2023-2024学年新疆乌鲁木齐六十一中高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年新疆乌鲁木齐六十一中高二（下）期中数学试卷（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列对x的求导运算，结果正确的是( )
A. (5x)′=5x⋅ln5B. (sinα)′=csαC. (csx)′=sinxD. (lga)′=1a⋅ln10
2.3个旅游团要从5个景点中选择一个参观，不同的选法为( )
A. 10B. 60C. 125D. 729
3.函数y=f(x)的图象如图所示，f′(x)是函数f(x)的导函数，令a=f′(5)，b=f′(7)，c=f(7)−f(5)2，则下列数值排序正确的是( )
A. bB. aC. aD. c4.C80+C82+C84+C86+C88=( )
A. 36B. 64C. 128D. 256
5.广西壮族自治区桂林市荔浦市，被称为“中国衣架之都”，是全国最大的木衣架生产和出口基地，已知荔浦市某厂甲、乙两车间生产同一批衣架，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的60%，40%，甲、乙车间的优品率分别为95%，90%.现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为( )
A. 93%B. 93.5%C. 94%D. 94.5%
6.在( x−12x)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中x6的系数为( )
A. −7B. −358C. 358D. 7
7.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图像如图所示，以下命题错误的是( )
A. f(−1)是函数的最小值
B. f(−3)是函数的极值
C. y=f(x)在区间(−3,1)上单调递增
D. y=f(x)在x=0处的切线的斜率大于0
8.已知离散型随机变量X的分布列如下表：若离散型随机变量Y=2X+1，则P(Y≥5)=( )
A. 712B. 512C. 56D. 34
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列计算正确的是( )
A. Anm=n(n−1)(n−2)…(n−m)B. A73=210
C. Anm=nAn−1m−1D. 4×5×6×…×2024=A20242020
10.已知14A. P(ξ=2)的值最大B. P(ξ=0)C. E(ξ)随着p的增大而减小D. E(ξ)随着p的增大而增大
11.关于函数f(x)=lnxx，下列说法正确的是( )
A. f(x)在区间(0,e)上单调递增
B. f(2)=f(4)=f(16)
C. f(3)D. 当k≥1时，不等式kx≥f(x)对于任意的x>0恒成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是______．
13.已知随机变量的分布列为P(X=k)=14，k=1，2，3，4，则D(2X−1)= ______．
14.已知函数f(x)=(3−x)ex−ax在(0,2)上为减函数，则a的取值范围______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
(1)解方程：C153x−2=C15x+1；
(2)计算：A88−A952A85+4A84．
16.(本小题12分)
4名男生和3名女生站成一排．
(1)甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？
(2)甲、乙相邻且与丙不相邻的站法有几种？
(3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？
17.(本小题12分)
设(1+ax)7=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7,(n∈N)，已知a3=−280．
(1)求实数a的值；
(2)求a1+a2+a3+⋯+a7的值；
(3)求a0−a12+a222−a323+⋯−a727的值．
18.(本小题12分)
设函数f(x)=13x3−a2x2+bx+c，曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1．
(1)求b、c的值；
(2)当a=2，x∈[−2,3]时，求函数f(x)单调减区间和最值．
19.(本小题12分)
甲、乙两个同学进行答题比赛，比赛共设三个题目，每个题目胜方得1分，负方得0分，没有平局.比赛结束后，总得分高的同学获得冠军.已知甲在三个题目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各题目的比赛结果相互独立．
(1)求乙同学获得冠军的概率；
(2)用X表示甲同学的总得分，求X的分布列与均值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：(5x)′=5x⋅ln5，(sinα)′=0，(csx)′=−sinx，(lna)′=0．
故选：A．
根据基本初等函数的求导公式逐项求导即可．
本题考查了基本初等函数的求导公式，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由题意可知，每个旅游团从5个景点中选择一个参观，
即每个旅游团有5种选择方法，
即5×5×5=125，
所以不同的选法为125种．
故选：C．
根据题意，由分步乘法计数原理代入计算，即可得到结果．
本题考查了排列组合的混合问题，计数原理的应用，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由图象可知f′(x)在(0,+∞)上单调递增，
故f′(5)故选：C．
由导数的几何意义结合图象判断直线斜率的大小，即可判断a，b，c的大小．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
4.【答案】C
【解析】解：因为(1+x)8=C80+C81x+C82x2+…+C88x8，
