2023年广东省湛江市吴川市中考数学一模试卷

这是一份2023年广东省湛江市吴川市中考数学一模试卷，共19页。试卷主要包含了下列运算中，正确的是，若点A等内容，欢迎下载使用。

1．下列几何体的俯视图中，其中一个与其他三个不同，该几何体是（ ）
A．B．
C．D．
2．若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣8B．x＝﹣8C．x≠0D．x≠﹣8
3．数据显示，中国已实现“带动三亿人参与冰雪运动”的目标，全国冰雪运动参与人数达到3.46亿人．数据“3.46亿”用科学记数法表示是（ ）
A．3.46×109B．3.46×108C．34.6×107D．346×106
4．下列运算中，正确的是（ ）
A．x2+x2＝x4B．（﹣x3y）2＝﹣x6y2
C．x6÷x2＝x3D．4x2⋅3x＝12x3
5．为了大力宣传节约用电，某小区随机抽查了10户家庭的月用电量情况，统计如下表，关于这10户家庭的月用电量说法正确的是（ ）
A．平均数是20.5
B．众数是4
C．中位数是40
D．这10户家庭月用电量共205度
6．如图，矩形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，E为BC中点．若AC＝8，∠ACB＝30°，则OE的长为（ ）
A．2B．3C．4D．4
7．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣10x+k＝0的两个根，则k的值为（ ）
A．21B．25C．21或25D．20或24
8．若点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是反比例函数y＝﹣图象上的点，且x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y3＜y1D．y3＜y1＜y2
9．在我国川西高原某山脉间有一河流，当河流中的水位上升到一定高度时因河堤承压有溃堤的危险．于是水利工程师在此河段的某处河堤上修了一个排水的预警水库联通另一支流．当河流的水位超过警戒位时就有河水流入预警的水库中，当水库有一定量的积水后，就会自动打开水库的排水系统流入另一支流．当河流的水位低于警戒位时水库的排水系统的排水速度则变慢．假设预警水库的积水时间为x分钟，水库中积水量为y吨，图中的折线表示某天y与x的函数关系，下列说法中：
①这天预警水库排水时间持续了80分钟；
②河流的水位超过警戒位时预警水库的排水速度比进水速度少25吨/分；
③预警水库最高积水量为1500吨；
④河流的水位低于警戒位时预警水库的排水速度为30吨/分．
其中正确的信息判断是（ ）
A．①④B．①③C．②③D．②④
10．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF．有下列结论：①∠BAE＝∠EAF；②射线FE是∠AFC的角平分线；③CF＝CD；④AF＝AB+CF．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．当有意义时，x的取值范围是 ．
12．若点P（m，m+2）在x轴上，则m的值为 ．
13．用一个半径为2的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 ．
14．如图，将△ABC沿BC方向向右平移2个单位得到△DEF，若四边形ABFD的周长为14，则△DEF的周长为 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AD是∠BAC的平分线，若点P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）计算：（π﹣3）0+（﹣）﹣2﹣|1﹣|+2sin60°．
17．（8分）先化简，再求值：，其中x＝2
18．（8分）为了了解某中学学生的身高情况，随机对该校男、女生的身高进行抽样调查．抽取的样本中，男、女生的人数相同，根据所得数据绘制成如图所示的统计图表．
根据图表中提供的信息，回答下列问题：
（1）在样本中，男生身高的中位数落在 组（填组别序号），女生身高在B组的有 人；
（2）在样本中，身高在170≤x＜175之间的共有 人，人数最多的是 组（填组别序号）
（3）已知该校共有男生500人，女生480人，请估计身高在160≤x＜170之间的学生有多少人？
19．如图所示，张伯伯利用假日在某钓鱼场钓鱼，风平浪静时，鱼漂露出水面部分AB＝6cm，微风吹来，假设铅垂P不动，鱼漂移动了一段距离BC，且顶端恰好与水面齐平，（即PA＝PC）水平l与OC的夹角α为8°（点A在OC上），求铅锤P处的水深h．（参考数据：sin8°≈，cs8°≈，tan8°≈）
