2023-2024学年北京市顺义区牛栏山一中实验学校九年级（下）第一次月考数学试卷

这是一份2023-2024学年北京市顺义区牛栏山一中实验学校九年级（下）第一次月考数学试卷，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就，自主研发的人工智能“绝艺”获得全球最前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质量和速度，其中的一个大数据中心能存储58000000000本书籍，将58000000000用科学记数法表示应为（ ）
A．5.8×1010B．5.8×1011C．58×109D．0.58×1011
2．下列安全图标中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．抛物线y＝2（x﹣1）2+4的顶点坐标是（ ）
A．（2，4）B．（1，4）C．（2，1）D．（﹣1，4）
4．如图，AC与BD相交于点E，AD∥BC．若AE=2，CE=3，AD=3，则BC的长度是（ ）
A．2B．3C．4D．4.5
5．下列函数中，当x＜0时，y的值随着x的值增大而减小的是（ ）
A．y＝3xB．y＝x2C．D．y＝﹣（x﹣4）2
6．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点 D．若BC=24，csB＝，则AD的长为（ ）
A．12B．10C．6D．5
7．如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连接CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连接AP，则∠PAH的度数（ ）
A．随着θ的增大而增大
B．随着θ的增大而减小
C．不变
D．随着θ的增大，先增大后减小
8．小明使用图形计算器探究函数的图象，他输入了一组m,n的值，得到了下面的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的m,n的值满足（ ）
A．m＞0，n＞0B．m＞0，n＜0C．m＜0，n＞0D．m＜0，n＜0
二、填空题
9．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
10．分解因式：4a2b﹣b＝ ．
11．将二次函数y＝x2﹣4x+5向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的函数表达式是 ．
12．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元，已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x,根据题意列方程得 ．
13．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是 ．
14．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，连接OB，AB．如果∠OBA=20°，那么∠P的度数为 ．
15．数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小聪的解决方案如下：在轮子圆弧上任取两点A，B，连接AB，再作出AB的垂直平分线，交AB于点C，交于点D，测出AB，CD的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出AB=4cm,CD=1cm,则轮子的半径为 cm．
16．李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运A动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当∠PAQ＝30°，PQ＝6时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
②当∠PAQ＝90°，PQ＝10时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
③当∠PAQ＝150°，PQ＝12时，可得到形状唯一确定的△PAQ；
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
17．计算：2sin45°+|﹣1|﹣+（π﹣2）0．
18．已知y2﹣2xy﹣1＝0，求代数式（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣3y2的值．
19．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，如果BC＝，AC=3，求CD的长．
20．已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣3n＝0有两个不相等的实数根．
（1）求n的取值范围；
（2）若n为符合条件的最小整数，且该方程的两个根的乘积大于1，求m的取值范围．
21．下面是小玟同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．
已知：在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC交AC于点D．
求作：∠BPC，使∠BPC=∠BAC．
作法：①分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，连接EF交BD于点O；
②以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O；
③在劣弧AB上任取一点P（不与点A、B重合），连接BP和CP．所以∠BPC=∠BAC．
