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20，广东省 湛江市吴川市实验学校2023-2024学年九年级下学期数学期中试卷
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这是一份20，广东省 湛江市吴川市实验学校2023-2024学年九年级下学期数学期中试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A．-(-3)和3B．+（-5）和-[-(-5)]C．和-3D．-（-7）和-|-7|
2．新型冠状病毒属于属的新型冠状病毒，有包膜，颗粒呈圆形或者椭圆形，常为多形性，最大直径约米，将用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．使二次根式有意义的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点在：（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．不等式x+1＞2x﹣1的解集为( )
A．x＞﹣2B．x＜﹣2C．x＞2D．x＜2
7．估计的值应在（ ）
A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间
8．阅读可以丰富知识，拓展视野，在世界读书日（4月23日）当天，某校为了解学生的课外阅读，随机调查了40名学生课外阅读册数的情况，现将调查结果绘制成如图．关于学生的读书册数，下列描述正确的是（ ）
极差是6B．中位数是5C．众数是6D．平均数是5
9．如图，在中，，过点，且，则的度数为（ ）
B．C．D．
10．如图，正方形ABCD的边长是2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，以该等腰直角三角形的一条直角边DE为边向外作正方形，其面积标记为按照此规律继续作图，则S2021的值为（ ）
B．C．D．
试卷源自 期末大优惠，即将回复原价。11．如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于、，连接、，与相交于点．给出以下结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的是（ ）
A．①②③④B．②③④C．①②④D．①③④
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
12．因式分解＝ ．
已知关于的一元二次方程有一个根为1，则 ，
若一个正多边形的每个内角为，则这个正多边形的边数是 ．
甲、乙 两同学近四次数学测试成绩的平均分都为80分，且，则成绩比较稳定的是
16．如图，把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使分别落在轴、轴上，连接，将纸片沿折叠，使点落在点的位置，与轴交于点，若，则的长为 ．
三、解答题（共9小题，满分72分）
17．（5分）计算：
（5分）先化简，再求值：，其中x＝﹣1．
19．（7分）如图，在中，是它的一条对角线．
(1)求证：；
(2)尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点，（不写作法，保留作图痕迹）；
20．（7分）已知关于的方程．
(1)当时，求原方程的解．
(2)若原方程有两个相等的实数根，求的值．
21．（8分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)根据图象直接写出关于的不等式的解集：______；
(3)求的面积．
22．（8分）如图，小南家A位于一条东西走向的笔直马路上，超市B在A地的正东方．午休时间，小南从家A出发沿北偏东60°方向步行600米至菜鸟驿站C取快递．下午第一节网课是美术课，此时距离上课时间只有7分钟，他决定先沿西南方向步行至超市B购买素描画纸，再沿正西方向回到家上网课．（参考数据：，）
(1)求菜鸟驿站C与超市B的距离（精确到个位）；
(2)若小南的步行速度为80米/分钟，那么他上美术网课会迟到吗？请说明理由．（忽略小南买素描画纸的时间）
23．（10分）如图，在中，，以为直径的交于点D，E是的中点，连接，．
(1)求证：；
(2)求证：是切线；
(3)连接交于点F，若，，求的长．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若线段的长满足，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．如图，抛物线为“黄金”抛物线，其与x轴交点为A，B（其中B在A的右侧），与y轴交于点C．且
(1)求抛物线的解析式；
(2)若P为上方抛物线上的动点，过点P作，垂足为D．
①求的最大值；
②连接，当与相似时，求点P的坐标．
25．（12分）新定义：如图1（图2，图3），在△ABC中，把AB边绕点A顺时针旋转，把AC边绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，若∠BAC+∠B'AC'＝180°，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C'的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
【特例感知】
(1)①若△ABC是等边三角形（如图2），BC＝4，则AD＝ ；
②若∠BAC＝90°（如图3），BC＝6，AD＝ ；
【猜想论证】
(2)在图1中，当△ABC是任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并证明你的猜想；（提示：过点B′作B′E∥AC′且B′E＝AC′，连接C′E，则四边形AB′EC是平行四边形）
【拓展应用】
(3)如图4，点A，B，C，D都在半径为5的圆P上，且AB与CD不平行，AD＝6，△APD是△BPC的“旋补三角形”，点P是“旋补中心”，求BC的长．
吴川市实验学校2023-2024学年度初三级学科综合训练
数学训练卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A．-(-3)和3B．+（-5）和-[-(-5)]C．和-3D．-（-7）和-|-7|
【答案】D
【详解】试题解析：∵-（-3）=3，
∴-（-3）和3相等，不互为相反数，
∴选项A不正确；
∵+（-5）=-5，-[-（-5）]=-5，
∴+（-5）=-5和-[-（-5）]相等，不互为相反数，
∴选项B不正确；
∵和-互为相反数，和-3不互为相反数，
∴选项C不正确；
∵-（-7）=7，-|-7|=-7，
∴-（-7）和-|-7|互为相反数，
∴选项D正确．
故选D．
2．新型冠状病毒属于属的新型冠状病毒，有包膜，颗粒呈圆形或者椭圆形，常为多形性，最大直径约米，将用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】绝对值小于1的数用科学记数法表示，一般形式为，这里n为正整数，，n为原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定，按照此方法即可把0.0000014用科学记数法表示出来．
【详解】0.0000014．
故选：B．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，这里n为正整数，，正确确定a与n是解题的关键．
3．使二次根式有意义的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解即可
【详解】解：二次根式有意义，则，
解得：，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由合并同类项、单项式乘以单项式、同底数幂除法、积的乘方，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项、单项式乘以单项式、同底数幂除法、积的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行判断．
5．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点在：（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】根据点关于x坐标轴的对称点的特征求解即可
【详解】∵，
∴点关于轴的对称点为：，
∴点关于轴的对称点在第三象限，
故选：C
【点睛】本题考查了判断点所在的象限和点关于坐标轴的对称点，熟悉各个象限的点的特征是解决问题的关键
6．不等式x+1＞2x﹣1的解集为( )
A．x＞﹣2B．x＜﹣2C．x＞2D．x＜2
【答案】D
【分析】根据不等式的解法即可求解.
