湖北省襄阳市2024年中考数学考前模拟预测题

这是一份湖北省襄阳市2024年中考数学考前模拟预测题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答.）(共10题；共30分)
1．（3分）已知有理数a、b在数轴上表示如图，现比较a、b、﹣a、﹣b的大小，正确的是（ ）
A．﹣a＜﹣b＜a＜bB．a＜﹣b＜b＜﹣a
C．﹣b＜a＜﹣a＜bD．a＜b＜﹣b＜﹣a
2．（3分）如图是一个水平放置的圆柱形物体，中间有一细棒，则此几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）计算：(−x)2⋅(−x)等于（ ）
A．−x2B．−x3C．x2D．x3
4．（3分）三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点B在ED上，点C在FD的延长线上，AB//FD,∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠ABC=30°，则∠CBE的度数为（ ）
A．120°B．135°C．150°D．165°
5．（3分）不等式组 −3x+1≥−23x−12A．
B．
C．
D．
6．（3分）三月八日是国际妇女节，这天花店的鲜花特别畅销．鲜花主要有玫瑰．百合、康乃馨等．已知1枝玫瑰和1枝百合需要22元，刘老师用116元买了8枝玫瑰和3枝百合，若设每枝玫瑰x元，每枝百合y元，由题意可列二元一次方程组为（ ）
A．x+y=228x+3y=116B．x+y=228x+y=116
C．x+y=22，x+3y=116D．x+y=22，8（x+3y）=116
7．（3分）如图，在 RtΔABC 中， ∠ACB=90° ，分别以点 B 和点 C 为圆心，大于 12BC 的长为半径作弧，两弧相交于 D 、 E 两点，作直线 DE 交 AB 于点 F ，交 BC 于点 G ，连接 CF .若 AC=3 ， CG=2 ，则 CF 的长为 ( )
A．52B．3C．2D．72
8．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC的中垂线与 AC 相交于D点，若∠A=60°，∠C=40°，则 AD 的度数为（ ）
A．80°B．70°C．40°D．30°
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点．若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（ ）
A．34B．43C．35D．45
10．（3分）已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0) 与 x 轴交于点 A(−1，0) ，对称轴为 x=1 ，与 y 轴的交点 B 在 (0，2) 和 (0，3) 之间（包含这两个点）运动.有如下四个结论：①抛物线与 x 轴的另一个交点是 (3，0) ；②点 C(x1 ， y1) ， D(x2 ， y2) 在抛物线上，且满足 x1y2 ；③常数项 c 的取值范围是 2⩽c⩽3 ；④系数 a 的取值范围是 −1⩽a⩽−23 .上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．②③④C．①④D．①③④
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.把答案填在答题卡的相应位置上.）(共5题；共15分)
11．（3分）计算： 6×2 =
12．（3分）设x1，x2是一元二次方程3x2−2x−3=0的两根，则x1+x2= ．
13．（3分）任意给一个非零数x，按下列程序写出输出结果：（写出y与x的关系式） ．
输入x→平方→ +x → ÷x →输出y
14．（3分）如图是两个质地均匀的转盘，现转动转盘①和转盘②各一次，则两个转盘指针都指向红的部分的概率为 .
15．（3分） 如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，连接BE，将△ABE沿着BE翻折得到△FBE，EF交BC于点H，延长BF，DC相交于点G，若DG=8，BC=12，则EH= ．
三、解答题（本大题共9个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内.）(共9题；共75分)
16．（6分）计算：
（1）（3分）(﹣7)+(﹣5)﹣(﹣13)﹣(+10)
（2）（3分）﹣(﹣1)10×2+(﹣2)3÷4
17．（8分）如图，在 ▱ABCD 中，点E是AB边中点，DE与CB的延长线交于点F.求证： DE=FE.