根据小玟设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OA、OC．
∵AB=BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC且AD＝CD，（ ）（填推理的依据）．
∴OA＝OC．
∵EF是线段BC的垂直平分线，
∴OB＝ ．
∴OB＝OA．⊙O为△ABC的外接圆．
∵点P在⊙O上，
∴∠BPC＝∠BAC（ ）（填推理的依据）．
22．如图，一次函数y1＝﹣x+2的图象与反比例函数y2＝的图象相交相交于A，B两点，点B的坐标为（2m,-m）．
（1）求出m值并确定反比例函数的表达式；
（2）请直接写出当x＜m时，y2的取值范围．
23．已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）将y＝x2+2x﹣3写成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出它的顶点坐标；
（2）当﹣4＜x＜0时，直接写出函数值y的取值范围；
（3）该二次函数的图象与直线y＝n有两个交点A，B，若AB＞6，直接写出n的取值范围．
24．目前，国际上常用身体质量指数“BMI”作为衡量人体健康状况的一个指标，其计算公式：BMI＝（G表示体重，单位：千克；h表示身高，单位：米）．已知某区域成人的BMI数值标准为：BMI＜16为瘦弱（不健康）；16≤BMI＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖；BMI≥28为肥胖（不健康）．
某研究人员从该区域的一体检中心随机抽取55名成人的体重、身高数据组成一个样本，计算每名成人的BMI数值后统计：
（男性身体属性与人数统计表）
求这个样本中身体属性为“正常”的人数；
（2）某女性的体重为51.2千克，身高为1.6米，求该女性的BMI数值；
（3）当m≥3且n≥2（m、n为正整数）时，求这个样本中身体属性为“不健康”的男性人数与身体属性为“不健康”的女性人数的比值．
25．如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF=FE，连接EF．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若OD=1且BD=BF，求⊙O的半径．
26．在平面直角坐标系xOy中，点（x1，m），（x2，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）若对于x1＝0，x2＝3，有m＝n，求t的值；
（2）若对于t﹣2＜x1＜t﹣1，x2＝3，存在m＜n，求t的取值范围．
27．在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，点D为线段AC上一点，将线段BD绕点B顺时针旋转90°，得到线段BE，连接DE．
（1）①请补全图形；
②直接写出CD，AD，ED之间的数量关系 ；
取AD中点F，连接BF、CE，猜想CE与BF的位置关系与数量关系，并证明．
28．定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的“冰雪距离”．已知O（0，0），A（，），B（m，n），C（m，n+2）是平面直角坐标系中四点．
（1）根据上述定义，完成下面的问题：
①当m＝2，n＝时，如图1 ；
②当m＝2时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是，则n的取值范围是 ．
（2）如图2，若点B落在圆心为A，半径为，当n≥时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”记为d，求d的最小值；
（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的“冰雪距离”始终为，线段BC的中点为M．直接写出点M随线段BC运动所走过的路径长．
2023-2024学年北京市顺义区牛栏山一中实验学校九年级（下）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题
1．【答案】A
【解答】解：将580 0000 0000用科学记数法表示应为5.8×1010．
故选：A．
2．【答案】C
【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．是中心对称图形但不是轴对称图形；
D．是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．【答案】B
【解答】解：∵抛物线解析式为y＝2（x﹣1）5+4，
∴顶点坐标为（1，4）．
故选：B．
4．【答案】D
【解答】解：∵BC∥AD，
∴△AED∽△CEB，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝4.5，
故选：D．
5．【答案】B
【解答】解：A．∵在正比例函数y＝3x中，
∴y随x的增大而增大，不符合题意；
B．∵在二次函数y＝x2中，a＝2＞0，
∴二次函数y＝x2的图象的开口向上，在y轴左侧（x＜3时），符合题意；
C．∵在反比例函数中，
∴它的图象在一象限，y随x的增大而增大；
D．∵在二次函数y＝﹣（x﹣6）2中，a＝﹣1＜5，
∴二次函数y＝﹣（x﹣4）2的图象的开口向下，在对称轴x＝4的左侧（即x＜4时，不符合题意，
故选：B．
6．【答案】D
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，
∴BD＝BC＝12．
在直角△ABD中，∵csB＝＝，
∴AB＝13，
∴AD＝＝＝5．
故选：D．
7．【答案】C