【详解】解
-x＞-2，x＜2，
故选D.
【点睛】此题主要考查不等式的解法，解题的关键是熟知不等式的性质.
7．估计的值应在（ ）
A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间
【答案】B
【分析】此题主要考查了二次根式的运算，算术平方根的意义，无理数的估算，理解算术平方根的意义，首先计算再根据算术平方根的意义得进而得由此可得的值在4和5之间，据此可得出答案，熟练掌握二次根式的运算和无理数的估算是解决问题的关键．
【详解】解：
即
的值在4和5之间，
的值在4和5之间，
故选：B．
8．阅读可以丰富知识，拓展视野，在世界读书日（4月23日）当天，某校为了解学生的课外阅读，随机调查了40名学生课外阅读册数的情况，现将调查结果绘制成如图．关于学生的读书册数，下列描述正确的是（ ）
A．极差是6B．中位数是5C．众数是6D．平均数是5
【答案】B
【分析】本题考查了极差、中位数、众数以及平均数的判断，分别计算极差、中位数、众数以及平均数进行判断即可．
【详解】解：A、极差，故选项不符合题意；
B、中位数是第20和第21个数的平均数为5，故选项符合题意；
C、5出现的次数最多，故众数是5，故选项不符合题意；
D、平均数为，故选项不符合题意．
故选：B．
9．如图，在中，，过点，且，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据及内角和求出，又因得出，即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
解得：，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内角和，平行线的性质，解题的关键是求出．
10．如图，正方形ABCD的边长是2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，以该等腰直角三角形的一条直角边DE为边向外作正方形，其面积标记为按照此规律继续作图，则S2021的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得等腰直角三角形的直角边是斜边的，从而得到，，，，……，由此得到规律，即可求解．
【详解】解：∵△CDE是以CD为斜边等腰直角三角形，
∴DE=CE，∠CED=90°，
∴，
∴，
即等腰直角三角形的直角边是斜边的，
∴，
，
，
，
……，
由此发现，，
∴．
故选：A
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
11．如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于、，连接、，与相交于点．给出以下结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的是（ ）
A．①②③④B．②③④C．①②④D．①③④
【答案】B
【分析】根据等边三角形和正方形的性质得，则，可判定①错误；通过导角能得出，得，从而证明，可判断②正确；利用，得，可说明③正确；过点作于，于，将转化为，从而判断④成立．
【详解】解：是等边三角形，
，，
在正方形中，
，，
，
，
故①错误；
，，
，
，
，
，
，
，
，
故②正确；
，，
，
，
，
故③正确；
如图，过点作于，于，
正方形的边长为2，为正三角形，
，，
，
，，
，
，
故④正确，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，含角的直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握各性质是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
12．因式分解＝ ．
【答案】
【分析】提公因式后运用平方差公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本考查了因式分解的方法，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
13．已知关于的一元二次方程有一个根为1，一个根为，则 ， ．
【答案】 0 0
【分析】一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；分别将1和﹣1代入方程即可得到两个关系式的值．
【详解】将1代入方程得：，
即；
将﹣1代入方程得：，即；
故答案为0，0．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根，即方程的解的定义，深刻理解根的定义是解题关键．
14．若一个正多边形的每个内角为，则这个正多边形的边数是 ．
【答案】12
【分析】本题考查了正多边形的内角与外角的关系，掌握正多边形的每个内角都相等，外角和的大小与多边形的边数无关，即任何多边形的外角和都是是解题的关键．求出每个内角对应的外角，由任何多边形的外角和都是，除以每个外角的度数即可求得边数．也可以利用正多边形的内角和公式建立方程求解，即，解出边数即可．
【详解】解： 正多边形的每个内角为，
每个内角的外角为：，
又 任何多边形的外角和都是，
这个正多边形的边数为，
故答案为：12．
15．甲、乙 两同学近四次数学测试成绩的平均分都为80分，且，则成绩比较稳定的是
【答案】乙
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【详解】解：∵甲同学成绩的方差为S2甲=22，乙同学成绩的方差为S2乙=14，
∴S2甲＞S2乙，
∴它们的数学测试成绩较稳定的是乙；
故答案为：乙．
【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
16．如图，把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使分别落在轴、轴上，连接，将纸片沿折叠，使点落在点的位置，与轴交于点，若，则的长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了勾股定理、折叠的性质、等腰三角形的判定及性质、矩形的性质，由矩形的性质及折叠的性质得，设，则，在中，利用勾股定理即可求解，熟练掌握基础知识，利用方程的思想及数形结合思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：如图：
四边形是矩形，
，
，
根据题意得：，，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
即：，
解得：，
，
故答案为：．
三、解答题（共9小题，满分72分）
17．（5分）计算：
【答案】
【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值，求一个数的算术平方根，进行计算即可求解．
【详解】解：
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值，求一个数的算术平方根是解题的关键．
18．（5分）先化简，再求值：，其中x＝﹣1．
【答案】 ，.
