2024年安徽省合肥市蜀山区中考数学一模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年安徽省合肥市蜀山区中考数学一模试卷（含详细答案解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在−2，−13，0， 2这四个数中，最小的数是( )
A. −2B. −13C. 0D. 2
2.我国渤海深层油气田勘探再获新发现，新增油气探明储量超4000万立方米，其中数据4000万用科学记数法表示为( )
A. 4×103B. 4×107C. 4×108D. 0.4×106
3.下列运算正确的是( )
A. x2+x3=x5B. (x2)3=x5C. x2⋅x3=x5D. x6÷x2=x3
4.一个几何体的三视图如图所示，根据图中的相关数据求得该几何体的侧面积为( )
A. 60πcm2B. 40πcm2C. 30πcm2D. 24πcm2
5.小米同学在喝水时想到了这样一个问题：如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与AD的交点为E，当水杯底面AB与水平面的夹角为37∘时，∠CED的大小为( )
A. 27∘
B. 37∘
C. 53∘
D. 63∘
6.如图为甲、乙两种物质的m−v图象.下列说法正确的是( )
A. 甲物质的密度与质量成正比
B. 体积为20cm3的甲物质的质量为13.5g
C. 甲物质的密度比乙的密度小
D. 甲、乙质量相同时，乙的体积是甲的4.5倍
7.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABO=35∘，则∠C的度数等于( )
A. 35∘
B. 40∘
C. 55∘
D. 65∘
8.如图，点P，A，B，C，D均为小正方形的顶点，若从A，B，C，D中任取两个点，则与点P构成的三角形是直角三角形的概率是( )
A. 12
B. 13
C. 23
D. 16
9.已知反比例函数y=kx(k≠0)在第二象限内的图象与一次函数y=mx+n(m≠0)的图象如图所示，则函数y=mx2+nx−k+1的图象可能为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，正方形ABCD中，AB=4，点E，F分别在边AB，BC上，点P在对角线AC上，EF//AC，PE+PF=m，下列结论错误的是( )
A. 若BE=2，则m的最小值为4
B. 若m的最小值为4，则BE=2
C. 若BE=0.5，则m的最小值为5
D. 若m的最小值为5，则BE=0.5
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.不等式x−23<1的解集是______.
12.因式分解：4x2−100=______.
13.如图，△ABC中，高AD，BE相交于点H，连接DE，若BD=AD，BE=5，AE=2，则DE=______.
14.在平面直角坐标系xOy中，M(x1,y1)，N(x2,y2)是抛物线y=a(x−h)2+k(a<0)上任意两点.
(1)若对于x1=1，x2=5，有y1=y2，则h=______；
(2)若对于0y2，则h的取值范围是______.
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算：(−1)2024+4×(12)−1−|−3|.
16.(本小题8分)
《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观.请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满，问：大小船各有几只？
17.(本小题8分)
如图，CD是一座长为600米的东西走向的大桥，小莉同学研学旅途中乘坐的汽车在笔直的公路MN上由南向北行驶，在A处测得桥头C在北偏东30∘方向上，继续行驶500米后到达B处，测得桥头D在北偏东60∘方向上，求点C到公路MN的距离.(结果保留根号)
18.(本小题8分)
如图是由小正方形组成的14×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点.
(1)以A为旋转中心，将△ABC按顺时针方向旋转90∘，得到△AB1C1，请画出△AB1C1；
(2)作出△ABC关于直线AC对称的△ADC；
(3)连接BD，在BD上作点E，使BE：ED=1：2，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.
19.(本小题10分)
用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
(1)第5个图案有______颗黑色棋子，第 n个图案中黑色棋子的颗数为______；
(2)据此规律用2024颗黑色棋子，是否能摆放成一个图案，如果能，是第几个图案？如果不能，请说明理由.
20.(本小题10分)
如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上不同于A，B的一点，I是△ABC的内心，AI的延长线交半圆O于点D，连接BI，BD，IO.