18．（9分）在2023年体育中考中，扬帆中学初三学子再创佳绩．为做好总结，体育组老师随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告（不完整）：
扬帆中学初三学生体育中考成绩情况调查报告
请根据以上调查报告，解答下列问题；
（1）（2分）填空：上述表格中，m= ，n= ；
（2）（3分）根据以上数据，你认为甲、乙两班中哪个班的体育中考成绩更好？请说明理由（一条即可）；
（3）（4分）该校初三有1200人参加体育中考，请估计满分的同学共有多少人？
19．（8分）如图，某小区有甲、乙两座楼房，楼间距BC为50米，在乙楼顶部A点测得甲楼顶部D点的仰角为37°，在乙楼底部B点测得甲楼顶部D点的仰角为60°，则甲、乙两楼的高度分别为多少？(结果精确到1米，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75， 3 ≈1.73)
20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4．以△ABC的三边为边向AB同侧分别作正方形ABMN、正方形ACDE和正方形BCFG，点M在边FG上，MN交CF于点P，AN交CD于点Q．
（1）（4分）求证：△ABQ≌△NAP；
（2）（4分）求四边形CPNQ的面积．
21．（10分）数学课上，李老师出示范了如下框中的题目.
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）（2分）特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系.请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“=”）；
（2）（4分）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”、“＜”或“=”）.理由如下：
如图2过点E作EF∥BC，交AC于点F；（请你完成以下解答过程）
（3）（4分）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）.
22．（8分）2023年5月28日，C919商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步.12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”(寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪).如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分.如图②，当两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇.此时相遇点H距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米.若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A'，B'到地面的距离均保持不变，求此时两条水柱相遇点H'距地面多少米．
23．（10分）如图①，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）（2分）【证明与推断】：①求证：四边形CEGF是正方形；
②推断：AGBE的值为 ▲ ；
（2）（4分）【探究与证明】：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α度（0°＜α＜45°），如图②所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）（4分）【拓展与运用】：正方形CEGF在旋转过程中，当A，G，F三点在同一直线上时，如图③所示，延长CG交AD于点H．若AG＝3，GH＝2，求BC的长．
24．（8分）如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做“半高三角形”．这条高称为“半高”．如图1，对于△ABC，BC边上的高AD等于BC的一半，△ABC就是“半高三角形”．此时，称△ABC是“BC边半高三角形”，AD是“BC边半高”；如图2，对于△EFG，EF边上的高GH等于EF的一半，△EFG就是半高三角形，此时，称△EFG是EF边半高三角形，CH是“EF边半高”．
（1）（2分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，若△ABC是“BC边半高三角形”，则AC＝ cm；
（2）（2分）若一个三角形既是等腰三角形又是半高三角形，且“半高”长为2cm，则该等腰三角形底边长的所有可能值为 ．
（3）（4分）如图3，平面直角坐标系内，直线y＝x+2与抛物线y＝x2交于R，S两点，点P是抛物线y＝x2.上的一个动点，点Q是坐标系内一点，且使得△RSQ为“RS边半高三角形”当点P介于抛物线上点R与点S之间，且PQ取得最小值时，求点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】根据图示，可得
a＜0＜b，0＜-a＜b，-b＜a＜0，
则-b＜a＜-a＜b.
故答案为：C.
【分析】利用数轴及相反数的定义可知，a＜0＜b，0＜-a＜b，-b＜a＜0，再根据数轴上表示的两个有理数，右边的总比左边的数大，作出判断即可.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：从上边看时，圆柱是一个矩形，中间的木棒是虚线，
故答案为：C．
【分析】根据俯视图是从物体的上面观察得到的，从上边看时，圆柱是一个矩形，中间的木棒是虚线，判断即可.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：（-x）2•（-x）
＝（-x）3
＝-x3，
故答案为：B．
【分析】利用同底数幂的乘法计算方法求解即可。
4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠F=90°，∠E=45°，
∴∠EDF=45°，
∴∠CDE=180°-∠EDF=135°，
∵AB∥FD，
∴∠ABE=∠CDF=135°，
∴∠CBE=∠ABE+∠ABC=135°+30°=165°.
故答案为：D.
【分析】先根据三角形内角和定理得出∠EDF=45°，进而可得∠CDE=135°，再根据平行线的性质得出∠ABE=135°，然后根据角的和差计算即可.
5．【答案】A
【解析】【解答】解： −3x+1≥−2①3x−12由①得， x≤1 ，
由②得， x<3，
所以不等式组的解集为： x≤1 ，
故答案为：A.
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集并在数轴上画出解集即可。
6．【答案】A
【解析】【解答】解：∵1枝玫瑰和1枝百合需要22元，
∴x+y=22.