【详解】分析：首先将括号里面的分式进行通分，然后将除法改成乘法进行约分得出化简结果，最后将x的值代入化简后的式子得出答案．
详解：解：原式= • = ，
当x= ﹣1时，原式= ．
点睛：本题主要考查的是分式的化简求值问题，属于基础题型．学会因式分解是解决这个问题的关键．
19．（7分）如图，在中，是它的一条对角线．
(1)求证：；
(2)尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点，（不写作法，保留作图痕迹）；
【答案】(1)见解析；
(2)见解析
【分析】（1）由平行四边形的性质得出，再由，即可证明；
（2）利用线段垂直平分线的作法进行作图即可；
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴；
（2）如图所示，
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，基本作图，掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定方法，线段垂直平分线的作法是解决问题的关键．
20．（7分）已知关于的方程．
(1)当时，求原方程的解．
(2)若原方程有两个相等的实数根，求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】
本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程解法，一元二次方程根的判别式是解题关键．
（1）将代入，解方程即可；
（2）先求出的值，再根据的符号即可得出答案．
【详解】（1）解：当时，原方程为，
，
即，，
解得：，；
（2）解：该一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：．
21．（8分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)根据图象直接写出关于的不等式的解集：______；
(3)求的面积．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）将代入到反比例函数解析式可得其解析式；先根据反比例函数解析式求得点的坐标，再由，坐标可得直线解析式；
（2）根据图象得出不等式的解集即可；
（3）设一次函数的图象与坐标轴交于，两点，分别过，两点作轴于，作轴于，根据题意可得，，从而求出，和，进而求出的值．
【详解】（1）把代入，得：，
∴反比例函数的解析式为；
把代入，得：，
∴，
把、代入，得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
故答案为：；．
（2）由图象可知当时，，
∴不等式的解集是，
故答案为：．
（3）设一次函数的图象与坐标轴交于，两点，分别过，两点作轴于，作轴于，
∵，，
∴，
∵一次函数的解析式为，
∴．
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数，反比例函数的交点坐标，将点的坐标代入函数关系式是确定函数关系式的常用方法，理解交点坐标与不等式解集之间的关系是解本题的关键．
22．（8分）如图，小南家A位于一条东西走向的笔直马路上，超市B在A地的正东方．午休时间，小南从家A出发沿北偏东60°方向步行600米至菜鸟驿站C取快递．下午第一节网课是美术课，此时距离上课时间只有7分钟，他决定先沿西南方向步行至超市B购买素描画纸，再沿正西方向回到家上网课．（参考数据：，）
(1)求菜鸟驿站C与超市B的距离（精确到个位）；
(2)若小南的步行速度为80米/分钟，那么他上美术网课会迟到吗？请说明理由．（忽略小南买素描画纸的时间）
【答案】(1)424米
(2)会迟到，见解析
【分析】（1）过点C作交的延长线于点D，先根据三角函数求出的长，再根据勾股定理求的长即可；
（2）先根据三角函数求出的长，再计算即可．
【详解】（1）过点C作交的延长线于点D，
由题意知，，，
在中，，
∴．
在中，，
∴，
∴．
∴．
答：菜鸟驿站C与超市B的距离424米．
（2）会迟到，理由如下：
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴小南上美术网课会迟到．
【点睛】本题考查了勾股定理和用三角函数解决实际问题，通过作辅助线，构造直角三角形，利用三角函数求解是解题的关键．
23．（10分）如图，在中，，以为直径的交于点D，E是的中点，连接，．
(1)求证：；
(2)求证：是切线；
(3)连接交于点F，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得结论；
（2）连接、，如图，利用圆周角定理得到，则根据斜边上的中线性质得到，所以，接着证明，从而得到，然后根据切线的判定方法得到结论；
（3）根据勾股定理求出，再利用等面积法求出，再证明为的中位线得到，然后利用相似比计算的长，最后利用勾股定理求得即可．
【详解】（1）证明：以为直径的交于点，
，
；
（2）证明：连接，如图，
为直径，
，
为的斜边的中点，
，
，
，
，
而
，
，
，
为的切线；
（3）解：在中，根据勾股定理得，
为中点，为中点，
为的中位线，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，三角形等面积法，中位线的性质，勾股定理，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若线段的长满足，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．如图，抛物线为“黄金”抛物线，其与x轴交点为A，B（其中B在A的右侧），与y轴交于点C．且
(1)求抛物线的解析式；
(2)若P为上方抛物线上的动点，过点P作，垂足为D．
①求的最大值；
②连接，当与相似时，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)①PD最大值为；②P坐标为或
【分析】(1)先求出OC=2，设OB=x(x>0)，则OA=4OB=4x，由“黄金”抛物线定义得到，进而得到4=4x²，求出OB=1，OA=4，代入B(1,0)，A(-4，0)到求出a和b即可；
(2)①过P点作PH⊥x轴于H点，交AC于E点，得到，进一步得到，由此将PD最大值转化为PE最大值；再设，则，进一步得到即可求解；
②分当时和当时两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：令中x=0，则y=2，故OC=2，
设OB=x(x>0)，则OA=4OB=4x，
∵为“黄金”抛物线，
∴，代入数据：
4=4x²，解得x=1(负值舍去)，
∴OB=1，OA=4，
∴B(1,0)，A(-4，0)代入中，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：①过P点作PH⊥x轴于H点，交AC于E点，如下图所示：
