2)结合(1)中信息以及a，b，c之间的关系，求出双曲线的焦点坐标，结合点M在双曲线上以及斜率公式再进行求解即可．
本题考查双曲线的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．