(1)求证：DI=DB；
(2)若BD=2，IO⊥BI，求AI的长.
21.(本小题12分)
为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、象棋、足球和农艺五个社团活动，每个学生必选且只选择一项活动参加.为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图表.参加五个社团活动人数统计表：
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)抽取的学生共有______人，m=______；
(2)从篮球社团的学生中抽取了部分学生，他们的身高(单位：cm)如下：190，172，180，184，168，188，174，184，则他们身高的中位数是______ cm；
(3)若该校有2000人，估计全校参加舞蹈社团活动的学生有多少人？
22.(本小题12分)
如图，△ABC中，∠A=90∘，AB=AC，点D、E分别在边AB、BC上，连接CD、DE，恰好∠ADC=∠BDE，过点E作CD的垂线，垂足为点F，且交边AC于点G.
(1)设∠ADC=α，用含α的代数式表示∠CEG为______；
(2)求证：△BDE∽△CGE；
(3)求ADCG的值.
23.(本小题14分)
如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，且与y轴相交于点C(0,5).
(1)求抛物线y=x2+bx+c的表达式；
(2)如图2，点A，B在x轴上(B在A的右侧)，且OA=t(0①求DF的长(用含t的代数式表示)；
②若△CDF的面积记作S1，△EDF的面积记作S2，记S2−S1=S，则S是否有最大值，若有请求出，若没有，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵|−2|=2，|−13|=13，
∴2>13，
∴−2<−13，
在−2，−13，0， 2这四个数中，
∵−2<−13<0< 2，
∴最小的数是−2，
故选：A.
根据负数小于0，0小于正数，两个负数比较，绝对值大的反而小，即可解答．
本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：4000万=40000000=4×107.
故选：B.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数，当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】C
【解析】解：A.x2与x3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B.(x2)3=x6，故本选项不合题意；
C.x2⋅x3=x5，故本选项符合题意；
D.x6÷x2=x4，故本选项不合题意．
故选：C.
分别根据合并同类项法则，幂的乘法运算法则，同底数幂的乘除法法则逐一判断即可．
本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为10cm，底面圆的直径为6cm，
所以这个几何体的侧面积=12×π×10×6=30π(cm2).
故选：C.
先判断这个几何体为圆锥，同时得到圆锥的母线长为10cm，底面圆的直径为6cm，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．
本题考查了由三视图判断几何体，圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．
5.【答案】C
【解析】解：过点A作AF//BH，交BC于F，
∴∠FAB=∠ABN=37∘，
∵∠DAB=90∘，
∴∠DAF=53∘，
∵EC//BH，AF//BH，
∴AF//EC//BH，
∴∠CED=∠DAF=53∘，
故选：C.
过点A作AF//BH，交BC于F，由平行线的性质可得∠FAB=∠ABN=37∘，可求∠DAF=53∘，即可求解．
本题考查了矩形的性质，平行线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、当体积V一定时，甲物质的密度与质量成正比，故选项A不符合题意；
B、由图可知当甲物质的密度=274=6.75g/cm3，所以当体积是20cm3时，质量为135g，故选项B不符合题意；
C、由图形可知当V>0时，甲、乙体积相同时，甲的质量比乙的质量大，所以甲物质的密度比乙物质的密度大，故选项C不符合题意；
D、甲物质的密度=274=6.75g/cm3，乙物质的密度=128=1.5g/cm3，所以当甲、乙质量相同时，乙的体积是甲的4.5倍，故选项D符合题意．
故选：D.
根据正比例函数的图象和性质就可以选择出正确的答案．
本题考查的重点是正比例函数的图形与性质，运用已知条件结合图象，通过比较的方法很容易做出选择．
7.【答案】C
【解析】解：连接OA，如图，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠ABO=35∘，
∴∠AOB=180∘−(∠OAB+∠ABO)=180∘−70∘=110∘，
∴∠C=12∠AOB=12×110∘=55∘.
