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新疆图木舒克市新疆兵团第三师图木舒克市鸿德实验学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版）
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这是一份新疆图木舒克市新疆兵团第三师图木舒克市鸿德实验学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版），文件包含新疆图木舒克市新疆兵团第三师图木舒克市鸿德实验学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷原卷版docx、新疆图木舒克市新疆兵团第三师图木舒克市鸿德实验学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共16页， 欢迎下载使用。
数学试题
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息.
2.请将答案正确填写在相应的位置.
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 计算：等于（ ）
A. 120B. 240C. 60D. 480
【答案】A
【解析】
【分析】根据组合数的计算公式即可求解.
【详解】
故选：A
2. 已知函数的导数为，则＝（ ）
A. 1B. 2
C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】先求出导函数，再代入求值即得.
【详解】则.
故选：D.
3. 小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有( )
A. 7种B. 8种
C. 6种D. 9种
【答案】A
【解析】
【详解】要完成的一件事是“至少买一张IC电话卡”，分三类完成：买1张IC卡，买2张IC卡，买3张IC卡．而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事．买1张IC卡有2种方法，即买一张20元面值的或买一张30元面值的；买2张IC卡有3种方法，即买两张20元面值的或买两张30元面值的或20元面值的和30元面值的各买一张，买3张IC卡有2种方法，即买两张20元面值的和一张30元面值的或3张20元面值的，故共有2＋3＋2＝7(种)不同的买法．
4. 曲线在处切线的斜率为（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解.
【详解】，
当时，，
即曲线在处切线的斜率为.
故选：B.
5. 下列结论正确的个数为（ ）
①若y＝ln2，则y′＝；②若f(x)＝，则f′（3）＝－；③若y＝2x，则y′＝2xln2；④若y＝lg5x，则y′＝．
A. 4
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】由导数的运算求得导数后判断．
【详解】解：在①中，(ln2)′＝0，错；
②，，正确；
③，，正确；
④，，正确．
共有3个正确，
故选：D．
6. 若，则（ ）
A. 0B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由常数的导数为0即可得解.
【详解】∵，∴.
故选：A.
7. 现有语文、数学、外语、物理、化学、生物、政治、历史各一本书，平均分给2个人，其中政治和历史不分给同一个人，则不同的分配方法有（ ）
A. 35B. 36C. 40D. 60
【答案】C
【解析】
【分析】先计算将8本书平均分给二人，再计算政治和历史作为一组分配给一个人的分法，利用间接法即可求解.
【详解】根据题意，8本书均分给2个人共有种，其中政治历史都分给同一个人的有种，
故政治和历史不分给同一个人，不同的分配方法有70－30＝40种.
故选：C.
8. 下列函数中，在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合已知条件，利用奇函数定义，导函数求单调性以及根据解析式直接判断单调性即可求解.
【详解】由函数的图象关于原点对称知，函数为奇函数，
A中，，则在定义域内单调递减，故不满足题意；
B中，函数的定义域为，其图象不关于原点对称，故不满足题意；
C中，，所以函数为偶函数，故不满足题意；
D中，，所以在定义域内单调递增，
又，且的定义域为，
所以的图象关于原点对称，故D正确．
答案：D．
二、多选题
9. 下列选项正确的是（ ）
A ，则
B. ，则
C. ，则
D. ，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用基本初等函数求导法则和复合函数求导法则得到答案.
详解】A选项，，A错误；
B选项，，则，B正确；
C选项，，C正确；
D选项，令，D正确．
故选：BCD．
10. 若，则正整数x的值是（ ）
A. 1B. 4C. 6D. 8
【答案】AC
【解析】
【分析】由组合数的性质，直接计算结果.
【详解】由组合数的性质可知或，解得：或.
故选：AC
11. 某城市街道如图，某人要走最短路程从A地前往B地，则不同走法有（ ）
A. 种B. 种C. 12种D. 32种
【答案】AB
【解析】
【分析】根据题意可知从A地到B地的最短路程必须走5步，且不能重复，只要确定出向东的三步或向南的两步走法即可得出结果.