∵8枝玫瑰和3枝百合需要116元，
∴8x+3y=116.
∴x+y=228x+3y=116
故答案为：A.
【分析】根据题描述直接列出即可，过程中注意x、y分别代表什么量.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：由作法得 GF 垂直平分 BC ，
∴FB=FC ， CG=BG=2 ， FG⊥BC ，
∵∠ACB=90° ，
∴FG//AC ，
∴BF=AF ，
∴CF 为斜边 AB 上的中线，
∵AB=32+42=5 ，
∴CF=12AB=52 .
故答案为：A.
【分析】由作法得GF垂直平分BC，由垂直平分线的性质可得FB=FC，CG=BG=2，FG⊥BC，易得FG∥AC，根据三角形的中位线定理得出点F是AB的中点，则CF为AB边的中线，由勾股定理求出AB，进而可得CF.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠A=60°，∠C=40°，
∴BC =120°， AB =80°，
∴BDC =240°，
∵BC的中垂线与 AC 相交于D点，
∴BD = 12 BDC =120°，
∴AD = BD - AB =120°-80°=40°，
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理可得 BC 、 AB 的度数，即可求出 BDC 的度数，根据垂径定理可得 BD 的度数，即可求出 AD 的度数.
9．【答案】B
【解析】【解答】连接BD．
∵E、F分別是AB、AD的中点．
∴BD=2EF=4
∵BC=5，CD=3
∴△BCD是直角三角形．
∴tanC= BDCD = 43
故答案为：B．
【分析】连接BD，由三角形中位线定理得BD=2EF，再由勾股定理的逆定理得出∠BDC=90°，然后根据正切的定义，即可求出tanC的值.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
∵ 抛物线与x轴交于点 A(−1，0) ，对称轴为 x=1 ，
∴ 抛物线与x轴的另一个交点是 (3，0) ，所以①正确；
∵ 抛物线与y轴的交点B在 (0，2) 和 (0，3) 之间（包含这两个点）运动，
∴ 抛物线开口向下， 2⩽c⩽3 ，所以③正确；
∴ 当 x<1 时，y 随x的增大而增大，
∴ 当 x1∵x=−b2a=1 ，
∴b=−2a ，
∵x=−1 时， y=0 ，即 a−b+c=0 ，
∴a+2a+c=0 ，即 c=−3a ，
而 2⩽c⩽3 ，
∴2⩽−3a⩽3 ，
∴−1⩽a⩽−23 ，所以④正确.
故答案为：D.
【分析】根据对称轴可得与x轴的另一个交点的坐标，据此判断①；根据与y轴的交点B的位置可得c的范围，据此判断③；判断出函数的增减性，据此判断②；根据对称轴为直线x=1可得b=-2a，根据x=-1对应的函数值为0可得a-b+c=0，得到c=-3a，结合c的范围可得a的范围，据此判断④.
11．【答案】23
【解析】【解答】解：6×2=12=23
故答案为：23
【分析】利用两个二次根式相乘，把把被开方数相乘，再化简。
12．【答案】23
【解析】【解答】解：由一元二次方程3x2−2x−3=0可知：a=3，b=−2，c=−3，
∴由韦达定理可得：x1+x2=−ba=−−23=23；
故答案为：23．
【分析】根据根与系数的关系x1+x2=−ba即可求解.
13．【答案】y=x+1
【解析】【解答】 程序写出输出结果：y=(x2+x)÷x=x+1.
故答案为：y=x+1.
【分析】根据题意按顺序列出 y与x的关系式即可.