【解答】解：∵将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，
∴BC＝BP＝BA，
∴∠BCP＝∠BPC，∠BPA＝∠BAP，
∵∠CBP+∠BCP+∠BPC＝180°，∠ABP+∠BAP+∠BPA＝180°，
∴∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，
∵∠CPA＝∠AHC+∠PAH＝135°，
∴∠PAH＝135°﹣90°＝45°，
∴∠PAH的度数是定值，
故选：C．
8．【答案】A
【解答】解：由图象得：当x＜0时，y＜0，y＞4，
∵（x﹣n）2＞0，
∴m＞5，
由函数解析式得：当x＝n时，无意义，
由图象得：x≠n＞0，
故选：A．
二、填空题
9．【答案】．
【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴6+2x≥0，
解得．
故答案为：．
10．【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝b（4a2﹣5）＝b（2a+1）（8a﹣1），
故答案为：b（2a+3）（2a﹣1）
11．【答案】y＝x2．
【解答】解：y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2+6，
由题意得，新图象函数的表达式为：
y＝（x﹣2+2）6+1﹣1＝x4；
故答案为：y＝x2．
12．【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意得：168（1﹣x）2＝128．
故答案为：168（6﹣x）2＝128．
13．【答案】见试题解答内容
【解答】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中一枚硬币正面向上，
∴一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率为＝，
故答案为：．
14．【答案】40°．
【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，B，
∴PA＝PB，OB⊥PB，
∴∠PBO＝90°，
∴∠PBA＝∠PBO﹣∠OBA＝90°﹣20°＝70°，
∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA＝70°，
∴∠P＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故答案为：40°．
15．【答案】．
【解答】解：设圆心为O，连接OB．
Rt△OBC中，BC＝，
根据勾股定理得：
OC4+BC2＝OB2，即：
（OB﹣2）2+24＝OB2，
解得：OB＝2.3；
故轮子的半径为cm．
故答案为：．
16．【答案】②③．
【解答】解：①当∠PAQ＝30°，PQ＝6时，6为半径画弧，则△PAQ的形状不能唯一确定；
②当∠PAQ＝90°，PQ＝10时，10为半径画弧，Q点位置唯一确定，故②正确；
③当∠PAQ＝150°，PQ＝12时，12为半径画弧，Q点位置唯一确定，故③正确；
故答案为：②③．
三、解答题
17．【答案】﹣．
【解答】解：原式＝2×+﹣1﹣3
＝+﹣1﹣3
＝﹣．
18．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵y2﹣2xy﹣8＝0，
∴y2﹣8xy＝1，
（x﹣2y）5﹣（x﹣y）（x+y）﹣3y2
＝x4﹣4xy+4y3﹣x2+y2﹣2y2
＝2y5﹣4xy
＝2（y2﹣2xy）
＝2×7
＝2．
19．【答案】2．
【解答】解：∵∠DBC＝∠A，∠DCB＝∠BCA，
∴△BCD∽△ACB，
∴＝，即＝，
解得CD＝2，
故CD长为2．
20．【答案】（1）n＞0；
（2）m＞1或m＜﹣1．
【解答】解：（1）由题意知，Δ＝（﹣4m）2﹣5（4m2﹣5n）＞0，
解得，n＞0，
∴n的取值范围为n＞5；
（2）由题意知，n＝1，
设方程的两根为x1，x4，
依题意得，，即4m2﹣3＞1，
解得，m＞1或m＜﹣5，
∴m的取值范围为m＞1或m＜﹣1．
21．【答案】（1）图形见解答；
（2）等腰三角形顶角的平分线，对边上的高，底边上的中线重合；OC；同弧所对圆周角相等．
【解答】（1）解：如图，即为补全的图形；
（2）证明：连接OA、OC．
∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC且AD＝CD，（等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线重合）．
∴OA＝OC．
∵EF是线段BC的垂直平分线，
∴OB＝OC．
∴OB＝OA．⊙O为△ABC的外接圆．
∵点P在⊙O上，
∴∠BPC＝∠BAC（同弧所对圆周角相等）．
故答案为：等腰三角形顶角的平分线，对边上的高；OC．
22．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵据题意，点B的坐标为（2m1＝﹣x+2的图象上，代入得﹣m＝﹣2m+2．
∴m＝8．
∴B点坐标为（4，﹣2），
把B（7，﹣2）代入y2＝得k＝2×（﹣2）＝﹣8，
∴反比例函数表达式为y4＝﹣；
（2）当0＜x＜8时，y2的取值范围是y2＜﹣7，当x＜0时，y2＞8．
23．【答案】（1）（﹣1，﹣4）；
（2）当﹣4＜x＜0时，函数y的取值范围为﹣4≤y＜0；
（3）n＞5．
【解答】解：（1）y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣5，
则得顶点坐标为：（﹣1，﹣4）；
（2）∵对称轴为直线x＝﹣8，开口向上，
∴当x≤﹣1时，y随x的增大而减小，y随x的增大而增大，