则∠PDE=∠DHA=90°，∠PED=∠AEH，
∴∠P=∠CAO，
∴，
∴，即
故要使得最大，只要PE最大即可，接下来求PE的最大值，
设直线AC的解析式为：y=mx+n，代入A(-4，0)、C(0，2)，
∴，解得：，
∴直线AC解析式为：，
设，则，
∴，
∵P为上方抛物线上的动点，
∴，
∴当时，有最大值为2，此时PD有最大值为，
故PD的最大值为．
②分类讨论：
情况一：当时，此时，如下图所示：
此时轴，
∴P点与C点纵坐标相等为2，
将代入中：
∴，解得，(舍去)，
∴此时坐标为；
情况二：当时，，如下图所示：
此时AC为∠PCO的角平分线，将△ACO沿AC翻折，使得点O落在点G处，此时G、P、C三点共线，
设G(x，y)，则GO的中点I坐标为在直线AC：上，将I点坐标代入AC解析中得到：，整理得到：，
由折叠得到GC²=OC²，
∴，
联立①、②两式解得或(舍去)，
∴，
设直线GC解析式为：，代入和，
∴，解得，
∴直线GC解析式为：，与二次函数联立得：
，解得或，
又P在第二象限，故舍去，
∴此时P坐标为，
综上所述，P坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图像及性质，三角函数求值，相似三角形的性质等，熟练掌握二次函数的图像性质及相似三角形的性质是解题的关键．
25．（12分）新定义：如图1（图2，图3），在△ABC中，把AB边绕点A顺时针旋转，把AC边绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，若∠BAC+∠B'AC'＝180°，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C'的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
【特例感知】
(1)①若△ABC是等边三角形（如图2），BC＝4，则AD＝ ；
②若∠BAC＝90°（如图3），BC＝6，AD＝ ；
【猜想论证】
(2)在图1中，当△ABC是任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并证明你的猜想；（提示：过点B′作B′E∥AC′且B′E＝AC′，连接C′E，则四边形AB′EC是平行四边形）
【拓展应用】
(3)如图4，点A，B，C，D都在半径为5的圆P上，且AB与CD不平行，AD＝6，△APD是△BPC的“旋补三角形”，点P是“旋补中心”，求BC的长．
【答案】(1)①2；②3；
(2)，见解析；
(3)
【分析】（1）①根据等边三角形的性质可得出AB＝AC＝4、∠BAC＝60°，结合“旋补三角形”的定义可得出AB′＝AC′＝4、∠B′AC′＝120°，利用等腰三角形的三线合一可得出∠ADC′＝90°，通过解直角三角形可求出AD的长度；
②由“旋补三角形”的定义可得出∠B′AC′＝90°＝∠BAC、AB＝AB′、AC＝AC′，进而可得出△ABC≌△AB′C′（SAS），根据全等三角形的性质可得出B′C′＝BC＝6，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出AD的长度；
（2）ADBC，过点B′作B′E∥AC′，且B′E＝AC′，连接C′E、DE，则四边形AC′EB′为平行四边形，根据平行四边形的性质结合“旋补三角形”的定义可得出∠BAC＝∠AB′E、BA＝AB′、CA＝EB′，进而可证出△BAC≌△AB′E（SAS），根据全等三角形的性质可得出BC＝AE，由平行四边形的对角线互相平分即可证出ADBC；
（3）过点P作PF⊥BC于点F，由（2）的结论可求出PF的长度，在Rt△BPF中，利用勾股定理可求出BF的长度，进而可求出BC的长度．
【详解】（1）①∵△ABC是等边三角形，BC＝4，
∴AB＝AC＝4，∠BAC＝60°，
∴AB′＝AC′＝4，∠B′AC′＝120°．
∵AD为等腰△AB′C′的中线，
∴AD⊥B′C′，∠C′＝30°，
∴∠ADC′＝90°．
在Rt△ADC′中，∠ADC′＝90°，AC′＝4，∠C′＝30°，
∴ADAC′＝2．
②∵∠BAC＝90°，
∴∠B′AC′＝90°．
在△ABC和△AB′C′中，
，
∴△ABC≌△AB′C′（SAS），
∴B′C′＝BC＝6，
∴ADB′C′＝3．
故答案为：①2；②3；
（2）ADBC．
证明：在图1中，过点B′作B′E∥AC′，且B′E＝AC′，连接C′E、DE，
则四边形AC′EB′为平行四边形．
∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，∠B′AC′+∠AB′E＝180°，
∴∠BAC＝∠AB′E．
在△BAC和△AB′E中，
，
∴△BAC≌△AB′E（SAS），
∴BC＝AE．
∵ADAE，
∴ADBC；
（3）在图4中，过点P作PF⊥BC于点F．
∵PB＝PC，
∴PF为△PBC的中线，
∴PFAD＝3．
在Rt△BPF中，∠BFP＝90°，PB＝5，PF＝3，
∴BF4，
∴BC＝2BF＝8．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）①利用解含30°角的直角三角形求出ADAC′；②牢记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
3．使二次根式有意义的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解即可
【详解】解：二次根式有意义，则，
解得：，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A．-(-3)和3B．+（-5）和-[-(-5)]C．和-3D．-（-7）和-|-7|
2．新型冠状病毒属于属的新型冠状病毒，有包膜，颗粒呈圆形或者椭圆形，常为多形性，最大直径约米，将用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．使二次根式有意义的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点在：（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．不等式x+1＞2x﹣1的解集为( )
A．x＞﹣2B．x＜﹣2C．x＞2D．x＜2
7．估计的值应在（ ）
A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间
8．阅读可以丰富知识，拓展视野，在世界读书日（4月23日）当天，某校为了解学生的课外阅读，随机调查了40名学生课外阅读册数的情况，现将调查结果绘制成如图．关于学生的读书册数，下列描述正确的是（ ）
极差是6B．中位数是5C．众数是6D．平均数是5
9．如图，在中，，过点，且，则的度数为（ ）
B．C．D．
10．如图，正方形ABCD的边长是2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，以该等腰直角三角形的一条直角边DE为边向外作正方形，其面积标记为按照此规律继续作图，则S2021的值为（ ）