20．某周日，珂铭和小雪从新天地小区门口同时出发，沿同一条路线去离该小区1800米的少年宫参加活动，为响应节能环保，绿色出行的号召，两人步行，已知珂铭的速度是小雪的速度的1.2倍，结果珂铭比小雪早6分钟到达．
（1）求小雪的速度；
（2）活动结束后返回，珂铭与小雪的速度均与原来相同，若小雪计划比珂铭至少提前6分钟回到小区，则小雪至少要比珂铭提前多长时间出发？
21．如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于A（2，m），B（n，1）两点，连接OA，OB．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）求△OAB的面积；
（3）问：在直角坐标系中，是否存在一点P，使以O，A，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以直角边BC为直径的⊙O交AB于点D，连接CD，∠CAB的角平分线交CD于点E，交BC于点F，交⊙O于点P．
（1）求证：＝；
（2）若tan∠CAB＝，求sin∠CAP的值；
（3）连接PC、PB，若∠ABC＝30°，AB＝2，求△PCF的面积．
23．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线上是否存在一点M，使得？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由．
（3）如图2，点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、BP，当∠PBA＝∠CBD时，求m的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：选项A、B、D的俯视图是不带圆心的圆，选项C的俯视图是带圆心的圆，
故选：C．
2． 解：若代数式在实数范围内有意义，则x+8≠0，
解得：x≠﹣8．
故选：D．
3． 解：3.46亿＝346000000＝3.46×108．
故选：B．
4． 解：A、原式＝2x2，故本选项计算错误，不符合题意；
B、原式＝x6y2，故本选项计算错误，不符合题意；
C、原式＝x4，故本选项计算错误，不符合题意；
D、原式＝12x3，故本选项计算正确，符合题意；
故选：D．
5． 解：A、这组数据的平均数（25+30×2+40×4+50×2+60）÷10＝40.5，故本选项错误；
B、40出现的次数最多，出现了4次，则众数是40，故本选项错误；
C、把这些数从小到大排列，最中间两个数的平均数是（40+40）÷2＝40，则中位数是40，故本选项正确；
D、这10户家庭月用电量共10×20.5＝205度，故本选项错误；
故选：C．
6． 解：∵四边形ABCD是矩形，AC＝8，
∴∠ABC＝90°，OA＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝BD，AC＝BD，
∴OB＝OA，
∵∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝4，
∵E为BC的中点，
∴BE＝CE，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝AB＝2，
故选：A．
7． 解：当3为腰长时，将x＝3代入x2﹣10x+k＝0，得：32﹣10×3+k＝0，
解得：k＝21，
当k＝21时，原方程为x2﹣10x+21＝0，
解得：x1＝7，x2＝3，
∵3+3＜7，
∴k＝21不符合题意；
当3为底边长时，关于x的方程x2﹣10x+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣10）2﹣4×1×k＝0，
解得：k＝25，
当k＝25时，原方程为x2﹣10x+25＝0，
解得：x1＝x2＝5，
∵5+3＞5，
∴k＝25符合题意．
∴k的值为25．
故选B．
8． 解：根据题意画出函数图象得，
可知，y3＜y1＜y2．
故选：D．
9． 解：由图象得：0～10分，水库开始积水，
10～30分，水库有一定量的积水，水库的排水系统打开，
30～80分时，水库停止进水，只排水，
这天预警水库排水时间持续了80﹣10＝70分钟，故①错误；
＝25（吨/分），也就是水位超过警戒位时预警水库的排水速度比进水速度少25吨/分，②正确；
从图象看出预警水库积水量为1500吨时停止进水，并不能反映出预警水库的最高积水量，③错误；
从图象看出河流的水位低于警戒位时预警水库的排水速度为1500÷（80﹣30）＝30（吨/分），④正确．
故选：D．
10． 解：设正方形的边长为4a，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE＝2a，
∵AE⊥EF，
