广东省汕头市潮阳实验学校2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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试卷满分120分，时间120分钟
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 2024的相反数是（ ）
A. 2024B. C. D. 不存在
【答案】C
【解析】
【分析】根据相反数：“只有符号不同的两个数”，进行判断即可．
【详解】解：2024的相反数是；
故选C．
2. 如图所示的几何体的主视图是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是数形结合．根据从正面看到的图形就是主视图，即可求解．
【详解】解：从正面看易得共有两层，第一层有个小正方形，第二层有个小正方形，
故选：A．
3. 如图，一个角的三角板的直角顶点在直线上，其斜边与直线平行，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质以及垂线的定义的应用，正确合理的使用平行线的性质是解决本题的关键．
先由平行线的性质：两直线平行，内错角相等得，再由以及平角的意义可求的度数．
【详解】解：
由题意得，，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次根式的运算，整式的运算，根据二次根式的加法法则，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、不是同类二次根式，不能合并，故选项错误；
B、，故选项正确；
C、，故选项错误；
D、，故选项错误；
故选B．
5. 如图，与位似，点O为位似中心，若，的周长为6，则的周长为（ ）．
A. B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，位似三角形的性质，解题关键是“相似三角形周长之比等相似比”． 由与位似可得出与相似，根据相似比就等于位似比，求出结果即可．
【详解】解：与位似，
，
，
，
的周长为6，
的周长为3．
故选：C．
6. 若x、y为实数，且满足，则的值为（ ）
A. 1或B. 1C. D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式以及偶次方的性质，根据非负数的性质列式求出x，y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：，
，即，
，
，
故选：B．
7. 已知一次函数的图象如图所示，则一元二次方程的根的情况是（ ）．
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一元二次方程根的判别式，根据一次函数经过的象限得到，据此可得，则原方程有两个不相等的实数根．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限，
∴，
∴，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
8. 函数 的自变量的取值范围是( )
A. B. 且C. 且D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，列出不等式组求解即可．
【详解】解：根据题意可得：，
解得：且
故选：C．
【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式有意义的添加以及分式有意义的条件是解题的关键．
9. 如图，、、三点上．如果，那么等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】延长交于点，连接，根据圆周角定理得到，根据圆内接四边形对角互补，即可求解，
本题考查了圆周角定理，圆内接四边形性质，解题的关键是：作辅助线，构造圆内接四边形．
【详解】解：延长交于点，连接，
∵，
∴，
∵是圆内接四边形，
∴，
故选：．
10. 在平面直角坐标系中，P是双曲线上的一点，点P绕着原点O顺时针旋转的对应点落在直线上则代数式的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点P作轴于点Q，过点作轴于点，由题意可得出，，．易证，即得出，，即可求出，进而得出，最后将所求式子通分变形为，再整体代入求值即可．
【详解】解：如图，过点P作轴于点Q，过点作轴于点，

∵，且在直线上，
∴，，，
∴．
由旋转的性质可知，，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴，，
∴．
∵P是双曲线上的一点，
∴，即．
∴．
故选：A．
【点睛】本题为一次函数与反比例函数的综合题，考查函数图象上的点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，坐标与图形，代数式求值．画出大致图象并正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平方差公式直接进行因式分解即可．
【详解】解：原式
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解，常用的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法．
12. 2024龙年春节为期8天，号称“史上最长”春节假期，经文化和旅游部数据中心测算，春节全国国内旅游出游人次，数据用科学记数法表示_______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
详解】解：．
故答案为：．
13. 如图，将的边与刻度尺的边缘重合，点A，D，B分别对应刻度尺上的整数刻度，已知，，，________．

【答案】3.6
【解析】
【分析】利用相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，列出比例式，即可得出结论．
【详解】解：由题意得：，，．
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3.6．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
14. 年春晚中的魔术节目备受瞩目，刘谦老师利用“魔术公式”让观众手中的碎牌合成完整的一张牌．小明受此启发，拿出两张背面完全相同的扑克牌（正面均不同），将这两张扑克牌分别对折撕成两部分，洗匀后将它们背面朝上放在桌面上，从中随机抽取两个半张，则小明抽到的两个半张扑克牌恰好合成完整的一张牌的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列表法或树状图法求概率，概率所求情况数与总情况数之比，熟练掌握概率公式是解题关键．列表可得总结果数和符合条件的结果数，根据概率公式即可得答案．
【详解】解：分别用、、、表示两张扑克牌分别对折撕成的两部分，