B．C．D．
试卷源自 期末大优惠，即将回复原价。11．如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于、，连接、，与相交于点．给出以下结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的是（ ）
A．①②③④B．②③④C．①②④D．①③④
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
12．因式分解＝ ．
已知关于的一元二次方程有一个根为1，则 ，
若一个正多边形的每个内角为，则这个正多边形的边数是 ．
甲、乙 两同学近四次数学测试成绩的平均分都为80分，且，则成绩比较稳定的是
16．如图，把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使分别落在轴、轴上，连接，将纸片沿折叠，使点落在点的位置，与轴交于点，若，则的长为 ．
三、解答题（共9小题，满分72分）
17．（5分）计算：
（5分）先化简，再求值：，其中x＝﹣1．
19．（7分）如图，在中，是它的一条对角线．
(1)求证：；
(2)尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点，（不写作法，保留作图痕迹）；
20．（7分）已知关于的方程．
(1)当时，求原方程的解．
(2)若原方程有两个相等的实数根，求的值．
21．（8分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)根据图象直接写出关于的不等式的解集：______；
(3)求的面积．
22．（8分）如图，小南家A位于一条东西走向的笔直马路上，超市B在A地的正东方．午休时间，小南从家A出发沿北偏东60°方向步行600米至菜鸟驿站C取快递．下午第一节网课是美术课，此时距离上课时间只有7分钟，他决定先沿西南方向步行至超市B购买素描画纸，再沿正西方向回到家上网课．（参考数据：，）
(1)求菜鸟驿站C与超市B的距离（精确到个位）；
(2)若小南的步行速度为80米/分钟，那么他上美术网课会迟到吗？请说明理由．（忽略小南买素描画纸的时间）
23．（10分）如图，在中，，以为直径的交于点D，E是的中点，连接，．
(1)求证：；
(2)求证：是切线；
(3)连接交于点F，若，，求的长．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若线段的长满足，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．如图，抛物线为“黄金”抛物线，其与x轴交点为A，B（其中B在A的右侧），与y轴交于点C．且
(1)求抛物线的解析式；
(2)若P为上方抛物线上的动点，过点P作，垂足为D．
①求的最大值；
②连接，当与相似时，求点P的坐标．
25．（12分）新定义：如图1（图2，图3），在△ABC中，把AB边绕点A顺时针旋转，把AC边绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，若∠BAC+∠B'AC'＝180°，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C'的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
【特例感知】
(1)①若△ABC是等边三角形（如图2），BC＝4，则AD＝ ；
②若∠BAC＝90°（如图3），BC＝6，AD＝ ；
【猜想论证】
(2)在图1中，当△ABC是任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并证明你的猜想；（提示：过点B′作B′E∥AC′且B′E＝AC′，连接C′E，则四边形AB′EC是平行四边形）
【拓展应用】
(3)如图4，点A，B，C，D都在半径为5的圆P上，且AB与CD不平行，AD＝6，△APD是△BPC的“旋补三角形”，点P是“旋补中心”，求BC的长．
吴川市实验学校2023-2024学年度初三级学科综合训练
数学训练卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A．-(-3)和3B．+（-5）和-[-(-5)]C．和-3D．-（-7）和-|-7|
【答案】D
【详解】试题解析：∵-（-3）=3，
∴-（-3）和3相等，不互为相反数，
∴选项A不正确；
∵+（-5）=-5，-[-（-5）]=-5，
∴+（-5）=-5和-[-（-5）]相等，不互为相反数，
∴选项B不正确；
∵和-互为相反数，和-3不互为相反数，
∴选项C不正确；
∵-（-7）=7，-|-7|=-7，
∴-（-7）和-|-7|互为相反数，
∴选项D正确．
故选D．
2．新型冠状病毒属于属的新型冠状病毒，有包膜，颗粒呈圆形或者椭圆形，常为多形性，最大直径约米，将用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】绝对值小于1的数用科学记数法表示，一般形式为，这里n为正整数，，n为原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定，按照此方法即可把0.0000014用科学记数法表示出来．
【详解】0.0000014．
故选：B．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，这里n为正整数，，正确确定a与n是解题的关键．
3．使二次根式有意义的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解即可
【详解】解：二次根式有意义，则，
解得：，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由合并同类项、单项式乘以单项式、同底数幂除法、积的乘方，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项、单项式乘以单项式、同底数幂除法、积的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行判断．
5．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点在：（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】根据点关于x坐标轴的对称点的特征求解即可
【详解】∵，
∴点关于轴的对称点为：，
∴点关于轴的对称点在第三象限，
故选：C
【点睛】本题考查了判断点所在的象限和点关于坐标轴的对称点，熟悉各个象限的点的特征是解决问题的关键
6．不等式x+1＞2x﹣1的解集为( )
A．x＞﹣2B．x＜﹣2C．x＞2D．x＜2
【答案】D
【分析】根据不等式的解法即可求解.