故选：C.
连接OA，根据OA=OB可知，∠OAB=∠ABO，再由三角形内角和定理求出∠AOB的度数，根据圆周角定理即可得出结论．
本题考查的是圆周角定理，在解答此类问题时往往用到三角形的内角和是180∘这一隐藏条件．
8.【答案】B
【解析】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中与点P构成的三角形是直角三角形的结果有：(B,C)，(C,B)，(C,D)，(D,C)，共4种，
∴与点P构成的三角形是直角三角形的概率为412=13.
故选：B.
画树状图得出所有等可能的结果数以及与点P构成的三角形是直角三角形的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：根据图示可知，m>0，k<0，n>0，
∴函数y=mx2+nx−k+1的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴正半轴相交，
故选：A.
根据题意可知m>0，k<0，n>0，据此判断函数y=mx2+nx−k+1的图象大致位置即可．
本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，熟练掌握相关函数图象与系数的关系是关键．
10.【答案】D
【解析】解：作点E关于AC的对称点E′，连接EE′，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45∘，
∴点E′在AD上，
∵点P在对角线AC上，
∴PE=PE′，
∴当点E，P，E′在一条直线上时，PE+PF=m取得最小值．
∵EF//AC，
∴∠BEF=∠BAC=45∘，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴BE=BF.
∵若BE=2，AB=4，
∴BF=2，AE=AE′=2，
∴点E，P，E′在一条直线上，PE+PF=m取得最小值，这时，四边形ABFE′为矩形，
∴PE+PF=m=E′F=AB=4，
∴若BE=2，则m的最小值为4，
∴A的结论正确，不符合题意；
∵m的最小值为4，
∴此时点E，P，E′在一条直线上，且E′F=AB=4，
∴四边形ABFE′为矩形，
∴AE′=BF，
∴AE=BE=12AB=2.
∴B的结论正确，不符合题意；
∵BE=0.5，
∴BF=0.5，AE=AE′=3.5，
∴EF=12 2，EE′=72 2.
∵△AEE′，△BEF为等腰直角三角形，
∴∠AEE′=∠BEF=45∘，
∴∠E′EF=90∘.
∴点E，P，E′在一条直线上时，E′F= EF2+EE′2=5，
∴若BE=0.5，则m的最小值为5.
∴C的结论正确，不符合题意；
若m的最小值为5，设BE=x，则AE=AE′=4−x，
∴( 2x)2+[ 2(4−x)]2=52，
∴x=0.5或3.5，
∴BE=0.5或3.5.
∴D的结论不正确，符合题意．
故选：D.
作点E关于AC的对称点E′，连接EE′，利用轴对称的性质和正方形的性质得到PE+PF=PE′+PF，点E，P，E′在一条直线上，PE+PF=m取得最小值；利用已知条件，正方形的性质，直角三角形的性质和勾股定理对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形与轴对称的性质是解题的关键．
11.【答案】x<5
【解析】解：∵x−23<1，
∴x−2<3，
则x<3+2，
即x<5，
故答案为：x<5.
根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
12.【答案】4(x+5)(x−5)
【解析】解：4x2−100=4(x2−25)=4(x+5)(x−5)，
故答案为：4(x+5)(x−5).
提公因式4后，再利用平方差公式分解．
本题考查了因式分解的综合运用，因式分解时，首先考虑能不能提公因式，再考虑能否利用公式法分解因式，本题比较简单．
13.【答案】32 2
【解析】解：如图，过点D作DN⊥DE交BE于点N，
∵高AD，BE相交于点H，
∴∠BDH=∠ADC=∠AEB=90∘，
∴∠DAC+∠AHE=∠DBH+∠BHD=90∘，
∵∠AHE=∠BHD，
∴∠DAC=∠DBH，
即∠NBD=∠EAD，
∵DN⊥DE，
∴∠NDE=90∘=∠ADB，
∴∠BDN=∠ADE，
在△ADE和△BDN中，
∠NBD=∠EADBD=AD∠BDN=∠ADE，
∴△ADE≌△BDN(ASA)，
∴DN=DE，BN=AE=2，
∴NE=BE−BN=5−2=3，
∵∠NDE=90∘，DN=DE，
∴DE= 22NE=32 2，
故答案为：32 2.
