2023-2024学年新疆喀什地区巴楚重点中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年新疆喀什地区巴楚重点中学高一（上）期末数学试卷（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设全集U=R，A={1,2,3}，B={−1,0,1,2}，则A∩B=( )
A. {−1,0,1,2,3}B. {1,2}C. {1,2,3}D. {−1,0,1,2}
2.“x=2”是“等式x2−2x=0”的( )
A. 充分不必要条件B. 充分必要条件C. 必要不充分条件D. 非充分非必要条件
3.已知f(x)=x2+1,x≥0−x+1,x<0，则f[f(−1)]的值为( )
A. 5B. 2C. −1D. −2
4.已知命题p：∀x∈R，x≥1，那么命题￢p为( )
A. ∀x∈R，x≤1B. ∃x∈R，x<1
C. ∀x∈R，x≤−1D. ∃x∈R，x<−1
5.函数f(x)=x3+x−5的零点所在区间为
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
6.要得到函数y=3sin(x+π4)的图象，只需将函数y=3sinx的图象( )
A. 向左平移π4个单位B. 向右平移π4个单位C. 向左平移π8个单位D. 向右平移π8个单位
7.设a=lg314,b=413,c=lg32，则a，b，c的大小关系为( )
A. c>a>bB. b>a>cC. c>b>aD. b>c>a
8.一元二次不等式2kx2+kx−38<0对一切实数x都成立，则k的取值范围是
( )
A. (−3,0)B. (−3,0]
C. [−3,0]D. (−∞,−3)∪[0，+∞)
9.下列哪一组函数相等( )
A. f(x)=x与g(x)=x2xB. f(x)=x2与g(x)=( x)4
C. f(x)=|x|与g(x)=( x)2D. f(x)=x2与g(x)=3x6
10.如图曲线对应的函数是( )
A. y=|sinx|B. y=sin|x|C. y=−sin|x|D. y=−|sinx|
11.若tanα=3，tanβ=43，则tan(α−β)等于( )
A. −3B. −13C. 3D. 13
12.若a>b，c>d，下列不等式正确的是( )
A. c−b>d−aB. ac>bdC. a−c>b−dD. ad>bc
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知扇形的面积为3π8，半径为1，则扇形的圆心角为 ．
14.若tanα=2，则sin2α+3sinαcsαcs2α+1= ______．
15.已知x>0，函数y=x+9x的最小值是______．
16.若函数f(x)=kx2+(k−1)x+3是偶函数，则k的值为 ．
三、解答题：本题共6小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
求值：
(1)lg8+3lg5的值；
(2)(278)−23−(499)0.5+(0.008)−23×125．
18.(本小题5分)
已知函数f(x)= 3−x+1 x+2的定义域为集合A，B={x|x(1)求集合A；
(2)若A⊆B，求a的取值范围．
19.(本小题5分)
(1)化简f(α)=sin(π2−α)+sin(−π−α)3cs(2π+α)+cs(3π2−α)；
(2)若tanα=2，求f(α)的值．
20.(本小题5分)
已知α，β为同一象限的角，且csα=35，sinβ=−513.求：
(1)sinα，csβ；
(2)sin(α+β)，cs(α−β)的值．
21.(本小题5分)
已知函数f(x)= 3cs2x+sin2x+1(x∈R)．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的单调递增区间．
22.(本小题5分)
已知函数f(x)=2x−1x+1．
(1)求函数的定义域；
(2)试判断函数在(−1,+∞)上的单调性，并给予证明；
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为A={1,2,3}，B={−1,0,1,2}，
所以A∩B={1,2}．
故选：B．
根据交集的定义进行求解即可．
本题考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：因为x2−2x=0，即x(x−2)=0，解得x=0或x=2，
所以x=2能推出x(x−2)=0，x(x−2)=0不能推出x=2，
所以“x=2”是“等式x2−2x=0”的充分不必要条件．
故选：A．
由题意，x2−2x=0解得x=0或x=2，然后根据充分条件与必要条件的定义判断即可．