【详解】解
-x＞-2，x＜2，
故选D.
【点睛】此题主要考查不等式的解法，解题的关键是熟知不等式的性质.
7．估计的值应在（ ）
A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间
【答案】B
【分析】此题主要考查了二次根式的运算，算术平方根的意义，无理数的估算，理解算术平方根的意义，首先计算再根据算术平方根的意义得进而得由此可得的值在4和5之间，据此可得出答案，熟练掌握二次根式的运算和无理数的估算是解决问题的关键．
【详解】解：
即
的值在4和5之间，
的值在4和5之间，
故选：B．
8．阅读可以丰富知识，拓展视野，在世界读书日（4月23日）当天，某校为了解学生的课外阅读，随机调查了40名学生课外阅读册数的情况，现将调查结果绘制成如图．关于学生的读书册数，下列描述正确的是（ ）
A．极差是6B．中位数是5C．众数是6D．平均数是5
【答案】B
【分析】本题考查了极差、中位数、众数以及平均数的判断，分别计算极差、中位数、众数以及平均数进行判断即可．
【详解】解：A、极差，故选项不符合题意；
B、中位数是第20和第21个数的平均数为5，故选项符合题意；
C、5出现的次数最多，故众数是5，故选项不符合题意；
D、平均数为，故选项不符合题意．
故选：B．
9．如图，在中，，过点，且，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据及内角和求出，又因得出，即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
解得：，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内角和，平行线的性质，解题的关键是求出．
10．如图，正方形ABCD的边长是2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，以该等腰直角三角形的一条直角边DE为边向外作正方形，其面积标记为按照此规律继续作图，则S2021的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得等腰直角三角形的直角边是斜边的，从而得到，，，，……，由此得到规律，即可求解．
【详解】解：∵△CDE是以CD为斜边等腰直角三角形，
∴DE=CE，∠CED=90°，
∴，
∴，
即等腰直角三角形的直角边是斜边的，
∴，
，
，
，
……，
由此发现，，
∴．
故选：A
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
11．如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于、，连接、，与相交于点．给出以下结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的是（ ）
A．①②③④B．②③④C．①②④D．①③④
【答案】B
【分析】根据等边三角形和正方形的性质得，则，可判定①错误；通过导角能得出，得，从而证明，可判断②正确；利用，得，可说明③正确；过点作于，于，将转化为，从而判断④成立．
【详解】解：是等边三角形，
，，
在正方形中，
，，
，
，
故①错误；
，，
，
，
，
，
，
，
，
故②正确；
，，
，
，
，
故③正确；
如图，过点作于，于，
正方形的边长为2，为正三角形，
，，
，
，，
，
，
故④正确，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，含角的直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握各性质是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
12．因式分解＝ ．
【答案】
【分析】提公因式后运用平方差公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本考查了因式分解的方法，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
13．已知关于的一元二次方程有一个根为1，一个根为，则 ， ．
【答案】 0 0
【分析】一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；分别将1和﹣1代入方程即可得到两个关系式的值．
【详解】将1代入方程得：，
即；
将﹣1代入方程得：，即；
故答案为0，0．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根，即方程的解的定义，深刻理解根的定义是解题关键．
14．若一个正多边形的每个内角为，则这个正多边形的边数是 ．
【答案】12
【分析】本题考查了正多边形的内角与外角的关系，掌握正多边形的每个内角都相等，外角和的大小与多边形的边数无关，即任何多边形的外角和都是是解题的关键．求出每个内角对应的外角，由任何多边形的外角和都是，除以每个外角的度数即可求得边数．也可以利用正多边形的内角和公式建立方程求解，即，解出边数即可．
【详解】解： 正多边形的每个内角为，
每个内角的外角为：，
又 任何多边形的外角和都是，
这个正多边形的边数为，
故答案为：12．
15．甲、乙 两同学近四次数学测试成绩的平均分都为80分，且，则成绩比较稳定的是
【答案】乙
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【详解】解：∵甲同学成绩的方差为S2甲=22，乙同学成绩的方差为S2乙=14，
∴S2甲＞S2乙，
∴它们的数学测试成绩较稳定的是乙；
故答案为：乙．
【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
16．如图，把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使分别落在轴、轴上，连接，将纸片沿折叠，使点落在点的位置，与轴交于点，若，则的长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了勾股定理、折叠的性质、等腰三角形的判定及性质、矩形的性质，由矩形的性质及折叠的性质得，设，则，在中，利用勾股定理即可求解，熟练掌握基础知识，利用方程的思想及数形结合思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：如图：
四边形是矩形，
，
，
根据题意得：，，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
即：，
解得：，
，
故答案为：．
三、解答题（共9小题，满分72分）
17．（5分）计算：
【答案】
【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值，求一个数的算术平方根，进行计算即可求解．
【详解】解：
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值，求一个数的算术平方根是解题的关键．
18．（5分）先化简，再求值：，其中x＝﹣1．
【答案】 ，.