过点D作DN⊥DE交BE于点N，根据直角三角形的性质、角的和差求出∠NBD=∠EAD，∠BDN=∠ADE，利用ASA证明△ADE≌△BDN，根据全等三角形的性质求出DN=DE，BN=AE=2，根据线段的和差求出NE=3，解直角三角形求解即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是作出合理的辅助线构建全等三角形．
14.【答案】3h≤2
【解析】解：(1)若对于x1=1，x2=5，有y1=y2，
得M(x1,y1)，N(x2,y2)关于对称轴对称，
则h=(1+5)÷2=3；
故答案为：3；
(2)由抛物线y=a(x−h)2+k(a<0)开口向下，
对于0y2，
得M(x1,y1)到对称轴的距离比N(x2,y2)到对称轴的距离近，
故M(x1,y1)与N(x2,y2)的中点在对称轴的右侧，
故12(x1+x2)>h，
故h≤(0+4)÷2=2.
故答案为：h≤2.
(1)由对于x1=1，x2=5，有y1=y2，得M(x1,y1)，N(x2,y2)关于对称轴对称即可得答案；
(2)由已知得M(x1,y1)到对称轴的距离比N(x2,y2)到对称轴的距离近，故M(x1,y1)与N(x2,y2)的中点在对称轴的右侧，
即可得12(x1+x2)>h，故h≤(0+4)÷2=2.
本题主要考查了二次函数的对称性，解题关键是正确应用对称性．
15.【答案】解：(−1)2024+4×(12)−1−|−3|
=1+4×2−3
=1+8−3
=9−3
=6.
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了绝对值，负整数指数幂，有理数的乘法，乘方，加减混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16.【答案】解：设大船有x只，则小船有(8−x)只，
根据题意得：6x+4(8−x)=38，
解得：x=3，
∴8−x=8−3=5(只).
答：大船有3只，小船有5只．
【解析】设大船有x只，则小船有(8−x)只，根据38人刚好坐满8只船，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出大船的只数，再将其代入(8−x)中，即可求出小船的只数．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
17.【答案】解：延长DC交MN于点E，
由题意得：DE⊥MN，
设CE=x米，
∵CD=600米，
∴DE=CD+CE=(x+600)米，
在Rt△BED中，∠EBD=60∘，
∴BE=DEtan60∘= 33(x+600)米，
在Rt△ACE中，∠EAC=30∘，
∴AE=CEtan30∘= 3x(米)，
∵AE−BE=AB，
∴ 3x− 33(x+600)=500，
解得：x=250 3+300，
∴CE=(250 3+300)米，
∴点C到公路MN的距离为(250 3+300)米．
【解析】延长DC交MN于点E，根据题意可得：DE⊥MN，然后设CE=x米，则DE=(x+600)米从而分别在Rt△BED和Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义求出AE和BE的长，最后根据线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图，△AB1C1即为所求．
(2)如图，△ADC即为所求．
(3)如图，取格点M，N，使BM：DN=1：2，且BM//DN，连接MN，交BD于点E，
则△BEM∽△DEN，
∴BE：ED=BM：DN=1：2，
则点E即为所求．

【解析】(1)根据旋转的性质作图即可．
(2)根据轴对称的性质作图即可．
(3)结合相似三角形的判定与性质，取格点M，N，使BM：DN=1：2，且BM//DN，连接MN，交BD于点E，则点E即为所求．
本题考查作图-旋转变换、轴对称变换、相似三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
19.【答案】34(n+1)2−2
【解析】解：(1)由所给图形可知，
第1个图案中黑色棋子的颗数为：2=22−2；
第2个图案中黑色棋子的颗数为：7=32−2；
第3个图案中黑色棋子的颗数为：14=42−2；
第4个图案中黑色棋子的颗数为：23=52−2；
…，
所以第n个图案中黑色棋子的颗数为[(n+1)2−2]颗，
当n=5时，
(n+1)2−2=36−2=34(颗)，
即第5个图案中黑色棋子的颗数为34颗．
故答案为：34，(n+1)2−2.
