2024年湖北省襄阳市襄州区中考模拟数学试题（含解析）

这是一份2024年湖北省襄阳市襄州区中考模拟数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了小器一容三斛；大器一，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

（本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答．
1．有理数的相反数是（ ）
A．B．C．D．
2．剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）．
A．B．
C．D．
3．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列计算正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
5．如图，直线，将含角的直角三角板按图中位置摆放，若，则图中等于（ ）．
A．B．C．D．
6．如图所示的几何体，由五个相同的小正方体组成的，它的主视图是（ ）．
A．B．
C．D．
7．下列说法正确的是（ ）．
A．检测一批家用汽车的抗撞能力用全面抽查
B．检测长征运载火箭零部件质量情况用随机抽样抽查
C．“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是随机事件
D．“任意画一个三角形，其内角和是”是随机事件
8．如图，在平面直角坐标系中，原点O为对角线的中点，轴，点B的坐标为，，点C的坐标为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，点A，B，C，D在上，，则的长为（ ）
A．B．8C．D．4
10．抛物线（a，b，c为常数，）对称轴是直线，抛物线与x轴相交于，两点，，下列结论正确的是（ ）．
A．
B．，都在抛物线上，则
C．
D．方程的两根为，，则
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）把答案填在答题卡的相应位置上．
11．式子在实数范围内有意义的条件是 ．
12．计算： ．
13．经过十字路口处的两辆汽车，可能直行，也可能右转，如果这两种可能性大小相同，则至少有一辆向右转的概率是 ．
14．《九章算术》是我国古代经典数学著作，奠定了中国传统数学的基本框架．书中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大、小器各容几何？”译文：“今有大容器5个，小容器1个，总容积为3斛；大容器1个，小容器5个，总容积为2斛．问大、小容器的容积各是多少斛？”
答：大容器容积为 斛，小容器容积为 斛．
15．如图，将矩形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点落在延长线上的点处，点的对应点为点，延长交于点．若，，则四边形的面积为 ．
三、解答题（本大题共9个小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内．
16．计算：．
17．如图，在中，，分别是边的中点，求证：四边形是菱形．
18．如图，平地上建筑物与建筑物相距，在建筑物的顶部处测得建筑物顶部的仰角为，底部的俯角为，求建筑物的高度．（结果保留整数．参考数据：，，）
19．为了解甲、乙两所学校八年级学生综合素质整体情况，对两校八年级学生进行了综合素质测评，并对成绩作出如下统计分析．
【收集整理数据】分别从两所学校各随机抽取了a名学生的综合素质测试成绩（百分制，成绩都是整数且不低于分）．将抽取的两所学校的成绩分别进行整理，分成A，B，C，D，E，F六组，用x表示成绩，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，F组：，其中乙校E组成绩如下：，，，，，，，，，，，，，，．
【描述数据】根据统计数据，绘制出了如下统计图．
【分析数据】两所学校样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1) ， ；
(2)补全条形统计图；
(3)甲校共有人参加测试，若测试成绩不低于80分的为优秀，估计甲校测试成绩优秀的约有 人；
(4)从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义．
20．如图，一次函数与反比例函数（k为常数，）的图象相交于，两点．
(1)求m，n，k的值；
(2)当时，对于x的每一个值，函数（p为常数）的值大于函数的值，直接写出p的取值范围．