∴∠BEA+∠FEC＝∠BEA+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△ECF，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴CF＝a，
∴CF＝CD，
故③正确；
∵＝2，
∴tan∠EAF＝，
∵tan∠BAE＝＝，
∴∠BAE＝∠EAF，
故①正确；
∵∠BAE＝∠EAF，
∴∠AEB＝∠AFE，
∵△ABE∽△ECF，
∴∠AEB＝∠EFC，
∴∠AFE＝∠EFC，
∴射线FE是∠AFC的角平分线，
故②正确；
在Rt△ABE中，AE＝2a，
∴EF＝a，
在Rt△AEF中，AF＝5a，
∴AF＝AB+CF，
故④正确；
故选：D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11． 解：由题意得：x+3≥0，
解得：x≥﹣3，
故答案为：x≥﹣3．
12． 解：∵点P（m，m+2）在x轴上，
∴m+2＝0，
解得：m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
13． 解：设圆锥底面的半径为r，
根据题意得2πr＝，解得：r＝1．
故答案为：1．
14． 解：由平移的性质可知，BE＝CF＝AD＝2，AB＝DE，AC＝DF，
∵四边形ABFD的周长为14，
∴AB+BF+DF+AD＝14，
即ED+BE+EF+DF+AD＝14，
∴ED+2+EF+DF+2＝14，
∴ED+EF+DF＝10，
即△DEF的周长为10，
故答案为：10．
15． 解：过点D作DE⊥AB于点E，过点E作EQ⊥AC于点Q，EQ交AD于点P，连接CP，此时PC+PQ＝EQ取最小值，如图所示．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，AB＝15．
∵AD是∠BAC的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴CD＝ED，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE＝AC＝9．
在△ACP和△AEP中，
，
∴△ACP和△AEP（SAS），
∴∠ACP＝∠AEQ，
延长CP，交AB于F，
在△ACF和△AEQ中，
，
∴△ACF≌△AEQ（ASA），
∴∠AFC＝∠AQE＝90°，EQ＝CF，
∴AB•CF＝AC•BC，
∴CF＝＝＝
∴EQ＝CF＝．
∴PC+PQ的最小值是，
故答案为．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16． 解：（π﹣3）0+（﹣）﹣2﹣|1﹣|+2sin60°
＝1+4﹣+1+2×
＝6﹣+
＝6．
17． 解：当x＝2时，
原式＝•
＝x+1
＝3
18． 解：（1）∵在样本中，男生共有2+4+8+12+14＝40（人），
∴中位数是第20和第21人的平均数，
∴男生身高的中位数落在D组，
女生身高在B组的人数有40×（1﹣35%﹣20%﹣15%﹣5%）＝12（人），
故答案为：D、12；
（2）在样本中，身高在170≤x＜175之间的人数共有8+40×5%＝10（人），
∵A组人数为2+40×20%＝10（人），B组人数为4+12＝16（人），C组人数为12+40×35%＝26（人），D组人数为14+40×10%＝18（人），E组人数为8+40×5%＝10（人），
∴C组人数最多，
故答案为：10、C；
（3）500×+480×（35%+10%）＝541（人），
故估计身高在160≤x＜170之间的学生约有541人．
19． 解：∵l∥BC，∴∠ACB＝α＝8°，
在Rt△ABC中，∵tanα＝，
∴BC＝＝＝42（cm），
根据题意，得h2+422＝（h+6）2，
∴h＝144（cm）．
答：铅锤P处的水深约为144cm．
20． 解：设小雪的速度是x米/分钟，则珂铭速度是1.2x米/分钟，依题意得：，
解得：x＝50，
经检验x＝50是原方程的解，
答：小雪的速度是50米/分钟．
（2）1.2×50＝60（米/分钟），1800÷50＝36（分钟），1800÷60＝30（分钟），
设小雪比珂铭提前a分钟出发，
根据题意得，a+30﹣36≥6，
解得a≥12，
答：小雪至少要比珂铭提前出发12分钟．
21． 解：（1）∵点A（2，m），B（n，1）在反比例函数y2＝上，
∴2m＝6，n＝6，
∴m＝3，
∴A（2，3），B（6，1），
∵点A（2，3），B（6，1）在一次函数y1＝kx+b上，
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为y1＝﹣x+4；
（2）如图1，记一次函数y1＝﹣x+4的图象与x，y轴的交点为点D，C，
针对于y1＝﹣x+4，
令x＝0，则y1＝4，
∴C（0，4），
∴OC＝6，
令y1＝0，则﹣x+4＝0，
∴x＝8，
∴D（8，0），
∴OD＝8，