所以C80+C82+…+C88=C81+C83+…+C87=12×28=128．
故选：C．
利用二项式(1+x)8展开的系数求解．
本题主要考查了二项展开式系数的性质，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：记事件A=“任取一件，取得优品”，事件B1=“取到甲车间的产品”，事件B2=“取到乙车间的产品”，
则P(B1)=60%，P(B2)=40%，P(A|B1)=95%，P(A|B2)=90%，
所以取到优品的概率P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)=95%×60%+90%×40%=93%．
故选：A．
根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得．
本题主要考查全概率公式，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：∵在( x−12x)n的展开式中，只有第5项的二项式系数Cn4最大，
∴它的展开式共计有9项，∴n=8，
故二项展开式的通项公式为Tr+1=C8r⋅(−12)r⋅x4+r2，
令4+r2=6，求得r=4，可得它的展开式中，x6的系数为C84⋅116=358，
故选：C．
由题意利用二项式系数的性质，求得n的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得x6的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：根据导函数图象可知当x∈(−∞,−3)时，f′(x)<0，在x∈(−3,1)时，f′(x)≥0，
则函数y=f(x)在(−∞,−3)上单调递减，在(−3,1)上单调递增，故C正确；
易知f(−3)是函数的极值，故B正确；
因为在(−3,1)上单调递增，则f(−1)不是函数的最小值，故A错误；
因为函数y=f(x)在x=0处的导数大于0，即切线的斜率大于零，故D正确．
故选：A．
根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．
本题考查了利用导数研究函数单调性和极值，考查了数形结合思想，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：由题意a+13+5a+16=1，解得a=112，
而P(Y≥5)=P(2X+1≥5)=P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=512+16=712．
故选：A．
由分布列中各概率之和为1求得参数a，进一步将所求变形为P(Y≥5)=P(X=2)+P(X=3)即可求解．
本题考查离散型随机事件概率分布列等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于A，Anm=n(n−1)(n−2)⋅⋅⋅(n−m+1)，故A错误；
对于B，A73=7×6×5=210，故B正确；
对于C，Anm=n(n−1)(n−2)⋅⋅⋅(n−m+1)，
nAn−1m−1=n(n−1)(n−2)⋅⋅⋅(n−m+1)，
∴Anm=nAn−1m−1，故C正确；
对于D，A20242020=2024×2023×⋅⋅⋅×6×5，故D错误．
故选：BC．
利用排列数性质求解．
本题考查排列数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查了离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的理解和应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
取p=12进行分析，即可判断选项A；由题中给出的分布列，即可判断选项B；求出E(ξ)的表达式，利用二次函数的性质，即可判断选项C，D．
【解答】
解：对于A，当p=12时，P(ξ=2)=14，而P(ξ=1)=1−12=12>14，故选项A错误；
对于B，p−p2=p(1−p)<1−p，故选项B正确；
对于C，D，由题意E(ξ)=(1−p)+2p2=2(p−14)2+78，由于14所以E(ξ)随着p的增大而增大，故选项C错误，选项D正确．
故选：BD．
11.【答案】AD
【解析】解：因为f(x)=lnxx，定义域为(0,+∞)，f′(x)=1−lnxx2，
由f′(x)<0可得x>e，由f′(x)>0可得0所以函数f(x)的增区间为(0,e)，减区间为(e,+∞)，A对；
因为函数f(x)在(e,+∞)上单调递减，f(2)=ln22=2ln22×2=ln44=f(4)，f(16)由f(x)在区间(e,+∞)上递减可得，f(4)故f(2)于D选项，若kx≥f(x)=lnxx对于任意x>0恒成立，则k≥lnxx2，
令g(x)=lnxx2，x>0，
则g′(x)=1x⋅x2−2xlnxx4=1−2lnxx3，
由g′(x)>0可，0 e，
所以函数g(x)的增区间为(0, e)，减区间为( e,+∞)，
所以g(x)max=g( e)=12e=12e，则k≥12e，
所以，当k≥1时，不等式kx≥f(x)对于任意的x>0恒成立，D对．
故选：AD．
利用导数分析函数f(x)的单调性，可判断BC选项；利用函数的极值点与导数的关系可判断A选项；由参变量分离法可得出k≥lnxx2，利用导数求出函数g(x)=lnxx2的最大值，可判断D选项．
本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，还考查了单调性在函数值大小比较中的应用及不等式恒成立的判断，属于中档题．
12.【答案】16
【解析】解：当两位数不含0时，有A42=12种；当这个两位数含有0时，只有4种情况，
总的个数为12+4=16．
故答案为：16．
分两位数不含0和含0两种情况，进行求解．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
13.【答案】5
【解析】解：∵P(X=k)=14，k=1，2，3，4，
∴E(X)=14×(1+2+3+4)=52，
则D(X)=14×[(1−52)2+(2−52)2+(3−52)2+(4−52)2]=54，