【详解】分析：首先将括号里面的分式进行通分，然后将除法改成乘法进行约分得出化简结果，最后将x的值代入化简后的式子得出答案．
详解：解：原式= • = ，
当x= ﹣1时，原式= ．
点睛：本题主要考查的是分式的化简求值问题，属于基础题型．学会因式分解是解决这个问题的关键．
19．（7分）如图，在中，是它的一条对角线．
(1)求证：；
(2)尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点，（不写作法，保留作图痕迹）；
【答案】(1)见解析；
(2)见解析
【分析】（1）由平行四边形的性质得出，再由，即可证明；
（2）利用线段垂直平分线的作法进行作图即可；
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴；
（2）如图所示，
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，基本作图，掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定方法，线段垂直平分线的作法是解决问题的关键．
20．（7分）已知关于的方程．
(1)当时，求原方程的解．
(2)若原方程有两个相等的实数根，求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】
本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程解法，一元二次方程根的判别式是解题关键．
（1）将代入，解方程即可；
（2）先求出的值，再根据的符号即可得出答案．
【详解】（1）解：当时，原方程为，
，
即，，
解得：，；
（2）解：该一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：．
21．（8分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)根据图象直接写出关于的不等式的解集：______；
(3)求的面积．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）将代入到反比例函数解析式可得其解析式；先根据反比例函数解析式求得点的坐标，再由，坐标可得直线解析式；
（2）根据图象得出不等式的解集即可；
（3）设一次函数的图象与坐标轴交于，两点，分别过，两点作轴于，作轴于，根据题意可得，，从而求出，和，进而求出的值．
【详解】（1）把代入，得：，
∴反比例函数的解析式为；
把代入，得：，
∴，
把、代入，得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
故答案为：；．
（2）由图象可知当时，，
∴不等式的解集是，
故答案为：．
（3）设一次函数的图象与坐标轴交于，两点，分别过，两点作轴于，作轴于，
∵，，
∴，
∵一次函数的解析式为，
∴．
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数，反比例函数的交点坐标，将点的坐标代入函数关系式是确定函数关系式的常用方法，理解交点坐标与不等式解集之间的关系是解本题的关键．
22．（8分）如图，小南家A位于一条东西走向的笔直马路上，超市B在A地的正东方．午休时间，小南从家A出发沿北偏东60°方向步行600米至菜鸟驿站C取快递．下午第一节网课是美术课，此时距离上课时间只有7分钟，他决定先沿西南方向步行至超市B购买素描画纸，再沿正西方向回到家上网课．（参考数据：，）
(1)求菜鸟驿站C与超市B的距离（精确到个位）；
(2)若小南的步行速度为80米/分钟，那么他上美术网课会迟到吗？请说明理由．（忽略小南买素描画纸的时间）
【答案】(1)424米
(2)会迟到，见解析
【分析】（1）过点C作交的延长线于点D，先根据三角函数求出的长，再根据勾股定理求的长即可；
（2）先根据三角函数求出的长，再计算即可．
【详解】（1）过点C作交的延长线于点D，
由题意知，，，
在中，，
∴．
在中，，
∴，
∴．
∴．
答：菜鸟驿站C与超市B的距离424米．
（2）会迟到，理由如下：
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴小南上美术网课会迟到．
【点睛】本题考查了勾股定理和用三角函数解决实际问题，通过作辅助线，构造直角三角形，利用三角函数求解是解题的关键．
23．（10分）如图，在中，，以为直径的交于点D，E是的中点，连接，．
(1)求证：；
(2)求证：是切线；
(3)连接交于点F，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得结论；
（2）连接、，如图，利用圆周角定理得到，则根据斜边上的中线性质得到，所以，接着证明，从而得到，然后根据切线的判定方法得到结论；
（3）根据勾股定理求出，再利用等面积法求出，再证明为的中位线得到，然后利用相似比计算的长，最后利用勾股定理求得即可．
【详解】（1）证明：以为直径的交于点，
，
；
（2）证明：连接，如图，
为直径，
，
为的斜边的中点，
，
，
，
，
而
，
，
，
为的切线；
（3）解：在中，根据勾股定理得，
为中点，为中点，
为的中位线，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，三角形等面积法，中位线的性质，勾股定理，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若线段的长满足，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．如图，抛物线为“黄金”抛物线，其与x轴交点为A，B（其中B在A的右侧），与y轴交于点C．且
(1)求抛物线的解析式；
(2)若P为上方抛物线上的动点，过点P作，垂足为D．
①求的最大值；
②连接，当与相似时，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)①PD最大值为；②P坐标为或
【分析】(1)先求出OC=2，设OB=x(x>0)，则OA=4OB=4x，由“黄金”抛物线定义得到，进而得到4=4x²，求出OB=1，OA=4，代入B(1,0)，A(-4，0)到求出a和b即可；
(2)①过P点作PH⊥x轴于H点，交AC于E点，得到，进一步得到，由此将PD最大值转化为PE最大值；再设，则，进一步得到即可求解；