【详解】因为从A地到B地路程最短，我们可以在地面画出模型，实地实验探究一下走法可得出：
①要走的路程最短必须走5步，且不能重复；
②向东的走法定出后，向南的走法随之确定，
所以我们只要确定出向东的三步或向南的两步走法有多少种即可，
故不同走法的种数有种．
故选：AB
12. 已知，则下列说法正确的有（ ）
A. 当时，函数的图象的切线的斜率最大值为
B. 当时，函数有三个极值点
C. 对于任意，函数有且只有两个零点
D. 若函数在上的最大值为2，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】求导，根据导函数为二次函数，即可由二次函数的性质求解最值判断A，根据导数的正负，结合极值点的定义即可判断B，根据特殊值法即可判断C，根据分段函数的性质，结合函数的单调性即可求解D.
【详解】对于A，当时，∴，
∴函数图像的切线的斜率最大值为，故A正确；
对于B，当时，，令，得或，
当时,，函数单调递减，当时，,函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
∴为函数的极大值点，为函数的极小值点，
当时，，因为，所以函数单调递增，且，
又当从左边趋近1时，趋近于0，所以为函数的极小值点，
所以当时，函数有三个极值点，故B正确；
对于C，当时，，此时函数有无数个零点，故C错误；
对于D，由题意得函数在上的最大值为，
∴当时，恒成立，时，.当时，
∴，综上，，故D正确.
故选：ABD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知函数，则
【答案】
【解析】
【分析】求出的值，利用基本初等函数的导数公式可求得结果.
【详解】因为，则，因此，.
故答案：.
14. 已知函数，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】由题，先求得导数，代入即可求得答案.
【详解】因为
所以
故答案
【点睛】本题考查了求导，熟悉公式和复合函数的求导方法是解题关键，属于基础题.
15. 第33届奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，某高校需要选派4名大学生去当志愿者，已知该校现有9名候选人，其中4名男生，5名女生，则志愿者中至少有2名女生的选法有__________种（用数字作答）.
【答案】105
【解析】
【分析】分别求出恰有两名女生人选、恰有3名女生人选、恰有4名女生人选的选法种数，根据分类加法计数原理，即可求得答案.
【详解】由题意可得恰有两名女生人选的选法有种，
恰有3名女生人选的选法有种，
恰有4名女生人选的选法有种，
所以至少有两名女生人选的选法有（种），
故答案为：105
16. 的展开式中的系数为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用二项式展开式通项可求得展开式中的系数.
【详解】的展开式通项为，
由可得，所以，展开式中的系数为.
故答案为：.
四、解答题（共70分）
17. 计算：（用数字作答）
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据排列数､组合数公式展开计算，即可得出答案.
（2）根据组合数公式和组合数性质展开计算，即可得出答案.
【小问1详解】
【小问2详解】
.
18. 求下列函数的导数.
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
【分析】（1）由公式可得；（2）由和可得；（3）由可得．
【详解】（1）
（2）
（3）
【点睛】本题考查基本函数求导，掌握函数求导公式可以很快作答．
19. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.
（1）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？
（2）从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？
【答案】（1）种；
（2）种.
【解析】
【分析】（1）应用分步乘法求不同的取法；
（2）应用分类加法求不同的取法.
【小问1详解】
从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：
第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法，
第2步从第2层取1本文艺书，有3种方法，
第3步从第3层取1本体育书，有2种方法，
根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是.
【小问2详解】
第1类方法是4本不同的计算机书和3本不同的文艺书中各选取1本，有种方法
第2类方法是4本不同的计算机书和2本不同的体育书各选取1本，有种方法，
第3类方法是3本不同的文艺书和2本不同的体育书各选取1本，有种方法
根据分类加法计数原理，不同取法的种数是.
20. 在的展开式中，求：
（1）第4项二项式系数；
（2）含的项的系数.
【答案】（1）35 （2）280
【解析】
【分析】（1）先写出通项公式，根据二项式系数的定义进行求解；
（2）先写出通项公式，找到含有的项，然后可得系数.