(2)不能．
令(n+1)2−2=2024，
解得n= 2026−1(舍负)，
因为n为正整数，
所以用2024颗黑色棋子不能摆成一个图案．
(1)根据所给图形，依次求出黑色棋子的颗数，发现规律即可解决问题．
(2)根据(1)中发现的规律即可解决问题．
本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现棋子个数变化的规律是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD=∠CBD.∠ABI=∠CBI，
∴∠BID=∠BAD+∠ABI=∠CBD+∠CBI=∠IBD.
∴DI=DB；
(2)解：过O作OH⊥AD于点H，
∴AH=HD，
∵点O为AB的中点，
∴OH=12BD=1，
∵AB为直径，
∴∠D=90∘
∵DI=DB，
∴△BDI是等腰直角三角形，
∴ID=BD=2.∠BID=45∘，
∵IO⊥BI，即∠OIB=90∘，
∴∠OIH=45∘，
∴△OHI是等腰直角三角形，
∴OH=HI=1，
∴AH=HD=HI+DI=HI+DB=1+2=3，
∴AL=AH+HI=4.
【解析】(1)根据I是△ABC的内心，以及圆周角定理可得∠BAD=∠CAD=∠CBD，∠ABI=∠CBI，从而得到∠BID=∠IBD，即可求证；
(2)过O作OH⊥AD于点H，根据垂径定理可得AH=HD，根据三角形中位线定理可得OH=12BD=1，再证明△BDI是等腰直角三角形，可得ID=BD=2.∠BID=45∘，从而得到△OH1是等腰直角三角形，进而得到OH=H1=1，即可求解．
本题主要查了圆周角定理，垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的内心问题，三角形中位线定理，熟练掌握以上知识是解题关键．
21.【答案】200 40 182
【解析】解：(1)本次抽取的学生有：(40+80)÷(1−15%−10%−15%)=200(人)，
m%=80÷200×100%=40%，
即m=40，
故答案为：200，40；
(2)将190，172，180，184，168，188，174，184按照从小到大排列是：168，172，174，180，184，184，188，190，
∴这组数据的中位数是(180+184)÷2=182(cm)，
故答案为：182；
(3)2000×(1−15%−10%−15%−40%)
=2000×20%
=400(人)，
答：估计全校参加舞蹈社团活动的学生有400人．
(1)根据表格中的数据和扇形统计图中的数据，可以计算出本次抽取的学生人数，然后即可计算出m的值；
(2)先将题目中的数据按照从小到大排列，再计算中位数即可；
(3)根据题意和(1)中m的值，可以计算出全校参加舞蹈社团活动的学生有多少人．
本题考查中位数、用样本估计及总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】135∘−α
【解析】(1)解：∵∠A=90∘，
∴∠ADC+∠ACD=90∘，
∵∠ADC=α，
∴∠ACD=90∘−α，
∵EG⊥CD，
∴∠ACD+∠CGF=90∘，
∴∠CGF=90∘−∠ACD=α，
∵∠A=90∘，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45∘，
在△CGE中，∠GCE=45∘，∠CGE=α，
∴∠CEG=180∘−∠CGE−∠GCE=180∘−α−45∘=135∘−α，
故答案为：135∘−α；
(2)证明：由(1)得，∠CGE=∠ADC，
∵∠ADC=∠BDE，
∴∠CGE=∠ADC=∠BDE，
又∵∠GCE=∠DBE=45∘，
∴△BDE∽△CGE；