列表如下：
总的情况数为种，抽到的两个半张扑克牌恰好合成完整的一张牌的情况数为种，
则小明抽到的两个半张扑克牌恰好合成完整的一张牌的概率是，
故答案为：．
15. 对于字母m、n，定义新运算，若方程的解为a、b，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查定义新运算，一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，根据新运算，列出代数式，整体代入法求值即可．
【详解】解：∵方程的解为a、b，
∴，
∵，
∴
．
故答案为：10．
16. 如图，在中，，，点，分别为边与上两点，连接，将沿着翻折，使得点落在边上的处，，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】过点作于点，根据是等腰直角三角形，求出；再根据是等腰直角三角形，求出，再根据勾股定理，折叠的性质，即可求出．
【详解】过点作于点，
∴，
∵中，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
设，则，
∴，
解得：，
∵沿着翻折，使得点落在边上的处，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰直角三角形，勾股定理和折叠的知识，解题的关键是掌握折叠的性质，勾股定理的运用．
三、解答题一（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）
17. 计算：．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先化简绝对值、负整数指数幂、以及正弦值，再运算加减，即可作答．
【详解】解：
．
18. 已知：
（1）化简A；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求A的值．
条件①：若点是反比例函数图象上的点；
条件②：若a是方程的一个根．
【答案】（1）
（2）①②
【解析】
【分析】（1）根据分式通分、平方差公式化简即可；
（2）根据反比例函数点的特征和一元二次方程解的定义即可求出，代入即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：①点是反比例函数图象上的点，
∴，
∴；
②是方程的一个根，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题考查分式化简，涉及到反比例函数点的特征和一元二次方程的解，正确化简分式是关键．
19. 如图，在平行四边形中，平分，交对角线于点．
（1）用尺规完成以下基本作图：作的平分线，交对角线于点；（不写作法和证明，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，基本作图，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识．
（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）根据平行四边形性质，角平分线的定义可证明，利用全等三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
解：如图，即为所求：
【小问2详解】
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
、分别平分和，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
，
．
四、解答题二（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）
20. 虹桥中学为了创建良好的校园读书环境，去年购买了一批图书．其中故事书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等．
（1）求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元？
（2）若今年文学书的单价比去年提高了，故事书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买文学书和故事书共200本，且购买文学书和故事书的总费用不超过2120元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？
【答案】（1）去年购买的文学书每本8元，故事书每本12元；（2）今年至少要购买140本文学书．
【解析】
【分析】（1）设去年购买的文学书每本元，则故事书每本元，根据题意列分式方程，解此分式方程，并检验即可解题；
（2）设今年这所中学要购买本文学书，根据总费用不超过2120元列一元一次不等式，解此不等式即可．
【详解】解：（1）设去年购买的文学书每本元，则故事书每本元，
，
，
经检验是原分式方程的解，
，
答：去年购买的文学书每本8元，故事书每本12元．
（2）设今年这所中学要购买本文学书，
．
答：今年至少要购买140本文学书．
【点睛】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
21. 综合实践课上，实验中学的数学兴趣小组在用所学的数学知识来“测量教学楼高度”的活动中，设计并实施了以下方案：
请你依据此方案，求教学楼的高度．
【答案】教学楼的高度约为
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是借助仰角与俯角构造直角三角形并解直角三角形．根据题意得四边形是矩形，则可得，，分别在与中，利用三角函数的知识，求得的长，进而可得．
【详解】根据题意，得四边形BDCG是矩形，
．
在中，，
，
，
．
在中，，
，
．
答：教学楼的高度约为．
22. 在“双减”背景下，为丰富作业形式，提高学生阅读兴趣和实践能力，某校开展语文课本剧表演活动，为了解“学生最喜爱的课本剧”的情况，随机抽取了部分学生进行调查，规定每人从“（《卖油翁》），（《木兰诗》），（《愚公移山》），（《屈原》），（其他）”五个选项中必须选择且只能选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图表．根据以上信息，请回答下列问题：
最喜爱课本剧人数调查统计表
最喜爱的课本剧人数分布扇形统计图
（1）表格中__________；
（2）扇形统计图中选项对应的扇形的圆心角的度数为__________°；
（3）该校有名学生，根据抽样调查的结果，请估计该校最喜爱的课本剧是《愚公移山》的学生人数．
【答案】（1）
（2）
（3）人
【解析】
【分析】本题考查数据与统计图表，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）由统计图表求得参与调查的总人数，再求出选项的人数，进而可得到答案．
（2）根据乘以所占的百分比即可求解；
（3）由样本所占的百分比估算总体即可得到答案．
【小问1详解】
解：参与调查的总人数为：（人），
选项的人数：（人），
（人），