14．【答案】38
【解析】【解答】解：列表可得
共有16种等可能的结果，出现都是红的只有6种，
故概率为 616=38 ．
故答案为 38 ．
【分析】根据列出表格，由表可知共有16种等可能的结果，出现都是红的只有6种，根据概率公式即可求出即可算出两个转盘指针都指向红的部分的概率。
15．【答案】2116
【解析】【解答】解：如图，连接EG，
，
∵E是AD的中点，
∴DE=AE，
由折叠的性质可得：AE=EF，∠A=∠BFE，∠AEB=∠BEH，
∴DE=AE=EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=∠BFE=90°，AD∥BC，
∵EG=EG，
∴Rt△EFG≌Rt△EDG(HL)，
∴FG=DG=8，
设DC=x，则CG=8−x，BG=x+8，
在Rt△BCG中，BG2=CG2+BC2，即(x+8)2=122+(8−x)2，
解得：x=92，
∴DC=AB=BF=92，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBH，
∴∠EBH=∠BEH，
∴HB=HE，
设FH=m，则HB=HE=AE−m=6−m，
在Rt△BFH中，HB2=BF2+HF2，
∴(6−m)2=(92)2+m2，
解得：m=2116，
∴FH=2116，
故答案为：2116．
【分析】连接EG，由折叠的性质可得AE=EF，∠A=∠BFE，∠AEB=∠BEH，得出DE=AE=EF，然后证明Rt△EFG≌Rt△EDG(HL)，可得FG=DG=8，设DC=x，则CG=8−x，BG=x+8，利用勾股定理构建方程，求出DC=AB=BF=92，设FH=m，则HB=HE=AE−m=6−m，再次利用勾股定理构建方程求解即可．
16．【答案】（1）解：原式=﹣7﹣5+13﹣10=﹣22+13=﹣9
（2）解：原式=﹣1×2+（﹣8）÷4=﹣2﹣2=﹣4.
【解析】【分析】（1）计算加减法即可求解；（2）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算.
17．【答案】证明： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//CF ，
∴∠ADE=∠F，∠DAE=∠FBE ，
∵ 点E是AB边中点，
∴AE=BE ，
在 △ADE 和 △BFE 中，
∠ADE=∠F∠DAE=∠FBEAE=BE ，
∴△ADE≅△BFE(AAS) ，
∴DE=FE .
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AD∥CF，根据平行线的性质可得∠ADE=∠F，∠DAE=∠FBE，根据中点的概念可得AE=BE，然后利用AAS证明△ADE≌△BFE，据此可得结论.
18．【答案】（1）59.5；58.7
（2）解：甲、乙两班中甲班的体育中考成绩更好，理由如下：
∵甲、乙两个班的众数相同，但是甲班的平均数和中位数都比乙班的高，
∴甲班的体育中考成绩更好；
（3）解：1200×4+510+10=540人，
∴估计满分的同学共有540人．
【解析】解： （1）甲班10同学的体考成绩重新排列为：56，57，58，58，59，60，60，60，60，60，
所以中位数m=59+602=59.5，
乙班的平均分为n=11056+57+58×2+59×2+60×4=58.7，
故答案为：59.5，58.7；
【分析】(1)将甲班10名同学的成绩从小到大排列，求出中位数；根据乙班的条形统计图中的数据求平均数；
（2）通过比较平均数、中位数和众数来说明哪个班的体育中考成绩更好；
（3） 满分的同学的人数=该校初三人数乘以满分所占的比例.
19．【答案】解：作AE⊥CD于点E，则四边形ABCE是矩形．
在Rt△BCD中，CD＝BC·tan60°＝50× 3 ≈87(米)，
在Rt△ADE中，DE＝AE·tan37°≈50×0.75≈38(米)，
∴AB＝CE＝CD－DE＝87－38＝49(米)．
答：甲、乙两楼的高度分别为87米，49米．
【解析】【分析】作AE⊥CD，这样出现两个直角三角形，利用锐角三角函数解直角三角形即可.