21．在中，，以为直径的交于点，点在上，，，的延长线相交于点．
(1)如图1，求证：是的切线；
(2)如图2，连接并延长，交于点，若点是的中点，，求图中阴影部分的面积．
22．张经理到老王的果园里一次性采购一种水果吨，他俩商定，张经理的采购价元吨与采购量吨之间的关系如下表：
老王发现，他俩商定的与之间满足一次函数关系．已知水果的平均成本是元吨，老王在这次买卖中获得的利润为元．
(1)分别求出与，与的函数解析式；
(2)若老王在这次买卖中获得的利润为元，求张经理采购的水果的数量；
(3)张经理的采购量为多少时，老王获得的利润最大？最大利润是多少？
23．（1）如图1，四边形是正方形，是等腰直角三角形，．
①求证：；②线段与的数量关系是______；
（2）将图1中的绕点B顺时针旋转，当旋转到点F在的延长线上时，与相交于点G，
①如图2，当点G是的中点时，若，求线段的长；
②如图3，当点G不是的中点时，设的中点为H，连接，判断线段的关系，并说明理由．
24．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是直线上方抛物线上不与抛物线顶点重合的一动点，设点的横坐标为．
(1)请直接写出，的值；
(2)如图，若抛物线的对称轴为直线，点为直线上一动点，当垂直平分时，求的值；
(3)过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线与抛物线的另一个交点为，线段，的长度之和记为．
①求关于的函数解析式；
②根据的不同取值，试探索点的个数情况．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义进行判断即可，解题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数．
【解答】解：有理数的相反数是，
故选：．
2．C
【分析】本题考查了轴对称与中心对称图形的识别，根据中心对称图形的概念得出答案即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，先根据不等式的性质：先移项，然后合并同类项即可解得不等式，进而在数轴上表示解集，即可求解．
【解答】解：
∴
∴
解得：
在数轴上表示如图
故选：B．
4．D
【分析】本题考查了幂的乘方，单项式乘单项式，完全平方公式，二次根式的除法运算，熟练掌握运算法则和公式是解答本题的关键．
根据幂的乘方，单项式乘单项式，完全平方公式，二次根式的除法运算法则逐项分析即可．
【解答】解：A. ，原计算错误，故此选项不符合题意；
B. ，原计算错误，故此选项不符合题意；
C. ，原计算错误，故此选项不符合题意；
D. ，原计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
5．C
【分析】本题考查平行线的性质，对顶角，三角形内角和定理，根据平行线的性质得到，由对顶角相等得到，再利用三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：如图
，，
，
，
，
，
，
故选：C．
6．A
【分析】本题考查三视图的理解，对三视图理解正确是关键．
正面看到的即是主视图．
【解答】解：从正面看，其主视图是
故选：A．
7．C
【分析】本题考查的知识点是普查与抽样调查， 事件的分类，三角形内角和， 根据题意逐项分析判断，即可求解．
【解答】解：A. 检测一批家用汽车的抗撞能力用抽样抽查，故该选项不正确，不符合题意；
B. 检测长征运载火箭零部件质量情况用全面抽查，故该选项不正确，不符合题意；
C. “抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是随机事件，故该选项正确，符合题意；
D. “任意画一个三角形，其内角和是”是必然事件，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
8．B
【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标特征，平行四边形的性质，正确理解题意得到点B和点D，点A和点C关于原点对称是解题的关键．
【解答】解：∵原点O为对角线的中点，
∴点B和点D，点A和点C关于原点对称，
∵点B的坐标为，
∴点D的坐标是：，
又∵轴，
∴点A的坐标是：，
∴点C的坐标为，
故选：B．
9．A
【分析】连接，根据可得为的直径，又根据得到，故在直角三角形中，利用特殊角的三角函数即可求出．
【解答】解：连接，
，
，
为的直径，
，
，
在中,
，
．.