过点A作AE⊥y轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，
∵A（2，3），B（6，1），
∴AE＝2，BF＝1，
∴S△AOB＝S△COD﹣S△AOC﹣S△BOD
＝OC•OD﹣OC•AE﹣OD•BF
＝×4×8﹣×4×2﹣×8×1
＝8；
（3）存在，如图2，
当AB和OB为邻边时，点B（6，1）先向左平移6个单位再向下平移1个单位到点O（0，0），则点A也先向左平移6个单位再向下平移1个单位到点P（2﹣6，3﹣1），即P（﹣4，2）；
当OA和OB为邻边时，点O（0，0）先向右平移2个单位再向上平移3个单位到点A（2，3），
则点B也先向右平移2个单位再向上平移3个单位到点P'（6+2，1+3），即P'（8，4）；
当AB和OA为邻边时，点A（2，3）先向右平移4个单位再向下平移2个单位到点B（6，1），
则点O也先向右平移4个单位再向下平移2个单位到点P''（0+4，0﹣2），即P'（4，﹣2）；
点P的坐标为（﹣4，2）或（4，﹣2）或（8，4）．
22． 解：（1）证明：∵BC是⊙O直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ABC+∠BCD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠ABC，
∵∠CAB的角平分线交CD于点E，交BC于点F，
∴∠CAE＝∠BAF，
∴△ACE∽△ABF，
∴＝，
∵AF是∠BAC的角平分线，
∴，
∴＝；
（2）在Rt△ABC中，tan∠CAB＝＝，
设AC＝3x，∴BC＝4x，
根据勾股定理得，AB＝5x，
由（1）知，，
∴，
∴，
∵CF+BF＝BC＝4x，
∴CF＝x，BF＝x，
在Rt△CAF中，CF＝x，AC＝3x，
根据勾股定理得，AF＝＝x，
∴sin∠CAP＝＝＝；
（3）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝2，
∴AC＝AB＝，BC＝AC＝3，∠BAC＝60°，
∴OC＝BC＝，
∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠CAP＝∠BAP＝∠BAC＝30°，
过点C作CM⊥AP于M，过O作ON⊥AP于N，连接OP，
在Rt△ACM中，CM＝AC＝，∠ACM＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠FCM＝∠ACB﹣∠ACM＝30°，
在Rt△CMF中，∠FCM＝30°，CM＝，
∴∠CFM＝90°﹣∠FCM＝60°，CF＝1，
∴OF＝OC﹣CF＝，
在Rt△OFN中，∠FON＝90°﹣∠OFN＝30°，OF＝，
∴FN＝OF＝，
∴ON＝FN＝，
在Rt△ONP中，OP＝OC＝，ON＝，
∴PN＝＝，
∴PF＝FN+PN＝+，
∴S△PCF＝PF•CM＝×（+）×＝．
∴△PCF的面积是．
23． 解：（1）∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∵OB＝OC＝3OA，
∴BO＝OC＝3，
∴B（3，0），C（0，﹣3），
将点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）存在一点M，使得，理由如下：
连接AC，
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴AC的中点为（﹣，﹣），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣3，
∴过AC的中点与BC平行的直线解析式为y＝x﹣1，
联立方程组，
解得或，
∴M（，）或（，）；
∴直线y＝x﹣1关于直线BC对称的直线为y＝x﹣5，
联立方程组，
解得或，
∴M（1，﹣4）或（2，﹣3）；
综上所述：M点坐标为（1，﹣4）或（2，﹣3）或（，）或（，）；
（3）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4），
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
∴BC＝3，BD＝2，CD＝，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BDC＝90°，
∴tan∠CBD＝＝，
过点P作PQ⊥x轴交于Q，
∵∠PBA＝∠CBD，
∴＝，
∵点P（m，n）在第二象限内，
∴3（m2﹣2m﹣3）＝3﹣m，
解得m＝3（舍）或m＝﹣．
月用电量（度）
25
30
40
50
60
户数
1
2
4
2
1
组别
男女生身高（cm）
A
150≤x＜155
B
155≤x＜160
C
160≤x＜165
D
165≤x＜170
E
170≤x＜175