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABMN是正方形，
∴∠BAQ=∠N=90°，AB=AN．
∵四边形ACDE和四边形BCFG是正方形，
∴∠ACQ=∠BCP=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACQ+∠ACB=180°，∠BCP+∠ACB=180°，
∴点B、C、Q与点A、C、P分别在一条直线上，
∵∠CAQ+∠AQB=90°，∠CAQ+∠APN=90°，
∴∠AQB=∠NPA，
∴△ABQ≌△NAP
（2）解：∵△ABQ≌△NAP，
∴S△ABQ=S△NAP，
∴S△ABC=S四边形CPNQ，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴S△ABC=12AC·BC=6，
∴S四边形CPNQ=6
【解析】【分析】（1）利用“AAS”证明△ABQ≌△NAP即可；
（2）先证明S△ABC=S四边形CPNQ，再结合S△ABC=12AC·BC=6，即可得到S四边形CPNQ=6。
21．【答案】（1）=
（2）= 如图2中，作EF∥BC交AC于F． ∵∠AEF=∠B=60°，∠A=60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴AE=EF=AF，∠AFE=60°， ∴∠EFC=∠DBE=120°， ∵AB=AC，AE=AF， ∴BE=CF， ∵∠D=∠ECB=∠CEF， 在△DBE和△FEC中， ∠DBE=∠EFC∠D=∠CEFBE=CF ， ∴△DBE≌△EFC， ∴BD=EF=AE， ∴BD=AE， 故答案为=．
（3）CD=3或1．
【解析】【解答】(1)如图1中，
∵△ABC是等边三角形，AE=EB，
∴∠BCE=∠ACE=30°，∠ABC=60°，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD=30°，
∵∠EBC=∠D+∠BED，
∴∠D=∠BED=30°，
∴BD=BE=AE．
故答案为=．
( 3 )如图3中，当E在BA的延长线上时，作EF∥AC交BD的延长线于F，
易证△EBD≌△EFC，可得BD=CF=AE=2，CD=BD−BC=2−1=1．
如图4中，当E在AB的延长线上时，作EF∥BC交AC的延长线于F，
易证△EBD≌△CFE，可得BD=EF=AE=2，CD=BD+BC=2+1=3．
综上所述，CD的长为1或3．
【分析】（1）只要证明BD=BE即可解决问题．（2）结论：AE=BD．如图2中，作EF∥BC交AC于F．只要证明△DBE≌△EFC，推出BD=EF=AE，推出BD=AE．（3）分两种情形讨论如图3中，当E在BA的延长线上时，作EF∥AC交BD的延长线于F，易证△EBD≌△EFC，可得BD=CF=AE=2，CD=BD-BC=2-1=1．如图4中，当E在AB的延长线上时，作EF∥BC交AC的延长线于F，易证△EBD≌△CFE，可得BD=EF=AE=2，CD=BD+BC=2+1=3．由此即可解决问题．
22．【答案】解：由题意得AB=80，H(0，20)，
∵OA=OB=12AB=12×80=40，
∴A(−40，4)，B(40，4)，
设抛物线解析式为y=ax2+20，
将A(−40，4)代入y=ax2+20，
得1600a+20=4，解得a=−1100，
∴y=−1100x2+20，
∵两辆消防车同时后退10米，
∴抛物线y=−1100x2+20向右平移后的解析式为y=−1100(x−10)2+20，
当x=0时，则y=−1100×(−10)2+20=19，
答：此时两条水柱相遇点H'距地面19米．
【解析】【分析】根据题意，确定图象是关于y轴对称的二次函数图象，开口向下，顶点坐标为（0，20），根据这些条件设出解析式y=ax2+20，代入A或B点坐标及可求出解析式；B后退至B'，抛物线向右平移10米，y=ax−102+20或者A退至A'，抛物线向左平移10米，y=ax+102+20；用这两个解析式当中的哪一个都可以，当x=0时求y值即可。
23．【答案】（1）解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，
∵GE⊥BC、GF⊥CD，
∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，
∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，
∴EG＝EC，
∴四边形CEGF是正方形；
②2
（2）解：连接CG，
由旋转性质知∠BCE＝∠ACG＝α，
在Rt△CEG和Rt△CBA中，
∴CGCE=CACB=2
∴△ACG∽△BCE，
∴AGBE=CACB=2
∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝2BE；
（3）解：①由（2）知△BCE∽△ACG，
∴∠AGC＝∠BEC＝135°，
∵∠CGF＝45°，
∴∠AGC+∠CGF＝180°，
∴A、G、F三点共线．
∵∠CEF＝45°，点B、E、F三点共线，
∴∠BEC＝135°，
∵△ACG∽△BCE，
∴∠AGC＝∠BEC＝135°，
∴∠AGH＝∠CAH＝45°，
∵∠CHA＝∠AHG，
∴△ACH∽△GAH；
∴AGAC=GHAH=AHCH
设BC＝CD＝AD＝a，则AC＝2a，
∴AGAC=GHAH
∴32a=2AH
∴AH＝23a，
则DH＝AD﹣AH＝13a，CH＝CD2+DH2=103a，
∴AGAC=AHCH得，32a=23a103a
解得：a＝352即BC＝352．
【解析】【解答】解：(1)②由①知四边形CEGF是正方形，
∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，
∴CGCE=2，GE∥AB，
∵GE∥AB，
∴CGAG=CEBE，
∴CGCE=AGBE=2.