故选：A．
【点拨】本题主要考查圆周角定理，解三角形，解题的关键是掌握公式、定理。
10．D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与x轴的交点坐标，一元二次方程的判别式，根据抛物线开口向上，与轴有两交点，判断A，C选项，根据抛物线对称轴是直线，抛物线与x轴相交于，两点，，则，进而得出，，即可判断B选项，根据对称轴为直线，即可判定D选项，即可求解．
【解答】解：∵抛物线开口向上，与轴有两交点，对称轴，
∴，，故A、C选项错误；
∵抛物线对称轴是直线，抛物线与x轴相交于，两点，，
∴
又，都在抛物线上，抛物线开口向上，
∴，，则，故B选项错误；
∵抛物线对称轴是直线，抛物线与x轴相交于两点，
∴方程的两根为，，则，故D选项正确
故选：D．
11．##
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，注意被开方数大于等于0即可．
【解答】解：根据题意，，解得：
故答案为：．
12．##
【分析】本题主要考查分式的除法运算，将除法转换成乘法，分式的分子与分母分解因式后约分化简．
【解答】解：，
故答案为：．
13．
【分析】此题考查了列表法求概率．可以采用列表法．可以得到一共有4种情况，至少有一辆向右转有3种情况，根据概率公式计算可得．
【解答】解：列表如下，
∵这两辆汽车行驶方向共有4种可能的结果，其中至少有一辆向右转有3种情况，
∴至少有一辆向右转的概率是．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，正确找到等量关系．设大容器的容积是斛，小容器的容积是斛，根据题意列出方程组即可求解．
【解答】解：设大容器的容积是斛，小容器的容积是斛，
依题意，得：，
解得：，
答：大容器的容积是斛，小容器的容积是斛．
故答案为：，．
15．
【分析】连接，延长交于点，交于点，连接，证明，进而证明，在中，勾股定理求得，进而根据，得出，根据，求得，进而根据折叠的性质可得，即可求解．
【解答】解：如图所示，连接，延长交于点，交于点，连接，
设，
∵，
∴，
∵折叠，
∴，，，
∵
∴
∴
∴，
∵，
∴
∴，
∴
在中，
∵
∴
解得：（负值舍去）
∴，
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴，则
∵折叠，
∴
故答案为：．
【点拨】本题考查了勾股定理，解直角三角形，矩形的折叠问题，矩形的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
16．
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据立方根，算术平方根，负整数指数幂，二次根式的性质化简，进行计算即可求解．
【解答】解：
．
17．见解析
【分析】本题考查了三角形中位线定理、菱形的判定，由三角形中位线定理得出，，，，从而得出四边形是平行四边形，结合得出，即可得证．
【解答】证明：点分别是边的中点，
，且，
同理，，且．
∴四边形是平行四边形
又，
，
∴平行四边形是菱形．
18．建筑物的高度为米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用；解，，即可求解．
【解答】解：依题意，四边形是矩形，
在中，，
∴，
在中，
∴
∴
答：建筑物的高度为米．
19．(1)，
(2)见解析
(3)
(4)见解析
【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图，用样本估计总体，平均数、中位数、众数、方差的意义等等：
（1）根据抽取的乙校中E组人数及其对应的百分比可求a的值，根据中位数的概念求b的值；
（2）先求出甲校中组别C的人数，进而补全统计图即可；
（3）用乘以甲校样本中成绩为优秀的人数占比即可得到答案；
（4）根据平均数、中位数、众数、方差的意义求解即可．
【解答】（1）解：，
在乙校共抽取50名学生，其第名和第名学生成绩的平均数为中位数，
∵乙校的F组中有人，E组中有15人，
∴乙校的第名和第名学生成绩在E组中，
将E组成绩从小到大排列为
∴第名和第名学生成绩分别为和，
∴，
故答案为：，；
（2）解：甲校中C组人数为（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：（人）
故答案为：；
（4）解：平均数表示两个学校抽取的人成绩的平均成绩；
众数表示两个学校抽取的人中得分在某个分数的人数最多；
中位数表示两个学校抽取的人中，将成绩从小到大排列后，位于中间位置的成绩；
方差表示两个学校抽取的人的成绩稳定性．
20．(1)
(2)
【分析】本题主要考查函数图象的交点及待定系数法求函数解析式：
（1）分别把，两点坐标代入，求出的值，再把点A坐标代入，求得k的值；
（2）结合函数图象解答即可．
【解答】（1）解：把，两点坐标代入，得
，解得：
∴，
把点代入，，则；
（2）解：由函数图象知：当时，对于x的每一个值，函数（p为常数）的值大于函数的值，
∴直线在直线的上方或与重合，
∴