(3)解：如图，过点C作CM⊥AC，过点B作BM⊥AB，CM、BM交于点M，延长GE交BM于点P，连接CP，过点P作PN⊥AC于点N，
∴∠MCA=∠CAB=∠ABM=90∘，
∴四边形ABMC是矩形，
∵AB=AC，
∴四边形ABMC是正方形，
∴∠DBE=∠PBE=45∘，AC//BM，AB=BM，∠M=90∘，
∴∠CGE=∠BPE=∠BDE，
在△BDE和△BPE中，
∠DBE=∠PBE∠BDE=∠BPEBE=BE，
∴△BDE≌△BPE(AAS)，
∴BD=BP，
∵AB=BM，
∴AB−BD=BM−BP，
∴AD=MP，
∵∠MCN=∠CNP=M=∠90∘，
∴四边形PMCN是矩形，
∴PM=CN，PN=CM=AB=AC，
在△PNG和△CAD中，
∠PGN=∠CDA∠PNG=∠CADPN=CA，
∴△PNG≌△CAD(AAS)，
∴NG=AD，
∴AD=NG=PM=CN，
∴CG=2AD，
∴ADCG=12.
(1)根据直角三角形的性质求出∠ACD=90∘−α，进而求出∠CGF=90∘−∠ACD=α，根据等腰直角三角形的性质求出∠GCE=45∘，再根据三角形内角和定理求解即可；
(2)结合(1)求出∠CGE=∠BDE，∠GCE=∠DBE=45∘，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解；
(3)过点C作CM⊥AC，过点B作BM⊥AB，CM、BM交于点M，延长GE交BM于点P，连接CP，过点P作PN⊥AC于点N，结合正方形的性质推出四边形ABMC是正方形，根据正方形的性质利用AAS证明△BDE≌△BPE，得出BD=BP，进而求出四边形PMCN是矩形，根据矩形的性质得出PM=CN，PN=CM=AB=AC，利用AAS证明△PNG≌△CAD，根据矩形的性质、全等三角形的性质求出AD=NG=PM=CN，则CG=2AD，据此即可得解．
此题是三角形综合题，考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，
∴设抛物线的顶点式为y=(x−2)2+h，
将点C(0,5)代入得4+h=5，解得h=1，
∴抛物线y=x2+bx+c的表达式为y=(x−2)2+1=x2−4x+5；
(2)①∵抛物线y=x2−4x+5，OA=t(0∴D(t,t2−4t+5)，OB=t+1，
∴E(t+1,t2−2t+2)，
设直线CE的解析式为y=kx+5，
∴(t+1)k+5=t2−2t+2，解得k=t−3，
∴直线CE的解析式为y=(t−3)x+5，
∴F(t,t2−3t+5)，
∴DF=t2−3t+5−t2+4t−5=t，
∴DF的长为t；
②∵OA=t(0∴△CDF的面积记作S1=12t2，△EDF的面积记作S2=12t，
∴S=S2−S1=12t−12t2=−12(t−12)2+18，
∴当t=12时，S有最大值，最大值为18.
【解析】(1)由抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，设抛物线的顶点式为y=(x−2)2+h，将点C(0,5)代入即可求解；
(2)①由抛物线y=x2−4x+5可得D(t,t2−4t+5)，E(t,t2−2t+2)，利用待定系数法求出直线CE的解析式为y=(t−3)x+5，则F(t,t2−3t+5)，即可得DF的长(用含t的代数式表示)；
②求出△CDF的面积记作S1=12t2，△EDF的面积记作S2=12t，则S=S2−S1=12t−12t2=−12(t−12)2+18，根据二次函数的性质即可求解．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．社团活动
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