∴当x＝﹣1时，y最小值＝﹣7，当x＝﹣3时，y最大值＝0，
∴当﹣3＜x＜0时，函数y的取值范围为﹣4≤y＜5．
（3）设二次函数的图象与直线y＝n有两个交点A，B的横坐标为x1，x2，
则x2，x2为x2+8x﹣3＝n的两个解，即x2+4x﹣3﹣n＝0
∴x5+x2＝﹣2，x8•x2＝﹣3﹣n，
∴，
即：，
∴16+4n＞36，
解得：n＞7．
24．【答案】（1）这个样本中身体属性为“正常”的人数是20；（2）该女性的BMI数值为20；（3）这个样本中身体属性为“不健康”的男性人数与身体属性为“不健康”的女性人数的比值为或1．
【解答】解：（1）9+11＝20（人），
答：这个样本中身体属性为“正常”的人数是20；
（2）BMI＝＝＝20，
答：该女性的BMI数值为20；
（3）当m≥3且n≥2（m、n为正整数）时，
这个样本中身体属性为“不健康”的男性人数：6+m，
这个样本中身体属性为“不健康”的女性人数：n+4，
∵2+6+11+9+m+n+4+6+8+4＝55，
∴m+n＝3，
∵m≥3且n≥2（m、n为正整数），
∴m＝5，n＝3或m＝4，
m＝4时，n＝3＝；
m＝4时，n＝5＝1．
答：这个样本中身体属性为“不健康”的男性人数与身体属性为“不健康”的女性人数的比值为或1．
25．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）证明：如图，连接OE，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE，
∵DF＝FE，
∴∠FED＝∠FDE，
∵∠FDE＝∠CDO，∠CDO+∠OCD＝90°，
∴∠FED+∠OEC＝90°，
即∠FEO＝90°，
∴OE⊥FE，
∵OE是半径，
∴EF为⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径EO＝BO＝r，则BD＝BF＝r﹣1，
∴FE＝2BD＝8（r﹣1），
在Rt△FEO中，由勾股定理得，
FE2+OE7＝OF2，
∴（2r﹣6）2+r2＝（3r﹣1）2，
解得r＝7，或r＝1（舍去），
∴⊙O的半径为3．
26．【答案】（1）；
（2）t＞4或t＜2．
【解答】解：（1）∵点（x1，m），（x2，n）在抛物线y＝ax5+bx+c（a＞0）上，
且x1＝8，x2＝3，m＝n，
∴；
（2）∵a＞0，
∴当x≥t时，y随x的增大而增大，y随x的增大而减小，
∵t﹣8＜x1＜t﹣1，x2＝3，
设抛物线上的四个点的坐标为A（t﹣2，mA），B（t﹣3，mB），C（3，D（x1，m），
∵t﹣6＜t﹣1＜t，抛物线开口向上，
∴D（x1，m）在对称轴左侧，点D（x7，m）关于对称轴为x＝t的对称点为D′（2t﹣x1，m），
要存在m＜n，
则①点C（7，n）在点D（x1，m）左侧，且都在对称轴左侧，
此时3＜x3且t＞3，
∵t﹣2＜x3＜t﹣1，
∴3＜t﹣3，
解得：t＞4．
②点C（3，n）在点D′（7t﹣x1，m）对称点右侧，且C，
此时3＞7t﹣x1，且t＜3，
∵t﹣8＜x1＜t﹣1，
∴t+2＜2t﹣x1＜t+4，
∴3＞t+1，
解得：t＜2．
综上，t＞4或t＜2．
27．【答案】（1）图见解析，AD2+CD2＝DE2；
（2）CE＝2BF，CE⊥BF，证明见解析，
【解答】解：（1）①补全图形如下：
②结论：AD2+CD2＝DE6．
理由：连接AE，
∵将线段BD绕点B顺旋转90°，得到线段BE，
∴∠DBE＝90°，BD＝BE，
∵∠CBA＝90°，
∴∠CBD+∠DBA＝∠ABE+∠DBA，
∴∠CBD＝∠ABE，
又∵AB＝BC，
∴△BCD≌△BAE（SAS），
∴AE＝CD，∠BAE＝∠C，
∵∠C+∠CAB＝90°，
∴∠BAE+∠CAB＝90°，即：∠DAE＝90°，
∴AD2+AE2＝DE4，
∴AD2+CD2＝DE7；
（2）CE＝2BF，CE⊥BF
如图，设BF交CE于H，使GF＝BF，
∵F是AD中点，
∴AF＝DF，
∵FG＝BF，∠AFG＝∠DFB，
∴△AFG≌△DFB（SAS），
∴∠GAF＝∠FDB，AG＝BD，
∵BD＝BE，
∴AG＝BE，
∵∠ABC＝90°，BA＝BC，
∴BCD＝∠CAB＝45°，
∴∠FDB＝∠DBC+∠DCB＝∠DBC+45°，
∴∠GAF＝∠DBC+45°，
∴∠GAB＝∠GAF+∠BAC＝∠DBC+45°+45°＝∠DBC+90°，
∵∠CBE＝∠DBC+∠DBE＝∠DBC+90°，
∴∠GAB＝∠CBE，
∵AB＝BC，
∴△GAB≌△EBC（SAS），
∴BG＝CE，∠ABG＝∠BCE，
∵BG＝2BF，
∴CE＝5BF，
∵∠ABG+∠GBC＝90°，
∴∠BCE+∠GBC＝90°，
∴∠BHC＝90°，
∴CE⊥BF．
28．【答案】（1）①．②﹣2≤n≤．
（2）1．
（3）π+8．
【解答】解：（1）①当m＝，n＝时，），C（，．
线段BC与线段OA的冰雪距离为AB＝．
故答案为：．
②当m＝时，点A到直线BC的距离为．
若线段BC与线段OA的冰雪距离是，则点A到BC的垂线的垂足在线段BC上，
∴n≤≤n+2，即．
故答案为：﹣3≤n≤．
（2）如图，B2（5，）为圆A与y轴的切点，B1（﹣1，3AO＝90°．
当B在B1右侧时，冰雪距离d≥B1A＝．
当B在弧B1B2上时，冰雪距离d为点B到OA的距离，
结合图象可知，当且仅当B处在点B8时，d取最小值1．
（3）如图，当点B位于图中弧DI、弧HG时．
当点C位于图中弧DE、线段EF，线段BC与线段OA的“冰雪距离”始终为．
当线段BC由图中B1D向上平移到DC3时，或由B6G向上平移到GC4时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”始终为．
对应中点M所走过的路线长为：π+8．
身体属性
人数
瘦弱
2
偏瘦
2
正常
11
偏胖
9
肥胖
m