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接、，由为的直径，得，由点是边的中点，得，则，所以，即可证明直线是的切线；
（2）连接，设交于点，证明四边形是平行四边形，得出，进而证明四边形是菱形，得出，则，得出是等边三角形，进而可得是等边三角形，勾股定理求得，然后根据阴影部分的面积为，即可求解．
【解答】（1）证明：如图所示，连接，则
，
为的直径，
，
，
点是边的中点，
，
，
，
，
是的半径，且，
直线是的切线．
（2）解：如图所示，连接，设交于点
∵点是的中点
∴，，则，
又∵，
∴，
∵是的中点，是的中点
∴
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴
∴，
∴四边形是菱形，
∴
又∵
∴
∴是等边三角形，
∴，则
∵，
∴是等边三角形，
在中，，
∴
∴，，
在中，
∴
∴，
∴阴影部分的面积为．
【点拨】本题考查了切线的判定，求扇形面积，菱形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，垂径定理的推论，熟练掌握以上知识是解题的关键．
22．(1)；
(2)张经理采购的水果的数量为或吨
(3)张经理的采购量为吨时，老王获得的利润最大，最大利润是元
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的应用；
（1）根据题意待定系数法求一次函数解析式即可求解，根据销量乘以价格减去成本，列出二次函数关系式；
（2）根据（1）中的函数关系式，领，解一元二次方程，即可求解；
（3）根据二次函数的性质，即可求解．
【解答】（1）解：设，将，代入，得，
解得：
∴
依题意，
即
（2）解：依题意，
解得：
答：张经理采购的水果的数量为或吨；
（3）解：
∵，，
∴当时，取得最大值，最大值为
答：张经理的采购量为吨时，老王获得的利润最大，最大利润是元．
23．（1）①证明见解析；②；（2）①；②，理由见解析
【分析】（1）①根据正方形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，据此可证明，，则可证明；②根据相似三角形的性质求解即可；
（2）①由正方形的性质得到，，则，由勾股定理得；证明，求出，则由勾股定理得，进而求出，则；②如图所示，连接，证明四点共圆，得到，，则垂直平分，据此可证明，再由点H为的中点，可证明是等腰直角三角形，则．
【解答】解：（1）①∵四边形是正方形，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）①∵四边形是正方形，
∴，，
∵点G是的中点，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴；
②，理由如下：
如图所示，连接，
∵，
∴
∴四点共圆，
∴，，
∴平分，
∵是等腰直角三角形，
∴垂直平分，
∴，
由正方形的性质可得，
∴，
∵点H为的中点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，勾股定理，线段垂直平分线的判定等等，熟知正方形的性质和相似三角形的性质与判定定理是解题的关键．
24．(1)
(2)
(3)①；②当时，点有2个，当时，点只有1个
【分析】（1）把，，两点坐标代入，求出的值即可；
（2）过点作轴交于点，连接，证明轴，得出直线的解析式为，设，根据，建立方程，解方程，即可求解；
（3）①设，且,则，根据对称性可得，则，进而分类讨论得出；
②分别求得两段二次函数的最值，进而画出图象，结合函数图象即可求解．
【解答】（1）解：把，两点坐标代入，得，
，
解得，；
（2）解：如图所示，过点作轴交于点，连接，
由（1）可得抛物线解析式为
对称轴为直线，
当时，，则，
∵，则，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴
∴
∵垂直平分
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴轴，
设直线的解析式为，将，代入得，
解得：
所以直线的解析式为，
设，
∵点是直线上方抛物线上不与抛物线顶点重合的一动点，则且,则，
∴，
∵
∴，
解得：或（舍去）
（3）解：如图所示，
设，且,则，
过点作轴的垂线与抛物线的另一个交点为，
则点与点关于对称，
∴
∴，
∴；
当时，
当时，
∴
②∵
当时，,
∵当时，，
对称轴为直线，开口向下，当时，随的增大而增大，最大值为（取不到），
当时，,
当时，
对称轴为直线，开口向下，当时，随的增大而减小，
当时，（取不到），
函数图象如图所示，
∴当时，点有2个，当时，点只有1个．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，线段长度问题，待定系数法求解析式，正确理解题意、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
学校
平均数
中位数
众数
方差
甲校
乙校
b
79
直行
右转
直行
直行，直行
直行，右转
右转
右转，直行
右转，右转