故答案为：；
【小问2详解】
选项对应的扇形的圆心角的度数为：，
故答案为：；
【小问3详解】
该校最喜爱的课本剧是《愚公移山》的学生人数为：（人）．
五、解答题三（本大题共3个小题，每小题10分，共30分）
23. 如图平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）点P是y轴上一点，若，求点P的坐标；
（3）点C是第三象限内的反比例函数图象上一点，当的面积最小时，求的长度．
【答案】（1），
（2）或
（3）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何的综合应用：
（1）将点代入一次函数的解析式，求出的值，再代入反比例函数的解析式，求出反比例函数的解析式，再联立两个函数解析式，求出点坐标即可；
（2）设，根据，列出方程进行求解即可；
（3）依题意，设经过点C且平行于直线的直线的表达式为．当直线与反比例函数只有一个交点时，点C到直线的距离最短，此时的面积最小．求出，得出，进而求出的长即可．
【小问1详解】
解：∵一次函数的图象过点，
∴，
∴．
将代入，
得
∴反比例函数的表达式为
联立，
解得或，
∴；
【小问2详解】
设，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得：或，
∴点坐标为或；
【小问3详解】
解：如图，设经过点C且平行于直线的直线的表达式为．
当直线与反比例函数只有一个交点时，点C到直线的距离最短，
此时的面积最小．
联立
整理得
令
解得．
∵直线经过第二、三、四象限，
∴，即．
联立，
解得
∴，
∴．
24. 【问题探究】
（1）如图1，在正方形中，点是边延长线上一点，，连接交于点，以点为圆心，为半径作．求证：是的切线；
（2）【知识迁移】如图2，在菱形中，点是边延长线上一点，，连接交于点，以点为圆心的与相切于点．
①若，则__________；
②若，，求阴影部分面积．
【答案】（1）见解析 （2）①；②
【解析】
【分析】（1）过点作于点，根据可得，结合正方形的性质可推出，由，，可得，即可证明；
（2）①过点作于点，连接，延长交于点，同（1）可得，证明，得到，推出，根据即可求解；②过点作于点，由可得，设，，结合，在中，根据勾股定理求出，得到，，根据等面积法求出圆的半径，最后利用即可求解．
【小问1详解】
证明：如图1，过点作于点，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
又为的半径，
∴点K在上，
是的切线；
【小问2详解】
①如图2，过点作于点，连接，延长交于点，
与相切于点，
，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
又，，
，
，，
，
，
，，，
，
，
，
故答案为：；
②如图2，过点作于点，
，
，
设，，
，
，
，
在中，，
即，
解得：，负值舍去，
，，
，
，
，
解得：，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，三角函数，角平分线的性质，圆的相关性质，相似三角形的判定与性质等知识，灵活运用这些知识是解题的关键．
25. 综合与应用
如图1，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，，点C是直线上第二象限内一点，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接，，．
（1）求证：；
（2）如图2，延长，与x轴交于点E，且，
①求证：；
②经过C、O、E三点的抛物线上有一点M，其对称轴上有一点N，是否存在以B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②存在，，，
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质可知，，可得，证明即可；
（2）①由，可得，，则，设，由，可得，则，证明，进而结论得证；②由①可知，，则，，，由，可求满足要求的，则 ，由，可求满足要求的，则，，即，设过C、O、E三点的抛物线的解析式为，，则对称轴为直线，将代入可求，即，由，可知，，可得，设，，当以B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，且是对角线时，则的中点坐标为，的中点坐标为，由平行四边形的性质可得，，计算求解，进而可得的坐标；当以B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，且是边时，，是对角线时；当以B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，且是边时，，是对角线时，同理求解即可．
【小问1详解】
证明：由旋转的性质可知，，
∴，即，
∵，，，
∴；
【小问2详解】
①证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即；
②解：由①可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，或（舍去），
∴，
∵，
解得，或（舍去），
∴；
∴，即，
设过C、O、E三点的抛物线的解析式为，，则对称轴为直线，
将代入得，，
解得，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
设，，
当以B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，且是对角线时，
的中点坐标为，的中点坐标为，
由平行四边形的性质可得，，
解得，，
∴此时；
当以B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，且是边时，，是对角线时，
的中点坐标为，的中点坐标为，
由平行四边形的性质可得，，
解得，，
∴此时；
当以B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，且是边时，，是对角线时，
的中点坐标为，的中点坐标为，
由平行四边形的性质可得，，
解得，，
∴此时；
综上所述，存在，点M的坐标为，，．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正切，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，二次函数与平行四边形综合等知识，熟练掌握旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正切，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，二次函数与平行四边形综合是解题的关键．实践探究活动记录
课题
测量教学楼高度
测量工具
测角仪，皮尺
设计方案
说明：办公楼的高为，从，点C处测得教学楼楼顶A的仰角为，教学楼底部B的俯角为，
测得数据
参考数据
最喜爱的课本剧
喜欢人数
（《卖油翁》）
（《木兰诗》）
（《愚公移山》）
（《屈原》）
（其他）