②分当时和当时两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：令中x=0，则y=2，故OC=2，
设OB=x(x>0)，则OA=4OB=4x，
∵为“黄金”抛物线，
∴，代入数据：
4=4x²，解得x=1(负值舍去)，
∴OB=1，OA=4，
∴B(1,0)，A(-4，0)代入中，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：①过P点作PH⊥x轴于H点，交AC于E点，如下图所示：
则∠PDE=∠DHA=90°，∠PED=∠AEH，
∴∠P=∠CAO，
∴，
∴，即
故要使得最大，只要PE最大即可，接下来求PE的最大值，
设直线AC的解析式为：y=mx+n，代入A(-4，0)、C(0，2)，
∴，解得：，
∴直线AC解析式为：，
设，则，
∴，
∵P为上方抛物线上的动点，
∴，
∴当时，有最大值为2，此时PD有最大值为，
故PD的最大值为．
②分类讨论：
情况一：当时，此时，如下图所示：
此时轴，
∴P点与C点纵坐标相等为2，
将代入中：
∴，解得，(舍去)，
∴此时坐标为；
情况二：当时，，如下图所示：
此时AC为∠PCO的角平分线，将△ACO沿AC翻折，使得点O落在点G处，此时G、P、C三点共线，
设G(x，y)，则GO的中点I坐标为在直线AC：上，将I点坐标代入AC解析中得到：，整理得到：，
由折叠得到GC²=OC²，
∴，
联立①、②两式解得或(舍去)，
∴，
设直线GC解析式为：，代入和，
∴，解得，
∴直线GC解析式为：，与二次函数联立得：
，解得或，
又P在第二象限，故舍去，
∴此时P坐标为，
综上所述，P坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图像及性质，三角函数求值，相似三角形的性质等，熟练掌握二次函数的图像性质及相似三角形的性质是解题的关键．
25．（12分）新定义：如图1（图2，图3），在△ABC中，把AB边绕点A顺时针旋转，把AC边绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，若∠BAC+∠B'AC'＝180°，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C'的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
【特例感知】
(1)①若△ABC是等边三角形（如图2），BC＝4，则AD＝ ；
②若∠BAC＝90°（如图3），BC＝6，AD＝ ；
【猜想论证】
(2)在图1中，当△ABC是任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并证明你的猜想；（提示：过点B′作B′E∥AC′且B′E＝AC′，连接C′E，则四边形AB′EC是平行四边形）
【拓展应用】
(3)如图4，点A，B，C，D都在半径为5的圆P上，且AB与CD不平行，AD＝6，△APD是△BPC的“旋补三角形”，点P是“旋补中心”，求BC的长．
【答案】(1)①2；②3；
(2)，见解析；
(3)
【分析】（1）①根据等边三角形的性质可得出AB＝AC＝4、∠BAC＝60°，结合“旋补三角形”的定义可得出AB′＝AC′＝4、∠B′AC′＝120°，利用等腰三角形的三线合一可得出∠ADC′＝90°，通过解直角三角形可求出AD的长度；
②由“旋补三角形”的定义可得出∠B′AC′＝90°＝∠BAC、AB＝AB′、AC＝AC′，进而可得出△ABC≌△AB′C′（SAS），根据全等三角形的性质可得出B′C′＝BC＝6，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出AD的长度；
（2）ADBC，过点B′作B′E∥AC′，且B′E＝AC′，连接C′E、DE，则四边形AC′EB′为平行四边形，根据平行四边形的性质结合“旋补三角形”的定义可得出∠BAC＝∠AB′E、BA＝AB′、CA＝EB′，进而可证出△BAC≌△AB′E（SAS），根据全等三角形的性质可得出BC＝AE，由平行四边形的对角线互相平分即可证出ADBC；
（3）过点P作PF⊥BC于点F，由（2）的结论可求出PF的长度，在Rt△BPF中，利用勾股定理可求出BF的长度，进而可求出BC的长度．
【详解】（1）①∵△ABC是等边三角形，BC＝4，
∴AB＝AC＝4，∠BAC＝60°，
∴AB′＝AC′＝4，∠B′AC′＝120°．
∵AD为等腰△AB′C′的中线，
∴AD⊥B′C′，∠C′＝30°，
∴∠ADC′＝90°．
在Rt△ADC′中，∠ADC′＝90°，AC′＝4，∠C′＝30°，
∴ADAC′＝2．
②∵∠BAC＝90°，
∴∠B′AC′＝90°．
在△ABC和△AB′C′中，
，
∴△ABC≌△AB′C′（SAS），
∴B′C′＝BC＝6，
∴ADB′C′＝3．
故答案为：①2；②3；
（2）ADBC．
证明：在图1中，过点B′作B′E∥AC′，且B′E＝AC′，连接C′E、DE，
则四边形AC′EB′为平行四边形．
∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，∠B′AC′+∠AB′E＝180°，
∴∠BAC＝∠AB′E．
在△BAC和△AB′E中，
，
∴△BAC≌△AB′E（SAS），
∴BC＝AE．
∵ADAE，
∴ADBC；
（3）在图4中，过点P作PF⊥BC于点F．
∵PB＝PC，
∴PF为△PBC的中线，
∴PFAD＝3．
在Rt△BPF中，∠BFP＝90°，PB＝5，PF＝3，
∴BF4，
∴BC＝2BF＝8．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）①利用解含30°角的直角三角形求出ADAC′；②牢记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
3．使二次根式有意义的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解即可
【详解】解：二次根式有意义，则，
解得：，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
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