∴D(2X−1)=22D(X)=4×54=5．
故答案为：5．
由分布列先求出期望和方差，然后由方差的性质即可求解．
本题考查了离散型随机变量的期望和方差，属于基础题．
14.【答案】[e,+∞)
【解析】解：因为函数f(x)=(3−x)ex−ax在(0,2)上为减函数，
所以f′(x)=−ex+(3−x)ex−a≤0在(0,2)上恒成立，
所以a≥(2−x)ex在(0,2)上恒成立，令g(x)=(2−x)ex，x∈(0,2)，
所以g′(x)=(1−x)ex，当x=1时，g′(x)=0，当x∈(0,1)时，g′(x)>0，
当x∈(1,2)时，g′(x)<0，
所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以g(x)≤g(1)=e，
故a≥e，所以a的取值范围是[e,+∞)．
故答案为：[e,+∞)．
由题意可得f′(x)≤0在(0,2)上恒成立，即a≥(2−x)ex在(0,2)上恒成立，令g(x)=(2−x)ex，求出g(x)取值范围即可求解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
15.【答案】解：(1)由题意可得3x−2=x+1或3x−2+x+1=15，
解得x=32(舍去)或x=4，
即x=4；
(2)由题意原式=8！−9×8×7×6×52×8×7×6×5×4+4×8×7×6×5=8×7×6×5×(4！−9)8×7×6×5×(8+4)=1512=54．
【解析】(1)直接利用组合数公式求解即可；
(2)直接利用排列数公式求解即可．
本题考查了排列数、组合数公式的运用，是基础题．
16.【答案】解：(1)A22⋅A55=2×120=240(种)，
甲、乙两人必须站在两端的站法有240种．
(2)A22⋅A44⋅A52=2×24×20=960(种)，
甲、乙相邻且与丙不相邻的站法有960种．
(3)A77A33=840(种)．
甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有840种．
【解析】(1)由特殊元素优先法，即可得到结果；
(2)由捆绑法即可得到结果；
(3)由倍缩法即可得到结果；
本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于中档题．
17.【答案】解：(1)∵a3=C73a3=35a3=−280，
∴a3=−8，
∴a=−2
(2)由(1)知，原式=(1−2x)7=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7,(n∈N)，令x=0，得a0=1，
再令x=1，得a0+a1+a2+⋯+a7=(−1)7=−1，
所以，a1+a2+a3+⋯+a7=−1−1=−2．
(3)在式子，令x=−12，可得a0−a12+a222−a323+⋯−a727=(1+1)7=27=128．
【解析】(1)直接利用展开式的通项求出a的值；
(2)利用赋值法的应用求出结果；
(3)利用赋值法的应用求出结果．
本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，赋值法，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为f(x)=13x3−a2x2+bx+c，则f′(x)=x2−ax+b，
由题意得f(0)=c=1f′(0)=b=0，即c=1b=0；
(2)当a=2时，f(x)=13x3−x2+1，则f′(x)=x2−2x=x(x−2)，
列表如下：
所以，当x∈[−2,3]时，函数f(x)的减区间为(0,2)，单调递增区间为(−2,0)，
函数f(x)的极大值为f(0)=1，极小值为f(2)=−13．
又因为f(−2)=−173,f(3)=1，
因此，函数f(x)max=1,f(x)min=−173．
【解析】(1)根据导数的几何意义可得出关于b、c的方程组，即可解得这两个未知数的值；
(2)求得f(x)=13x3−x2+1,f′(x)=x2−2x=x(x−2)，列表分析函数f(x)的单调区间和极值，并求出f(−2)、f(3)的值，即可得出函数f(x)在[−2,3]上的减区间和最大值、最小值．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．
19.【答案】解：(1)设乙在三个题目中获胜的事件依次记为A，B，C，
由题P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(C)=0.2，
所以乙同学获得冠军的概率为P=P(ABC)+P(A−BC)+P(AB−C)+P(ABC−)
=0.5×0.6×0.2+0.5×0.6×0.2+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8
=0.06+0.06+0.04+0.24=0.4；
(2)依题可知，X的可能取值为0，1，2，3，
则P(X=0)=0.5×0.6×0.2=0.06，
P(X=1)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34，
P(X=2)=0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.44，
P(X=3)=0.5×0.4×0.8=0.16，
所以X的分布列为：
则E(X)=0×0.06+1×0.34+2×0.44+3×0.16=1.7．
【解析】(1)根据乙同学获得冠军，则乙至少2个题目中获胜，分类讨论求概率即可；
(2)根据甲获胜题目数对应得分，求出概率，列出分布列求解．
本题考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．X
0
1
2
3
P
a
13
5a
16
ξ
0
1
2
P
p−p2
1−p
p2
x
−2
(−2,0)
0
(0,2)
2
(2,3)
3
f′(x)
+
0
−
0
f(x)
−173
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
1
X
0
1
2
3
P
0.06
0.34
0.44
0.16