本题考查了充分条件和必要条件的定义，是基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为f(x)=x2+1,x≥0−x+1,x<0，
所以f(−1)=2，
则f[f(−1)]=f(2)=5．
故选：A．
由已知先求出f(−1)=2，代入即可求解．
本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：∵命题 p：∀x∈R，x≥1，命题是一个全称命题，
∴命题￢p为∃x∈R，x<1，
故选：B．
根据所给的命题是一个全称命题，要写出这个命题的否定，需要先变化量词，再变化题设和结论．
本题考查命题的否定，本题解题的关键是看出命题是一个全称命题，注意变化过程中的量词的变化，本题是一个基础题．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．
求得f(1)f(2)<0，根据函数零点的判定定理可得函数f(x)的零点所在的区间．
【解答】
解：由函数f(x)=x3+x−5在R上函数单调递增且连续，
可得f(1)=1+1−5=−3<0，f(2)=8+2−5=5>0，
故有f(1)f(2)<0，
根据函数零点的判定定理可得，函数f(x)的零点所在区间为(1,2)，
故选B．
6.【答案】A
【解析】解：要得到函数y=3sin(x+π4)的图象，
只需将函数y=3sinx的图象向左平移π4个单位即可．
故选：A．
由题意，根据平移变换的原则即可得解．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：lg31440=1，0=lg31∴b>c>a．
故选：D．
容易得出lg314<0,413>1,0本题考查了对数函数、指数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了一元二次不等式恒成立问题，是基础题．
由二次项系数小于0，对应的判别式小于0联立求解．
【解答】
解：由一元二次不等式2kx2+kx−38<0对一切实数x都成立，得k≠0，
则k<0k2−4×2k×(−38)<0，解得−3综上，满足一元二次不等式2kx2+kx−38<0对一切实数x都成立的k的取值范围是(−3,0)．
故选A．
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了函数相等的判断，只需对定义域与对应关系两者都判断即可．
判断函数是否相等要看两个方面，对应关系与定义域．
【解答】
解：f(x)=x的定义域为R，g(x)=x2x的定义域为{x|x≠0}，故不相等；
f(x)=x2的定义域为R，g(x)=( x)4的定义域为[0,+∞)，故不相等；
f(x)=|x|的定义域为R，g(x)=( x)2的定义域为[0,+∞)，故不相等；
f(x)=x2与g(x)=3x6的定义域及对应关系都相同，故相等；
故选D．
10.【答案】C
【解析】解：观察图象知：
在y轴的右侧，它的图象与函数y=−sinx相同，排除A、B；
又在y轴的左侧，它的图象与函数y=sinx相同，排除D；
故选：C．
应用排除法解决本题，先从图象的右侧观察知它与正弦曲线一样，可排除一些选项，再从左侧观察又可排除一些，从而可选出答案．
本题主要考查了三角函数函数的图象与图象变化，同学们对于常用的正弦函数的图象要切实掌握．
11.【答案】D
【解析】解：∵tanα=3，tanβ=43
∴tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=3−431+3×43=13．
故选D．
根据两角和与差的正切公式，代入即可得到答案．
本题主要考查两角和与差的正切公式．属基础题．
12.【答案】A
【解析】解：∵a>b，
∴−a<−b，即−b>−a．
∵c>d，
∴c−b>d−a．
故选：A．
本题可利用不等式的基本性质，运用已知条件，进行正确推导，得本题结论．
本题考查的是不等式的基本性质，要求准确掌握不等式的基本性质，本题计算小，属于基础题．
13.【答案】3π4
【解析】【分析】
根据扇形的面积公式，得α=3π4，计算可得答案．
此题主要是能够灵活运用扇形的面积公式以及计算能力．解决本题的关键在于对公式的熟练掌握以及灵活运用．
【解答】
解：由题意可得，
根据扇形的面积公式，得α=3π4．
故答案为3π4．
14.【答案】53
【解析】解：由sin2α+3sinαcsαcs2α+1=sin2α+3sinαcsα2cs2α+sin2α=tan2α+3tanα2+tan2α，因tanα=2，故sin2α+3sinαcsαcs2α+1=tan2α+3tanα2+tan2α=106=53．
故答案为：53．
不难发现所求式易于转化成正余弦的齐次式，故通过弦化切即可计算得到．
本题考查了同角三角函数的基本关系，是基础题．