【小问1详解】
由二项式定理可知，在展开式中，
第项为.
所以第4项的二项式系数为.
【小问2详解】
由二项式定理可知，在展开式中，
第项为.
当时，展开式中含的项的系数为.
【点睛】易错点点睛：要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“某一项的系数”这两个概念：
①二项式系数是组合数 (r∈{0,1,2，…，n})，它与二项展开式中“某一项的系数”不一定相等；
②第r＋1项的系数是此项字母前的数连同符号.
21. 有2名男生和3名女生排成一排进行拍照，根据下列不同的要求，求不同的排队方法总数.
（1）其中甲一定要站在最左边；
（2）其中甲不在最左边，乙不在最右边；
（3）其中2名男生要相邻，女生甲、乙不相邻；
【答案】（1）24 （2）78
（3）24
【解析】
【分析】（1）根据特殊元素优先安排法即可求解，
（2）根据间接法，先任意排，在排除不符合要求的即可，
（3）根据相邻捆绑和不相邻插空法即可求解.
【小问1详解】
甲在最左边，则剩下的4个人全排列即可，共有种方法，
【小问2详解】
其中甲在最左边时，有种排法，乙在最右边有，
5个人全排列有，甲在最左边且乙在最右边时有
所以甲不在最左边，乙不在最右边的排队方法一共有；
【小问3详解】
将两名男生捆绑成一个整体和第三个女生全排列，此时形成3个空，
将女生甲乙安排在这3个空中，有，两个男生解绑，有，
所以总的排法为
22. 已知函数，求：
（1）函数的图象在点处的切线方程；
（2）函数在上的最大值与最小值.
【答案】（1）
（2）最大值为，最小值为.
【解析】
【分析】（1）根据函数解析式求导，通过求导数值可得切线斜率，求出切点纵坐标，写出方程；
（2）将导数进行因式分解，求得其零点并列表，再求出其极值与端点值，通过比大小，可得答案.
【小问1详解】
由，则，
，则切线斜率，，
所以切线方程为，整理可得.
【小问2详解】
由，令，解得或，
可得下表：
，，
，，
由，则函数在上的最大值为，最小值为.递减
极小值
递增
极大值
递减
数学试题
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息.
2.请将答案正确填写在相应的位置.
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 计算：等于（ ）
A. 120B. 240C. 60D. 480
【答案】A
【解析】
【分析】根据组合数的计算公式即可求解.
【详解】
故选：A
2. 已知函数的导数为，则＝（ ）
A. 1B. 2
C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】先求出导函数，再代入求值即得.
【详解】则.
故选：D.
3. 小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有( )
A. 7种B. 8种
C. 6种D. 9种
【答案】A
【解析】
【详解】要完成的一件事是“至少买一张IC电话卡”，分三类完成：买1张IC卡，买2张IC卡，买3张IC卡．而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事．买1张IC卡有2种方法，即买一张20元面值的或买一张30元面值的；买2张IC卡有3种方法，即买两张20元面值的或买两张30元面值的或20元面值的和30元面值的各买一张，买3张IC卡有2种方法，即买两张20元面值的和一张30元面值的或3张20元面值的，故共有2＋3＋2＝7(种)不同的买法．
4. 曲线在处切线的斜率为（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解.
【详解】，
当时，，
即曲线在处切线的斜率为.
故选：B.
5. 下列结论正确的个数为（ ）
①若y＝ln2，则y′＝；②若f(x)＝，则f′（3）＝－；③若y＝2x，则y′＝2xln2；④若y＝lg5x，则y′＝．
A. 4
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】由导数的运算求得导数后判断．
【详解】解：在①中，(ln2)′＝0，错；
②，，正确；
③，，正确；
④，，正确．
共有3个正确，
故选：D．
6. 若，则（ ）
A. 0B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由常数的导数为0即可得解.
【详解】∵，∴.
故选：A.