故答案为：2.
【分析】(1)①由∠BCD=90°和GE⊥BC、GF⊥CD，根据三个角是90°的四边形是矩形可得四边形CEGF是矩形，再由∠ECG=45°，即可得证.
②由正方形性质知∠CEG=∠B=90°、∠ECG=45°，据此可得CGCE=2，GE∥AB，利用平行线分线段成比例定理即可求解.
(2)连接CG，由两边成比例且夹角相等证得△ACG∽△BCE，即可得解.
(3)由∠AGH=∠CAH=45°，∠AHG=∠CHA，得△AHG∽△CHA，从而AGAC=GHAH=AHCH，设BC＝CD＝AD＝a，则AC＝2a，求得AH=23a，在Rt△CDH中求得CH=103a，代入AGAC=AHCH，即可求得BC的长.
24．【答案】（1）2 5
（2）4或 26+22 或 26−22
（3）解：将抛物线的表达式y=x2与直线方程y=x＋2联立并解得：x=−1或2，
即：点R、S的坐标分别为（−1，1）、（2，4），则RS＝3 2 ，
则RS边上的高为： 12 ×3 2 = 322 ，
则点Q在于RS平行的上下两条直线上，如下图，
设直线RS与y轴交于点N，则N（0，2），过点N作NQ⊥TQ于点Q，则NQ= 322 ，则NT= NQsin45° ＝3，
∴点T（0，5），
则点Q所在的直线方程为：y＝x＋5，
同理：当点Q所在的直线在直线RS的下方时，y＝x−1，
∴点Q所在的直线方程为：y＝x＋5或y＝x−1；
如图4，当点P介于点R与点S之间时，
设与RS平行且与抛物线只有一个交点 p' 的直线方程为：y＝x＋d，
将该方程与抛物线方程联立并整理得：x2−x−d＝0，
∴△＝1＋4d＝0，解得：d＝ −14 ，
此时，x2−x＋ 14 ＝0，解得：x＝ 12 ，
∴点 p' （ 12 ， 14 ），此时，P（ p' ）Q取得最小值．
【解析】【解答】解：（1）设AC＝h，则BC＝2AC＝2h，
由勾股定理得：h2＋（2h）2＝102，解得：h＝2 5 ，
故答案为2 5 ；
（2）①当“半高”是底边上的高时，
如图1，AD是“半高”，AB、AC为等腰三角形的腰，
由题意得：AD＝2，BC＝4；
②当“半高”是腰上的高时，
如下图，底边为BC、“半高”CD为腰上的高，
如图2，当△ABC为锐角三角形时，CD＝2，AB＝AC＝4，
在Rt△ADC中，AD= AC2−CD2 = 42−22=23 ，
在Rt△BCD中，BC= BD2+CD2 = (4−23)2+22=26−22 ；
如图3，当△ABC为钝角三角形时，CD＝2，AB＝AC＝4，
同理可得：BC= 26+22 ．
故答案为：4或 26+22 或 26−22 ；
【分析】（1）先求出h2＋（2h）2＝102，再求出h＝2 5即可求解即可；
（2）分类讨论，结合图形，利用勾股定理求解即可；
（3）先求出 RS边上的高为： 12 ×3 2 = 322 ， 再求出 点Q所在的直线方程为：y＝x＋5， 最后利用一元二次方程根的判别式计算求解即可。调查主题
扬帆中学初三学生体育中考成绩
【设计调查方式】
随机抽取甲、乙两班各10名同学的体育中考成绩
【收集、整理、描述数据】
甲班抽取的10名同学的成绩：60，60，59，57，60，58，60，58，60，56．
乙班抽取的10名同学成绩的条形统计图：
班级
平均分
众数
中位数
甲
58.8
60
m
乙
n
60
59
调查结论
…
红1
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红1，红1
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