15.【答案】6
【解析】解：因为x>0，则函数y=x+9x≥2 x⋅9x=6，当且仅当x=9x，即x=3时，等号成立．
故答案为：6．
根据基本不等式相关知识可解．
本题考查基本不等式相关知识，属于基础题．
16.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查函数奇偶性的性质，掌握奇偶函数的定义是解决问题之关键，属于基础题．
由题意可得，k−1=0，从而可得答案．
【解答】
解：∵f(x)=kx2+(k−1)x+3是偶函数，
∴f(−x)=f(x)，
∴2(k−1)x=0，而x不恒为0，
∴k−1=0，
∴k=1．
故答案为：1．
17.【答案】解：(1)lg8+3lg5=lg23+3lg5=3lg2+3lg5=3(lg2+lg5)=3；
(2)(278)−23−(499)0.5+(0.008)−23×125=[(32)3]−23−[(73)2]12+[(15)3]−23×(15)2
=(32)3×(−23)−(73)2×12+(15)3×(−23)+2=(32)−2−73+(15)0=−89．
【解析】根据指数幂以及对数的运算性质求解即可．
本题考查了指数、对数的运算性质，是基础题．
18.【答案】解：(1)∵3−x≥0x+2>0∴−2(2)∵B={x|x又A⊆B
∴a∈(3,+∞)
【解析】(1)被开方数大于等于0，分式的分母不为0，可求出集合A．
(2)由A是B的子集，可解出实数a的取值范围．
本题主要考查了函数的定义域及其求法，以及并集及运算和子集的概念，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由题意可得f(α)=sin(π2−α)+sin(−π−α)3cs(2π+α)+cs(3π2−α)=csα+sin(π−α)3csα−sinα=csα+sinα3csα−sinα．
(2)∵tanα=2，
∴f(α)═csα+sinα3csα−sinα=1+tanα3−tanα=1+23−2=3．
【解析】(1)由条件，利用诱导公式化简所给的式子，可得结果．
(2)由条件，利用同角三角函数的基本关系化简所给的式子，可得结果．
本题主要考查利用诱导公式、同角三角函数的基本关系进行化简求值，属于基础题．
20.【答案】解：(1)因为α，β为同一象限的角，且csα=35>0，sinβ=−513<0，
所以α，β都为第四象限角，
故sinα=− 1−cs2α=− 1−(35)2=−45，
csβ= 1−sin2β= 1−(−513)2=1213；
(2)sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβ=−45×1213+35×(−513)=−6365，
cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ=35×1213+(−45)×(−513)=5665．
【解析】(1)利用已知的三角函数值，先判断出角α和β所在的象限，然后由同角三角函数关系求解即可；
(2)利用两角和差公式计算即可．
本题考查了三角函数在各个象限符号的应用，同角三角函数关系的运用，两角和差公式的运用，考查了运算能力，属于基础题．
21.【答案】解：(1)因为f(x)= 3cs2x+sin2x+1=2cs(2x−π6)+1，所以T=2π2=π；
(2)因为f(x)=2cs(2x−π6)+1，所以由−π+2kπ≤2x−π6≤2kπ,k∈Z，
得−56π+2kπ≤2x≤π6+2kπ，k∈Z即−512π+kπ≤x≤π12+kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为[−512π+kπ,π12+kπ]，k∈Z．
【解析】(1)根据辅助角公式化简得到f(x)=2cs(2x−π6)+1.最小正周期为T=2π2=π；(2)根据三角函数单调区间求解即可．
本题考查三角函数的性质，属于基础题．
22.【答案】解(1)根据题意，函数f(x)=2x−1x+1，
必有x≠−1，故函数定义域为：{x|x≠−1}；
(2)函数为增函数，证明如下：
设−1f(x2)−f(x1)=2x2−1x2+1−2x1−1x1+1=(2x2−1)(x1+1)−(2x1−1)(x2+1)(x2+1)(x1+1)=3(x2−x1)(x2+1)(x1+1)，
因为x2>x1>−1，则x2−x1>0，x1+1>0，x2+1>0，
可得f(x2)−f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，
所以f(x)在(−1,+∞)上单调递增．
【解析】(1)根据题意，由函数的解析式，结合分式性质直接求解；
(2)根据题意，结合增减性定义．利用作差法直接证明即可．
本题考查函数的定义域和单调性的证明，注意作差法的应用，属于基础题．