7. 现有语文、数学、外语、物理、化学、生物、政治、历史各一本书，平均分给2个人，其中政治和历史不分给同一个人，则不同的分配方法有（ ）
A. 35B. 36C. 40D. 60
【答案】C
【解析】
【分析】先计算将8本书平均分给二人，再计算政治和历史作为一组分配给一个人的分法，利用间接法即可求解.
【详解】根据题意，8本书均分给2个人共有种，其中政治历史都分给同一个人的有种，
故政治和历史不分给同一个人，不同的分配方法有70－30＝40种.
故选：C.
8. 下列函数中，在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合已知条件，利用奇函数定义，导函数求单调性以及根据解析式直接判断单调性即可求解.
【详解】由函数的图象关于原点对称知，函数为奇函数，
A中，，则在定义域内单调递减，故不满足题意；
B中，函数的定义域为，其图象不关于原点对称，故不满足题意；
C中，，所以函数为偶函数，故不满足题意；
D中，，所以在定义域内单调递增，
又，且的定义域为，
所以的图象关于原点对称，故D正确．
答案：D．
二、多选题
9. 下列选项正确的是（ ）
A ，则
B. ，则
C. ，则
D. ，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用基本初等函数求导法则和复合函数求导法则得到答案.
详解】A选项，，A错误；
B选项，，则，B正确；
C选项，，C正确；
D选项，令，D正确．
故选：BCD．
10. 若，则正整数x的值是（ ）
A. 1B. 4C. 6D. 8
【答案】AC
【解析】
【分析】由组合数的性质，直接计算结果.
【详解】由组合数的性质可知或，解得：或.
故选：AC
11. 某城市街道如图，某人要走最短路程从A地前往B地，则不同走法有（ ）
A. 种B. 种C. 12种D. 32种
【答案】AB
【解析】
【分析】根据题意可知从A地到B地的最短路程必须走5步，且不能重复，只要确定出向东的三步或向南的两步走法即可得出结果.
【详解】因为从A地到B地路程最短，我们可以在地面画出模型，实地实验探究一下走法可得出：
①要走的路程最短必须走5步，且不能重复；
②向东的走法定出后，向南的走法随之确定，
所以我们只要确定出向东的三步或向南的两步走法有多少种即可，
故不同走法的种数有种．
故选：AB
12. 已知，则下列说法正确的有（ ）
A. 当时，函数的图象的切线的斜率最大值为
B. 当时，函数有三个极值点
C. 对于任意，函数有且只有两个零点
D. 若函数在上的最大值为2，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】求导，根据导函数为二次函数，即可由二次函数的性质求解最值判断A，根据导数的正负，结合极值点的定义即可判断B，根据特殊值法即可判断C，根据分段函数的性质，结合函数的单调性即可求解D.
【详解】对于A，当时，∴，
∴函数图像的切线的斜率最大值为，故A正确；
对于B，当时，，令，得或，
当时,，函数单调递减，当时，,函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
∴为函数的极大值点，为函数的极小值点，
当时，，因为，所以函数单调递增，且，
又当从左边趋近1时，趋近于0，所以为函数的极小值点，
所以当时，函数有三个极值点，故B正确；
对于C，当时，，此时函数有无数个零点，故C错误；
对于D，由题意得函数在上的最大值为，
∴当时，恒成立，时，.当时，
∴，综上，，故D正确.
故选：ABD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知函数，则
【答案】
【解析】
【分析】求出的值，利用基本初等函数的导数公式可求得结果.
【详解】因为，则，因此，.
故答案：.
14. 已知函数，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】由题，先求得导数，代入即可求得答案.
【详解】因为
所以
故答案
【点睛】本题考查了求导，熟悉公式和复合函数的求导方法是解题关键，属于基础题.
15. 第33届奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，某高校需要选派4名大学生去当志愿者，已知该校现有9名候选人，其中4名男生，5名女生，则志愿者中至少有2名女生的选法有__________种（用数字作答）.
【答案】105
【解析】
【分析】分别求出恰有两名女生人选、恰有3名女生人选、恰有4名女生人选的选法种数，根据分类加法计数原理，即可求得答案.
【详解】由题意可得恰有两名女生人选的选法有种，
恰有3名女生人选的选法有种，
恰有4名女生人选的选法有种，
所以至少有两名女生人选的选法有（种），
故答案为：105
16. 的展开式中的系数为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用二项式展开式通项可求得展开式中的系数.
【详解】的展开式通项为，
由可得，所以，展开式中的系数为.
故答案为：.
四、解答题（共70分）
17. 计算：（用数字作答）
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据排列数､组合数公式展开计算，即可得出答案.
（2）根据组合数公式和组合数性质展开计算，即可得出答案.
【小问1详解】
【小问2详解】
.
18. 求下列函数的导数.
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
【分析】（1）由公式可得；（2）由和可得；（3）由可得．
【详解】（1）
（2）
（3）
【点睛】本题考查基本函数求导，掌握函数求导公式可以很快作答．
19. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.
（1）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？
（2）从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？
【答案】（1）种；
（2）种.
【解析】
【分析】（1）应用分步乘法求不同的取法；
（2）应用分类加法求不同的取法.
【小问1详解】
从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：
第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法，
第2步从第2层取1本文艺书，有3种方法，
第3步从第3层取1本体育书，有2种方法，
根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是.
【小问2详解】
第1类方法是4本不同的计算机书和3本不同的文艺书中各选取1本，有种方法
第2类方法是4本不同的计算机书和2本不同的体育书各选取1本，有种方法，
第3类方法是3本不同的文艺书和2本不同的体育书各选取1本，有种方法
根据分类加法计数原理，不同取法的种数是.
20. 在的展开式中，求：
（1）第4项二项式系数；
（2）含的项的系数.
【答案】（1）35 （2）280
【解析】
【分析】（1）先写出通项公式，根据二项式系数的定义进行求解；
（2）先写出通项公式，找到含有的项，然后可得系数.
【小问1详解】
由二项式定理可知，在展开式中，
第项为.
所以第4项的二项式系数为.
【小问2详解】
由二项式定理可知，在展开式中，
第项为.
当时，展开式中含的项的系数为.
【点睛】易错点点睛：要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“某一项的系数”这两个概念：
①二项式系数是组合数 (r∈{0,1,2，…，n})，它与二项展开式中“某一项的系数”不一定相等；
②第r＋1项的系数是此项字母前的数连同符号.
21. 有2名男生和3名女生排成一排进行拍照，根据下列不同的要求，求不同的排队方法总数.
（1）其中甲一定要站在最左边；
（2）其中甲不在最左边，乙不在最右边；
（3）其中2名男生要相邻，女生甲、乙不相邻；
【答案】（1）24 （2）78
（3）24
【解析】
【分析】（1）根据特殊元素优先安排法即可求解，
（2）根据间接法，先任意排，在排除不符合要求的即可，
（3）根据相邻捆绑和不相邻插空法即可求解.
【小问1详解】
甲在最左边，则剩下的4个人全排列即可，共有种方法，
【小问2详解】
其中甲在最左边时，有种排法，乙在最右边有，
5个人全排列有，甲在最左边且乙在最右边时有
所以甲不在最左边，乙不在最右边的排队方法一共有；
【小问3详解】
将两名男生捆绑成一个整体和第三个女生全排列，此时形成3个空，
将女生甲乙安排在这3个空中，有，两个男生解绑，有，
所以总的排法为
22. 已知函数，求：
（1）函数的图象在点处的切线方程；
（2）函数在上的最大值与最小值.
【答案】（1）
（2）最大值为，最小值为.
【解析】
【分析】（1）根据函数解析式求导，通过求导数值可得切线斜率，求出切点纵坐标，写出方程；
（2）将导数进行因式分解，求得其零点并列表，再求出其极值与端点值，通过比大小，可得答案.
【小问1详解】
由，则，
，则切线斜率，，
所以切线方程为，整理可得.
【小问2详解】
由，令，解得或，
可得下表：
，，
，，
由，则函数在上的最大值为，最小值为.递减
极小值
递增
极大值
递减
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